届冀教版中考《第讲二次函数的图象与性质》知识梳理_中学教育-中考.pdf

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1、第 12 讲 二次函数的图象与性质 一、知识清单梳理 知识点一：二次函数的概念及解析式 关键点拨与对应举例 1.一 次 函数的定义 形如 yax2bxc(a，b，c 是常数，a0)的函数，叫做二次函数.例：如果函数 y=(a1)x2是二次函数，那么 a 的取值范围是a0.2.解析式（1）三种解析式：一般式：y=ax2+bx+c;顶点式：y=a(x-h)2+k(a0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）;交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中 x1,x2为抛物线与 x 轴交点的横坐标.（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定

2、系数的值，从而求出函数的解析式.若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标 或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与 x轴的两个交点坐标，可设交点式.知识点二：二次函数的图象与性质 3.二次函数的图象和性质 图象 xyy=ax2+bx+c(a 0)O xyy=ax2+bx+c(a 0)O（1）比较二次函数函数值大小的方法：直接代入求值法；性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；图象法：画出草图，描点后比较函数值大小.失分点警示（2）在自变量限定范围求二次函数的最值时，首先考虑对

3、称轴是否在取值范围内，而不能盲目根据公式求解.例：当 0 x5 时，抛物线y=x2+2x+7 的最小值为 7 .开口 向上 向下 对 称轴 x 2ba 顶 点坐标 24,24bacbaa 增 减性 当 x2ba时，y 随 x 的增大而增大；当 x2ba时，y 随 x 的增大而减小.当 x2ba时，y 随 x 的增大而减小；当 x2ba时，y 随 x 的增大而增大.最值 x=2ba，y最小244acba.x=2ba，y最大244acba.3.系数 a、b、c a 决定抛物线的开口方向及开口大小 当 a0 时，抛物线开口向上；当 a0 时，抛物线开口向下.某些特殊形式代数式的符号：ab+c 即为

4、x=1 时，y 的值；4a2b+c 即为 x=2 时，y 的值.2a+b 的符号，需判断对称 轴-b/2a与 1 的大小.若对称轴在直线 x=1 的左边，则-b/2a1，再根据 a 的符号即可得出结果.2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.a、b 决定对称轴（x=-b/2a）的位置 当 a，b 同号，-b/2a 0，对称轴在 y 轴左边；当 b0 时，-b/2a=0，对称轴为 y 轴；当 a，b 异号，-b/2a 0，对称轴在 y 轴右边 c 决定抛物线与y轴的交点的位置 当 c0 时，抛物线与 y 轴的交点在正半轴上；当 c0 时，抛物线经过原点；当 c0 时，抛物线与 y 轴的交点在负

5、半轴上.b24ac 决定抛物线与x 轴的交点个数 b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点;b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点;b24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点 知识点三：二次函数的平移 4.平移与解析式的关系 平移|k|个单位平移|h|个单位向上(k0)或向下(k0)向左(h0)或向右(h0)y=a(xh)2k 的图象y=a(xh)2的图象y=ax2的图象 注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式 失分点警示：抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”,左右平移易弄反.例：将抛物线 y=x2沿 x 轴向右

6、平移 2 个单位后所得抛物线的解析式是 y=（x2）2 知识点四：二次函数与一元二次方程以及不等式 5.二次函数与 一 元 二次方程 二次函数 y=ax2bxc(a0)的图象与 x 轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0 的根.当 b24ac0，两个不相等的实数根；当 b24ac0，两个相等的实数根；当 b24ac0，无实根 例：已经二次函数y=x2-3x+m(m 为常数)的图象与 x 轴的一个交点为（1,0），则关于 x 的一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根为2,1.6.二 次 函数 与 不 等式 抛物线 y=ax2bxc0 在 x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的

7、x 的所有值就是不等式ax2bxc0 的解集；在 x 轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的 x 的值就是不等式 ax2bxc0 的解集.例形如是常数的函数叫做二次函数例如果函数是二次函数那么的取值范围是解析式三种解析式一般式顶点式其中二次函数的顶点坐标是交点式其中为抛物线与轴交点的横坐标待定系数法巧设二次函数的解析式根据已知条件得到关于数值可设一般式若已知顶点坐标或对称轴方程与最值可设顶点式若已知抛物线与轴的两个交点坐标可设交点式知识点二二次函数的图象与性质二次函数的图象和性质图象比较二次函数函数值大小的方法直接代入求值法性质法当自变象法画出草图描点后比较函数值大小失分点警示在自变量限定范围求二次函数的最值时首先考虑对称轴是否在取值范围内而不能盲目根据公式求解例当时抛物线的最小值为开口向上向下对称轴顶点坐标增减性当时随的增大而增大当