第24章 圆 人教版九年级数学上册压轴题专题练习.pdf

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1、 人教版九年级数学上册第二十四章 圆 压轴题专题练习 1如图，在 ABC 中，AB CB，AB 是 O 的直径，D 为 O 上一点，且弧 AD弧 BD，直线 l 经过点 C、D，连接 AD，交 BC 于点 E，若 CAD CBA（1）求证：直线 l 是 O 的切线；（2）求 的值 2如图，D 为 O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，CDA CBD（1）求证：CD 是 O 的切线；（2）若 CBD 30，BC 3，求 O 半径 3 如图，AB 为 O 的直径，C、D 为圆上的两点，OC BD，弦 AD 与 BC，OC 分别交于 E、F（1）求证：；（2）若 CE 1，EB 3，求 O

2、的半径 4 如图，已知 O 是等边三角形 ABC 的外接圆，点 D 在圆上，在 CD 的延长线上有一点 F，使 DF DA，AE BC 交 CF 于 E（1）求证：EA 是 O 的切线；（2）判断 BD 与 CF 的数量关系？说明理由 5如图，CD 为 O 的直径，弦 AB CD，垂足为 H，P 是 CD 延长线上一点，DE AP，垂足为 E，EAD HAD（1）求证：AE 为 O 的切线；（2）已知 PA 2，PD 1，求 O 的半径和 DE 的长 6如图，在平行四边形 ABCD 中，AC 是对角线，CAB 90，以点 A 为圆心，以 AB 的长为半径作 A，交 BC 边于点 E，交 AC

3、于点 F，连接 DE（1）求证：DE 与 A 相切；（2）若 ABC 60，AB 4，求阴影部分的面积 7如图，在 Rt ABC 中，AC AB，BAC 90，以 AB 为直径作 O 交 BC 于点 D，E是 AC 的中点，连接 ED点 F 在 上，连接 BF 并延长交 AC 的延长线于点 G（1）求证：DE 是 O 的切线；（2）连接 AF，求 的最大值 8如图，点 D 是以 AB 为直径的 O 上一点，过点 B 作 O 的切线，交 AD 的延长线于点C，E 是 BC 的中点，连接 DE 并延长与 AB 的延长线交于点 F（1）求证：DF 是 O 的切线；（2）若 OB BF，EF 4，求阴

4、影部分的面积 9如图，正方形 ABCD 顶点 B、C 在 O 上，边 AD 经过 O 上一定点 E，边 AB，CD 分别与 O 相交于点 G、F，且 EF 平分 BFD（1）求证：AD 是 O 的切线（2）若 DF，求 DE 的长 10如图，AB 为 O 的直径，C 为 O 上的一点，AD CD 于点 D，AC 平分 DAB（1）求证：CD 是 O 的切线（2）设 AD 交 O 于 E，ACD 的面积为 6，求 BD 的长 11 如图，Rt ABC 中，ABC 90，以 AB 为直径的 O 交 AC 于点 D，E 是 BC 的中点，连接 DE、OE（1）判断 DE 与 O 的位置关系并说明理由

5、（2）若 O 半径 r 3，DE 4，求 AD 的长 12如图，O 与 Rt ABF 的边 BF，AF 分别交于点 C，D，连接 AC，CD，BAF 90，点 E 在 CF 上，且 DEC BAC（1）试判断 DE 与 O 的位置关系，并说明理由（2）若 AB AC，CE 4，EF 6，求 O 的直径 13以等边 ABC 的一边 AB 为直径作半圆，设圆心为点 O，半圆 O 与边 AC 交于点 D，与边 BC 交于点 E，取线段 CD 的中点 F，连结 EF、OE（1）求证：EF 是 的切线；（2）若 O 的半径是 2，求图中阴影部分的面积 14如图，AB 为半圆的直径，C 是半圆弧上一点，正

6、方形 DEFG 的一边 DG 在直径 AB 上，另一边 DE 过 ABC 的内切圆圆心 I，且点 E 在半圆弧上（1）若设 ABC 的三边为 a，b，c（其中 A 对边为 a，B 对边为 b，C 对边为 c），试用含 a，b，c 的代数式表示 AD，BD 的长（2）证明：正方形 DEFG 的面积和 ABC 的面积相等 15如图，已知点 D 是 ABC 外接圆 O 上的一点，AC BD 于 G，连接 AD，过点 B 作直线 BF AD 交 AC 于 E，交 O 于 F，若点 F 是弧 CD 的中点，连接 OG，OD，CD（1）求证：DBF ACB；（2）若 AG GE，试探究 GOD 与 ADC

7、 之间的数量关系，并证明 16矩形 ABCD 的一边长 AB 4，且 BC AB，以边 AB 为直径的圆 O 交对角线 AC 于 H，AH 2如图，点 K 为优弧 AKB 上一点（）求 HKA 的度数；（）求 CH 的长；（）求图中阴影部分的面积；（）设 AK m，若圆 O 的圆周上到直线 AK 的距离为 1 的点有且仅有三个，求实数 m的值 17如图所示，在 ABC 中，CD 为 ACB 的平分线，以 CD 为弦作一与 AB 相切的圆，分别交 CA，CB 于点 M，N（1）求证：MN AB；（2）若 AC 12，AB 10，BC 8，求 MN 的长度 参考答案 1如图，在 ABC 中，AB

8、CB，AB 是 O 的直径，D 为 O 上一点，且弧 AD弧 BD，直线 l 经过点 C、D，连接 AD，交 BC 于点 E，若 CAD CBA（1）求证：直线 l 是 O 的切线；（2）求 的值【解答】解：（1）如图 1，连接 BD，连接 OD，过点 C 作 CF AB 于点 F，DAB ABD，AB 为 O 的直径，ADB 90，DAB DBA 45，设 ABC，BA BC，BAC BCA，CAD CBA，BAC BAD+CAD 45+，30，CF，OD CF，AD BD，OA OB，OD AB，DP AB，CF OD 四边形 ODCF 是矩形，ODC 90，直线 l 是 O 的切线；（2

9、）如图 2，过点 E 作 EG AB 于点 G，由（1）知，CAD ABE 30，CD AB，ADC EAB 45，则 ACD BEA，AE CD，DAB 45、ABC 30，BE 2EG 2 AE AE CD 2CD，2如图，D 为 O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，CDA CBD（1）求证：CD 是 O 的切线；（2）若 CBD 30，BC 3，求 O 半径【解答】解：（1）证明：如图，连接 OD，OD OB OA，OBD ODB，ODA OAD，CDA CBD，CDA ODB AB 为 O 的直径，ADB ODB+ODA 90，CDA+ODA ODC 90 OD CD，CD

10、是 O 的切线；（2）CBD 30，OBD ODB，AOD OBD+ODB 60，C 30 ODC 90 OD OB OC，OB BC，BC 3，OB 1，O 半径为 1 3 如图，AB 为 O 的直径，C、D 为圆上的两点，OC BD，弦 AD 与 BC，OC 分别交于 E、F（1）求证：；（2）若 CE 1，EB 3，求 O 的半径【解答】（1）证明：AB 是圆的直径，ADB 90，OC BD，AFO ADB 90，OC AD（2）解：连接 AC，如图，CAD ABC，ECA ACB，ACE BCA，AC2 CE CB，即 AC2 1（1+3），AC 2，AB 是圆的直径，ACB 90，A

11、B 2，O 的半径为 4 如图，已知 O 是等边三角形 ABC 的外接圆，点 D 在圆上，在 CD 的延长线上有一点 F，使 DF DA，AE BC 交 CF 于 E（1）求证：EA 是 O 的切线；（2）判断 BD 与 CF 的数量关系？说明理由【解答】解：（1）证明：如图，连接 AO，O 是等边三角形 ABC 的外接圆，AO 平分 BAC，AE BC，CAE BCA 60，OAE OAC+CAE 90，OA AE，EA 为 O 的切线；（2）BD CF，理由如下：ABC 为正三角形，AB AC，BAC ABC 60；A、B、C、D 四边共圆，ADF ABC 60，DF DA，ADF 为正三

12、角形，DAF 60 BAC，BAC+CAD DAF+CAD，即 BAD CAF，在 BAD 与 CAF 中，BAD CAF（SAS），BD CF 所以 BD 与 CF 的数量关系为相等 5如图，CD 为 O 的直径，弦 AB CD，垂足为 H，P 是 CD 延长线上一点，DE AP，垂足为 E，EAD HAD（1）求证：AE 为 O 的切线；（2）已知 PA 2，PD 1，求 O 的半径和 DE 的长【解答】解：（1）证明：连接 AO 并延长交 O 于点 M，连接 MD，如图，AB CD，M BAD，EAD HAD M EAD，AM 为直径，ADM 90，M+MAD 90，EAD+MAD 90

13、，即 MAE 90，AM AE，AE 为 O 的切线；（2）EAD HAD，DH AH，DE AE，AD AD，AHD AED（AAS）DE DH，AH AE，设 DE x，AH y，则 DH x，AE y，EPD HPA，PED PHA 90，Rt PED Rt PHA，即，解得 x，y，即 DE 的长为，AH，设圆的半径为 r，则 OH r，在 Rt OAH 中，（r）2+（）2 r2，解得 r，即 O 的半径为 答：O 的半轻和 DE 的长分别为：，6如图，在平行四边形 ABCD 中，AC 是对角线，CAB 90，以点 A 为圆心，以 AB 的长为半径作 A，交 BC 边于点 E，交 A

14、C 于点 F，连接 DE（1）求证：DE 与 A 相切；（2）若 ABC 60，AB 4，求阴影部分的面积【解答】（1）证明：连接 AE，四边形 ABCD 是平行四边形，AD BC，AD BC，DAE AEB，AE AB，AEB ABC，DAE ABC，AED BAC（SAS），DEA CAB，CAB 90，DEA 90，DE AE，AE 是 A 的半径，DE 与 A 相切；（2）解：ABC 60，AB AE 4，ABE 是等边三角形，AE BE，EAB 60，CAB 90，CAE 90 EAB 90 60 30，ACB 90 B 90 60 30，CAE ACB，AE CE，CE BE，SA

15、BC AB AC 8，SACE SABC 4，CAE 30，AE 4，S扇形AEF，S阴影 SACE S扇形AEF 4 7如图，在 Rt ABC 中，AC AB，BAC 90，以 AB 为直径作 O 交 BC 于点 D，E是 AC 的中点，连接 ED点 F 在 上，连接 BF 并延长交 AC 的延长线于点 G（1）求证：DE 是 O 的切线；（2）连接 AF，求 的最大值【解答】（1）证明：连接 OD，AD AB 为 O 直径，点 D 在 O 上，ADB 90，ADC 90，E 是 AC 的中点，DE AE，EAD EDA，OA OD，OAD ODA，OAD+EAD BAC 90，ODA+ED

16、A 90，即 ODE 90，OD DE，D 是半径 OD 的外端点，DE 是 O 的切线；（2）解：过点 F 作 FH AB 于点 H，连接 OF，AHF 90 AB 为 O 直径，点 F 在 O 上，AFB 90，BAF+ABF 90 BAC 90，G+ABF 90，G BAF，又 AHF GAB 90，AFH GBA，由垂线段最短可得 FH OF，当且仅当点 H，O 重合时等号成立 AC AB，上存在点 F 使得 FO AB，此时点 H，O 重合，即 的最大值为 8如图，点 D 是以 AB 为直径的 O 上一点，过点 B 作 O 的切线，交 AD 的延长线于点C，E 是 BC 的中点，连接

17、 DE 并延长与 AB 的延长线交于点 F（1）求证：DF 是 O 的切线；（2）若 OB BF，EF 4，求阴影部分的面积【解答】解：（1）如图，连接 OD，BD，AB 为 O 的直径，ADB BDC 90，在 Rt BDC 中，BE EC，DE EC BE，1 3，BC 是 O 的切线，3+4 90，1+4 90，又 2 4，1+2 90，DF 为 O 的切线；（2）OB BF，OF 2OD，F 30，FBE 90，BE EF 2，DE BE 2，DF 6，F 30，ODF 90，FOD 60，OD OA，A ADO BOD 30，A F，AD DF 6，OD BD DF 2，阴 影 部

18、分 的 面 积 AD BD+2 3+2 9如图，正方形 ABCD 顶点 B、C 在 O 上，边 AD 经过 O 上一定点 E，边 AB，CD 分别与 O 相交于点 G、F，且 EF 平分 BFD（1）求证：AD 是 O 的切线（2）若 DF，求 DE 的长【解答】（1）证明：连接 OE，OE OF，OEF OFE，FE 平分 BFD，DFE OFE，DFE OEF，OE CD，OED+D 180，四边形 ABCD 是正方形，D 90，OED 90，即 OE AD，OE 过 O，AD 是 O 的切线；（2）解：连接 BE，四边形 ABCD 是正方形，D A 90，AB CD，AD AB，OE A

19、D，AB CD OE，O B OF，AE DE，设 DE AE x，则 AD AB 2x，BF 为 O 直径，BEF 90，A D 90，ABE+AEB 180 90 90，DEF+AEB 180 BEF 90，DEF ABE，ABE DEF，即得：x 2，即 DE 2 10如图，AB 为 O 的直径，C 为 O 上的一点，AD CD 于点 D，AC 平分 DAB（1）求证：CD 是 O 的切线（2）设 AD 交 O 于 E，ACD 的面积为 6，求 BD 的长【解答】（1）证明：连接 OC，OA OC，OAC OCA，AC 平分 DAB，OAC DAC，DAC OCA，OC AD，OCE A

20、DC 90，CD 是 O 的切线；（2）解：，设 AC 5x，CD 3x，AD 4x，ACD 的面积为 6，AD CD 6，x 1（负值舍去），AD 4，CD 3，AC 5，连接 BC，AB 为 O 的直径，ACB 90，ACB ADC，DAC CAB，ADC ACB，AB，DAC CAB，连接 BE 交 OC 于 F，OC BE，BF EF，AB 为 O 的直径，AEB DEB 90，四边形 CDEF 是矩形，EF CD 3，BE 6，AE，DE 4，BD 11 如图，Rt ABC 中，ABC 90，以 AB 为直径的 O 交 AC 于点 D，E 是 BC 的中点，连接 DE、OE（1）判断

21、 DE 与 O 的位置关系并说明理由（2）若 O 半径 r 3，DE 4，求 AD 的长 【解答】解：（1）连接 OD、BD，如图所示 点 O 为 AB 的中点，点 E 为 BC 的中点，OE AC，且 AC 2OE，A BOE 又 BOD 2 A，DOE A BOE 在 BOE 和 DOE 中，BOE DOE（SAS），ODE OBE 90，DE 与 O 相切；（2）AB 为 O 的直径，BD AC，ADB BDC 90，ADB ABC，A+ABD A+C 90，ABD C，ABD ACB，AB 6，BC 2DE 8，AC 10，AB2 AD AC，62 AD 10，AD 12如图，O 与

22、Rt ABF 的边 BF，AF 分别交于点 C，D，连接 AC，CD，BAF 90，点 E 在 CF 上，且 DEC BAC（1）试判断 DE 与 O 的位置关系，并说明理由（2）若 AB AC，CE 4，EF 6，求 O 的直径【解答】解：（1）如图，连接 BD，BAD 90，点 O 必在 BD 上，即：BD 是直径，BCD 90，DEC+CDE 90，DEC BAC，BAC+CDE 90，BAC BDC，BDC+CDE 90，BDE 90，即：BD DE，点 D 在 O 上，DE 是 O 的切线；（2）BAF BDE 90，F+ABC FDE+ADB 90，AB AC，ABC ACB，AD

23、B ACB，F EDF，DE EF 6，CE 4，BCD 90，DCE 90，CD 2，BDE 90，CD BE，CDE CBD，BD 3，O 的直径 3 13以等边 ABC 的一边 AB 为直径作半圆，设圆心为点 O，半圆 O 与边 AC 交于点 D，与边 BC 交于点 E，取线段 CD 的中点 F，连结 EF、OE（1）求证：EF 是 的切线；（2）若 O 的半径是 2，求图中阴影部分的面积【解答】（1）证明：连接 BD，OE，AE，AB 是 O 的直径，BDF AEB 90，BD CD，AE BC，点 D，A，B，E 在 O 上，ADE+ABE 180，ADE+CDE 180，ABE C

24、DE，AB AC，C ABE CDE，DE CE，点 F 是 CD 中点，EF CD，BD CD，EF BD，AB AC，AE BC，CE BE，AO BO，OE 是 ABC 的中位线，OE AC，四边形 FDGE 是矩形，OE EF，又 OE 是 O 的半径，EF 是 O 的切线；（2）解：由（1）知 OEF 90，BD EF，OGE 90，即 OE BD，DE BE，弓形 BE 的面积弓形 DE 的面积，阴影部分面积 SDEF，ABC 是等边三角形，ABC 60，BOE 60，CAE 30，DE OA 2，DF DE 1，EF，图中阴影部分的面积 14如图，AB 为半圆的直径，C 是半圆弧

25、上一点，正方形 DEFG 的一边 DG 在直径 AB 上，另一边 DE 过 ABC 的内切圆圆心 I，且点 E 在半圆弧上（1）若设 ABC 的三边为 a，b，c（其中 A 对边为 a，B 对边为 b，C 对边为 c），试用含 a，b，c 的代数式表示 AD，BD 的长（2）证明：正方形 DEFG 的面积和 ABC 的面积相等 【解答】解：（1）如图，设圆 I 与 AC 切于点 M，与 BC 切于点 N，由切线长定理可知：AD AM，CM CN，BN BD，AD+AM AB+BC+CA CM CN BN BD a+b+c 2a b+c a，AD，BD（2）连接 AE、BE AB 是直径，AEB

26、 ACB 90，c2 a2+b2，四边形 DEFG 是正方形，ED AB，由射影定理可知：DE2 AD BD ab 正方形 DEFG 的面积和 ABC 的面积相等 15如图，已知点 D 是 ABC 外接圆 O 上的一点，AC BD 于 G，连接 AD，过点 B 作直线 BF AD 交 AC 于 E，交 O 于 F，若点 F 是弧 CD 的中点，连接 OG，OD，CD（1）求证：DBF ACB；（2）若 AG GE，试探究 GOD 与 ADC 之间的数量关系，并证明【解答】（1）证明：BF AD，ADB DBF，ADB ACB，DBF ACB；（2）GOD 与 ADC 之间的数量关系为：2 GO

27、D+ADC 240 理由如下：作 OM DC 于点 M，连接 OC AD BF，AB DF，F 为 CD 中点，CF DF AB，ACB CBF DBF，AC BD 于 G，BGC AGD 90，DBF+CBF+ACB 90，ACB CBF DBF 30，DBC 60，ADB ACB 30，DOC 2 DBC 120，OD OC，ODM 30，设 GE x，则 AG x，DG x，BG x，GC 3x，DC x，DM x，OD x，DG OD，2 GOD+ODG 180，ADB+ODC 60，2 GOD+ODG+ADB+ODC 240，即 2 GOD+ADC 240 16矩形 ABCD 的一边

28、长 AB 4，且 BC AB，以边 AB 为直径的圆 O 交对角线 AC 于 H，AH 2如图，点 K 为优弧 AKB 上一点 （）求 HKA 的度数；（）求 CH 的长；（）求图中阴影部分的面积；（）设 AK m，若圆 O 的圆周上到直线 AK 的距离为 1 的点有且仅有三个，求实数 m的值【解答】解：（）连接 BH，AB 为 O 的直径，AHB 90，AB 4，AH 2，sin ABH，ABH 30，HKA ABH 30；（）AHB 90，ABH 30，BAH 60，四边形 ABCD 是矩形，ABC 90，AC 2AB 8，CH AC AH 6；（）连接 OH，则 AOH 是等边三角形，A

29、O AH 2，AOH 60，过 H 作 HE AO 于 E，则 HE，AC 8，CD AB 4，AD 4，图中阴影部分的面积 4 4（2）9；（）过 O 作平行于 AK 的直线交 O 于 MN，过 O 作 OP AK 于 Q 交 O 于 P，O 的半径 2，则 PQ OQ 1，OA 2，AQ，AK 2AQ 2，m 2 17如图所示，在 ABC 中，CD 为 ACB 的平分线，以 CD 为弦作一与 AB 相切的圆，分别交 CA，CB 于点 M，N（1）求证：MN AB；（2）若 AC 12，AB 10，BC 8，求 MN 的长度【解答】（1）证明：连接 DN，AB 是 O 的切线，BCD BDN，CD 为 ACB 的平分线，ACD BCD，ACD MND，MND BDN，MN AB；（2）解：MN AB，CMN CAB，CD 为 ACB 的平分线，AD 6，AD2 AC AM，62 12AM，AM 3，CM 9，MN