四川省达州市2022-2023学年高二下学期期末监测数学（理）试题含解析.pdf

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1、达州市达州市 2023 年普通高中二年级春季期末监测年普通高中二年级春季期末监测数学试题（理科）数学试题（理科）注意事项：注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时回答选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效本试卷无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一

2、并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的1.已知集合0,1,2A，120Bx xx，则AB（）A.B.2,1C.2 2,D.2,1,0,1,22.复数2iR,0zb bb，则z z的虚部是（）A.biB.2bC.0D.2b3.某地区高三学生参加体检，现随机抽取了部分学生的身高，得到下列频数分布表：身高范围（单位：cm）145,155155,165165,175175,185185,195学生人数5

3、4040105根据表格，估计该地区高三学生的平均身高是（）A.165B.167C.170D.1734.已知4cos45x，则sin2x（）A.725B.825C.925D.16255.321 2xx的展开式中，3x的系数为（）A.20B.20C.15D.156.某市 2023 年中考体育考试要求考生必须在篮球、足球、排球这三个项目中选择一个项目考试.如果这三个项目该市一初三寝室的四名同学都有人选，则这四名同学所有可能选择的方案为（）A.72B.36C.18D.247.已知1F，2F分别是双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点，直线xc与 C 的一个交点为 P，213PFPF，则

4、C 的离心率为（）A.5B.2C.2D.38.桌上放着 4 张卡片，每张卡片的一面写着一个大写或小写字母，另一面写着一个 0 到 9 的整数数字，小明只能看到卡片的一面下面的 4 张卡片，要判断命题“卡片的一面是大写字母，这张卡片的另一面是奇数”为真，小明至少翻开的卡片是（）A.B.C.D.9.已知ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若4BA AC ，ABC的面积为2 3，则22coscoscoscossincosb cACbcBAaAA（）A.31B.3 1C.4 34D.4 3410.在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，点P满足1CPCDCC ，0,1，0,1

5、在满足条件的P中随机取一点，1B P与AD所成角小于等于4的概率为（）A.12B.3C.23D.411.椭圆222210,0,xyababab任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：2222xyab，这个圆称为椭圆的蒙日圆 在圆222430 xyrr上总存在点 P，使得过点 P 能作椭圆2213yx 的两条相互垂直的切线，则 r 的取值范围是（）A.1,9B.1,9C.3,7D.3,712.设na表示集合1,2,3,n的子集个数，2lognnba，1coskikiibxfxa，其中*Nk.给出下列命题：当1k 时，7,08是函数124fx的一个对称中心；1k 时，函数124fx在,4 4上单调递

6、增；函数 2fx的值域是3 3,8 4；对任意的实数 x，任意的正整数 k，1kfx 恒成立.其中是真命题的为（）A.B.C.D.二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.已知向量a，b满足3,1a，1,bk，aba，则k _14.曲线3ln1yxx在点2,8处的切线方程是_15.某玩具厂计划设计一款玩具，准备将一个棱长为 4 cm 的正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）密封在一个圆柱形容器内，并且这个正四面体在该圆柱形容器内可以任意转动，则该圆柱形容器内壁高的最小值为_cm16.已知1x，2x是函数 2logRmxxfm的两个零点，且

7、1212xxx，记12412xxa，12421xbx，22114xcx，用“”把 a，b，c 连接起来_三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题题为必考题，每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分17.已知等差数列 na前五项和为 15，等比数列 nb的前三项积为 8，且111ab（1）求 na和 nb的通项公式；（2）设nnnca b，求数列 nc的前 n 项和nS18.

8、某地区新高考要求语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.现从该地区已选科的学生中随机选出 200 人，对其选科情况进行统计，选考物理的占60%，选考政治的占75%，物理和政治都选的有 80 人.（1）完成选考物理和政治的人数的22列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为考生选考物理与选考政治有关？选考政治的人数没选考政治的人数合计选考物理的人数没选考物理的人数合计（2）在该地区已选科的考生中随机选出 3 人，这 3 人中物理和政治都选了的考生的人数为 X，视频率为概率，求 X 的分布列和数学期望.附

9、：参考数据和公式：20P Kk0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822n adbcKabcdacbd，其中nabcd .19.已知四棱锥PABCD的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，且3BAD，PAPC，PDAD，E为 PB 中点（1）证明：ACDE；（2）若 PB 与底面 ABCD 所成角的正弦值为22，求二面角PAED的余弦值20.已知抛物线2:20E ypx p上任意一点 M 到焦点 F 的距离比 M 到 y 轴的距离大 1（1）求 E 的标准方程；（2）12llF，12ll，1l

10、交 E 于 A，C 两点，2l交 E 于 B，D 两点求四边形 ABCD 的面积的最小值21.已知函数 2lnRf xxax a，g xxf x（1）求函数 f x的单调区间；（2）若函数 g x存在极大值点0 x，且20eg x，求 a 的取值范围（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程为2234xy，直线 l 过点3,1P且倾斜角为以坐标原点 O 为极点，

11、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）写出直线 l 的参数方程（用 P 点坐标与表示）和曲线 C 的极坐标方程；（2）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求11PAPB的最小值选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲23.已知函数 2121fxxx，函数 f x的最小值为 k（1）求 k 的值；（2）已知 a，b，c 均为正数，且32abck，求222abc的最小值达州市达州市 2023 年普通高中二年级春季期末监测年普通高中二年级春季期末监测数学试题（理科）数学试题（理科）注意事项：注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填

12、写在答题卡上2回答选择题时回答选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效本试卷无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是

13、符合题目要求的1.已知集合0,1,2A，120Bx xx，则AB（）A.B.2,1C.2 2,D.2,1,0,1,2【答案】A【解析】【分析】先求出集合B，再求两集合的交集.【详解】由(1)(2)0 xx，得21x ，所以21Bxx ，因为0,1,2A，所以AB，故选：A2.复数2iR,0zb bb，则z z的虚部是（）A.biB.2bC.0D.2b【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用共轭复数的意义及复数乘法运算求解作答.【详解】复数2iR,0zb bb，则2izb，因此2()(42)i 2iz zbbb，所以z z的虚部是 0.故选：C3.某地区高三学生参加体检，现随机抽取了部分学生

14、的身高，得到下列频数分布表：身高范围（单位：cm）145,155155,165165,175175,185185,195学生人数54040105根据表格，估计该地区高三学生的平均身高是（）A.165B.167C.170D.173【答案】B【解析】【分析】根据给定的频率分布表，求出各分组区间的中间值与对应频率积的和作答.【详解】由数表知，身高在区间155,165,165,175,175,185,185,195145,155,内的频率依次为：0.05,0.4,0.4,0.1,0.05，则150 0.05 160 0.4 170 0.4 180 0.1 190 0.05167x，所以该地区高三学生的

15、平均身高约为167cm.故选：B4.已知4cos45x，则sin2x（）A.725B.825C.925D.1625【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式和二倍角公式结合已知条件可求得结果.【详解】因为4cos45x，所以2ssin2co2xxcos 22xcos24x22cos14x24721525，故选：A5.321 2xx的展开式中，3x的系数为（）A.20B.20C.15D.15【答案】B【解析】【分析】化简后利用二项展开式的通项计算得到答案.【详解】632112xxx，其展开式的通项为：616C1rrrrTx，取3r 得到3x的系数为336C120 故选：B6.某市 2023 年中考体

16、育考试要求考生必须在篮球、足球、排球这三个项目中选择一个项目考试.如果这三个项目该市一初三寝室的四名同学都有人选，则这四名同学所有可能选择的方案为（）A.72B.36C.18D.24【答案】B【解析】【分析】按照 1,1,2 把 4 人分层三组，将分好的三组对应三个项目，由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意：分 2 步进行：四名同学在篮球、足球、排球这三个项目中选择一个项目考试，且每个项目至少有一名同学报名，可以把四名同学分成三组，人数分别为 1,1,2，有24C6种分组方法；将分好的三组对应三个项目，有33A6种对应方法，则四名同学所有可能选择的方案有6 636种.故选：B7.已知1

17、F，2F分别是双曲线2222:10,0 xyCabab的左、右焦点，直线xc与 C 的一个交点为 P，213PFPF，则 C 的离心率为（）A.5B.2C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的定义结合213PFPF可求得,a c关系即可得出答案.【详解】由213PFPF，得点P在双曲线的右支上，则12222PFPFPFa，所以21,3PFa PFa=，在21Rt F PF中，21,3PFa PFa=，故22221212292 2FFPFPFcaaa，所以2ca，即双曲线 C 的离心率为2.故选：C8.桌上放着 4 张卡片，每张卡片的一面写着一个大写或小写字母，另一面写着一个 0 到

18、9 的整数数字，小明只能看到卡片的一面下面的 4 张卡片，要判断命题“卡片的一面是大写字母，这张卡片的另一面是奇数”为真，小明至少翻开的卡片是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题目信息进行合情推理，能求出结果.【详解】的正面是小写字母，无论的背面是奇数还是偶数，都无法判断命题的真假；的正面是大写字母，如果的背面是奇数，则命题是真命题，否则命题是假命题；的正面是 3，如果的背面是小写字母，也无法说明命题是假命题；的正面是 6，若的背面是大写字母，则判断命题为假.综上，要验证命题的真假，至少要翻开的是.故选：C.9.已知ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若4BA A

19、C ，ABC的面积为2 3，则22coscoscoscossincosb cACbcBAaAA（）A.31B.3 1C.4 34D.4 34【答案】D【解析】【分析】根据数量积及面积公式列方程求得3A，利用正弦定理及两角和正弦公式化简式子，代入计算求解即可.【详解】因为4BA AC ，所以cos()4cbA，即cos4bcA，114sinsin2tan2 322cosABCSbcAAAA，所以tan3A，又0,A，所以3A，所以22coscoscoscoscos(coscos)cos(sincossincos)sincossincossinsincosb cACbcBAbcA bCcBbcAB

20、CCBaAAaAAAAAcossin()cossincos44 34sinsincossinsincossincos3122bcABCbcAAbcAAAAAAAAA.故选：D10.在棱长为 1的正方体1111ABCDABC D中，点P满足1CPCDCC ，0,1，0,1在满足条件的P中随机取一点，1B P与AD所成角小于等于4的概率为（）A.12B.3C.23D.4【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，表示出1B P，设1B P与AD所成角为，则11cosB P DAB PDA ，依题意可得2cos12，即可得到2211，再根据几何概型的概率公式计算可得.【详解】如图建立空间直角坐标系

21、，则0,1,0C，10,1,1C，0,0,0D，1,0,0A，11,1,1B，所以0,1,0CD，10,0,1CC ，1,0,0DA ，11,0,1BC ，因为1CPCDCC ，0,1，0,1，所以0,1,00,0,10,CP ，所以 111,0,10,1,1B PBCCP ，设1B P与AD所成角为，则12211cos11B P DAB PDA ，因为1B P与AD所成角小于等于4，则2cos12，即22211211，所以22112，即2211，因为0,1，0,1，目标式子为2211，如下图所示，满足2211的(，)为图中扇形COB中的点，又211 44COBS，1 11OABCS ，所以4

22、COBOABCSPS，即在满足条件的P中随机取一点，1B P与AD所成角小于等于4的概率为4.故选：D11.椭圆222210,0,xyababab任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：2222xyab，这个圆称为椭圆的蒙日圆 在圆222430 xyrr上总存在点 P，使得过点 P 能作椭圆2213yx 的两条相互垂直的切线，则 r 的取值范围是（）A.1,9B.1,9C.3,7D.3,7【答案】D【解析】【分析】根据蒙日圆的定义，将问题转化为两圆有公共点的问题，根据两圆关系即可求解.【详解】由题意可知：与椭圆2213yx 相切的两条互相垂直的直线的交点P的轨迹为圆P：224xy，圆心0,0,2

23、,Pr 由于P在圆222:430Cxyrr，圆心24,3,Crr，故两圆有公共点即可，故两圆的圆心距为22435PC，故25237rrr.故选：D12.设na表示集合1,2,3,n的子集个数，2lognnba，1coskikiibxfxa，其中*Nk.给出下列命题：当1k 时，7,08是函数124fx的一个对称中心；1k 时，函数124fx在,4 4上单调递增；函数 2fx的值域是3 3,8 4；对任意的实数 x，任意的正整数 k，1kfx 恒成立.其中是真命题的为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据子集个数确定数列通项公式，求得 1cos2kkiiixfx，对于根据余弦函数的图

24、象与性质判断即可，对于根据二倍角的余弦公式，结合二次函数的最值判断即可，对于根据余弦函数的有界性及等比数列求和判断即可.【详解】由集合1,2,3,n的子集个数为2n知，2nna，所以2log 2nnbn，1cos2kkiiixfx，所以 11cos2fxx，所以112cos 2424fxx，令242xk，k Z，得3,Z28kxk，当1k 时，函数124fx的对称中心为7,08，故正确；因为44x，所以32444x，令3 2,444zx，则1cos2yz在3,44上不单调，所以函数124fx在,4 4上不单调，故错误；2221111113coscos2cos(2cos1)(cos)242422

25、8fxxxxxx，所以当cos1x 时，2()fx取最大值34，所以当1cos2x 时，2()fx取最小值38，即函数 2fx的值域是3 3,8 4，故正确；111coscos1111222kkkikiikiiiibxixfxa，故正确；综上，真命题为.故选：C【点睛】关键点点睛：第一个关键点要掌握余弦函数的图象与性质及复合函数的值域求解，第二个关键在于利用三角函数的有界性对不等式放缩，再结合等比数列前 n 项和进一步放缩判断.二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13.已知向量a，b满足3,1a，1,bk，aba，则k _【答案】7【

26、解析】【分析】根据题意求得(2,1)abk，结合0aab，列出方程，即可求解.【详解】由向量,a b 满足3,1a，1,bk，可得(2,1)abk，因为aba，可得2 3(1)170abakk ，解得7k.故答案为：7.14.曲线3ln1yxx在点2,8处的切线方程是_【答案】13180 xy【解析】【分析】先求导数，得切线斜率，利用点斜式可得方程.【详解】2131yxx，当2x 时，13y；所以曲线3ln1yxx在点2,8处的切线方程是8132yx，即13180 xy.故答案为：13180 xy.15.某玩具厂计划设计一款玩具，准备将一个棱长为 4 cm 的正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）

27、密封在一个圆柱形容器内，并且这个正四面体在该圆柱形容器内可以任意转动，则该圆柱形容器内壁高的最小值为_cm【答案】2 6【解析】【分析】依题意该正四面体内接于该圆柱的内切球时，圆柱形容器内壁高的最小，则正四面体外接球的直径即为圆柱形容器内壁的高，求出正四面体外接球的半径，即可得解.【详解】依题意该圆柱内放置一个棱长为4cm的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则该正四面体内接于该圆柱的内切球时，圆柱形容器内壁高最小，则正四面体外接球的直径即为圆柱形容器内壁的高，如图正四面体PABC，设点P在面ABC内的射影为H，即PH 面ABC，则球心O在PH上，24 3cos3033AHAB，所以

28、22224 34 6433PHPAAH，设外接圆的半径为R，OPOAR，所以4 63OHPHOPR，在RtOAH中，222OAOHAH，即2224 64 333RR，解得6R，所以该圆柱形容器内壁高的最小值为2 6cm.故答案为：2 616.已知1x，2x是函数 2logRmxxfm的两个零点，且1212xxx，记12412xxa，12421xbx，22114xcx，用“”把 a，b，c 连接起来_【答案】cab【解析】【分析】由 2log0mxxf，得2logmx，令2()logg xx，借助()g x的图象可得12,x x的范围，令211,4xn xk，则2kna，2kbn，2nck，利用

29、由函数2xy 与2yx=在(0,)上的图象得出的结论，以及指数幂运算和函数的单调性可比较大小.【详解】由 2log0mxxf，得2logmx，令222log,01()loglog,1xxg xxx x，作出()g x的图象，直线ym与()g x的图象有两个交点，由图可知1201xx，又212xx，则21212xx，01m，2122loglogxmx，212log0 x x，121x x，令211,4xn xk，则23,45nk，则2kna，2kbn，2nck，作出函数2xy 与2yx=在(0,)上的图象，由图可知，当2x 时，224xx；当4x 时，2216xx；当02x时，22xx；当24x

30、时，22xx；当4x 时，22xx.22nnckk，22nknka，而45k，从而22kk，则22nnkk，即ca；22kknna，22kkbnn，而23n，从而22nn，则22kknn，即ab，综上，cab.故答案为：cab.【点睛】方法点睛：解决函数零点问题的方法：（1）直接解方程法（适用于方程易解的情形）；（2）利用零点存在性定理；（3）图象法：研究函数的图象与 x 轴的交点；转化为两个函数图象的交点问题三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题题为必考题，每个试题考生都必须作答第每个试题

31、考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分17.已知等差数列 na前五项和为 15，等比数列 nb的前三项积为 8，且111ab（1）求 na和 nb的通项公式；（2）设nnnca b，求数列 nc的前 n 项和nS【答案】（1）nan，12nnb（2）(1)21nnSn【解析】【分析】（1）根据数列类型和基本量关系的运算即可求得通项公式；（2）根据错位相减法可求得结果【小问 1 详解】设等差数列 na的公差为d，等比数列 nb的公比为q，等差数列 na前五项和为 15，且11a，5 45 1152d，解得

32、1d，1(1)naandn，等比数列 nb的前三项积为 8，且11b，218qq，2q，1112nnnbbq【小问 2 详解】12nnSccc，即12112 23 22nnSn ，2321 22 23 22nnSn ，2311 21)212222222(11nnnnnnnnSn ，(1)21nnSn.18.某地区新高考要求语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.现从该地区已选科的学生中随机选出 200 人，对其选科情况进行统计，选考物理的占60%，选考政治的占75%，物理和政治都选的有 80 人.（1）完成选考物理和政治

33、的人数的22列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为考生选考物理与选考政治有关？选考政治的人数没选考政治的人数合计选考物理的人数没选考物理的人数合计（2）在该地区已选科的考生中随机选出 3 人，这 3 人中物理和政治都选了的考生的人数为 X，视频率为概率，求 X 的分布列和数学期望.附：参考数据和公式：20P Kk0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822n adbcKabcdacbd，其中nabcd .【答案】（1）列联表见解析，可以（2）分布列见解析，65【解析】【分

34、析】（1）根据题意完成22列联表，再计算出2K与10.828比较即可得出判断；（2）因为任取一人物理和政治都选了的概率25P，且23,5XB，所以根据二项分布的概率计算公式列出分布列计算数学期望即可.【小问 1 详解】根据题意，选考物理的考生有200 0.6120人，选考政治的考生有2000.75150人，22列联表补充完整如下：选考政治的人数没选考政治的人数合计选考物理的人数8040120没选考物理的人数701080合计15050200因为22200(80 1040 70)10011.11110.828150 50 120 809K，所以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，可以认为考生选考物

35、理与选考政治有关.【小问 2 详解】在该地区已选科的考生中随机选出 1 人，则物理和政治都选了的概率8022005P，易知，随机变量X服从二项分布，即23,5XB，所以X可取 0，1，2，3，3227015125P X，121322541C155125P X ，212322362C155125P X ，32835125P X.分布列如下：X0123P2712554125361258125则2754368601231251251251255E X .19.已知四棱锥PABCD的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，且3BAD，PAPC，PDAD，E为 PB 中点（1）证明：ACDE；（2）若 P

36、B 与底面 ABCD 所成角的正弦值为22，求二面角PAED的余弦值【答案】（1）证明见解析（2）17【解析】【分析】（1）连接,AC BD ACBDO，由题意可得ACBD，POAC，所以AC 平面PBD，从而得结论；（2）由条件可证得PD 平面 ABCD，则PBD为 PB 与底面 ABCD 所成角，可得2PDBD，由OEPD得OE 平面 ABCD，以O为坐标原点，以,OA OB OE所在直线分别为,x y z轴，建立空间直角坐标系，求出平面PAE，平面AED的法向量，利用向量夹角公式求解.【小问 1 详解】连接,AC BD ACBDO，因为底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，所以ACBD，

37、且O是AC的中点，因为PAPC，所以POAC，又因为,POBDO PO BD平面PBD，所以AC 平面PBD，因为DE平面PBD，所以ACDE.【小问 2 详解】因为PADPCD，所以PDAPDC，又因为PDAD，所以2PDAPDC，即PDCD，因为,ADCDD AD CD平面 ABCD，所以PD 平面 ABCD，则PBD为 PB 与底面 ABCD 所成角，故2sin2PBD，因为02PBD，所以4PBD，则2PDBD，因为,O E分别是,BD PB的中点，则OEPD，所以OE 平面 ABCD，以O为坐标原点，以,OA OB OE所在直线分别为,x y z轴，建立空间直角坐标系，则(0,1,0

38、),(0,1,2),(3,0,0),(0,0,1)DPAE,(3,0,1),(3,1,2),(0,1,1)AEPADE ,设平面PAE的法向量为111(,)mx y z，由1111130320m AExzm PAxyz ，令11x，则113,3zy，(1,3,3)m，设平面AED的法向量为222(,)nxy z，由2222300n AExzn DEyz ，令21x，则223,3zy，(1,3,3)n，11cos,777m nm nm n ，因为二面角PAED的大小为锐角，故二面角PAED的余弦值为1720.已知抛物线2:20E ypx p上任意一点 M 到焦点 F 的距离比 M 到 y 轴的距

39、离大 1（1）求 E 的标准方程；（2）12llF，12ll，1l交 E 于 A，C 两点，2l交 E 于 B，D 两点求四边形 ABCD 的面积的最小值【答案】（1）24yx（2）32【解析】【分析】（1）由题意，根据抛物线的定义可知12p，从而可得抛物线 E 的标准方程；（2）设出12,l l的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及抛物线定义求出|AC，|BD，由1|2ABCDSACBD结合基本不等式求出最小值【小问 1 详解】抛物线2:20E ypx p的焦点,02pF，准线2px 抛物线上任意一点 M 到焦点 F 的距离比 M 到 y 轴的距离大 1根据抛物线的定义可知，12p，2p，

40、抛物线 E 的标准方程为24yx.【小问 2 详解】由题可知12,l l均有斜率且斜率不为零，且过焦点1,0F，设1:1lxky，21:1lxyk，0k，设1122,A xyC xy，由214xkyyx，消x可得2440yky，2244416160kk ，124yyk，21212242xxk yyk，2212|4441ACxxpkk，同理可得21|41BDk，2211|8112ABCDSACBDkk22221128 22328kkkk，当且仅当1k 时取等号，四边形 ABCD 面积的最小值为 3221.已知函数 2lnRf xxax a，g xxf x（1）求函数 f x的单调区间；（2）若函

41、数 g x存在极大值点0 x，且20eg x，求 a 的取值范围【答案】（1）答案见解析（2）230,e【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求导函数，转化为导函数有零点问题，构造函数1 ln(),(0)xh xxx，数形结合得(0,1)a，且a0001 ln,1xxx，又20eg x，所以220000002lnlnexxaxxxx，设()ln(1)xxxx x，由函数()x的单调性可得20ex，进而可得实数a的取值范围【小问 1 详解】()2ln()f xxax aR，()f x的定义域是(0,)，2()fxax，当0a 时，()0,()fxf

42、 x在(0,)递增，当0a 时，令()0fx，解得：2xa，当20 xa时，()0,()fxf x递增；当2xa时，()0,()fxf x递减，综上：当0a 时，()f x在(0,)递增；当0a 时，()f x在20,a递增，在2,a递减.【小问 2 详解】因为 22 ln(0),xxg xxaxf xx，所以()2 1lng xxax1 ln2xxax，若函数 22 lnxxxxga存在极大值点0 x，则()g x有零点0 x，且零点0 x左侧导数大于 0，右侧导数小于 0令()0g x得1 ln,(0)xaxx，记1 ln(),(0)xh xxx，则2ln()xh xx，令()0h x，解

43、得01x，即()h x在(0,1)上单调递增，令()0h x，解得1x，即()h x在(1,)上单调递减，则max()(1)1h xh，且10eh，10ex时10eh，1ex 时10eh，作出()h x的图象如图所示，则(0,1)a，且a0001 ln,1xxx又20eg x，所以220000002lnlnexxaxxxx，设()ln(1)xxxx x，则()ln0 xx，所以函数l(n)xxxx在(1,)上单调递增，而2222000lnee lneexxx，即20ex，所以20ex，所以202201 ln1 lne3eexax，所以0a23e，即实数a的取值范围为230,e【点睛】方法点睛：

44、利用导数解决函数零点问题的方法（1）直接法，先对函数求导，根据导数的符号求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了化归与转化思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造函数法，将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法，将问题等价转化为直线与函数图象的交点问题（二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程22.在平面直

45、角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程为2234xy，直线 l 过点3,1P且倾斜角为以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系（1）写出直线 l 的参数方程（用 P 点坐标与表示）和曲线 C 的极坐标方程；（2）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求11PAPB的最小值【答案】（1）3cos1sinxtyt（t为参数），26 cos50；（2）2 33.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出直线 l 的参数方程，再用极坐标与直角坐标互化公式求出曲线 C 的极坐标方程.（2）把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，利用参数的几何意义求解作答.【小问 1 详解】

46、因为直线 l 过点3,1P且倾斜角为，则直线 l 的参数方程为3cos1sinxtyt（t为参数），把cos,sinxy代入方程2234xy得：26 cos50，所以曲线 C 的极坐标方程是26 cos50.【小问 2 详解】由（1）知，把直线 l 的参数方程3cos1sinxtyt 代入方程2234xy得：22 sin30tt，设点,A B所对参数分别为12,t t，则121 22sin,3ttt t ，因此21212121 2121 2|111111|()4|33ttttttt tPAPBttt t212 34sin1233，当且仅当0时取等号，所以11PAPB的最小值为2 33.选修选修

47、 4-5：不等式选讲：不等式选讲23.已知函数 2121fxxx，函数 f x的最小值为 k（1）求 k 的值；（2）已知 a，b，c 均为正数，且32abck，求222abc的最小值【答案】（1）3；（2）914.【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式求解作答.（2）由（1）的结论，利用柯西不等式求解作答.【小问 1 详解】依题意，2221|(22)(21)|3f xxxxx，当且仅当(22)(21)0 xx，即112x时取等号，所以 k 的值为 3.【小问 2 详解】由（1）知，323abc，而,a b c均为正数，所以2222222222119(321)()(32)141414abcabcabc，当且仅当321abc时取等号，由321323abcabc解得933,14714abc，所以当933,14714abc时，222abc取得最小值914.