2023届甘肃省陇南、临夏、甘南三地高三上学期期中联考数学（理）试题（解析版）.pdf

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1、2023届 甘 肃 省 陇 南、临 夏、甘 南 三 地 高 三 上 学 期 期 中 联 考 数 学（理）试 题 一、单 选 题 1.集 合 A=xWN|lx4的 真 子 集 个 数 为（）A.7 B.8C.15 D.16【答 案】C【详 解】A=0,2,3中 有 4 个 元 素，则 真 子 集 个 数 为 241=15.选 C2.设 直 线/的 方 向 向 量 是,平 面 a 的 法 向 量 是 九 则“2,小 是/a”的（）A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【答 案】B【解 析】根 据 线 面 平 行

2、 的 位 置 关 系 及 直 线 的 方 向 向 量、平 面 的 法 向 量 定 义 再 结 合 充 分 必 要 条 件 的 定 义 判 断 即 可.【详 解】由/a,得:则“2_1五”是“/a”的 必 要 条 件,而 _L5不 一 定 有/a,也 可 能/u a,贝 不 是“/a”的 充 分 条 件.故 选：B.3.命 题“VxeR,凶 x+1#0”的 否 定 是 A.玉 eR,|x|-x+l*0 B.VxeR,凶 一%+1=0C.HxeR,N x+l=0 D.VxgR,|x|-x+l*0【答 案】C【解 析】全 称 命 题 的 否 定 是 特 称 命 题，进 而 得 到 答 案【详 解】由

3、 题,“也 乩 国 一 尢+1X（）”的 否 定 是 小 1i,凶 一 X+1=（）,故 选:C【点 睛】本 题 考 查 全 称 命 题 的 否 定，属 于 基 础 题 4.函 数 y=1yjx2-4的 定 义 域 为（)A.(-,2)B.(2,+()C.（o o,-+8）D.2）VJ（2,+0,即 可 求 得 定 义 域.【详 解】依 题 意，丁-4 0,解 得 x2,函 数 的 定 义 域 为（e,-2）u（2,+8）.故 选：D.5.在 等 差 数 列。中，若 S”为 其 前 项 和，4=5,则 S”的 值 是（）A.60 B.11 C.50 D.55【答 案】D【解 析】根 据 题 中

4、 条 件，由 等 差 数 列 的 性 质，以 及 等 差 数 列 的 求 和 公 式，即 可 求 出 结 果.【详 解】因 为 在 等 差 数 列%中，若 S为 其 前”项 和，4=5,所 以 S”=（%；）=114=55.故 选：D.6.点 P（4,-2）与 圆/+丁=4 上 任 意 一 点 连 线 的 中 点 的 轨 迹 方 程 是（）A.(x-2)2+(y+l)2=l B.*2)2+(,+1)2=4C.(x+2)2+(y-l)2=1 D.(x+4)2+(y-l)2=4【答 案】A【分 析】设 圆 上 任 意 一 点 为（与 x）,中 点 为（x，y）,由 中 点 坐 标 公 式 可 求

5、得 x1 2=2yx-+4 2,代,入 圆 的 方 程 即 可 求 得 轨 迹 方 程.【详 解】设 圆 上 任 意 一 点 为（修 X）,中 点 为（X，）0则 X+4x=-。，可 得）一 2芭=2x-4乂=2y+2.代 入 f+/=4 得(2x-4)2+(2y+2=4,化 简 得(x-2)2+(y+l)2=l.故 选：A.7.已 知 A B C 的 三 个 顶 点 坐 标 分 别 为 4（2,6）、8（4,3）、C（2,3）,则 点 A 到 8 c 边 的 距 离 为（）A9 R 972-2 石 0 4 6A.-B.-C,-D.4、/32 2 5”【答 案】B【详 解】B C边 所 在 直

6、 线 的 方 程 为 与。=岩，即 x+y+l=0；则 J x l+襄 1+:=乎.3 3 2+4。2 28.已 知，过 4(1,1)、8(1,-3)两 点 的 直 线 与 过 C(一 3,?)、。(,2)两 点 的 直 线 互 相 垂 直，则 点(加，)有()A.1个 B.2 个 C.3 个 D.无 数 个【答 案】D2 in【详 解】由 条 件 知 过 A(l,l),8(1,3)两 点 的 直 线 的 斜 率 不 存 在，而 AB_LC,.kC=0,即-n+3=0,得 m=2,畤 一 3、.点(加，)有 无 数 个.9.直 线(a-l)x(2a l)y+l=0恒 过 一 定 点，则 此 定

7、 点 为()A.(-2,1)B,(0,1)C.(1,2)D.(2,1)【答 案】D【解 析】法 一：利 用 分 离 参 数 法；法 二：令 参 数。=1,得 到 一 条 直 线，令。=0,得 到 另 一 条 直 线，解 出 两 条 直 线 的 交 点，再 代 入 原 方 程 验 证 即 可.【详 解】解：法 一：直 线 可 变 形 为：(x-2 y)-(x-y-l)=0,若 该 方 程 对 任 意“都 成 立，x=2,直 线 恒 过 点(2,1),y=i故 选：D.法 二:在 方 程(a-l)x-(2-l)y+l=0 中，令。=1 得:-y+l=0,即 y=l,令 4=0得：-x+y+l=0,

8、将 y=l代 入-x+y+l=0得 x=2,fx=2将 1 代 入(a_ l)%_(2 a_ l)y+l=0,得.(a-D x Z-Q a-D+l=0恒 成 立，1=1直 线 恒 过 点(2,1),故 选：D.10.如 图 所 示，A B C C-A 4 G A是 棱 长 为 6的 正 方 体，E、尸 分 别 是 棱 4 3、B C上 的 动 点，且 隹=8 F.2=。,即 x-y-=0则 当 A、E、F、G 共 面 时，平 面 A Q E与 平 面 F 所 成 锐 二 面 角 的 余 弦 值 为()【答 案】BC.日 D.2瓜【解 析】以 点。为 原 点 建 立 如 图 所 示 的 空 间

9、直 角 坐 标 系，用 空 间 向 量 法 求 二 面 角 的 余 弦.【详 解】以 点。为 原 点 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，则 4(6,0,6)、D(0,0,0),G(0,6,6),A、E、F、C1 共 面,设 平 面 A Q E 的 法 向 量 为 瓦=(不 y,4),瓯=(6,0,6),。左=(6,3,0),n.-DA.-6x.+6z.=0 一 则，取 玉=1,解 得“=(1,-2，1),勺-D E=6%+3%=0设 平 面 尸 的 法 向 量 为 后=(毛，y2,z2),西=(0,6,6),而=(3,6,0),n)DC.=6必+6z0=0 八 一 则，一

10、，取 X,=2,解 得 小=(2,-1,1),n2-D F=3X2+6y2=0设 平 面 D E 与 平 面 C Q F 所 成 锐 二 面 角 为 3,则 cos 3=丽 一 3_ 1V6-V6-2cos(,2平 面 A O E 与 平 面 G D F 所 成 锐 二 面 角 的 余 弦 值 为 故 选：B.11.若 偶 函 数 f(x)在(-8,-1 上 是 增 函 数，则()A.B./-(2)/-|/(-!)C./(2)/(-l)/-|j D.【答 案】B【分 析】根 据/(X)在(8,1 上 是 增 函 数，且 可 得/(2),/(一 2，”T)的 大 小 关 系，再 根 据 偶 函

11、数 的 性 质 可 得 7(2),/卜|，/(T)的 大 小 关 系.【详 解】因 为/(x)在(-8,7 上 是 增 函 数，且 所 以 又 为 偶 函 数，所 以-2)=/(2),故 选：B.12.已 知 尸 是 双 曲 线 C：f-=l的 右 焦 点，P 是 C 上 一 点，且 P尸 与 x 轴 垂 直，点 A 的 坐 标 是(1,33),则 AAP尸 的 面 积 为 A.-B.-3 2C.-D.-3 2【答 案】D【详 解】由。2=/+=4 得。=2,所 以 尸(2,0),将*=2代 入 V-f=1,得 丫=土 3,所 以|尸|=3,1 3又 点 A 的 坐 标 是(1,3),故 A

12、A P F 的 面 积 为、x3x(2-l)=、，选 D.点 睛:本 题 考 查 圆 锥 曲 线 中 双 曲 线 的 简 单 运 算，属 容 易 题.由 双 曲 线 方 程 得 尸(2,0),结 合 P F 与 x 轴 垂 直，可 得|P用=3,最 后 由 点 A 的 坐 标 是(1,3),计 算 转 尸 的 面 积.二、填 空 题 13.已 知 x+D 的 定 义 域 为-2,3),则/(x-2)的 定 义 域 是.【答 案】1,6)【解 析】由 x C 2 3),得 x+lC-l,4),进 而 得 到 内(x)的 定 义 域 为 7,4),由-1夕-2幺，解 出 尤 的 范 围 即 可.【

13、详 解】由 x d-2,3),得 X+1G-1,4),：.y=f(x)的 定 义 域 为：.y=f(.x-2)应 满 足-lS x-2 4,解 得 lx 一|贝 九=【答 案】一 1或 2【分 析】由 题 可 得)，=在(7,0)上 为 减 函 数，由 暴 函 数 的 性 质 即 可 得 解.【详 解】一；-，且 2 3.y=X在(7,0)上 为 减 函 数，又“e-2,-1,0,1,2,3,；.=1 或“=2.故 答 案 为：一 1或 2.【点 睛】本 题 考 查 了 募 函 数 性 质 的 应 用，考 查 了 转 化 化 归 思 想，属 于 基 础 题.1 5.设 S,是 数 列%的 前

14、项 和，若 S=(-l)4,+!，贝”1+62+品=.【解 析】令=1计 算 得 出 4=；,然 后 推 导 出 当 为 偶 数 时，5=0,当 为 奇 数 时，S“=击，利 用 等 比 数 列 的 求 和 公 式 可 求 得 E+S 2+Sg的 值.【详 解】当”=1时，q=S=-q+g,解 得 q=；当 2 2 时，S.=(-1)Z+=(-I)，(S“-S“T)+.当”为 偶 数 时，可 得 5“=S,-S“T+，贝 1 1 2 1当(N3)为 奇 数 时，可 得 5=-5.+5 7+吩，则 S“T=2S 牙=百 一 手=0 U i 1 1 1 1 1 72(45 J 341因 此，SI+

15、52+-+S9=齐+0+彳+0+环+0+呼+0+/=j=W2A1-4341故 答 案 为:1024【点 睛】方 法 点 睛：本 题 考 查 已 知 S“与 的 关 系 求 和，常 用 的 数 列 求 和 方 法 如 下:(1)对 于 等 差 等 比 数 列，利 用 公 式 法 直 接 求 和；(2)对 于。也,型 数 列，其 中%是 等 差 数 列，论,是 等 比 数 列，利 用 错 位 相 减 法 求 和；(3)对 于%+2 型 数 列，利 用 分 组 求 和 法；(4)对 于 一 型 数 列，其 中%是 公 差 为 d(wO)的 等 差 数 列，利 用 裂 项 相 消 法 求 和.416.

16、已 知 直 线/经 过 点 A(0,1)和 点 8(一)，1),直 线 经 过 点 ML1)和 点 M 0，2),若/与&没 有 公 共 点，则 实 数。的 值 为.【答 案】-6【分 析】分 别 根 据 斜 率 公 式 求 出 两 条 直 线 的 斜 率，再 根 据 两 直 线 平 行，斜 率 相 等 即 可 求 出 a 的 值.【详 解】直 线 12经 过 点 M(1,1)和 点 N(0,-2),4直 线 11经 过 点 A(0,-1)和 点 B(-2 l),a2 i a,%、=4=-2a11与 12没 有 公 共 点，则-y=3,解 得 a=-6,故 答 案 为-6.【点 睛】本 题 考

17、 查 了 两 直 线 平 行 的 条 件，斜 率 公 式，属 于 基 础 题.三、解 答 题 17.已 知 函 数/()=丁+2or+3,xe-4,6.当 a=-2时，求 的 最 值；若.“X)在 区 间 T,6上 是 单 调 函 数，求 实 数”的 取 值 范 围.【答 案】x)g=35.(2)(6 U4,-K)【分 析】(1)利 用 二 次 函 数 的 性 质 求.“X)的 最 值 即 可.(2)由 区 间 单 调 性，结 合 二 次 函 数 的 性 质：只 需 保 证 已 知 区 间 在 对 称 轴 的 一 侧，即 可 求。的 取 值 范 围.【详 解】(1)当 下=-2时，/(X)=X

18、，-4 X+3=(X-2)2-1,x)在 T 2 上 单 凋 递 减，在 2,6 上 单 调 递 增，“(%,=2)=-1，/(XL=T)=(Y)2-4 X(T)+3=35.(2)/(x)=x2+2or+3=(x+4)2+3-/,要 使 在 5的 解 集；2(2)若 方 程/(x)-券=0有 三 个 不 同 实 数 根，求 实 数 机 的 取 值 范 围.【答 案】(-1,0 3,”)(-2,-匈 1)(四,2)【分 析】当 x4O时,不 等 式 力 5化 为 x+65；当 x0时,不 等 式 x)5化 为/-2x+25;求 并 集 即 可；-2(2)画 出 y=/(x)的 图 象，方 程“力

19、-m=0 有 三 个 不 同 实 数 根 等 价 于 y=f(x)与=会 有 三 个 不 同 的 交 点，解 不 等 式 即 可 求 解.【详 解】(1)当 xSO时，由 x+65得 x 1,.*.-1 x0时，由 f-2x+25得 x 3,/.x3,综 上 所 述，不 等 式 的 解 集 为(-1叫=(3,的)；(2)方 程/(x)-g=O有 三 个 不 同 实 数 根，等 价 于 函 数 y=.f(x)与 函 数 y=1 的 图 象 有 三 个 不 同 的 交 点，函 数 y=f(x)的 图 象:由 图 可 知：1 胃-2,得：一 2 小/2或 41 m 山 判 定 数 列 为 等 比 数

20、 列，进 而 可 求 出 其 通 项 公 式：(2)由(1),根 据 题 中 条 件，得 到/(/)=-，求 出=一 殁 辿，再 由 裂 项 相 消 的 方 法，即 可 求 出 数 列 的 和.【详 解】(1)当=1时，q=；.当 2 2 时,a“=S,S,T,又 S,=H，.4=T，即 数 列 为 是 首 项 为:，公 比 为;的 等 比 数 列，故 见=最.由 已 知 得 了=嘀 卜 f，=/(i)+/(2)+/()=-1-2-3-=,2019+1-1010,【点 睛】本 题 主 要 考 查 山 递 推 公 式 求 等 比 数 列 的 通 项 公 式，考 查 裂 项 相 消 法 求 数 列

21、 的 和，属 于 常 考 题 型.2 0.如 图 所 示，在 三 棱 柱 ABC-A 8 G 中，底 面“R C为 正 三 角 形，A在 底 面 W C上 的 射 影 是 棱 8 c的 中 点。，OE_LA4,于 E点.（1）证 明 O E L平 面 BBGC；（2）若 例=百 求 AC与 平 面 AAAB所 成 角 的 正 弦 值.【答 案】（1）证 明 见 解 析；（2）士.【解 析】（1）连 接 A。，可 得 A O 1 B C,利 用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 得 3 c l 平 面 A O A,进 而 可 得 B C Y E O,再 证 出 由 线 面 垂 直 的 判

22、定 定 理 即 可 证 明.（2）以 OA、OB、。4 为 坐 标 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，求 出 平 面 的 一 个 法 向 量，根 据 sin=g s G，|,利 用 空 间 向 量 的 数 量 积 即 可 求 解.【详 解】（1）证 明：连 接 AO,；18c为 正 三 角 形，。为 3 c 中 点，A 0 1 6 C,/A,0 1 BC,A,OnAO=O,.S C I平 面 AOA,A BC Y E O,又 OE_LA4,，AA 用 8,/.OEA.B.B,又 B、BC BC=B,：.06_1_平 面 8 8 6（7；(2)解：由(1)可 知，A.O 1BC,A0 1

23、OA,O ABC,故 分 别 以 OA、0 B、。4 为 坐 标 轴 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系,设 AB=2,则 偿=2 6，0A=退，0A,=3,A(石,0,0),贝 l j 4启=(-E 1,0),例=(一 百,0,3),AC=(-j 3,-1,0),设 平 面 的 法 向 量 为=(x,y,z),n-A8=0 f-/3x+y=0则 一 即 厂,，=0-V3x+3z=0设 x=V L 则 了=3、z=l,则 5=(6 3,1),设 A C与 平 面 田 所 成 角 为 6,则 sin 0=|cos|=|(63,1)-1,0)=女 叵，V13 x2 13A C与

24、 平 面 4 4用 8 所 成 角 的 正 弦 值 为 主 叵.13【点 睛】思 路 点 睛：解 决 线 面 角 相 关 问 题 通 常 用 向 量 法，具 体 步 骤 为：(1)建 坐 标 系，建 立 坐 标 系 的 原 则 是 尽 可 能 的 使 得 已 知 点 在 坐 标 轴 上 或 在 坐 标 平 面 内;(2)根 据 题 意 写 出 点 的 坐 标 以 及 向 量 的 坐 标，注 意 坐 标 不 能 出 错.(3)利 用 数 量 积 验 证 垂 直 或 求 平 面 的 法 向 量.(4)利 用 法 向 量 求 距 离、线 面 角 或 二 面 角.2 1.已 知 直 线 1经 过 直

25、线 2 x+y 5=0 与 X2 y=0的 交 点.点 A(5,0)到 1的 距 离 为 3,求 1的 方 程;求 点 A(5,0)到 1的 距 离 的 最 大 值.【答 案】(1)x=2,4 x-3 y-5=0 回【详 解】解：(1)经 过 两 已 知 直 线 交 点 的 直 线 系 方 程 为(2 x+y 5)+M x-2 y)=0,即(2+入)x+(l2Qy5=0.|10+5 2-5|(2+/1)2+(1-2 2)2 T即 2九 25入+2=0,.九=2 或;./.I 的 方 程 为 x=2 或 4 x-3 y-5=0.由 2x4-y-5=0 x-2 y=0解 得 交 点 P（2,l）,

26、如 图，过 P 作 任 一 直 线 1,设 d 为 点 A 至 U 1的 距 离，则 dW|PA|（当 1 1 P A时 等 号 成 立）.dmax=|PA|=/0.2 22 2.已 知 椭 圆 与 椭 圆 N:t+匕=1有 相 同 的 焦 点，且 椭 圆 M 过 点 16 12（1）求 椭 圆 M 的 标 准 方 程;（2）设 椭 圆 M 的 焦 点 为 不 g,点 P在 椭 圆 M 上，且 斗 工 的 面 积 为 1,求 点 尸 的 坐 标.【答 案】（1）+丁=1.（士 孚 扑 孚 J【详 解】试 题 分 析：（1）根 据 题 设 条 件 列 出 关 于 基 本 量 的 方 程 组，解

27、出 a,6,c即 可.（2）中 已 知 焦 点 三 角 形 的 面 积，但 其 底 边 耳 6 已 知，故 P 的 纵 坐 标 可 求，再 利 用 P 在 椭 圆 上 求 出 其 横 坐 标 即 可.解 析：2 2a2-b2=4（1）N 的 焦 点 为（2,0）,（2,0）,设 例 方 程 为 三+5=焦 距 为 2,则 1 4，把 a o r d r=1a2 5b21 4 1 4 16a2=b2+4代 入-1，贝 U 有 7+4+=1，整 理 得 5 Z?4 11 Z?2+16=0,故 从=1 或 6=不（舍），/=5,故 椭 圆 方 程 为：+y2=l.（2）耳（一 2,0）,6（2,0）,设。（,几），则 用 面 积 为:x4x|%|=l,则%=土;，而+公=1,所 以 片=?,七=乎，所 以 尸 点 有 4 个，它 们 的 坐 标 分 别 为