概率统计公式大全——概率论部分.pdf

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1、第 1 章 随机事件及其概率 第 1 章 随机事件及其概率（1）排列组合公式)!(!nmmPnm=从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。)!(!nmnmCnm=从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。（2）加法和 乘 法 原理 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mn 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mn 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第

2、二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 mn 种方法来完成。（3）一些常见排列 重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试 验 和 随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空 间 和 事件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表

3、示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，表示事件，它们是的子集。为必然事件，为不可能事件。不可能事件（）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。（6）事件的 关 系 与运算 关系：如果事件 A 的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA 如果同时有BA，AB，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A 与 B的差，记为A-

4、B，也可表示为A-AB或者BA，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：AB，或者AB。AB=，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。运算：结合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC)(AB)C=(AC)(BC)德摩根率：BABA=，BABA=（7）概率的 公 理 化定义 设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数 P(A)，若满足下列三个条件：1 0P(A)1，2 P()=1

5、3 对于两两互不相容的事件，有 常称为可列（完全）可加性。则称 P(A)为事件的概率。（8）古典概型 1 n?21,=，2 nPPPn1)()()(21=?。设任一事件，它是由m?21,组成的，则有 P(A)=)()()(21m?=)()()(21mPPP+?nm=基本事件总数所包含的基本事件数A=（9）几何概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A，)()()(=LALAP。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积）。（10）加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A

6、B)当 P(AB)0 时，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)当 BA 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当 A=时，P(B)=1-P(B)（12）条件概率 定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)0，则称)()(APABP为事件 A 发生条件下，事件 B 发生的条件概率，记为=)/(ABP)()(APABP。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。A=11iiiiAAAA1A2A=11)(iiiiAPAPAA例如 P(/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)（13）乘法公式 乘法公式：)/()()(ABPAPABP=更一般地，

7、对事件 A1，A2，An，若 P(A1A2An-1)0，则有。（14）独立性 两个事件的独立性 两个事件的独立性 设事件、满足，则称事件、是相互独立的。若事件、相互独立，且，则有 若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。必然事件和不可能事件 与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。多个事件的独立性 多个事件的独立性 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A、B、C 相互独立。对于 n 个事件类似。（15）全概公式 设事件满足 1两

8、两互不相容，2，则有。（16）贝叶斯公式 设事件，及满足 1，两两互不相容，0，1，2，2，则=njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(，i=1，2，n。此公式即为贝叶斯公式。)(iBP，（，），通常叫先验概率。)/(ABPi，（，），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。（17）伯努利概型 我们作了次试验，且满足?每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；?次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；21(AAP)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP=21|(AAAPn)1nAAB)()()(BPAPABP=

9、ABAB0)(AP)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP=ABABABABnBBB,21?nBBB,21?),2,1(0)(niBPi?=niiBA1=)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP+=?1B2BnBA1B2BnB)(BiP=inniiBA1=0)(AP1=i2n1=i2nnAAnA?每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。用表示每次试验发生的概率，则发生的概率为，用表示重伯努利试验中出现次的概率，。第二章 随机变量及其分布 第二章 随机变量及其分

10、布（1）离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量的可能取值为 Xk(k=1,2,)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,，则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：。显然分布律应满足下列条件：（1），（2）。（2）连续型随机变量的分布密度 设是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有，则称为连续型随机变量。称为的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面 4 个性质：1 。2 。（3）离散与连续型随机变量的关系 dxxfdxxXxPxXP)()()(+=积分元dxxf)(在连续型随机变量理论中所起的作用

11、与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。AAnpAAqp=1)(kPnnA)0(nkkknkknnqpkPC=)(nk,2,1,0?=XX?,|)(2121kkkpppxxxxXPX=0kp?,2,1=k=11kkp)(xFX)(xfx=xdxxfxF)()(X)(xfX0)(xf+=1)(dxxfkkpxXP=)(（4）分布函数 设X为随机变量，x是任意实数，则函数)()(xXPxF=称为随机变量 X 的分布函数，本质上是一个累积函数。)()()(aFbFbXaP=可以得到 X 落入区间,(ba的概率。分布函数)(xF表示随机变量落入区间（，x内的概率。分布函数具有如下性质：1 ,1)(0

12、 xF +x；2 )(xF是单调不减的函数，即21xx 时，有)(1xF)(2xF；3 0)(lim)(=xFFx，1)(lim)(=+xFFx；4 )()0(xFxF=+，即)(xF是右连续的；5 )0()()(=xFxFxXP。对于离散型随机变量，=xxkkpxF)(；对于连续型随机变量，=xdxxfxF)()(。（5）八大分布 0-1 分布 P(X=1)=p,P(X=0)=q 二项分布 在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则X可能取值为n,2,1,0?。knkknnqpCkPkXP=)()(，其中nkppq,2,1,0,10,1?=，?2,1,

13、0=k，则称随机变量X服从参数为的泊松分布，记为)(X或者 P()。泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n）。超几何分布),min(,2,1,0,)(nMllkCCCkXPnNknMNkM=?随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。几何分布?,3,2,1,)(1=kpqkXPk，其中 p0，q=1-p。随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。均匀分布 设随机变量的值只落在a，b内，其密度函数在a，b上为常数ab 1，即 =,0,1)(abxf 其他，则称随机变量在a，b上服从均匀分布，记为 XU(a，b)。分布函数为 当 ax1x2b 时

14、，X 落在区间（）内的概率为 abxxxXxP=1221)(。X)(xfX=xdxxfxF)()(21,xx0，xb。axb 指数分布 其中，则称随机变量 X 服从参数为的指数分布。X 的分布函数为 记住积分公式：!0ndxexxn=+正态分布 设随机变量的密度函数为 222)(21)(=xexf，其中、为常数，则称随机变量服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为。具有如下性质：1 的图形是关于对称的；2 当时，21)(=f为最大值；若，则的分布函数为。参数、时的正态分布称为标准正态分布，记为，其密度函数记为，+x，分布函数为=xtdtex2221)(。是不可求积函数，其函数值，已

15、编制成表可供查用。(-x)1-(x)且(0)21。如果X),(2N，则X)1,0(N。=X+X),(2NX)(xf)(xf=x=x),(2NXXdtexFxt=222)(21)(0=1=)1,0(NX2221)(xex=)(x=)(xf ,xe0 x0,0 x=)(xF ,1xe0 x xXP。（7）函数分布 离散型 已知X的分布列为?,)(2121nnipppxxxxXPX=，)(XgY=的分布列（)(iixgy=互不相等）如下：?,),(,),(),()(2121nnipppxgxgxgyYPY=，若有某些)(ixg相等，则应将对应的ip相加作为)(ixg的概率。连续型 先利用 X 的概率

16、密度 fX(x)写出 Y 的分布函数 FY(y)P(g(X)y)，再利用变上下限积分的求导公式求出 fY(y)。第三章 二维随机变量及其分布（1）联合分布 离散型 如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称为离散型随机量。设=（X，Y）的所有可能取值为),2,1,)(,(?=jiyxji，且事件=),(jiyx的概率为pij,称),2,1,(),(),(?=jipyxYXPijji 为=（X，Y）的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：Y X y1 y2 yj x1 p11 p12 p1j x2 p21 p22 p2j?

17、xi pi1 ijp?这里pij具有下面两个性质：（1）pij0（i,j=1,2,）；（2）.1=ijijp 连续型 对 于 二 维 随 机 向 量),(YX=，如 果 存 在 非 负 函 数),)(,(+yxyxf，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域 D，即 D=(X,Y)|axb,cyd有=DdxdyyxfDYXP,),(),(则称为连续型随机向量；并称 f(x,y)为=（X，Y）的分布密度或称为 X 和 Y 的联合分布密度。分布密度 f(x,y)具有下面两个性质：（1）f(x,y)0;（2）+=.1),(dxdyyxf（2）二维随 机 变 量的本质)(),(yYxXyYxX=（

18、3）联合分布函数 设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数 x,y,二元函数,),(yYxXPyxF=称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函数。分 布 函 数 是 一 个 以 全 平 面 为 其 定 义 域，以 事 件)(,)(|),(2121yYxXx1时，有 F（x2,y）F(x1,y);当 y2y1时，有 F(x,y2)F(x,y1);（3）F（x,y）分别对 x 和 y 是右连续的，即);0,(),(),0(),(+=+=yxFyxFyxFyxF（4）.1),(,0),(),(),(=+=FxFyFF（5）对于，2121yyxx 0)()()()

19、(11211222+yxFyxFyxFyxF，.（4）离散型 与 连 续型的关系 dxdyyxfdyyYydxxXxPyYxXP)()()(，+=（5）边缘分布 离散型 X 的边缘分布为),2,1,()(?=jipxXPPijjii；Y 的边缘分布为),2,1,()(?=jipyYPPijijj。连续型 X 的边缘分布密度为+=；dyyxfxfX),()(Y 的边缘分布密度为.),()(+=dxyxfyfY（6）条件分布 离散型 在已知X=xi的条件下，Y 取值的条件分布为；=iijijppxXyYP)|(在已知Y=yj的条件下，X 取值的条件分布为,)|(jijjippyYxXP=连续型 在

20、已知 Y=y 的条件下，X 的条件分布密度为)(),()|(yfyxfyxfY=；在已知 X=x 的条件下，Y 的条件分布密度为)(),()|(xfyxfxyfX=（7）独立性 一般型 F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型 jiijppp=有零不独立 连续型 f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：可分离变量 正概率密度区间为矩形 二维正态分布,121),(2222121211221)(2)1(212+=yyxxeyxf0 随机变量的函数 若 X1,X2,Xm,Xm+1,Xn相互独立，h,g 为连续函数，则：h（X1，X2,Xm）和 g（Xm+1,Xn）相互独立。特例：若 X

21、 与 Y 独立，则：h（X）和 g（Y）独立。例如：若 X 与 Y 独立，则：3X+1 和 5Y-2 独立。（8）二维均匀分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为=其他,0),(1),(DyxSyxfD 其中 SD为区域 D 的面积，则称（X，Y）服从 D 上的均匀分布，记为（X，Y）U（D）。例如图 3.1、图 3.2 和图 3.3。y 1 D1 O 1 x 图 3.1 y 1 O 2 x 图 3.2 y d c O a b x 图 3.3 D2 1 D3（9）二维正态分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为,121),(2222121211221)(2)1(212+=yyxxeyxf

22、其中1|,0,0,21,21是 5 个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，记为（X，Y）N（).,2221,21 由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即 XN（).(),22,2211NY 但是若 XN（)(),22,2211NY，(X，Y)未必是二维正态分布。（10）函数分布 Z=X+Y 根据定义计算：)()()(zYXPzZPzFZ+=对于连续型，fZ(z)dxxzxf+),(两个独立的正态分布的和仍为正态分布（222121,+）。n 个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。=iiiC，=iiiC222 Z=max,min(X1,X2,Xn)若n

23、XXX?21,相 互 独 立，其 分 布 函 数 分 别 为)()()(21xFxFxFnxxx?，则 Z=max,min(X1,X2,Xn)的分布函数为：)()()()(21maxxFxFxFxFnxxx?=)(1)(1)(1 1)(21minxFxFxFxFnxxx=?第四章 随机变量的数字特征 第四章 随机变量的数字特征（1）一 维随 机变 量的 数字 特征 离散型 连续型 期望 期望就是平均值 设 X 是离散型随机变量，其分布律 为P(kxX=)pk，k=1,2,n，=nkkkpxXE1)(（要求绝对收敛）设 X 是连续型随机变量，其概率密度为 f(x)，+=dxxxfXE)()(（要

24、求绝对收敛）函数的期望 Y=g(X)=nkkkpxgYE1)()(Y=g(X)+=dxxfxgYE)()()(方差 D(X)=EX-E(X)2，标准差)()(XDX=，=kkkpXExXD2)()(+=dxxfXExXD)()()(2 矩 对于正整数 k，称随机变量 X的 k 次幂的数学期望为 X 的 k阶原点矩，记为 vk,即 k=E(Xk)=iikipx,k=1,2,.对于正整数 k，称随机变量 X与 E（X）差的 k 次幂的数学期望为 X 的 k 阶中心矩，记为k，即.)(kkXEXE=iikipXEx)(，k=1,2,.对于正整数 k，称随机变量 X 的k 次幂的数学期望为 X 的 k

25、 阶原点矩，记为 vk,即 k=E(Xk)=+,)(dxxfxk k=1,2,.对于正整数 k，称随机变量 X 与E（X）差的 k 次幂的数学期望为 X的 k 阶中心矩，记为k，即.)(kkXEXE=+,)()(dxxfXExk k=1,2,.切比雪夫不等式 设随机变量 X 具有数学期望 E（X）=，方差 D（X）=2，则对于任意正数，有下列切比雪夫不等式 22)(XP 切比雪夫不等式给出了在未知 X 的分布的情况下，对概率)(XP 的一种估计，它在理论上有重要意义。（2）期 望的 性质（1）E(C)=C（2）E(CX)=CE(X)（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)，=niniiiiiXE

26、CXCE11)()(（4）E(XY)=E(X)E(Y)，充分条件：X 和 Y 独立；充要条件：X 和 Y 不相关。（3）方 差的 性质（1）D(C)=0；E(C)=C（2）D(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)（3）D(aX+b)=a2D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b（4）D(X)=E(X2)-E2(X)（5）D(XY)=D(X)+D(Y)，充分条件：X 和 Y 独立；充要条件：X 和 Y 不相关。D(XY)=D(X)+D(Y)2E(X-E(X)(Y-E(Y)，无条件成立。而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。（4）常 见分 布的 期望 和方差 期望 方差 0-1

27、 分布),1(pB p)1(pp 二项分布),(pnB np)1(pnp 泊松分布)(P 几何分布)(pG p1 21pp 超几何分布),(NMnH NnM 11NnNNMNnM 均匀分布),(baU 2ba+12)(2ab 指数分布)(e 1 21 正态分布),(2N 2 分布2 n 2n t 分布 0 2nn(n2)（5）二 维随 机变 量的 数字 特征 期望=niiipxXE1)(=njjjpyYE1)(+=dxxxfXEX)()(+=dyyyfYEY)()(函数的期望),(YXGE ijijjipyxG),(),(YXGE +dxdyyxfyxG),(),(方差 =iiipXExXD2

28、)()(=jjjpYExYD2)()(+=dxxfXExXDX)()()(2+=dyyfYEyYDY)()()(2 协方差 对于随机变量 X 与 Y，称它们的二阶混合中心矩11为 X 与 Y 的协方差或相关矩，记为),cov(YXXY或，即).()(11YEYXEXEXY=与记号XY相对应，X 与 Y 的方差 D（X）与 D（Y）也可分别记为XX与YY。相关系数 对于随机变量 X 与 Y，如果 D（X）0,D(Y)0，则称)()(YDXDXY 为 X 与 Y 的相关系数，记作XY（有时可简记为）。|1，当|=1 时，称 X 与 Y 完全相关：1)(=+=baYXP完全相关=，时负相关，当，时正

29、相关，当)0(1)0(1aa 而当0=时，称 X 与 Y 不相关。以下五个命题是等价的：0=XY；cov(X,Y)=0;E(XY)=E(X)E(Y);D(X+Y)=D(X)+D(Y);D(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵 YYYXXYXX 混合矩 对于随机变量 X 与 Y，如果有)(lkYXE存在，则称之为 X 与 Y 的k+l阶混合原点矩，记为kl；k+l阶混合中心矩记为：.)()(lkklYEYXEXEu=（6）协 方差 的性质(i)cov(X,Y)=cov(Y,X);(ii)cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii)cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+co

30、v(X2,Y);(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).（7）独 立和 不相关（i）若随机变量 X 与 Y 相互独立，则0=XY；反之不真。（ii）若（X，Y）N（,222121），则 X 与 Y 相互独立的充要条件是 X 和 Y 不相关。第五章 大数定律和中心极限定理 第五章 大数定律和中心极限定理（1）大数定律 X 切比雪夫大数定律 设随机变量 X1，X2，相互独立，均具有有限方差，且被同一常数 C 所界：D（Xi）C(i=1,2,),则对于任意的正数，有.1)(11lim11=niiniinXEnXnP 特殊情形：若 X1，X2，具有相同的数学期望 E（XI）=，则上式成

31、为.11lim1=niinXnP 伯努利大数定律 设是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A 在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数，有.1lim=pnPn 伯努利大数定律说明，当试验次数 n 很大时，事件 A 发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即.0lim=pnPn 这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大数定律 设 X1，X2，Xn，是相互独立同分布的随机变量序列，且 E（Xn）=，则对于任意的正数有.11lim1=niinXnP（2）中心极限定理),(2nNX 列维林德伯格定理 设随机变量 X1，X2，相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：),2,1(0)(,)(2?=kXDXEkk，则随机变量 nnXYnkkn=1 的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有=xtnkknnndtexnnXPxF.21lim)(lim212 此定理也称为独立同分布独立同分布的中心极限定理。棣莫弗拉普拉斯定理 设随机变量nX为具有参数 n,p(0pnpn时，则 ekppCkknkkn!)1().(n 其中 k=0，1，2，n，。二项分布的极限分布为泊松分布。