2021江苏苏州高三第一学期期中考试 数学试卷及答案.pdf

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1、2 0 2 1-2 0 2 2 学年高三第一学期期中试卷(一)数 学(满分：1 5 0 分 考试时间：1 2 0 分钟)2 0 2 1.II中一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共 4 0 分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.I.已知集合乂=区 一 2 *忘3 ,N=x|/o g 2 x W l,则 MA N=()A.-2,3 B.-2,2 C.(0,2 D.(0,3 2 .若 a 0,b0,则“a b l”是“a+b B C.a W B D.a 0,3 0),直线y=l 与 f(x)的图象在y 轴右侧交点的横坐标依次为a”a 2,，a”a k+i(其中k CN*).若 丝

2、 也 卫=2,贝 U=()a ik-a ik-xA.半 B.2 C.A/2 D.2小8 .设数列“/(GN*),若存在公比为(7的等比数列 品+1 (加),使得从 像 从+1，其中=1,2,，则称数列 a+i 为数列 a,.的”等比分割数列”,则下列说法错误的是()A.数列怜5 ：2,4,8,1 6,3 2 是数列 火：3,7,1 2,2 4 的一个“等比分割数列”1B.若数列”“存在 等比分割数列”仇+1,则 有 0 以 7 诙 和bVbk-1尻 b0的解集是 x|x#d,则。的值可能是（）A.-1 B.3 C.2 D.011.关于函数_/（x）=sin 枕|+|cosx|有下述四个结论，则

3、（）A.r）是偶函数 8.於）的最小值为一1C.4 x）在-2 n,2 町上有4 个零点 D.y（x）在区间（9 ,四）上单调递增12.如图，正方形ABCD与正方形。EFC边长均为1,平面ABC。与平面。EFC互相垂直，P 是 AE上的一个动点，则（）A.C P的最小值为当B.当 P 在直线AE上运动时，三棱锥O 2PF的体积不变C.P D+P F的最小值为-2 一也D.三棱锥ADCE的外接球表面积为3 兀三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.13.已知曲线、=小卜+犬111在 x=l 处的切线方程为y=3x+，则=.14.已知数列 如 是等差数列,0 0,4 3+3 s=0,

4、贝 I使 S0的最大整数n的值为15.某区域规划建设扇形观景水池，同时紧贴水池周边建设一圈人行步道.要求总预算费用24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1 000元（不考虑宽度、厚度等因素），则水池面积的最大值为 平方米.16.已知_/u）是定义在R 上的奇函数，且y u x）=/u）,则_/u）的 最 小 正 周 期 为；若对任意的X”必 0,J ，当为#X2时，都“小 口 一 4 则关于X 的不等式2X-X23 3段）Wsin n x 在区间 一变,弓 上的解集为.（第一个空2 分，第二个空3 分）四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

5、骤.17.（本小题满分10分）2已知向量 a=(2 s i n x,2 s i n(x+1),b=(cosx,(c os x-s i n x),记x)=a-b(_ r W R).(1)求7(x)的表达式；(2)解关于x的不等式：1 8.(本小题满分1 2 分)在下列条件：数 列 斯 的任意相邻两项均不相等，且数列 片一即 为常数列；S=1 (a+n+l)(/i N*)；s=2,S.+I=SI+1(2,“N*)中，任选一个补充在下面横线上，并回答问题.已知数列 如 的前项和为S”0=2,.(1)求数列 斯 的通项公式为和前n项和S,;1 3(2)设公=7 一7 伏G N*),数列 勿 的前项和记

6、为7；,求证：7 j,2K+I41 9.(本小题满分1 2 分)在等腰直角三角形48c中，已知N A C B=9 0,点。，E分别在边A B,B C 上,C O=4.(1)若点。为 AB的中点，(?的面积为4,求证：点 E为 CB的中点；(2)若 8 O=2 A O,求 A B C 的面积.320.(本小题满分12分)如图，在四棱锥以BCD 中，勿_L底面 48CD,AC=2,B C=C D=,ZCAD=30,ZACB=60,M是P 8上一点，且尸B=3 M 8,点N是PC的中点.(1)求证：PCLBD；(2)若二面角尸8 c 4大小为45,求三棱锥C4MN的体积.42 1.（本小题满分1 2

7、 分）已知函数,/（x）=a r（一a l n x（a 0）.（1）求,/U）的单调区间；（2）若/（X）有两个极值点X I，X 2（X l 立，求实数，的取值范围.且不等 尸）X审）+言 恒 成2 2.（本小题满分1 2 分）已知函数,/（x）=l n x x+2 s i n x,，（x）为y（x）的导函数，求证:（l）/（x）在（0,2上存在唯一零点；（2）兀0 有且仅有两个不同的零点.郛邂52021 2022学年高三第一学期期中试卷（一）（苏州）数学参考答案及评分标准l.C 2.B 3.D 4.A 5.B 6.D 7.B 8.C 9.ACD 10.BC 11.ABC 12.BD313.-

8、1 14.10 15.400 16.2-1,001,nA/61 7.解：丁 a=(2sinx,2sin(x+彳),力=(cosx,(cosx-sin x),/.J(x)=a-b=2sin x cos x+2sin(x+)-2(cosx-sinx)(2 分)nJIrJi=sin2x+23 sin(x+彳)cos(%+)=sin 2x+3 cos 2x=2sin(2x+).(5 分)Jl 不等式即为2sin(2x+T)21,JT1令 f=2x+7,则原不等式可化为sin,于是有n 5 n n it 5 冗7+2左 nWfW二-+2%叮，k G Z,即7 2k n 2x+W=-+2k,kGZ,(7

9、分)o o o 5 oJI n也即一行 十女兀或天W彳+左 n,Jtez,(9 分)故所求不等式的解集为卜|一 卡+人冗几，.(10分)1 8.解：若选，数列%一斯 为常数列，则 有 足 一斯=*+1一%+1，所以有(m+i劣)3+|+。1)=0.因为数列 斯 的任意相邻两项均不相等，于是有%+i+=l(N*),所以有&+“一1 =1(九 2 2,e N*),两式相减，得。+1=。-1(九2 2,N ),即有。1=。3，。2=。4，。3=。5，(2 分)又。1=2,在 即+*=1(2 2,N)中，令=1 得2=1,即数列 ,1：2,-1,2,所以an=2,n=2k1,11 n=2k.代N*,氏

10、N*.(4分)也可以写成：由包=卜布 与-h 得。=3|s i n|l(eN*).因为数列 ：2,1,2,1,所以 S 2 k=Z(Z N ),S2k+I=S2A+Q 2 A+l=Z +2(Z N)I 3所以 S=2 5=2 亿左WN*),S产(n=2lc+i,kGN*).又 S=。=2 也适合，r 1十3六一，n=2 k-,%N*,即 S=1(6 分)圣 n=2 k,左 N*.(2)因为数列 “：2,1,2,1,6所以 S 2*=Z(%N*),S 2#+i=S 2 k+a 2&+i=2+2(R N),于是于=)a；2)=2 4 春)(k C N*),(8 分)所以 T,=+岳+儿=4 d-|

11、+|+|+1 出)=1 I(干+壬)4，3即Tn2,CN*)，得如+为+|=1(2 2,N*),当=2 时，。2 +。3=1，又 4 3 =2,得。2=1，又。|=2,即数列 斯：2,1 1 2,-1,下同上述解法.1 9.解：(1)；在等腰直角三角形A 8 C 中，/A C B=9 0 ,。为AB中点，CD=4,，C D=D B=4,NCDB=90 ,C B=4 噌.(2 分)：的面积为 4,，!CD-C E sin ND C E=4,Z D C=4 5 ,即;X 4义C E义当=4,解得C E=2小.又C B=4小,：.E为 CB中点.(4 分)(2)在等腰直角三角形A B C 中，ZAC

12、B=90 ,BD=2AD,：.C D =矗+B D=C B +|BA C B+|(C A -C B)=|C A +|C B .(8 分)；C D=4,将上式两边平方得1 6=3。2+1 CB?,解 得 8 2=?，故;次=卷，7 V D Z 37 2/.Z S A B C 的面积为亍.(1 2 分)2 0.解：(1)在 A B C 中，A C=2,B C=1,Z A C B=6 0 ,由余弦定理，得 4 8=小，所以有N A B C=9 0 ,ZBAC=30 .在z M C Z)中，A C=2,C Q=1,/C 4)=3 0 .由正弦定理得/A Z)C=9 0 ,所以有 4。=小，于是有N B

13、 A O=6 0 .连接BO,则A B。为正三角形，所以N A B L=6 0 .又/B A C=3 0 ,所以 A C _ L 8 D(2 分)因为B 4 _ L 底面A B C,8 O u 平面A B C。，所以以 J _ B D又AC,P A是平面P A C内两相交直线，所以有8 D J _ 平 面 以 C.又 P C u 平 面P A C,所以B D A C.(4 分)7（2）由（1）知/A B C=9 0。，又 山，平面 A 8 C,B C u 平面 A B C。，所以 B 4 _ L 8 C.又以,A8是平面布8内两相交直线，所以8CL平 面%B.因为P B u 平面B 4 B,所

14、以8 C J _ P 3,所以/PB4即为二面角P B C 4 的平面角.（6分）因为二面角P 8 C 4 大小为4 5 ,所以N P 8 4=4 5 .由A3=W ,又 应 _ L 底面A B C。，A B u 平面A 8 C。，所 以 出 _ L A B 知 以=小，P B=#,所以S BC=手 .2 17因为 P B=3 M B,所以 SdPMC=）S&PBC=3 ,因为N为 PC的中点，所以SACMN=3 S MC4.（8分）由VPABC=VAPBCY设 A到平面P 8 C 的距离为，则g x|X y 3 义IX小=1 x|X 乖X IX/?,解得h=*,也就是A 到平面CMN的 距

15、离 为 乎,（10 分）又 SdCMN=所以三棱锥C 4 MN的体积Vcw w v=VAcM N=g 义 义 乎 =*.（12分）21.解：函数 x）=o r 1 一。l n x（0）定义域为（0,+）.（1）因为函数1-a In x,所以/（幻=。+9 一 =一.+1 .因为 0,令了（无）=0,即 O 2 QX+1=0,判别式/=2 4.若/=屋 一 4 a W 0,即 00,即。4 时，设 o x2一仪+1 =0两根为1的，由x i+x 2=l，X IM=：0,知 o r2o x+1=0 有两不等正根汨，必，不妨设0 为12，贝 ljayja1 a+yla2-4 a 门士,十X i =-

16、,x2=-，列表如下：所以加）的增区间为（0,）和（竺 嚓 三，+8）,减区间为（Sg三乙C 444C 4X(0,x i)即（X 1，X2）X2(X2，+0 )f(x)正0负0正於）单调增极大值单调减极小值单调增82a），综上可知：当 04 时，/U）的增区间为（0,纥鸣二）逅 a+N屋4 a,ayla2-4 a a+yla2-4 a,八和（-七-，+8）,减区间为（七一,七一）.（4 分）（2）因为r）有两个极值点即，X 2（x i 0,X 1+X2=1 0,d =24 o,解得a 4.（6分）另一方面，当。4 时，令/（x）=0,即 o r2o r+l=0,此时判别式，=2八乂），X l+

17、X 2=b X|X 2=0,所以方程有两个不等正根X I,X 2,记，一 女 4,X 2=+q 242a 列表如下：由上表可知，此时7 U）有两个极值点X ,X 2（X|4.（7分）由 X l+X 2=l，X 1X 2=（0，得X(0,X i)XUi，X2）X2(X 2，+0)f(x)正0负0正fi.x)单调增极大值单调减极小值单调增/(即)+/(犬 2)1 1/工、即+工2 1 1-5-5 口(尤 1 +垃)-l n(x i 工 2)5 l n m乙-乙 X 1%2 乙X+X2 1 1A 2)=45 )=1 42+o l n 2,.f(x i)+f(M)x 1+x 2,m 1 ,2 1 八A

18、r-5-f i.-5-)+-7 可化为根 4),1 2 a 4 1?1g 3)=五 一 冒=-2 F 0(a 4),g(a)=2 l n a+-T n 2 在(%+8)上单调递增,g()g(4)=0,故 mWO,所以实数根的取值范围是(-8,0 .(12分)22.解：(1)因为於)=x%+2s i n x,定义域为(0,+),所以/(%)=11 +2co s x,/(x)=2s i n x,当x（0,冗）时，5 后心 0,所以广（尤）=一 9 -2s i n x 0,/在 x （0,冗）上单调递减.（2分）9又由/(口)=十-3 0,由零点存在定理知/(x)在(0,n)上存在唯一零点.(4分)

19、1 X(2)先证 In x W x l(x 0),记 g(x)=l n x x+l,g(x)=1 =-,所以当 x e(0,1)时，g(x)0,g(x)单调递增：当 x d(l,+8)时，g(x)0)结论成立.(6 分)Jt 由知F(x)在(0,口)上存在唯一零点，记为如 则 而后(1，n).由/(x)在 x (0,“)上单调递减，知 工(0,羽)时/(x)0,左)单调递增，x e(X o,n)时4x)单调递减.JI Ji n IT JI因为)=l n 不 一 不 +l=l n 石一(不 一1)0(因为 In x W x 1),y(叮)=l n 兀 一 兀 7 2 1 0,所以危)在(不，1)

20、和(1,五)上各有一个零点.故人幻在(0,元)上有两个不同的零点.(8 分)当 2 n 时，s i n x W O,因为 In x W x 1,所以x)=l n x x+2s i n 10；(10 分)当工(2兀，+8州 寸，s i n x W l,In x W x 1,所以x)=l n x x+2s i n x l n x x+1.I 1 x令 x)=l n x x+1,x(2 n ,+),tr-1=0,x (2 n ,+8),所以G)=l n x-x+l 在(2i i ,+8)上单调递减，所以兀r)=l n x x+2s i n x l n x x+l l n 2 n2n +l 0.综上可知Z U)有且仅有两个不同的零点.(12分)10