高考数学专题复习《三角恒等变换与解三角形》突破解析.pdf

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1、第3讲 三角恒等变换与解三角形【要点提炼】考点一三角恒等变换i .三角求值“三大类型”“给角求值”“给值求值”“给值求角”.2.三角恒等变换“四大策略”(1)常值代换：常 用 到“1”的代换，l =s i n 2 0+cos 2 0=t a n 45等.项的拆分与角的配凑 如 s i n2 Q +2cos2 a =(s i n2 a +cos2 a )+cos2 a ,Q=(a B)+B 等.(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.(4)弦、切互化.【热点突破】(典例】1(1)(2020 全国 I )已知 a G (0,n ),且 3cos 2 a 8cos a =5,则 s

2、 i n a 等于()V 5 2 1 V 5A.B.-C.-D.3 3 3 9【答案】A【解析】由 3cos 2 a 8cos a =5,得 3(2cos2 a 1)8cos a =5,即 3cos 2 a 4cos a 4=0,2解得 cos a=-H 或 CO S a =2(舍去).又因为a（0,n ）,所以s i n a 0,所以 sin a=y/l c o s 2a=23 已 知 sin aT,s】n()=一 寸a,B均为锐角，则 B等于()57r 71 T CA12 B-3 C q71【答案】Cn 7i【解析】因为a,B均为锐角，所以一/a 0 了A/TO 3A/10又 siM a

3、B)一1,所以 c o s(a B)=B.又 sin a、后所以 cos a所以 sin B=sin a (a B)=sin a cos(a P)cos a sin(a p)_ V 5 3V10 2/5/V 1 0 _ V 2一 义 卜 司 十T C所以，【方法总结】(1)公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况.(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解.【拓展训练】1 已 知 a 。，n p e(o,n tan a c o7s 7278V贝 U ()n TiA.a+B=B.a B2 4n nC-a+D

4、 a+2【答案】Bcos 28 c o s28 s i n 28【解析】t a n Q =-=-1s i n 2/?c o s 20+s in2 2s in p c o s/?圈 cos p+s i n/?回 圈 cos p s i n 0 圈0 c o s 0 s i n 夕 回 2cos p+s i n p 1+tan p 俨 cos p s i n p 1 t an/?1c mi/因为 Q (0,/),B (0,),n n所以。=-+B,即 a B=-4 4l cos 10(2)(t a n 10 -y/3)-=_.s i n 50【答案】-2cos 10 cos 10【解 析】(t a

5、 n 10 0 V 3)*-:-=(t a n 10 t a n 60 0)-=sin 50 sin 50/s i n 10 s i n 60|cos 10 s i 九倒一50 1 3 cos 100 1cos 10 cos 60;5 i n 50 cos 10 cos 60 s in 50 cos 60【要 点 提 炼】考 点 二 正 弦 定 理、余弦定理a b c1.正弦定理 在a A B C 中，=2R(R 为 A B C 的外接圆半径).变形：s in A sin B sin Ca b ca=2R s i n A,b=2R s i n B,c=2R s i n C,s i n A=,s

6、 i n B=,s i n C=,a ：b ：c=s i n A:s i n2R 2R 2RB：s i n C 等.2.余弦定理：在Z k ABC 中,a2=b2+c22b ccos A.b2+c 2 Q2变形：b2+c2a2=2b ccos A,cos A=-.2b c1113.三角形的面积公式：S=-a b s i n C=-a cs i n B=-b cs i n A.【热点突破】考 向 1求解三角形中的角、边as in C【典例】2在4 A B C 中，角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,且7-了=不1cos A(1)求角A 的大小；若 b+c=10,ABC的面积SABC=4 3求

7、 a的值.as in C 厂解(1)由正弦定理及-=3c,1cos Asin A sin C 得FTbSin C.V s i n CH O,.*.s i n A=7 G(1 cos A),/.s i n A+、/3c os A=2s i n(4 4-.s i n 4+g27 1 T C 47r又 0 A n ,A+n 2n nA+-,A A=-3 3 31%/3(2)V S ABC=2c sn A=W b c=4/3,/.b c=16.n由余弦定理，得 a2=b2+c22b ccos -=(b +c)22b cb c=(b +c)23b c,又 b +c=10,A a2=102-3 X 16=

8、52,；.a=27石.考向2求解三角形中的最值与范围问题【典例】3(2020 新高考测评联盟联考)在：a=/八s i n A-a cos C,(2a-b)s i n A+(2b-a)s i n B=2cs i n C 这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.已知A A B C 的角A,B,C 的对边分别为a,b,c,c=&,而且.(1)求角C；(2)求A A B C 周长的最大值.解(1)选：因为 a=、/3c s i n A a c o s C,所以 s i n A=-/3s i n Cs i n A s i n A c o s C,因为 s i n A#0,所以 7 3s i n

9、Cc o s C=l,即 s i n,一浦,7 i T i 5n因为0 C n,所以一TC 一 七?，o o oTI n n所以c 即 C=.6 O D选：因为(2a b)s i n A+(2b a)s i n B=2c s i n C,所以(2a b)a+(2 b a)b=2c2,即 a2+b2 c2=a b,u 2b 2 c 2 1所以 c o s C=-=-,2a b 2n因为0 兀，所以C=.71(2)由(1)可知，C=,在A A B C 中，由余弦定理得a2+b2 2a b c o s C=3,即 a2+b2a b =3,30 Q-6 1 3 2所以(a+b)2-3=3a b c o

10、 s 2B e (0,1),.,.-G(1,3).(3)在A B C中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若 t a n C=y,a=b=Vn,B C边上的中点为D,则 sinN BAC=,AD=.3 13 3、/S【答 案 嗪?12 12 5【解析】因为t a n C=,所以s i n C=,c o s C=,又 a=b=7T5,所以 c 2=a?+b 2-2a b c o s C=13+13 2X-/13XA/13X=1 6,所以 c =4.a4A C s i n C 得:s in A B A C 12133A/13解得 s i n NB A C=.a因为B C边上的中点为D,所以

11、CD=,所以在4A CD 中，A D2=b2+Pct 45 3、/亏|2-2 X b X-X c o s C=,所以 AD=.2 4 2专题训练一、单项选择题1.（2020 全国H I）在A A B C 中,2c o s C=,A C=4,B C=3,则 c o s B 等于（）1112A.7 7 B.-C.-D.9 3 2 3【答案】A2【解析】由余弦定理得 A B 2=A C2+B C22A C B Cc o s C=4?+322X4X3X=9,所以 A B=3,所以c o sAB2+B C2-AC 22AB B C9+9-162 x3 x319,2.（2020 全国H I）已知s 知0+

12、s i n（6 +-j =L则 s i n9+，）等于（1A -B.2V3 r 2V C-3）【答案】B【解析】因为s i n 0+s i n（j+n=s i n 0+6n f n W6 +siV+6+?（n n（n n=s i n 0+c o s -c o s 0+7 s i n :十 0/6 6；6/n n f n ns i n 0+-c o s -Fe o s 9+T s i n -6/6 6/6=2s i n(8+/c o s q=7 3s i n(e +/=1.所以 s i n(8+-j =立sin 2C 7i3-在 A B C 中,内 角 A B.C 的对边分别为a,b,c,且 b

13、 =2,元=1,B=?则a的值为（）A.A/3-1 B.2y/3+2C.2 D.【答案】Ds i n 2C【解析】在A A B C 中内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且 b=2,=1，所以2s i n Ceos2sin2CCn1,所以 t a n C=l,C=-.n 7n因为 B=所以 A=n B C=j,6 12(n n n所以 s i n A =s i n =+=s i n -c o s 4 3/47 i n n、/+、/石-4-c o s -s i n -=-.3 4 3 4a 2由正弦定理可得F-定=-,2.76s.nn4 6则 a=攵+、/6.4.在a A B C 中，角 A

14、,B,C 的对边分别为 a,b,c,a c o s B+b c o s A=2c c o s C,c=%7，且A B C的面积为一，则A A B C 的周长为（）A.1+、C.4+/7B.2+、/7D.5+J【答案】D【解析】在A A B C 中，a c o s B+b c o s A=2c c o s C,贝 I s i n A c o s B+s i n B c o s A=2s i n Ce o s C,即 s i n(A+B)=2s i n Ce o s C,1 7TV s i n(A+B)=s i n CWO,c o s C=,.,.C=,由余弦定理可得，a2+b2-c2=a b,即

15、(a+b M 3a b=c 2=7,1 A/3 3 3X S=a b s i n C=-a b=,/.a b=6,，(a+b)2=7+3a b=25,即 a+b =5,/.A B C 的周长为 a+b +c=5+方.,A/5 35.若 a,B 都是锐角，且 c o s a =-,s i n(a +0)=-,则 c o s B 等于()c.黑 或 D.W 或 唾乙 J J J 乙 J【答案】A7 5 1【解析】因为。，B都是锐角，且 c o s Q=-5,7T 71所以目。2,3 1 3 A/2又 s i n(a +B )=己，而2 不”37 r 57 r所以彳 a+B T,_ _ _ _ _

16、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 4所以 c o s (Q+B )=y/l s i n 20 a 4-?2 1 =-又 s i na=y/lc o s 2a2 A/55所以 c o s B =c o s(a +B a )=c o s (a +B )c o s a +s i n(a +0)s i n a2 525,6.在a A B C 中，A,B,C 的对边分别是a,b,c.若 A =120 ,a=l,则 2 b+3 c 的最大值为（）2 VH 后A.3 C.37 23不【答案】B【解析】因为A=120。，a=l,所以由正弦定理可得b c a 1 2A/3sin B sin C s

17、 in A s i n 120 3“2/2 G所以 b=-s i n B,c=-s i n C,4A/3 故 2b +3c=-s i n B+2A/3s i n C4A/3-s i n(6 0 C)+2/3s i n Ct s i n C+2c o s32、历,、C=-s i n(C+6).其中 s i n c o s 4)72、须所以2 b+3c 的最大值为六 一.二、多项选择题7.（2020 临沂模拟）在A B C中,角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,若 b=2、/G,c=3,A+3 C=”,则下列结论正确的是（)V 3A.cos C=B.si n3C.a=3D SAABC=A/2【

18、答案】Al）【解析】hc因为A +3 C=*A +B+C=，所 以 B=2C.由正弦定理得s in 2C s in C2s in C eos C s in C3,所以cos C=,故 A正确；因为cos C=,即3/G A/6 V3 2A/2,所以 sinC=三，sin B=sin 2 C=2 sin C co sC=2 X-r-X-=-,故 B 错误;K XKJ J KJ J1因为 cos B=cos 2C=2cos2C 1 =,所以 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=石 A/6 5、/3 _X 则 cos A=-,ffilik a2=b2+c2-2b

19、ccos3 9 9A=(2/+3 2L 5A/3 1 1 厂 /6-2 X 2 V 3 X 3 X-=1,所以 a=l,故 C 错误；S-B c=jbcsin A=-X 2 v 3 X 3 X=9 2 2 9V 2,故 D正确.n（n 8.已知0 b2=4 a22 c2=a2+c22 a ccos B,3 圈c 2 a 2 团整理，得 2 a ccos B=-3 a2+3 c2=cos B=-2a c因 为 宸 卜 f s：B2 =c s in B,2 a ,c 2 0 1 c o s2B 04 a 23 0 c2 a 2 必代入cos B=1整理得信卜T91 xc-4-2 2 x c2+9a

20、4 a 2令 t=c/2 则(S(/)2=_/19 t 2 _ 2 2 t+9)11 10一m 3 t -yr+1610 S A/10 S A/10l2 ，所以 一,故一；的最大值为一36 a 2 6 a 2 6所 以 应）四、解答题1 3.(2 0 2 0 全国 H)A B C 中,si n2A-si n2B-si n2C=si n B si n C.求 A；（2）若 B C=3,求A A B C 周长的最大值.解（1）由正弦定理和已知条件得B C2-A C2-A B2=A C A B.由余弦定理得 B C 2=A C 2+A B 2-2 A C A B cos A.1由得cos A=-2

21、7 r因为(K A n,所以人=7.A C AB BC(2)由正弦定理及(1)得一-7=2/,sin B sin C sin A从而 A C=2,3 si n B,A B=2 7 G si n(n A B)=3 cos B-/3si n B.故 B C+A C+A B=3+/s i n B+3 cos B=3 +2、/G si n(B +).n又 0 B A；2 后条件：cos B=5.解(1)在A A B C 中，由余弦定理知，b2+c2-a2=2 b ccos A,所以 2 b 2=2 b ccos A(l t a n A),所以 b=c(cos A-si n A),b sin B又由正弦

22、定理知，-=-c sin C得 si n B=si n C(cos A-si n A),所以 si n(A+C)=si n C(cos A-si n A),即 si n A cos C +cos A si n C=si n C e os A si n C si n A,所以 si n A cos C=-si n C si n A,因为 si n A W O,所以 cos C=si n C,所以 t a n C=-1,3 7 r又因为。(X n,所以。=彳.(2)选择条件，cos B=52A/5A/5因为 cos B=,且 0B 兀，所以 sin B=-因为 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+sin Ceos B=邑.当+近X”=亚由正弦定理知市aC sin A所以ac s in As i n C=2y/2f2H第2在AABD中，由余弦定理知AD2=AB2+BD2-2AB BD cos B=(2旧*+(娘)2 _ 2 X 2/x/x 竽=26,所以 M)=y/26.（【答案】不唯一）