[高考数学]学案模版_中学教育-高考.pdf

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1、课题：函数的单调性 课型：新授课 课时：2 课时 学习目标：（自学引导：这节课我们主要任务就是通过对单调性的研究，然后会运用函数单调性解决题目.这节课的特点是符号较多，希望同学们课下做好预习.）1、理解函数单调性的本质内容和函数单调性的几何意义；2、掌握判断函数单调性的判断方法：定义法和图象法；3、熟练的掌握用定义法证明函数单调性及其步骤.学习过程：一、【自学内容和要求及自学过程】观察教材第 27 页图 1.3-2，阅读教材第 27-28 页“思考”上面的文字，回答下列问题（自学引导：理解“上升”、“下降”的本质内涵，归纳出增函数的定义）你能描述上面函数的图像特征吗？该怎样理解“上升”、“下降

2、”的含义？对于二次函数 y=x2，列出表(1)，完成表(1)并体会图象在 y 轴右侧上升；x -3-2-1 0 1 2 3 4 f(x)=x2 结论：函数 y=x 的图象，从左向右看是（上升、下降）的；函数 y=x2的图象在 y轴左侧是的，在 y 轴右侧是的；函数 y=-x2的图象在 y 轴左侧是的，在 y 轴右侧是的；按从左向右的方向看函数的图象，意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大；图象是上升的意味着图象上点的（横、纵）坐标逐渐变大，也就是对应的函数值随着逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升，反映了函数值随着自变量的增大而；“下降”亦然；在区间(0，+)上，任取 x1、x2

3、，且 x1x2,那么就有 y1y2(),也就是有 f(x1)f(x2).这样可以体会用数学符号刻画图象上升.阅读教材第 28 页“思考”下面的内容，然后回答下列问题（自学引导：同学们要理解增函数的定义，符号比较多，要一一的理解）数学上规定：函数 y=x2在区间(0,+)上是增函数.请给出增函数定义.增函数的定义中，把“当 x1x2时，都有 f(x1)x2时，都有f(x1)f(x2)”，这样行吗?增函数的定义中，“当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)”反映了函数值有什么变化趋势?函数图象有何特点?增函数的几何意义是什么？结论：一般地，设函数 f(x)的定义域为 I:如果对于定义域 I 内某

4、个区间 D上的任意两个自变量的值 x1、x2，当时，都有，那么就说函数 f(x)在区间 D上是增函数；增函数的定义：由于当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，即都是相同的不等号“”，也就是说前面是“”，后面也是“x2时，都有f(x1)f(x2)”都是相同的不等号“”，即前面是“”，后面也是“”,步调一致.因此我们可以简称为：步调一致增函数；增函数反映了函数值随自变量的增大而增大；从左向右看,图象是上升的；增函数几何意义是从左向右看,图象是（上升、下降）的；（自学引导：类比增函数的定义，切实理解减函数的含义.）思考：类比增函数的定义，请你给出减函数的定义；函数 y=f（x）在区间 D上具有

5、单调性，说明了函数 y=f（x）在区间 D上的图象有什么变化趋势？结论：一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间 D上的任意两个自变量的值 x1、x2，当时，都有，那么就说函数 f(x)在区间 D上是减函数.简称为：步调不一致减函数.减函数的几何意义：从左向右看,图象是的.函数值变化趋势：函数值随着自变量的增大而减小；函数 y=f（x）在区间 D上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大（减小），几何意义：从左向右看,图象是（）（上升、下降）的；阅读教材第 29 页第一段，然后回答下列问题 你能理解“严格的单调性”所包含的含义吗？试述之.三、讲授新课 1.引例：观

6、察 y=x2的图象，回答下列问题（投影 1）问题 1：函数 y=x2的图象在 y 轴右侧的部分是上升的，说明什么？随着 x 的增加，y 值在增加。问题 2：怎样用数学语言表示呢？设 x1、x20，+，得 y1=f(x1),y2=f(x2).当x1x2时，f(x1)f(x2).(学生不一定一下子答得比较完整，教师应抓住时机予以启发)。结论：这时，说 y1=x2在0，+上是增函数。（同理分析 y 轴左侧部分）由此可有：2.定义：一般地，设函数 f(x)的定义域为 I：如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x1x2时都有 f(x1)f(x2).那么就说 f(x)在这个区

7、间上是增函数（increasing function）。如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2).那么就是 f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function)。如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做 y=f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性；（2）注意区间上所取两点 x1,x2的任意性；（3）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念。1、说明 1）。单调区间是定义域的子集

8、；2）。若函数 f(x)在区间 D 上是增函数，则图象在 D 上的部分从左到右呈趋势 若函数 f(x)在区间 D 上是减函数，则图象在 D 上的部分从左到右呈趋势 3）。单调区间一般不能并 2、判断单调性的方法：定义；导数；复合函数单调性：同增则增，异增则减；图象 3、常用结论：两个增（减）函数的和为_；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是_；奇函数在对称的两个区间上有_的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_的单调性；互为反函数的两个函数在各自定义域上有_的单调性；（III）例题分析 例 1.下图是定义在闭区间 5,5上的函数 y=f(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区

9、间上的单调性（课本 P34例 1）。问题 3：y=f(x)在区间2,5，3,1上是减函数；在区间1,2，5,3上是增函数，那么在两个区间的公共端点处，如：x=-2,x=-1,x=3 处是增函数还是减函数？分析：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因此没有增减变化，所以不存在单调性问题；另一方面，中学阶段研究的是连续函数或分段连续函数，对于闭区间的连续函数而言，只要在开区间单调，则它在闭区间也单调。因此在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以（要注意端点是否在定义域范围内）。说明：要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图上进行观察是一种常用而又粗略

10、的方用函数单调性解决题目这节课的特点是符号较多希望同学们课下做好预习理解函数单调性的本质内容和函数单调性的几何意义掌握判断函数单调性的判断方法定义法和图象法熟练的掌握用定义法证明函数单调性及其步骤学习过程一本质内涵归纳出增函数的定义你能描述上面函数的图像特征吗怎样理解上升下降的含义对于二次函数列出表完成表并体会图象在轴右侧上升结论函数的图象从左向右看是上升下降的函数的图象在轴左侧是的在轴右侧是的函数的图象渐增大图象是上升的意味着图象上点的横纵坐标逐渐变大也就是对应的函数值随着逐渐增大也就是说从左向右看图象上升反映了函数值随着自变量的增大而下降亦然在区间上任取且那么就有也就是有这样可以体会用数学

11、符号刻画图法。严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明。练习：1、函数3,0,2)(xxxf的单调性为 （）A、减函数 B、增函数 C、先减后增 D、先增后减 2、函数2)(xxf的单调减区间是 （）A、,0 B、0,C、,0 D、,3、下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是 （）A 1 xy B xy C 542xxy D xy2 4、已知函数)(xf在区间),0(上为减函数，那么)1(f与)43(f的大小关系为_ 5、已知函数)(xf在区间),0(上为减函数，那么)1(2 aaf与)43(f的大小关系为_ 6、函数xxf)(在 R 上的最大值是 （）A、0 B、C、D、不存在 7、函

12、数10)(2，在xxf上的最小值是 （）A、1 B、0 C、41 D、不存在 例 2证明函数 f(x)=3x+2 在 R上是增函数。证明：设任意 x1、x2R，且 x1x2.则 f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2).由 x1x2得 x1-x20.f(x1)-f(x2)0,即 f(x1)f(x2).f(x)=3x+2 在 R上是增函数。分析：判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：a.设x1、x2给定区间，且x1x2；b.计算f(x1)-f(x2)至最简；c.判断上述差的符号；d确定函数单调性 练习：8、根据函数单调性的定义证明1)(3 xxf在,上是减函数

13、9、判断函数23)(xxf的单调性，并证明。用函数单调性解决题目这节课的特点是符号较多希望同学们课下做好预习理解函数单调性的本质内容和函数单调性的几何意义掌握判断函数单调性的判断方法定义法和图象法熟练的掌握用定义法证明函数单调性及其步骤学习过程一本质内涵归纳出增函数的定义你能描述上面函数的图像特征吗怎样理解上升下降的含义对于二次函数列出表完成表并体会图象在轴右侧上升结论函数的图象从左向右看是上升下降的函数的图象在轴左侧是的在轴右侧是的函数的图象渐增大图象是上升的意味着图象上点的横纵坐标逐渐变大也就是对应的函数值随着逐渐增大也就是说从左向右看图象上升反映了函数值随着自变量的增大而下降亦然在区间上

14、任取且那么就有也就是有这样可以体会用数学符号刻画图课外练习：1在区间(0，)上不是增函数的函数是 （）Ay=2x1 By=3x21 Cy=x2 Dy=2x2x1 2函数 f(x)=4x2mx5 在区间2，上是增函数，在区间(，2)上是减函数，则 f(1)等于 （）A7 B1 C17 D25 3已知函数 f(x)=82xx2，如果 g(x)=f(2x2)，那么函数 g(x)（）A在区间(1，0)上是减函数 B在区间(0，1)上是减函数 C在区间(2，0)上是增函数 D在区间(0，2)上是增函数 4已知函数 f(x)是 R 上的增函数，A(0，1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f(x

15、1)|1 的解集的补集是 （）A(1，2)B(1，4)C(，1)4，）D(，1)2，）5已知函数 2212f xxax 在区间4,上是减函数，则实数a的取值范围是（）Aa3 Ba3 Ca5 Da3 6、函数 f(x)=ax24(a1)x3 在2，上递减，则 a 的取值范围是_ 7函数 f(x)=x31 在 R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在 R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论 19试讨论函数 f(x)=21x在区间1，1上的单调性 课后反思：用函数单调性解决题目这节课的特点是符号较多希望同学们课下做好预习理解函数单调性的本质内容和函数单调性的几何意义掌握判断函数单调性的判断方法定义法和图象法熟练的掌握用定义法证明函数单调性及其步骤学习过程一本质内涵归纳出增函数的定义你能描述上面函数的图像特征吗怎样理解上升下降的含义对于二次函数列出表完成表并体会图象在轴右侧上升结论函数的图象从左向右看是上升下降的函数的图象在轴左侧是的在轴右侧是的函数的图象渐增大图象是上升的意味着图象上点的横纵坐标逐渐变大也就是对应的函数值随着逐渐增大也就是说从左向右看图象上升反映了函数值随着自变量的增大而下降亦然在区间上任取且那么就有也就是有这样可以体会用数学符号刻画图