概率统计公式大全.pdf

上传人:c****4 文档编号:93172794 上传时间:2023-06-29 格式:PDF 页数:31 大小:1.25MB
返回 下载 相关 举报
概率统计公式大全.pdf_第1页
第1页 / 共31页
概率统计公式大全.pdf_第2页
第2页 / 共31页
点击查看更多>>
资源描述

《概率统计公式大全.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《概率统计公式大全.pdf(31页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 概率统计公式大全 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 第 1 章 随机事件及其概率(1)排列组合公式)!(!nmmPnm 从 m个人中挑出n 个人进行排列的可能数。)!(!nmnmCnm 从 m个人中挑出n 个人进行组合的可能数。(2)加法和乘法原理 加法原理(两种方法均能完成此事):m+n 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由 n 种方法来完成,则这件事可由 m+n 种方法来完成。乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m n 某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由 n 种方法来完成,则这件事可由

2、 m n 种方法来完成。(3)一些常见排列 重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个)顺序问题(4)随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。(5)基本事件、样本空间和事件 在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质:每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用来表示。基本事件的全体,称为试验的样本空间,用表示。一个事

3、件就是由中的部分点(基本事件)组成的集合。通常用大写字母A,B,C,表示事件,它们是的子集。为必然事件,为不可能事件。不可能事件()的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件()的概率为1,而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。(6)事件的关系与运算 关系:如果事件 A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):BA 如果同时有BA,AB,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:A=B。A、B中至少有一个发生的事件:AB,或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者BA,它表示A发生而B不发生的事件。A、B

4、同时发生:AB,或者AB。AB=,则表示A与 B不可能精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 同时发生,称事件 A与事件 B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A称为事件 A的逆事件,或称 A的对立事件,记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。运算:结合率:A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率:(AB)C=(AC)(BC)(A B)C=(AC)(BC)德摩根率:11iiiiAA BABA,BABA (7)概率的公理化定 义 设为样本空间,A为事件,对每一个事件A都有一个实数P(A),若满足下列三个条件:1 0P(A)1,2 P()=1

5、 3 对于两两互不相容的事件1A,2A,有 11)(iiiiAPAP 常称为可列(完全)可加性。则称 P(A)为事件A的概率。(8)古典概型 1 n21,,2 nPPPn1)()()(21。设任一事件A,它是由m21,组成的,则有 P(A)=P)()()(21m=)()()(21mPPP nm基本事件总数所包含的基本事件数A (9)几何概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A,)()()(LALAP。其中 L为几何度量(长度、面积、体积)。(10)加法公式 P(A+B)=P

6、(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)0 时,P(A+B)=P(A)+P(B)(11)减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)当 BA时,P(A-B)=P(A)-P(B)当 A=时,P(B)=1-P(B)(12)条件概率 定义 设 A、B是两个事件,且 P(A)0,则称)()(APABP为事件A发生条件下,事件B发生的条件概率,记为)/(ABP)()(APABP。条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 例如:P(/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)(13)乘法公式 乘法公式:)/()()/()()

7、(BAPBPABPAPABP 更一般地,对事件A1,A2,An,若 P(A1A2 An-1)0,则有 21(AAP)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP21|(AAAPn)1nA。(14)独立性 两个事件的独立性 设事件A、B满足)()()(BPAPABP,则称事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立,且0)(AP,则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP 若事件A,B相互独立,则可得到A与B,A与B,A与B也都相互独立。必然事件和不可能事件 与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。多个事件的独立性 设 A,B,C是三个事件,如果满足两两独立的条件,

8、P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A、B、C相互独立。对于 n 个事件类似。(15)全概率公式 设事件nBBB,21满足 1nBBB,21两两互不相容,),2,1(0)(niBPi,2 niiBA1 ,则有)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。(16)贝叶斯公式(用于求后验概率)设事件1B,2B,nB及A满足 1 1B,2B,nB两两互不相容,)(BiP0,i1,2,n,2 niiBA1,且0)(AP,则 njjjiiiBAPBPBAPBPA

9、BP1)/()()/()()/(,i=1,2,n。此公式即为贝叶斯公式。精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除)(iBP,(1i,2,n),通常叫先验概率。)/(ABPi,(1i,2,n),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由果溯因”的推断。(17)伯努利概型 我们作了n次试验,且满足 每次试验只有两种可能结果,A发生或A不发生;n次试验是重复进行的,即A发生的概率每次均一样;每次试验是独立的,即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验A发生的概率,则A发生

10、的概率为qp 1,用)(kPn表示n重伯努利试验中A出现)0(nkk次的概率,knkknnqpkPC)(,nk,2,1,0。第二章 随机变量及其分布 (1)离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量X的可能取值为 Xk(k=1,2,)且取各个值的概率,即事件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk,k=1,2,,则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出:,|)(2121kkkpppxxxxXPX。显然分布律应满足下列条件:(1)0kp,,2,1k,(2)11kkp。(2)连续型随机变量的分布密度 设)(xF是随机变量X的分布函数,若存在非负函数)(xf,对任意实数

11、x,有 xdxxfxF)()(,则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数,简称概率密度。密度函数具有下面4 个性质:1 0)(xf,2 1)(dxxf ,3dxxxxfXPxx21)()(21 ,4)()()(xfxFxxf处连续,则有在点若 。精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除(3)离散与连续型随机变量的关系 dxxfdxxXxPxXP)()()(积分元dxxf)(在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。(4)分布函数 设X为随机变量,x是任意实数,则函数 )()(xXPxF 称为随机

12、变量X的分布函数,本质上是一个累积函数。)()()(aFbFbXaP 可以得到X落入区间,(ba的概率。分布函数)(xF表示随机变量落入区间(,x 的概率。分布函数具有如下性质:1 ,1)(0 xF x;2 )(xF是单调不减 的函数,即21xx 时,有)(1xF)(2xF;3 0)(lim)(xFFx,1)(lim)(xFFx;4 )()0(xFxF,即)(xF是右连续的;5 )0()()(xFxFxXP。对于离散型随机变量,xxkkpxF)(;对于连续型随机变量,xdxxfxF)()(。(5)八大分布 0-1分布 即B(1,p)P(X=1)=p,P(X=0)=q 二项分布 即 B(n,p)

13、在n重贝努里试验中,设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量,设为X,则X可能取值为n,2,1,0。knkknnqpCkPkXP)()(,其中nkppq,2,1,0,10,1,则称随机变量X服从参数为n,p的二项分布。记为),(pnBX。当1n时,kkqpkXP1)(,1.0k,这就是0-1分布,所以0-1 分布是二项分布的特例。泊松分布 即 P()设随机变量X的分布律为 ekkXPk!)(,0,k=0,1,2,则称随机变量X服从参数为的泊松分布,记为)(X或者 P()。泊松分布是二项分布的极限分布(np=,n)。精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除

14、 超几何分布),min(,2,1,0,)(nMllkCCCkXPnNknMNkM 随机变量X服从参数为n,N,M 的超几何分布,记为H(n,N,M)。几何分布,3,2,1,)(1kpqkXPk,其中p0,q=1-p。随机变量 X服从参数为 p 的几何分布,记为 G(p)。均匀分布 设随机变量X的值只落在a,b 内,其密度函数)(xf在a,b 上为常数ab 1,即 ,0,1)(abxf 其他,则称随机变量X在a,b 上服从均匀分布,记为XU(a,b)。分布函数为 xdxxfxF)()(当 ax1x2b 时,X落在区间(21,xx)内的概率为 abxxxXxP1221)(。0,xb。axb 精品好

15、资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 指数分布 其中0,则称随机变量 X服从参数为的指数分布。X的分布函数为 记住积分公式:!0ndxexxn)(xf,xe 0 x,0,0 x,)(xF,1xe 0 x,0 x0。精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 正态分布 设随机变量X的密度函数为 222)(21)(xexf,x,其中、0为常数,则称随机变量X服从参数为、的正态分布或高斯(Gauss)分布,记为),(2NX。)(xf具有如下性质:1 )(xf的图形是关于x对称的;2 当x时,21)(f为最大值;若),(2NX,则X的分布函数为

16、dtexFxt222)(21)(参数0、1时的正态分布称为标准正态分布,记为)1,0(NX,其密度函数记为 2221)(xex,x,分布函数为 xtdtex2221)(。)(x是不可积函数,其函数值,已编制成表可供查用。(-x)1-(x)且(0)1/2 如果),(2NX,则X )1,0(N。1221)(xxxXxP。(6)分位数 下分位表:)(XP;上分位表:)(XP。精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 (7)函数分布 离散型 已知X的分布列为 ,)(2121nnipppxxxxXPX,)(XgY 的分布列()(iixgy 互不相等)如下:,),(,),()

17、,()(2121nnipppxgxgxgyYPY ,若有某些)(ixg相等,则应将对应的ip相加作为)(ixg的概率。连续型 先利用X的概率密度fX(x)写出 Y的分布函数FY(y)P(g(X)y),再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。第三章 二维随机变量及其分布 (1)联合分布 离散型 如果二维随机向量=(X,Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y),则称为离散型随机向量。设=(X,Y)的所有可能取值为),2,1,)(,(jiyxji,且事件=),(jiyx的概率为pij,称),2,1,(),(),(jipyxYXPijji 为=(X,Y)的分布律或称为X和 Y的联合分布律。联

18、合分布有时也用下面的概率分布表来表示:Y X y1 y2 yj x1 p11 p12 p1j x2 p21 p22 p2j xi pi1 ijp 这里pij具有下面两个性质:(1)pij0(i,j=1,2,);(2).1ijijp 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 连续型 对于二维随机向量),(YX,如果存在非负函数),)(,(yxyxf,使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域 D,即D=(X,Y)|axb,cyx1时,有 F(x2,y)F(x1,y);当 y2y1时,有 F(x,y2)F(x,y1);(3)F(x,y)分别对 x 和 y 是右连续的

19、,即);0,(),(),0(),(yxFyxFyxFyxF(4).1),(,0),(),(),(FxFyFF(5)对于,2121yyxx 0)()()()(11211222yxFyxFyxFyxF,.(4)离散型与连续型的关系 dxdyyxfdyyYydxxXxPyYxXP)()()(,(5)离散型 X的边缘分布为 ),2,1,()(jipxXPPijjii;Y的边缘分布为),2,1,()(jipyYPPijijj。精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 边缘分布密度 连续型 X的边缘分布密度为;dyyxfxfX),()(Y的边缘分布密度为 .),()(dxyx

20、fyfY (6)条件分布 离散型 在已知X=xi的条件下,Y取值的条件分布为 ;iijijppxXyYP)|(在已知Y=yj的条件下,X取值的条件分布为,)|(jijjippyYxXP 连续型 在已知 Y=y的条件下,X的条件分布密度为)(),()|(yfyxfyxfY;在已知 X=x的条件下,Y的条件分布密度为)(),()|(xfyxfxyfX (7)独立性 一般型 F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型 jiijppp 有零不独立 连续型 f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断,充要条件:联合概率密度函数可分离变量。正概率密度区间为矩形。二维正 态分布,121),(222212121

21、1221)(2)1(212 yyxxeyxf 其中1|,0,0,21,21是 5 个参数 随机变量 的函数 若 X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互独立,h,g为连续函数,则:h(X1,X2,Xm)和 g(Xm+1,Xn)相互独立。特例:若 X与 Y独立,则:h(X)和 g(Y)独立。例如:若 X与 Y独立,则:3X+1和 5Y-2独立。精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 (8)二维均匀分布 设随机向量(X,Y)的分布密度函数为 其他,0),(1),(DyxSyxfD 其中 SD为区域D的面积,则称(X,Y)服从 D上的均匀分布,记为(X,Y)U(D)。例如

22、图3.1、图 3.2 和图 3.3。y 1 D1 O 1 x 图 3.1 y 1 O 2 x 图 3.2 y d c O a b x 图 3.3 D2 1 D3 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 (9)二维正态分布 设随机向量(X,Y)的分布密度函数为,121),(2222121211221)(2)1(212 yyxxeyxf 其中1|,0,0,21,21是 5 个参数,则称(X,Y)服从二维正态分布,记为(X,Y)N().,2221,21 由边缘密度的计算公式,可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布,即 XN().(),22,2211NY 但是,

23、若 XN()(),22,2211NY,(X,Y)未必是二维正态分布。(10)关于随机变量的函数的分布 Z=X+Y 根据定义计算:)()()(zYXPzZPzFZ 对于连续型,fZ(z)dxxzxf),(两个独立的正态分布的 和仍为正态分布(222121,)。n 个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布。iiiC,iiiC222 Z=max,min(X1,X2,Xn)若nXXX21,相互独立,其分布函数分别为)()()(21xFxFxFnxxx,则 Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函数为:)()()()(21maxxFxFxFxFnxxx)(1)(1 )(1 1)(21minx

24、FxFxFxFnxxx 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 2分布 设 n 个随机变量nXXX,21相互独立,且服从标准正态分布,可以证明它们的平方和 niiXW12 的分布密度为.0,0,0221)(2122uueunufunn 我们称随机变量 W服从自由度为 n 的2分布,记为W)(2n,其中.2012dxexnxn 所谓自由度是指独立正态随机变量的个数,它是随机变量分布中的一个重要参数。2分布满足可加性:设 ),(2iinY 则).(2112kkiinnnYZ t 分布 设 X,Y是两个相互独立的随机变量,且 ),(),1,0(2nYNX 可以证明函数

25、 nYXT/的概率密度为 2121221)(nntnnntf ).(t 我们称随机变量 T服从自由度为 n 的 t 分布,记为Tt(n)。)()(1ntnt 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 F分布 设)(),(2212nYnX,且 X与 Y独立,可以证明21/nYnXF 的概率密度函数为 0,00,1222)(2211222121212111yyynnynnnnnnyfnnnn 我们称随机变量F服从第一个自由度为n1,第二个自由度为 n2的 F分布,记为Ff(n1,n2).),(1),(12211nnFnnF 第四章 随机变量的数字特征 (1)离散型 连

26、续型 期望(期望就是平均值)设 X是离散型随机变量,其分布律为 P(kxX)pk,k=1,2,n,nkkkpxXE1)((要求绝对收敛)设 X是连续型随机变量,其概率密度为 f(x),dxxxfXE)()((要求绝对收敛)一维随机变量的函数的期望 Y=g(X)nkkkpxgYE1)()(Y=g(X)dxxfxgYE)()()(精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 一维随机变量的数字特征 方差 D(X)=EX-E(X)2,标准差)()(XDX,kkkpXExXD2)()(dxxfXExXD)()()(2 矩 对于正整数k,称随机变量 X的 k 次幂的数学期望为

27、X的 k 阶原点矩,记为vk,即 k=E(Xk)=iikipx,k=1,2,.对于正整数k,称随机变量 X与 E(X)差的k 次幂的数学期望为X的 k 阶中心矩,记为k,即.)(kkXEXE=iikipXEx)(,k=1,2,.对于正整数k,称随机变量X的 k 次幂的数学期望为X的k 阶原点矩,记为vk,即 k=E(Xk)=,)(dxxfxk k=1,2,.对于正整数k,称随机变量X与 E(X)差的k 次幂的数学期望为X的 k 阶中心矩,记为k,即.)(kkXEXE=,)()(dxxfXExk k=1,2,.切比雪夫不等式 设随机变量X的数学期望E(X)=,方差D(X)=2,则对于任意正数,有

28、下列切比雪夫不等式 22)(XP 切比雪夫不等式给出了在未知 X的分布的情况下,对概率)(XP 的一种估计,它在理论上有重要意义。(2)期望的性质(1)E(C)=C(2)E(CX)=CE(X)(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y),niniiiiiXECXCE11)()((4)E(XY)=E(X)E(Y),充分条件:X和 Y独立;充要条件:X和 Y不相关。精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 (3)方差的性质(1)D(C)=0;E(C)=C(2)D(aX)=a2D(X);E(aX)=aE(X)(3)D(aX+b)=a2D(X);E(aX+b)=aE(X)+b(

29、4)D(X)=E(X2)-E2(X)(5)D(X Y)=D(X)+D(Y),充分条件:X和 Y独立;充要条件:X和 Y不相关。D(X Y)=D(X)+D(Y)2E(X-E(X)(Y-E(Y),无条件成立。而 E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。(4)常见分布的期望和方差 期望 方差 0-1 分布),1(pB p)1(pp 二项分布),(pnB np)1(pnp 泊松分布)(P 几何分布)(pG p1 21pp 超几何分布),(NMnH NnM 11NnNNMNnM 均匀分布),(baU 2ba 12)(2ab 指数分布)(e 1 21 正态分布),(2N 2 分布2 n 2n t 分

30、布 0 2nn(n2)(5)二维随机变量的数 期望 niiipxXE1)(njjjpyYE1)(dxxxfXEX)()(dyyyfYEY)()(二维随机变量的函数的期望),(YXGE ijijjipyxG),(),(YXGE dxdyyxfyxG),(),(方差 iiipXExXD2)()(jjjpYExYD2)()(dxxfXExXDX)()()(2 dyyfYEyYDY)()()(2 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 字特征 协方差 对于随机变量 X与 Y,称它们的二阶混合中心矩11为 X与Y的协方差或相关矩,记为),cov(YXXY或,即).()(1

31、1YEYXEXEXY=E(XY)-E(X)E(Y)与记号XY相对应,X与 Y的方差 D(X)与 D(Y)也可分别记为XX与YY。相关系数 对于随机变量 X与 Y,如果 D(X)0,D(Y)0,则称 XY=)()(YDXDXY 为 X与 Y的相关系数,XY有时可简记为,且|1。当|=1 时,称 X与 Y完全相关:1)(baYXP 完全相关,时负相关,当,时正相关,当)0(1)0(1aa 而当0时,称 X与 Y不相关。以下五个命题是等价的:0XY;cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵 YYYXXYXX 混

32、合矩 对于随机变量X与 Y,如果有)(lkYXE存在,则称之为X与 Y的k+l阶混合原点矩,记为kl;k+l阶混合中心矩记为:)()(lkklYEYXEXEu(6)协方差的性质()cov(X,Y)=cov(Y,X);()cov(aX,bY)=abcov(X,Y);()cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);()cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).(7)独立和不相关()若随机变量 X与 Y相互独立,则0XY;反之不成立。()若(X,Y)N(,222121),则 X与 Y相互独立等价于 X和 Y不相关。第五章 大数定律和中心极限定理 精品好资料-如有侵权请联系

33、网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 (1)大数定律 X 切比雪夫大数定律 设随机变量 X1,X2,相互独立,均具有 有限方差,即 D(Xi)0,有.1)(11lim11niiniinXEnXnP 特殊情形:若 X1,X2,具有相同的数学期望 E(XI)=,则上式成为 .11lim1niinXnP 伯努利大数定律 设是n 次独立试验中事件 A发生的次数,p 是事件 A在每次试验中发生的概率,则对于任意的正数,有 .1limpnPn 伯努利大数定律说明,当试验次数 n 很大时,事件 A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小,即.0limpnPn 这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛

34、钦大数定律 设 X1,X2,Xn,是相互独立同分布的随机变量序列,且 E(Xn)=,则对于任意的正数有.11lim1niinXnP (2)中心极限定理),(2nNX 林德伯格列维定理 设随机变量 X1,X2,相互独立,服从同一分布,且具有相同的数学期望和方差:),2,1(0)(,)(2kXDXEkk,则随机变量 nnXYnkkn1 的分布函数Fn(x)对任意的实数x,有 2121limlim().2ntkxknnnXnPxxedtnFx 此定理也称为独立同分布的中心极限定理。精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 棣莫弗拉普拉斯定理 设随机变量nX服从 B(n,

35、p)(0p1),则nX的分布函数Fn(x)对于任意实数 x,有 2121limlim().(1)2ntnxinnXinpPxxFenxdtpp (3)二项定理 若当),(,不变时knpNMN,则 knkknnNknMNkMppCCCC)1().(N 超几何分布的极限分布为二项分布。(4)泊松定理 若当0,npn时,则 ekppCkknkkn!)1().(n 其中 k=0,1,2,n,。二项分布的极限分布为泊松分布。精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 第六章 样本及抽样分布 (1)数理统计的基本概念 总体 在数理统计中,常把被考察对象的某一个(或多个)指标的全

36、体称为总体(或母体)。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量(或随机向量)。个体 总体中的每一个单元称为样品(或个体)。样本 我们把从总体中抽取的部分样品nXXX,21称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量,一般用n 表示。在一般情况下,总是把样本看成是n 个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量,这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时,nXXX,21表示 n 个随机变量(样本);在具体的一次抽取之后,nxxx,21表示 n 个具体的数值(样本值)。我们称之为样本的两重性。样本函数 和统计量 设nxxx,21为总体的一个样本,称(nxxx,21)为样本函数,其中为一个连续函数

37、。如果中不含任何未知参数,则称(nxxx,21)为一个统计量。精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 常见统计 量及其性质 样本均值 .11niixnx 样本方差 niixxnS122.)(11 样本标准差 .)(1112niixxnS 样本 k 阶原点矩 nikikkxnM1.,2,1,1 样本 k 阶中心矩 nikikkxxnM1.,3,2,)(1)(XE,nXD2)(,22)(SE,221)*(nnSE,其中niiXXnS122)(1*,为二阶中心矩。(2)正态总体下的四大分布 正态分布 设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本,则样本函数).1

38、,0(/Nnxudef t 分布 设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本,则样本函数),1(/ntnsxtdef 其中 t(n-1)表示自由度为n-1的 t 分布。分布2 设nxxx,21为来自正态总体),(2N的一个样本,则样本函数),1()1(222nSnwdef 其中)1(2n表示自由度为n-1的2分布。精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 F分布 设nxxx,21为来自正态总体),(21N的一个样本,而nyyy,21为来自正态总体),(22N的一个样本,则样本函数),1,1(/2122222121 nnFSSFdef 其中,)(112112

39、11niixxnS ;)(11212222niiyynS)1,1(21 nnF表示第一自由度为11n,第二自由度为12n的 F分布。(3)正态总体下分布的性质 X与2S独立。第七章 参数估计 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 (1)点估计 矩估计 设总体 X的分布中包含有未知数m,21,则其分布函数可以表成).,;(21mxF它的 k 阶原点矩),2,1)(mkXEvkk中也包含了未知参数m,21,即),(21mkkvv。又设nxxx,21为总体 X的 n 个样本值,其样本的k 阶原点矩为 nikixn11).,2,1(mk 这样,我们按照“当参数等于其估

40、计量时,总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程,即有 nimimmniimniimxnvxnvxnv121122121211.1),(,1),(,1),(由上面的m个方程中,解出的m个未知参数),(21m即为参数(m,21)的矩估计量。若为的矩估计,)(xg为连续函数,则)(g为)(g的矩估计。精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 极大似然估计 当总体 X为连续型随机变量时,设其分布密度为),;(21mxf,其中m,21为未知参数。又设nxxx,21为总体的一个样本,称),;(),(11122nimimxfL 为样本的似然函数,简记为Ln.当总体 X为离型随机

41、变量时,设其分布律为),;(21mxpxXP,则称),;(),;,(1111222nimimnxpxxxL 为样本的似然函数。若似然函数),;,(2211mnxxxL在m,21处取到最大值,则称m,21分别为m,21的最大似然估计值,相应的统计量称为最大似然估计量。miLiiin,2,1,0ln 若为的极大似然估计,)(xg为单调函数,则)(g为)(g的极大似然估计。(2)估计量 的 评选 标准 无偏性 设),(21nxxx为未知参数的估计量。若 E()=,则称 为的无偏估计量。E(X)=E(X),E(S2)=D(X)有效性 设),(2111nxxx和),(2122nxxx是未知参数的两个无偏

42、估计量。若)()(21DD,则称21比有效。精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 一致性 设n是的一串估计量,如果对于任意的正数,都有,0)|(|limnnP 则称n为的一致估计量(或相合估计量)。若为的无偏估计,且),(0)(nD则为的一致估计。只要总体的E(X)和 D(X)存在,一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。(3)区间 估计 置信区间 和 置信度 设总体 X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本nxxx,21出发,找出两个统计量),(2111nxxx与),(2122nxxx)(21,使得区间,21以)10(1的概率包含这个待估参数,

43、即,121P 那么称区间,21为的置信区间,1为该区间的置信度(或置信水平)。单正态总体的期望和方差的区间估计 设nxxx,21为总体),(2NX的一个样本,在置信度为1下,我们来确定2和的置信区间,21。具体步骤如下:(i)选择样本函数;(ii)由置信度1,查表找分位数;(iii)导出置信区间,21。已知方差,估计均值(i)选择样本函数).1,0(/0Nnxu(ii)查表找分位数.1/0nxP(iii)导出置信区间 nxnx00,精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 未知方差,估计均值(i)选择样本函数).1(/ntnSxt (ii)查表找分位数 .1/nS

44、xP(iii)导出置信区间 nSxnSx,方差的区间估计(i)选择样本函数).1()1(222nSnw(ii)查表找分位数 .1)1(2221SnP (iii)导出的置信区间 SnSn121,1 第八章 假设检验 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 基本思想 假设检验的基本思想:认为小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的,即小概率原理。为了检验一个假设 H0是否成立。我们先假定 H0是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生,那就表明原来的假定 H0是不正确的,我们拒绝接受 H0;如果由此没有导出不合理的现象,则不能拒绝接受 H0,我们称 H0是

45、相容的。与 H0相对的假设称为备择假设,用H1表示。这里所说的小概率事件就是事件RK(事件即:统计量 K的观测值K落入拒绝(区)域 R,R由给定的显著性水平 查相应的分布表确定。)其概率就是检验水平,通常我们取 =0.05,有时也取 0.01或 0.10。基本步骤 假设检验的基本步骤如下:(i)提出零假设 H0;(ii)选取统计量 K;(iii)对于检验水平 查表找分位数;(iv)由样本值nxxx,21计算统计量 K的观测值K;比较与K的大小,作出判断:当)(|KK或时否定 H0;否则,认为 H0相容。两类错误 第一类 错误 当 H0为真时,而样本值(实际是指由样本值计算出的统计量 K的观测值

46、K)却落入了拒绝域(有 的概率),但按照我们规定的检验法则,应当拒绝 H0。这时,我们把客观上 H0成立判为 H0为不成立(即否定了真实的假设),称这种错误为“以真当假(弃真)”的错误或第一类错误,记为犯此类错误的概率,即 P否定 H0|H0为真=;此处的恰好为检验水平。精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 第二类 错误 当 H0为假(即 H1为真)时,而样本值却落入了接受域,按照我们规定的检验法则,应当接受 H0。这时,我们把客观上H0。不成立判为 H0成立(即接受了不真实的假设),称这种错误为“以假当真(受假)”的错误或第二类错误,记为犯此类错误的概率,即

47、 P接受 H0|H1为真=。拒绝域、接受域 都是针对零假设 H0而言。注:零假设 H0 总是有等号(包含大于等于或小于等于)。两类 错误 的 关系 人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是,当样本容量 n 一定时,变小,则变大;相反地,变小,则变大。取定要想使变小,则必须增加样本容量。在实际使用时,通常人们只能控制犯弃真错误的概率,即给定显著性水平。大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”时,则应把取得很小,如 0.01,甚至 0.001。反之,则应把取得大些。单正态总体均值和方差的假设检验 条件 零假设 统计量 对应样本 函数分布 拒绝域 2 已知 00:H nxU/00 N(0,1)2|uu 00:H uu 00:H uu 2 未知 00:H nSxT/0)1(nt)1(|2ntt 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 00:H)1(ntt 00:H)1(ntt 2 未知 220:H 202)1(Snw)1(2n)1()1(22122nwnw或 2020:H)1(2nw 2020:H)1(21nw

展开阅读全文
相关资源
相关搜索

当前位置:首页 > 教育专区 > 高考资料

本站为文档C TO C交易模式,本站只提供存储空间、用户上传的文档直接被用户下载,本站只是中间服务平台,本站所有文档下载所得的收益归上传人(含作者)所有。本站仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对上载内容本身不做任何修改或编辑。若文档所含内容侵犯了您的版权或隐私,请立即通知得利文库网,我们立即给予删除!客服QQ:136780468 微信:18945177775 电话:18904686070

工信部备案号:黑ICP备15003705号-8 |  经营许可证:黑B2-20190332号 |   黑公网安备:91230400333293403D

© 2020-2023 www.deliwenku.com 得利文库. All Rights Reserved 黑龙江转换宝科技有限公司 

黑龙江省互联网违法和不良信息举报
举报电话:0468-3380021 邮箱:hgswwxb@163.com