2022浙江高考解答题：三角函数1.pdf

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1、2022浙江高考解答题：三角函数1.设函数/(x)=s i nx-c os j r(x e R).（1 ）求函数），=/卜,+（2的最小正周期;（2）求函数y =/（x（x +，）在 0,y上的最小值.2.已知函数f(x)=s i n(/3s i n4-C OS-).（1）求函数/*）的单调递增区间;（2）设AABC中的内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,若 y（B）=乎，且6 =代，求 的 最 大 值.3.已知函数f（x）=/s i nx+2s i n：!|.（1）求函数小）的最小正周期，并求函数小）在X W 篇9 时的值域;（2）设 A B C 的内角是A8,C,所对边长分别是4万,c

2、,当/（A）=2,b+c =l 时，求边长的最小值.4.设函数/(x)=cos(2x+$+2sin2x.(1)求函数x)在 区 间 0,|上的最大值和最小值;若 且/(a)=1,求 sin2a 的值.5.已知tan(a+)=2.4(1)求 ta n a 的值；(2)求值：sin(万 +a)sin(a-)+tan(4-2 a).26.设函数/(x)=sin2 x+gsin2x.(l)求/(x)的最大值与最小正周期；TT TT(2)求最小的正数“，使得函数g(x)=/(x +a),在 区 间-：可上单调递增.4 4试卷第2页，共8页7 .已知函数x)=4 6 s i nx c os x +W j

3、+3.(1)求 的 单 调 递 增 区 间：(2)若关于x的方程x)=a在0,|上有解，求实数。的取值范围.8 .已知函数/(x)=s i n；x +()x eR).(1)求 的 最 小 正 周 期；(2)求)(X)的单调递增区间;(3)若x w O/,求 x)的值域./y r9.已知函数/(x)=2s i n-c os-2s i n2y(。0)的最小正周期是乃.(1)求/(x)的对称中心和单调递增区间;(2)将/(x)的图象向右平移(个单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到TT STT函数尸g(X)的图象，求若gvxs?,|g (x)-刑2恒成立，求加的取值范围

4、.1 0.已知函数/（工）=2（6 8 0 式一由犬卜由工/?.（1）求函数“力的最小正周期与单调增区间；-1T（2）求函数f（x）在 0,-上的最大值与最小值.11.在AA3C 中，角 A,B,C的对边分别为a,0,c.己知。=有，c=y/2,N B =4 5 .（1）求边8 c 的长；4（2）在边3C上取一点。，使得cosNAOC=（，求sin/BA。的值.12.设函数 x）=msinx+e）,其中,”0,。0,附 ,其图象的两条对称轴间的最短距离是事，若,总 对 x e R 恒成立，且/（-总=-2.（1）求“力 的解析式;（2）在锐角AA8C中，A B,C 是AA8C的三个内角，满 足

5、/佟）=sin（A-8）-疯 os（A-8）,求 吗 的取值范围.I 2 JsinB试卷笫4 页，共 8 页13.已知函数f(x)=26 s i nx c os x-2c os。+1(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)已知AA8C的内角A B,C 的对边分别为a,b,c,其中c =7,若锐角C满足 C)=2,且 必=4 0,求s i nA +s i nB的值.14 .已知 AABC 的内角 A,B,C 的对边分别为“，b,J 且8 =3,s i nA +a s i ne=2/3.(1)求角A；(2)若tz s i n A+c s i n C =6 s i n B,求 AABC 的面积.,

6、=*,c-士-H-c os B -b15 .在AABC中，右-=-c os C 2a+c(1)求角B的大小(2)若匕=J i 1,a+c=4,求AABC的面积.16 .在锐角AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知力+c =2a c os B.(1)证明：A =28;(2)若b=l,求 a的取值范围；(3)若AABC的三边边长为连续的正整数，求AABC的面积.试卷第6页，共8页17.已知函数/(x)=2cos(w+0),(。0,网苫)的部分图像如图所示.(2)xeO,前 时,解 不 等 式/(*)-)f M-f04兀18.1.已知函数/(x)=Zgsinxcosx+sin。x-

7、cos?x.(1)求函数x)的最小正周期及函数/5)的对称轴方程;(2)若a 为锐角，f(a)=B 求a 的值.19 .已知 A B C 中，a s i n A=b s i n B.(1)证明：a=b;(2)若 c=l,a c os A=s i n C,求AA S C 的面积.20.在AABC中，角A,B,C的对边分别为m h,c,设AA8C面积的大小为S,且=(1)求A的值；(2)若AABC的外接圆直径为1,求 的 取 值 范 围.试卷第8页，共8页参考答案1.(1)n【分析】(1)首先利用辅助角公式及二倍角公式化简函数，再根据正弦函数的性质计算可得；(2)首先利用辅助角公式及二倍角公式化简

8、函数，利用函数的定义域求出函数的值域，即可得解.(1)解：函数/)=s i nx b c os x =2s i n(x-5),_.r /、-2 1 c os 2,(x-)所以+=4 s i n2(x-)=4 x-=2-2c os(2x-)故函数的最小正周期T=M =4；2(2)解：由于/(x)=s i nX-Ge o sx ,所以/(x +=s i n(x +/J c os(x +1)=c os x +6 s i nx ,所以 丁 二 f(x)+=(sinx-/3c os x)(c osx+(3s i nx)=s i nx c os x-c os2 x +V J s i n2 x-3s i n

9、x c os x由于x e 0,y ,LL,t C 兀 4 万所以2工+彳 y,所以s i n(2 x +g)一母，故 y s -2,向，当2x+(=,即时，函数y =/(x)/(x+9取得最小值为一2.2.答案第1页，共18页(1)一:+2左),k eZ.6 6 _(2)6【分析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式，将函数转化为 x)=s i n(x-+*,利用正弦函数的性质求解；(2)由f(B)=s i n(B-g)+*=等，得到B=(,再利用余弦定理结合基本不等式求解.(1)解：/(x)=V 3 s i n2-4-s i n y c o s,、1 .(1 c o s x)H s i n x

10、,2 2=si n/(x-7 1-),H-.3 2所以一己+2 AT FW x 工(工+2攵 乃/,2 3 27 T 、冗角 毕 得-H 2 Z 4 4 x W-1-2k/r,k QZ.6 6所以函数/(x)的单调递增区 间 为-+2氏 万,+2 b r,AGZ.6 o(2)因为/(B)=s i n(B-&)+=*，所以 s i n(8-)=0.3所以3 =。.又因为b =y/3 ,所以 3=a2+C1-ac,H P a2+c2=3+ac.f f i 6 Z2 4-c2 lac所以ac W 3,即。2+/K 6.3.(1)T =2兀,/(x)e -1,+1；答案第2页，共18页(2)amin=

11、-.【分析】T T(1)应用三角恒等变换可得，(x)=2sin(x-J)+l,根据正弦型函数的性质求最小正周期、6区间值域.(2)由题设可得A=3,再根据已知条件及余弦定理可得a2=1_3c，应用基本不等式求最值，注意等号成立条件.(1)由题设，/(x)=2(y-sinx-cosx)+l=2sin(x-)+l,.T 2万./=171,1当即X-署 -寻,多 时，有sin(x一刍6【一 1,当,z z o J J 6 2/(X)G-1,73+1.(2)由题设，sin(A-5)=:且0 A r+a)sin(a 一 字)+tan(1-2a)=(-sin a)cos a tan 2a(-sin a)c

12、osa=-；-tan 2asin 6z+cos a答案第4页，共18页-t an a 2 t an a1 +t arra 1 t an a1 4=1 56.(1)/(刈2=铝，最小正周期打【分析】(1)根据三角恒等变换化简函数解析式，进而可得最大值与最小正周期;(2)根据函数的单调区间列不等式即可得解.(1)版、1-c o s 2x 1 ._ V 2 ._ 兀、1加 ：/(x)=-1 s i n 2 x =s i n(2 x-)H ,2 2 2 4 2故/(0 2=年，最小正周期7 =券=万；(2)解：/6+0 =多 山(2 +2a+；在 区 间 局 中 上 单 调 递 增，所以 +2。-1，

13、万+2。-1 1 +2/:z r,+2k7r、k w Z,则 2。一；=2 4 冗(Z w Z),a=+k7r,k e Z ,8T T故正数。的最小值为O7.(1 )-卜k冗,-Fkji k GZ1 2 1 2(2)aw -3,2 网【分析】(1)根据三角恒等变换化简函数解析式，再利用换元法求单调递增区间;J T(2)求函数在0,-上的值域，可得实数。的取值范围.(1)解:/(x)=4 5 s i n x c o s x +j +3 =4 7 3 s i n x c o s x -s i n x +3答案第5页，共18页=26s i n x c o s x-6 s i n 2 x +3 =&s

14、 i n 2 x +3 c o s2x=2退s i n 2 x +1J ,+2kn 2 x +-4-2kn,A:e Z ,2 3 2角 早 得 k7r x +kn、k e Z f即 函 数 尢)的 单 调 递 增 区 间 为 一:十 履,、k e Z；(2)._.71 入 冗 71 4 7 r解：由工 0,即+y,s i n(2 x +/)-,1 ,/(x)=2/3 s i n 2 x +G|-3,j r又方程x)=a在0,-上有解，所以4 3,2遂.8.(1 )4开(2)-y+4 ,1 +4,A reZ(3)(1,1【分析】(1)根据正弦型函数周期的计算公式，即可求得函数的最小正周期；7 T

15、 1 T T 7 T(2)令一三+2k兀&=x+R&T+2 k E k w Z ,即可求得函数的单调递增区间；2 2 3 2(3)由x e(),句，求得彳+彳1，营,结合正弦函数的性质求得其的最值，即可得到函2 3 3 6数的值域.(1)解：由题意，函数/(x)=s i n(；x+g)(x e R),根据正弦型函数周期的计算公式，可得函数/(X)的最小正周期为7 =3 =4%.6 9(2)解：由函数/(x)=s i n ；x +0(X R),答案第6页，共18页n 1 yr T T STT 7T令+2%)工一x +K +2%4,女 GZ,解得一2+4 k/r x +4 k;r,k e Z ,2

16、 2 3 2 3 3所以函数/(x)的 单 调 递 增 区 间 为 *+4版 +45 入Z.(3)解：由函数/(x)=s i n ；x +?(x e R),当X O,;r,可 得:x +g w/，2 3 3 6结合正弦型函数的性质得：当+q=5时，即x=9时，函数”X)取得最大值，最大值为f g)=l；当犬+彳=苧 时，即时，函数f(x)取得最小值，最大值为了()=!，2 3 62所以函数“X)的值域为；/.9.(1)对 称 中 心 为+”,0 ，单调递增区间为-当+5白+公 卜 )6 2 7 12 1 2(2)0 m2【分析】(1)根据二倍角公式以及化一公式可得到函数解析式，再由正弦型函数的

17、性质可得到函数的对称中心和单调区间;(2)通过平移伸缩得到函数解析式为g(x)=2 si n(x-q函数值域为0 4 g(外4 2,|g(x)-m|2 等价于加-2 vg (x)7 7 7+2,tn-22,解不等式即可得到答案.(1)j(x)=2 si n 5 cos(OX rr(,个,2 如)F 7 31 1 2 si n I=si n/x+bCOSGX-2 si n x+y 2 JI 2 4因为最小正周期为心故G=9=2,T 7U/(无)=2 si n(2 x+?),令+?=,解得：工=-乡+竺，/Z),答案第7页，共18页所以对称中心为卜专+与 可，k c Z ,令一 1 +2左 乃 2

18、x+?W +2%4，5冗 7 T角 毕 得：-+Z：7 iWxW +kn(k e Z),12 12所以单调递增区间为：喑+z咤(壮(2)T T将/(x)的图象向右平移!个单位后，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)=2sin卜 f,当工时，O W x-C v X,所以0 4 g(x)4 2,3 6 3 2若lg(x)-力2恒成立，则/n-2g(x)?+2,m-20所以。C，解得：0加210.71 几(1)7 =万，单调增区间一 片+女孙二+左万(kwZ)3 6 /(X)max=l，/(X)min=0【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数解析式，可得函数的最小正周

19、期与的单调区间；(2)利用整体法求函数的最值.(1)解：/(c)=25/3cosx-sinxjsinx=2sinxcosx-2sin2 x=S/3sin2.r+cos2jc-l=2sin(2x+.)-l ,函数的最小正周期T=M =4,令 一%t 2k冗+2k冗,k GZ,T T T T解得-+k7r x,由 此 求 得 的 解 析 式.(2)化简已知条件求得A=2 8,将 吗 表 示 为 关 于 cosB的形式，由此求得当的取值范sinn sinn围.(1)-r r函数f(x)图象的两条对称轴间的最短距离是,所以最小正周期为乃，所以0 =2.因为一烹对x e R 恒成立，且=所以机=2,_

20、2 +*=_ 1+2&乃(Z e Z),又倒/3cos(A-B),2sin(B 一 =sin(A 一 3)-6cos(A-B),即 2sin(8 _ q)=2sinA _jB _?),T T T T则=所以 A=2B.3 3因为AA 8C为锐角三角形，A =2B所以710 2 B -,20 B ,可得工 3 工，COSBG2 6 4兀0 乃，57r/.()k,7C H-,k,7U H-(k e_ 3 6 (2)14【分析】(1)利用三角恒等变换化简,辅助角公式，即可得到答案.答案第10页，共18页(2)第一步代入求解角C,利用余弦定理变形公式求出a+b,再利用正弦定理即可求出答案.(1)化简得

21、：/(x)=2/3sinxcosx-2cos2 x+1 =退 sin2x-l-cos2x+l=2sin,口|/(x)=2sin|所以1+2丘+2k万，解得 oy 2 6 2-+k7rxccos A =9 +c，2 -3 c,/.1 8-C2=9 +C2-3C;即2 c2-3C9 =0,c=3 或 c-(舍去)，S =bcsin A=y/3 ,2 2 4【分析】(1)根据余弦定理得至I j/+c2-从=-a c,再次利用余弦定理得到cos 8 =-，得到答案.2(2)根据余弦定理得到ac=3,再利用面积公式计算得到答案.(1)由余弦定理得2%2=J-，化简得：a2+c2-b2=-ac,a-+b-

22、c 2 +c/.cos B =-g,B e(0,7 t),故8 =手b2=a2+c2-2accosB,故 13 =(a+c)-_2 ac-2 ac-=acs i n B=-.(1)证明见解析 巫【分析】(1)由正弦定理及两角和的正弦公式通过化简即可获得证明；(2)先精确B的范围，再由正弦定理即可求解；(3)分三种情况讨论，再根据A =2 8=s i n A =s i n 2 8=s i n A =2 s i n 8 cos 8 ,转化为边的关系求解即可.(1)答案第12页，共18页因为AA B C 为锐角三角形，所以0A W，-1 A-2 2 2由正弦定理有sin8+sinC=2sinA co

23、s8,又在AA B C 中，所以有A+8+C =乃，所以 sinC=sin(A+3),因此有 sin 8+sin(A+B)=2sin Acos B,化简整理得sin3=sin(A-8),所以5 =A-B,即 A=28.(2)T T 7 T因为为锐角三角形，所以0 2 8 ，即0 5I，又A+B+C=T,得 C =T T 3 B,因此0%-3 3 生，得三出24=2$皿8 8$3=。=2力 8 8,若6=1 时，a-2cos B,又因为,6 4所以a e(正,坏).(3)设AA 8 C 的三边分别为,+l,+2.当 A C 8 时，由 A=2B=sin A=sin 2B=sin A=2sin B

24、cos B,L L ,.(7 7 +(+2)一 A TI,口所以有 +2=2 x-,解得 二4,2x(+1)x(+2)因此三边分别为4,5,6,所以C O SB =9qj n 4 =6 =：42smB 2x4 4所以sinB=五，所以S4.A 8CL 5X6X电 2 4 4当C A 3 时,同理有+1=2陪 篙*，解 得 此 时 不 能 构 成 三 角 形，故不满足题意;当A 8 C 时,同理有 +2=2(+Dxf总淤，化简得-3 =。，此时无整数解，故不满足题意.答案第13页，共18页综上可知：S B C=-.17.冗(1)/(x)=2cos(2x)67词。停 差H詈【分析】(1)结合图象求

25、解即可；由 题 意w制)/(x)-信)贝lj/(x)l或f(x)0,进而即可求解(1)卜。得（/（尤）-l）x）0,由图象可知：3-13兀 兀 3冗1 =-=，4 12 3 4所以丁 =肛/=半=2,又点(,0)在图象上，则0=2cos(与+e),所 以 与+9=+%应%eZ,解得。=二+kjtyk e Z又 哆T T所以9=-J,所以 f (x)=2cos(2 x _.)(2)因为/(x)=2cos(2x_?)所以年卜,/用=。,由上-人口)-啰1）0得（/。）-1）/。）0,答案第14页，共18页解得 f(x)l 或/(x)0,又 XW0,7t,所以E吟M争 第 H詈18.(1)T=7 V

26、 ,对称轴方程为耳工=与+2 次 z(2)a =工或空4 12【分析】(1)利用三角恒等变换公式化简/，变为4 sin 3 x+)的形式，求解最小正周期和对称轴方程；(2)结合第一问的/(冷的解析式和。为锐角的范围，求。的值.(1)/(x)=73 sin 2x-cos 2x=2 sin(2x-令.7 _2万2T T T T令2工 一”=&4+一,k e Z6 2M1,k九 兀，则工=+,k e Z2 3即周期T=，对称轴方程为卜|x=与 +(,A w Z(2),*C C (0,一)2.71 71 5万 2aw(,一)6 6 6*/sin(2 a-I 6.2。-工=工 或 生6 3 3.冗 tv

27、 57r.a =一 或一4 1219.(1)证明见详解I9日 吗 邛答案第15页，共 18页【分析】(1)利用正弦定理即可得证；(2)利用正弦定理求出NC,利用余弦定理求出a Z,利用三角形的面积公式可得解.(I)证明：在三角形 A BC中，根 据 正 弦 定 理 三=上s in A s in B又 va s in A=Z?s in B,a2=b2,即。二人，得证(2)解：由上式可知a =。，Z A =Z B根 据 正 弦 定 理 三s in As in C又c=1/.s in C =s in(乃-2 A)=s in 2A=S i na A.s in A 1/.2 s in Acos A=-,

28、艮.c o s A=a 2aacosA=sinC.1s in C=2故N C =g或NC力6 6根据余弦定理有 a?+-2ab c o s C =2a2-2a2 c o s C =c2=1c o s C=或 c o s C =-22代入上面式子可得/=2 +后 或/=2 6所以当NC =f时，S.HC=-absinC=-a2sinC=-x(2+)x-=-+6 ”阮 2 2 2 2 2 4当 C =-时，S AI I C=1 a b s in C =-a2 s in C =x(2 5/3 )x =-6 M 8 C 2 2 2 2 2 42 0.【分析】答案第16页，共18页(1)利用数量积的运算

29、及三角形面积公式对 古 通.尼=2S 进行化简，即可求出A 的值；(2)利用正弦定理结合已知条件将问题中的边化为角，再根据三角恒等变换及二倍角公式进行化简，最后结合角的范围即可求解.(1)解：由6初 蔽=2S得：码 祠.国 cosA=2 x g 网.同 sinA化简得：/3 cos A=sin A J T当4=万 时，cos A=0,sin A=L 等式不成立所以 8S A w 0,即 tan A=6又 A 0,4)IT所以A(2)解：.ABC的外接圆直径为1,由正弦定理得：b=2rsin B=sin B,c=2rsin C=sin C/?2+c2=sin2 B+sin2 Cl-cos2B l-cos2C=-+-22=1-cos2B+cos|-2B2I 3=1 cos 2B 4-cos cos 2B+sin sin 2521 3 3,i f 1 O R 向 9J2”2 J=l+；sin 1 2 B q)答案第17页，共 18页 sin 2B-)4 12 I 6 J一 讣 3 1 2 2-342+0 2的取值范围为:3 34 5 2 ,答案第1 8页，共1 8页