大一经典高数复习资料全面复习.pdf-得力文库

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1、高等数学（本科少学时类型）第一章函数与极限第一节函数。函数基础（高中函数部分相关知识）（）。邻域（去心邻域）（）第二节数列的极限 O 数列极限的证明（）【题型示例】已知数列%,证明【证明示例】-N 语言 1.由卜,一 H 化简得 g（）,N=g 2.即对 V o,M=g,当 N时，始终有不等式氏-4 成立，limx=4X T 8第三节函数的极限 O x f X。时函数极限的证明（）【题型示例】已知函数/（X）,证

3、）无穷小 o lim/（X）=0函数无穷大 o limf x）=co。无穷小与无穷大的相关定理与推论（）（定理三）假设/（x）为有界函数，g（x）为无穷小，则=0（定理四）在自变量的某个变化过程中，若/（x）为无穷大，则尸（x）为无穷小；反之，若/（x）为无穷小，且/（上 0,则尸（x）为无穷大【题型示例】计算：lim/（x）.g（x）（或 X-8）1.V|/（x）|A f 二函数|/（x）|在 x=x 0 的任一去心邻域看仁仆）内是有界的；

4、.函数在 x e。上有界；）2.lim g（x）=0 即函数 g（x）是 x f X。时的无穷小；（lim g（x）=0 即函数 g（x）是 x f 8 时的 X-OD无穷小；）3.由定理可知 lim=0（照卜工卜。）第五节极限运算法则。极限的四则运算法则（）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式 p（x）、q（x）商式的极限运算设：px=aQxni+a,”q(x)=bQxn 4-+o o n in（特别地，当 1加胆=9（不定型）Xf%g（x）0时，通常

5、分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值 lim二 E1 3 X2-9【求解示例】解：因为 X f 3,从而可得 x*3,所以原式 x-3.x-3.1lim.=lim-=lim-=x3 X2-9 X T 3(x+3)(%-3)X T 3%+3其中 x=3为函数/（x）=g q 的可去间断点满若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：0,物.x-3 0（x-3 1 1解：lim-=lim-=lim

6、=X T 3 x-9 1 3 卜 2 9,x-3 2X 6O 连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（）（定理五）若函数/（X）是定义域上的连续函数，那么，5/e(x)=/lim夕【题型示例】求值：limX T 3x-3X2-9【求解示例】第六节极限存在准则及两个重要极限 O 夹迫准则（P53）（）第一个重要极限：=lX16*/Vx e,sinx x 0）【题型示例】求值：lim信色广 X-8 2x 4-1 J【求解示例】第七节无穷小量的阶（

7、无穷小的比较）C）等价无穷小（）1.。sin U tan U arcsin U arctan U ln（l+U）（e J）1,2,-U2-1-c o s U2（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：地乂目也应 x-0 X+3x【求解示例】第八节函数的连续性 O 函数连续的定义（）O 间断点的分类（P67）（）第一类间断点（左右极限存在）跳譬吃（黛）可去间断点（相等）第二类间断点无穷间断点（极限为 8）（特别地，可去间断点能在分式

8、中约去相应公因式）【题型示例】设函数/（x）=f 2，”0该怎样选择数 4,使得/（X）成为在&上的连续函数？【求解示例】/(-)=/=3=eL V-/(0+)=a+0+=a/(O)=a2.由连续函数定义 lim/(x)=lim/(x)=/(0)=eX T(r X-0+Q=e第九节闭区间上连续函数的性质。零点定理()【题型示例】证明：方程/(x)=g(x)+C 至少有一个根介于 a 与 b 之间【证明示例】1.(建立辅助函数)函数夕(x)=/(x)

9、-g(x)C 在闭区间 a,4 上连续;2.,.,/(a).尹伍)0(端点异号)3.由零点定理，在开区间(a,b)内至少有一点却使得 9怎)=0，即/()-g()-C=O(01)4.这等式说明方程/(x)=g(x)+C 在开区间(a,b)内至少有一个根 J第二章导数与微分第一节导数概念。高等数学中导数的定义及几何意义(P83)()【题型示例】已知函数/(x)=F+i,x-在 x=0处可导，求 a,h【求解示例】(O)=T=l,(0 X。+。

10、+1=2/；(0)=a/0，)=b/(0)=e+l=22.由函数可导定义 N(O)=(O)=a=l，(0-)=/(0+)=0)=6=2 a=1,6=2【题型示例】求 y=/(x)在 x=a 处的切线与法线方程(或：过丁=/(x)图像上点 d/处的切线与法线方程)【求解示例】1.y=/(x)，2.切线方程:法线方程:I=一奇 x-a)第二节函数的和(差)、积与商的求导法则。函数和(差)、积与商的求导法则()1.线性组合(定理一)：(au 0v)=au+夕 M特别

11、地，当 a=l时，有(uv)r=urvr2.函数积的求导法则(定理二)：(uv)r=u,v+uv,3.函数商的求导法则(定理三)：u v-u v V2第三节反函数和复合函数的求导法则 O 反函数的求导法则()【题型示例】求函数,尸(X)的导数【求解示例】由题可得/I)为直接函数，其在定于域。上单调、可导，且/(X)H O;广(切=木 O 复合函数的求导法则()题型示例】设 y=Ink 由 G7+&+/y【求解示例】第四节高阶导数

12、 O/W(x)=(x)(或，求 dx加(I)()【题型示例】求函数 y=ln(l+x)的阶导数【求解示例】/=(1+%)-1,l+x、7(-1).(1+X)L第五节隐函数及参数方程型函数的导数O 隐函数的求导（等式两边对 X 求导）（）【题型示例】试求：方程 y=x+e”所给定的曲线 C：=）在点（1-自 1）的切线方程与法线方程【求解示例】由=x+e两边对 x 求导 f即 _/=+）化简得 y=1+ey-y,1 1 y=-r=-1-e 1-e,切线方程：y

13、1-（%1+e）-e法线方程：y-1=-（1-e x-1+e）O 参数方程型函数的求导 Jx=Q(f).d-y【题型示例】设参数方程 b=dx2dydx【求解示例】1.虫=zl)2 d 2 y-_dx(p(t)dx2(p(t)第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节函数的微分 O 基本初等函数微分公式与微分运算法则（）第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理 O 引理（费马引理）（）。罗尔定理（）【题型示

14、例】现假设函数/（X）在 0,村上连续，在（0,乃）上可导，试证明：*0,万）,使得./cos J+/偌）sin。=0 成立【证明示例】1.（建立辅助函数）令 e（x）=/（x）sinx显然函数 8（x）在闭区间 0,句上连续，在开区间（0,万）上可导；2.X(0)=/(0)sin0=0即夕(o)=.(4)=03.由罗尔定理知遮 0,不)，使得/cosj+/(g)sing=0 成立 O 拉格朗日中值定理（）【题型示例】证明不等式：当 x l 时，ex e-x【证明示例】1

15、.（建立辅助函数）令函数/卜）=，则对 V x l,显然函数/（x）在闭区间 1,可上连续，在开区间（l,x）上可导，并且/（x）=e*；2.由拉格朗日中值定理可得，3（x-l）e=e-x-e,化简得 e*e.x,即证得：当 xl时，ex e-x【题型示例】证明不等式：当 x 0 时，ln（l+x）0,函数/（x）在闭区间 0,可上连续，在开区间（0,不）上可导，并且 x）=占；2.由拉格朗日中值定理可得，3e0,x使得等式 ln（l+x）_ln（l+0）

16、=（x_0）成立，化简得皿 1+4=一又一 J w0,x，./簿）=_1-i,1+4ln（l+x）l时，e、e-x第二节罗比达法则。运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（）1.*等价无穷小的替换（以简化运算）2.判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件A.属于两大基本不定型（9,2）且满 0 00足条件，则进行运算：XH g（x）f g，（x）（再进行 1、2 步骤，反复直到结果得出

17、）B.不属于两大基本不定型（转化为基本不定型）0 8 型（转乘为除，构造分式）【题型示例】求值：limx-InxX f 0【求解示例】（一般地，limx=0,其中 a,夕 wT?）x-0 7 8-8 型（通分构造分式，观察分母）【题型示例】求值：lim j-g o 0（2 X T O 2 X X-0（2 X）*T O 0型（对数求极限法）【题型示例】求值：limx”1 0【求解示例】解：设 y=/，两边取对数得：lny=lnx=x ln x=x对对数取 x f 0时

18、的极限：lim（In y）=lim 12=ljmX T O/X T O 1 U X T O Z J V=lim x；=-lim x=O,从而有 lim y=lim e=.Y-0 1 x-0 x-0 X T Oy厂型（对数求极限法）1【题型示例】求值：lim（cosx+sinx）；x-0【求解示例】o o。型（对数求极限法）/x tan.r【题型示例】求值：limeXf。x J【求解示例】O运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（）通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换）取

19、倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式）取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节泰勒中值定理（不作要求）第四节函数的单调性和曲线的凹凸性。连续函数单调性（单调区间）（）【题型示例】试确定函数/（X）=2X3-9 X2+12X-3 的单调区间【求解示例】1.函数 x）在其定义域 R上连续，且可导 f（x）=6x2-18x+122.令/=6（x-l）（x-2）=0,解得:X j=23.(三行表)极大值

20、极小值 4.函数“X）的单调递增区间为(-0 0,1,2,+0 0)；单调递减区间为(1,2)【题型示例】证明：当 x 0时，e*x+I【证明示例】1.(构建辅助函数)设 e(x)=e-x-l,(x 0)2.d(x)=e*-1 0,(x 0)9(x)*(0)=03.既证：当 x 0 时，ex x+1【题型示例】证明：当 x 0时，ln(l+x)0)2.(x)=5 1 0)，1+x/(x)e(0)=03.既证：当 x 0 时，ln(l+x)xO 连续函数凹凸性()【题型示例】试讨论函数丁=1+3，_

21、/的单调性、极值、凹凸性及拐点【证明示例】Jy，=-3x2+6x=-3x(x-2)=-6x+6=-6(x-l)/=-3x(x-2)=02.令；/解得：y=-6(x-l)=0%1 0,%2=2 X=13.(四行表)/4.函数歹=1+3/_ 3单调递增区间为(0,1),(1,2)单调递增区间为(-oo,0),(2,+oo)；函数 y=1+3-/的极小值在 x=0 时取到,为 0)=1，极大值在 x=2 时取到，为/(2)=5；函数丁=1+3 1-在区间(-00,0),(0,1)上凹，在区间(1,2),(

22、2,+8)上凸；函数 y=1+3/-的拐点坐标为(1,3)第五节函数的极值和最大、最小值 O 函数的极值与最值的关系()设函数/(x)的定义域为 0,如果的某个邻域。(%)u。，使得对 VxGf7(xw),都适合不等式/(x)/(%,)，我们则称函数/(X)在点%/(/)处有极小值/(乙)；令 Xm e x,“I,X,2，X,3，Xmn 则函数 x)在闭区间 a,b 上的最小值加满足：加=01吊/(4),Xw2?Xw3,.,Xw/p f(h)【题型示

23、例】求函数力=3-3在卜 1,3 上的最值【求解示例】1.函数/(x)在其定义域-1,3 上连续，且可导/,(X)=-3X2+32.令/x)=3(x l)(x+l)=0,解得：Xt=-,x2=13.(三行表)极小值极大值 4.又/(-1)=_2,1)=2J(3)=78/Wmax=/(0=V(x)min=/(3)=-18第六节函数图形的描绘(不作要求)第七节曲率(不作要求)第八节方程的近似解(不作要求)第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质。原

24、函数与不定积分的概念()原函数的概念：假设在定义区间/上，可导函数歹(x)的导函数为尸(x),即当自变量 x e/时，有 F(x)=/(x)或（x）=/（%）dx成立，则称尸（x）为/（，）的一个原函数原函数存在定理：（）如果函数/（X）在定义区间/上连续，则在/上必存在可导函数尸（X）使得 F（x）=/（x）,也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续）不定积分的概念（）在定义区间/上，函数/（X）的

25、带有任意常数项 C 的原函数称为/（x）在定义区间/上的不定积分，即表示为：j/（x）c/x=77（x）+C（J 称为积分号，/（X）称为被积函数，称为积分表达式，x 则称为积分变量）。基本积分表（）。不定积分的线性性质（分项积分公式）（）第二节换元积分法 O 第一类换元法（凑微分）（）（力=/（x）-dx的逆向应用）【题型示例】求一 rJ a+x【求解示例】解：f 5dx=f rdx=-f rd f-arct-力+（4

26、J【题型示例】求 J V2x+1【求解示例】O 第二类换元法（去根式）（）（力=/（x）dx的正向应用）对于一次根式（a wO,b R）：yfax+b：令 f=Nax+b,于是 t2-b则原式可化为 f 对于根号下平方和的形式（。0）：J q2+：令 x=Q tan t（t 0）：a.J r 一 72:令=osinf（一工 Z）,2 2于是 f=arcsin三，则原式可化为 cos；ab.yjx1-a2：令 x=a sect(0/),于是=arccos,则原式可化为 a tan f；x【题型

27、示例】1y/2,X+1求 J dx（一次根式）【求解示例】解：J 1 dx 羊可，二 0=/dt=t+C=V2r+1+CJ J2x+1 T J t Jdx=tdt【题型示例】求 J“2 7 2 dx（三角换元）【求解示例】.第三节分部积分法 O 分部积分法（）设函数 M=/（X）,U=g（x）具有连续导数，则其分部积分公式可表示为：j udv-uv-vdu 分部积分法函数排序次序：“反、对、幕、三、指”。运用分部积分法计算不定积分的基本步骤：遵照

28、分部积分法函数排序次序对被积函数排序；就近凑微分：（M-（/x=d v）使用分部积分公式：udv=uv-vdu 展开尾项 Jvd”=,判断 a.若 J v z d x是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以轻易求解出结果）；b.若依旧是相当复杂，无法通过 a 中方法求解的不定积分，则重复、（3）,直至出现容易求解的不定积分；若重

29、复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数 C【题型示例】求 2dx【求解示例】【题型示例】求 J e*sin xdx【求解示例】f 1；J ex-sinxdx=ex（sinx-cosx）+C第四节有理函数的不定积分 O 有理函数（）设：P（X）（X）=Q冰+Q,Q（x）=/?0工+.+b 对于有理函数器，当尸（x）的次数小于。（X）的次数时，有理函数羽是真分式；当 P（x）的次数大于 Q（x）的次数时，有理函数型是

30、假分式 Q（x）。有理函数（真分式）不定积分的求解思路（）将有理函数器的分母 0（x）分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式（x-a）*；而另一个多项式可以表示为二次质因式+p%+q），（p?-4 0,则 J 0；（推论一）若函数/（）、函数 g（x）在积分区间 a,可上满足/（x）4 g（x）,则 7（4&瓢（*蛆；（推论二）j/（x）cZx。积分中值定理（不作要求）第二节

31、微积分基本公式 o 牛顿-莱布尼兹公式（）（定理三）若果函数尸（X）是连续函数/（x）在区间。,可上的一个原函数，则 O 变限积分的导数公式（）（上上导一下下导）e-13dt【题型示例】求 limJcsx,-【求解示例】第三节定积分的换元法及分部积分法 O 定积分的换元法（）（第一换元法）【题型示例】求二一 dx【求解示例】解-小=，j-iZ（2x+1）=Ifln|2.J02x+1 2Jo 2x+l 7 2L 1=1ln5-ln

32、l=-（第二换元法）设函数,函数 x=e（f）满足：a.3a,/7,使得 0（a）=a,（夕）=6；b.在区间 a,例或 2,a上，/*（/）/（/）连续则：J：/（x=1/*）X）力【题型示例】求【求解示例】（分部积分法）O 偶倍奇零（）设/（x）eC-a,a,则有以下结论成立:若/（-x）=/（x）,则如此，不定积分公式 f=-arctan+C 也就很容易证明 J a+x a a了，希望大家仔细揣摩，认真理解。最后，限于编者水平的限制，资料中错误和疏漏在所难免，希望同学们积极指出，以便互相学习改进。本文档由编辑工/卜粒=2工/卜世若/（一 X）=一/（），则 J/（X）C&=（）第四节定积分在几何上的温用（暂时不作要求）第五节定积分在物理上的应用（暂时不作要求）第六节反常积分（不作要求）如：不定积分公式 y/x=arctanx+C 的证明。很多同学上课时无法证明，那么在学期结束时，我给出这样一种证明方法以说明问题：

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