大一经典高数复习资料经典(经典全面复习).docx

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1、高等数学本科少学时类型第一章 函数及极限第一节 函数函数根底高中函数局部相关知识邻域去心邻域 第二节 数列的极限数列极限的证明【题型例如】数列，证明【证明例如】语言1由化简得，2即对，当时，始终有不等式成立，第三节 函数的极限时函数极限的证明【题型例如】函数，证明【证明例如】语言1由化简得，2即对，当时，始终有不等式成立，时函数极限的证明【题型例如】函数，证明【证明例如】语言1由化简得，2即对，当时，始终有不等式成立，第四节 无穷小及无穷大无穷小及无穷大的本质函数无穷小函数无穷大无穷小及无穷大的相关定理及推论定理三假设为有界函数，为无穷小，那么定理四在自变量的某个变化过程中，假设 为无穷大，那

2、么为无穷小；反之，假设为无穷小，且，那么为无穷大【题型例如】计算：或1函数在的任一去心邻域内是有界的；，函数在上有界；2即函数是时的无穷小；即函数是时的无穷小；3由定理可知第五节 极限运算法那么极限的四那么运算法那么定理一加减法那么定理二乘除法那么关于多项式、商式的极限运算设：那么有 特别地，当不定型时，通常分子分母约去公因式即约去可去连续点便可求解出极限值，也可以用罗比达法那么求解【题型例如】求值【求解例如】解：因为，从而可得，所以原式其中为函数的可去连续点倘假设运用罗比达法那么求解详见第三章第二节：解：连续函数穿越定理复合函数的极限求解定理五假设函数是定义域上的连续函数，那么，【题型例如】

3、求值：【求解例如】第六节 极限存在准那么及两个重要极限夹迫准那么P53第一个重要极限：，特别地，单调有界收敛准那么P57第二个重要极限：一般地，其中【题型例如】求值：【求解例如】 第七节 无穷小量的阶无穷小的比拟等价无穷小12乘除可替，加减不行【题型例如】求值：【求解例如】第八节 函数的连续性函数连续的定义连续点的分类P67特别地，可去连续点能在分式中约去相应公因式【题型例如】设函数 ，应该怎样选择数，使得成为在上的连续函数？【求解例如】12由连续函数定义第九节 闭区间上连续函数的性质零点定理【题型例如】证明：方程至少有一个根介于及之间【证明例如】1建立辅助函数函数在闭区间上连续；2端点异号3

4、由零点定理，在开区间内至少有一点，使得，即4这等式说明方程在开区间内至少有一个根第二章 导数及微分第一节 导数概念高等数学中导数的定义及几何意义P83【题型例如】函数 ，在处可导，求，【求解例如】1，2由函数可导定义【题型例如】求在处的切线及法线方程或：过图像上点处的切线及法线方程【求解例如】1，2切线方程：法线方程：第二节 函数的和差、积及商的求导法那么函数和差、积及商的求导法那么1线性组合定理一：特别地，当时，有2函数积的求导法那么定理二：3函数商的求导法那么定理三：第三节 反函数和复合函数的求导法那么反函数的求导法那么【题型例如】求函数的导数【求解例如】由题可得为直接函数，其在定于域 上

5、单调、可导，且；复合函数的求导法那么【题型例如】设，求【求解例如】第四节 高阶导数或【题型例如】求函数的阶导数【求解例如】，第五节 隐函数及参数方程型函数的导数隐函数的求导等式两边对求导【题型例如】试求：方程所给定的曲线：在点的切线方程及法线方程【求解例如】由两边对求导即化简得切线方程： 法线方程：参数方程型函数的求导【题型例如】设参数方程，求【求解例如】1.2.第六节 变化率问题举例及相关变化率不作要求第七节 函数的微分根本初等函数微分公式及微分运算法那么第三章 中值定理及导数的应用第一节 中值定理引理费马引理罗尔定理【题型例如】现假设函数在上连续，在 上可导，试证明：，使得成立 【证明例如

6、】1建立辅助函数令显然函数在闭区间上连续，在开区间上可导；2又即3由罗尔定理知，使得成立拉格朗日中值定理【题型例如】证明不等式：当时，【证明例如】1建立辅助函数令函数，那么对，显然函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且；2由拉格朗日中值定理可得，使得等式成立，又，化简得，即证得：当时，【题型例如】证明不等式：当时，【证明例如】1建立辅助函数令函数，那么对，函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且；2由拉格朗日中值定理可得，使得等式成立，化简得，又，即证得：当时，第二节 罗比达法那么运用罗比达法那么进展极限运算的根本步骤1等价无穷小的替换以简化运算2判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达

7、法那么的三个前提条件 A属于两大根本不定型且满足条件， 那么进展运算： 再进展1、2步骤，反复直到结果得出 B不属于两大根本不定型转化为根本不定型型转乘为除，构造分式【题型例如】求值：【求解例如】一般地，其中型通分构造分式，观察分母【题型例如】求值：【求解例如】 型对数求极限法【题型例如】求值：【求解例如】 型对数求极限法【题型例如】求值：【求解例如】 型对数求极限法【题型例如】求值：【求解例如】运用罗比达法那么进展极限运算的根本思路通分获得分式通常伴有等价无穷小的替换取倒数获得分式将乘积形式转化为分式形式取对数获得乘积式通过对数运算将指数提前第三节 泰勒中值定理不作要求第四节 函数的单调性和

8、曲线的凹凸性连续函数单调性单调区间【题型例如】试确定函数的单调区间【求解例如】1函数在其定义域上连续，且可导2令，解得：3三行表极大值极小值4函数的单调递增区间为； 单调递减区间为【题型例如】证明：当时，【证明例如】1构建辅助函数设，2，3既证：当时，【题型例如】证明：当时，【证明例如】1构建辅助函数设，2， 3既证：当时，连续函数凹凸性【题型例如】试讨论函数的单调性、极值、凹凸性及拐点【证明例如】 1 2令解得： 3四行表 4函数单调递增区间为, 单调递增区间为,； 函数的极小值在时取到，为，极大值在时取到，为； 函数在区间,上凹，在区间,上凸； 函数的拐点坐标为第五节 函数的极值和最大、最

9、小值函数的极值及最值的关系设函数的定义域为，如果的某个邻域，使得对，都适合不等式，我们那么称函数在点处有极大值；令那么函数在闭区间上的最大值满足：；设函数的定义域为，如果的某个邻域，使得对，都适合不等式，我们那么称函数在点处有极小值；令那么函数在闭区间上的最小值满足：；【题型例如】求函数在上的最值【求解例如】1函数在其定义域上连续，且可导2令，解得：3三行表极小值极大值4又 第六节 函数图形的描绘不作要求第七节 曲率不作要求第八节 方程的近似解不作要求第四章 不定积分第一节 不定积分的概念及性质原函数及不定积分的概念原函数的概念：假设在定义区间上，可导函数的导函数为，即当自变量时，有或成立，那

10、么称为的一个原函数原函数存在定理：如果函数在定义区间上连续，那么在上必存在可导函数使得，也就是说：连续函数一定存在原函数可导必连续不定积分的概念在定义区间上，函数的带有任意常数项的原函数称为在定义区间上的不定积分，即表示为：称为积分号，称为被积函数，称为积分表达式，那么称为积分变量根本积分表不定积分的线性性质分项积分公式第二节 换元积分法第一类换元法凑微分的逆向应用【题型例如】求【求解例如】【题型例如】求【求解例如】 第二类换元法去根式的正向应用对于一次根式：令，于是，那么原式可化为对于根号下平方和的形式：令，于是，那么原式可化为；对于根号下平方差的形式：a：令，于是，那么原式可化为；b：令，

11、于是，那么原式可化为；【题型例如】求一次根式【求解例如】【题型例如】求三角换元【求解例如】第三节 分部积分法分部积分法设函数，具有连续导数，那么其分部积分公式可表示为：分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指运用分部积分法计算不定积分的根本步骤：遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序；就近凑微分：使用分部积分公式：展开尾项，判断 a假设是容易求解的不定积分，那么直接计算出答案容易表示使用根本积分表、换元法及有理函数积分可以轻易求解出结果； b假设依旧是相当复杂，无法通过a中方法求解的不定积分，那么重复、，直至出现容易求解的不定积分；假设重复过程中出现循环，那么联立方程求解，但是最后要注意

12、添上常数【题型例如】求【求解例如】【题型例如】求【求解例如】第四节 有理函数的不定积分有理函数设：对于有理函数，当的次数小于的次数时，有理函数是真分式；当的次数大于的次数时，有理函数是假分式有理函数真分式不定积分的求解思路将有理函数的分母分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式；而另一个多项式可以表示为二次质因式，；即： 一般地：，那么参数 那么参数那么设有理函数的分拆和式为：其中 参数由待定系数法比拟法求出得到分拆式后分项积分即可求解【题型例如】求构造法【求解例如】第五节 积分表的使用不作要求第五章 定积分极其应用第一节 定积分的概念及性质定积分的定义称为被积函数

13、，称为被积表达式，那么称为积分变量，称为积分下限，称为积分上限，称为积分区间定积分的性质线性性质积分区间的可加性假设函数在积分区间上满足，那么；推论一 假设函数、函数在积分区间上满足，那么；推论二积分中值定理不作要求第二节 微积分根本公式牛顿-莱布尼兹公式定理三假设果函数是连续函数在区间上的一个原函数，那么变限积分的导数公式上上导下下导【题型例如】求【求解例如】第三节 定积分的换元法及分部积分法定积分的换元法第一换元法【题型例如】求【求解例如】 第二换元法设函数，函数满足：a，使得；b在区间或上，连续那么：【题型例如】求【求解例如】分部积分法偶倍奇零设，那么有以下结论成立：假设，那么假设，那么第四节 定积分在几何上的应用暂时不作要求第五节 定积分在物理上的应用暂时不作要求第六节 反常积分不作要求如：不定积分公式的证明。很多同学上课时无法证明，那么在学期完毕时，我给出这样一种证明方法以说明问题：如此，不定积分公式也就很容易证明了，希望大家仔细揣摩，认真理解。最后，限于编者水平的限制，资料中错误和疏漏在所难免，希望同学们积极指出，以便互相学习改良。本文档由编辑