高考数学（真题+模拟新题分类汇编）数列文.pdf

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1、数 列 D 1 数 列 的 概 念 与 简 单 表 示 法 15.DI,D512013 湖 南 卷 时 于 E=a,a2,-aiw 的 子 集 X=aii,a i2,a i j,定 义 X的 特 征 数 列 为 Xi,x2,Xioo,其 中 x i i=x i 2=*=x i k=l,其 余 项 均 为 0.例 如:子 集 az,a j 的“特 征 数 列”为 0,1,1,0,0,，O 子 集 a“a”a j 的“特 征 数 列”的 前 3 项 和 等 于.；若 E 的 子 集 P 的 特 征 数 列 p”p2,pioo满 足 pi=l,Pi+pi+i=l,lW iW 99；E的 子 集 Q

2、的 特 征 数 列 q“qz，q皿 满 足 卬=1，q+qj+i+q,+2=l,lW jW 9 8,则 PCQ的 元 素 个 数 为.15.2 17 解 析(1)由 特 征 数 列 的 定 义 可 知，子 集 a“a3)as 的“特 征 数 列”为 1,0,1,0,1,0-,0,故 可 知 前 三 项 和 为 2.根 据“E 的 子 集 P 的“特 征 数 列 p p z,，p 满 足 a=L P i+pi+1=l,lW iW 99”可 知 子 集 P 的“特 征 数 列”为 1,0,1,0,，1,0.即 奇 数 项 为 1,偶 数 项 为 0.根 据“E 的 子 集 Q的“特 征 数 列”q

3、“q z,，qwo满 足 q=l,q+q*+q j+2=l,lW jW 98”可 知 子 集 Q的“特 征 数 列 为 1,0,0,1,0,0,0,1.即 项 数 除 以 3 后 的 余 数 为 1的 项 为 1,其 余 项 为 0,则 P C Q的 元 素 为 项 数 除 以 6 余 数 为 1 的 项，可 知 有 a a”al3,a9；,共 1 7项.4.DI 2013 辽 宁 卷 下 面 是 关 于 公 差 d0的 等 差 数 列 an 的 四 个 命 题：p u 数 列 a,是 递 增 数 列；p2：数 列 n a j是 递 增 数 列；P3：数 列 是 递 增 数 列；p,：数 列

4、a“+3nd 是 递 增 数 列.其 中 的 真 命 题 为()A.pi,p2 B.P3，piC.P2,P3 D.Pi,P.|4.D 解 析 因 为 数 列&J为 d 0的 数 列，所 以 是 递 增 数 列，则 必 为 真 命 题.而 数 列 an+3nd 也 是 递 增 数 列，所 以 pi为 真 命 题，故 选 D.D 2 等 差 数 列 及 等 有 效 期 数 列 前 n 项 和 19.D2,D4E2013-安 徽 卷 设 数 列 瓜 满 足=2,a2+at=8,且 对 任 意 n N,函 数 f(x)=(anan+i+an+2)x+an+icos xan+2sin x 满 足 f(V

5、=(1)求 数 列 a j 的 通 项 公 式；(2)若 bn=2|a+y-求 数 列 bn 的 前 n 项 和 Sn.1 9.解：(1)由 题 设 可 得，f(x)=anan+i+an+2an+isin xan+2cos x.对 任 意 nN*,fz an+i+an+2an+i=0,即 an+ian=an+2a m,故 a j 为 等 差 数 列.由 a i=2,a2+a.i=8,解 得 a j 的 公 差 d=l,所 以 an=2+l(n1)=n+l.由 f+E+l=2n+*+2 知,t _ nn(n+1)2 2 2 1S=bi+b2d-Fbu=2n+2-+-7-=n+3n+lr;.乙 1

6、 乙 7.D2 2013 安 徽 卷 设/为 等 差 数 列 aj的 前 n 项 和,S8=4a3,a7=-2,则-=()A.-6 B.-4 C.-2 D.27.A 解 析 设 公 差 为 d,则 8ai+28d=4ai+8d,即 ai=-5d,a7=ai+6d=-5d+6d=d=-2,所 以 a9=a7+2d=-6.20.M2,D2,D3,D5 2013 北 京 卷 给 定 数 列 al，a2,，an,对 i=l,2,，n-1,该 数 列 前 i项 的 最 大 值 记 为 A,后 ni项 ai+i,a+2,，形 的 最 小 值 记 为 B”di=Ai-Bi.设 数 列 aj为 3,4,7,1

7、,写 出 d”d2,d3的 值;设 ai,a2,an(n24)是 公 比 大 于 1 的 等 比 数 列，且 ai0.证 明：di,dz,，dn-i是 等 比 数 列；设 di,dz,，dn-i是 公 差 大 于 0 的 等 差 数 列，且 di0,证 明：a”2,，a一 是 等 差 数 列.20.解：(l)di=2,d2=3,d3=6.(2)证 明：因 为 囱 0,公 比 q l,所 以 a”&，,既 是 递 增 数 列.因 此，对 7=1,2,，n 1,Ai=ai,Bi=ai+i.于 是 对 i=l,2,n1,di=Ai-Bi=aiai+i=ai(1q)q1-1.Q.1.因 此 diWO

8、且 1 一=q(i=l,2,，n2),diBP d d2,，d i 是 等 比 数 列.(3)证 明：设 d 为 d”d2,d-的 公 差.对 l W i W n-2,因 为 d0,所 以 Ai+i=B+di+i2Bi+di+dBi+di=Ai.又 因 为 Ai+i=max A ai+J,所 以 ai+尸 Ai+i Ai2ai.从 而 a1，a2,a 1 是 递 增 数 列，因 此 Ai=aMi=l,2,n1).又 因 为 Bi=Ai-di=ai-dKai,所 以 BKaKa?a1.因 此 3n=Bl.所 以 Bi=B2=-=Bn-i=afl.所 以 ai=Ai=Bi+di=an+di.因 此

9、 对 i=l,2,，n2 都 有 用+iai=di+i di=d,BP au&,，a I 是 等 差 数 列.17.D2、D4 2013 全 国 卷 等 差 数 列 aj中,a7=4,a19=2a9.(1)求 的 通 项 公 式；(2)设 b.=，求 数 列 限 的 前 n 项 和 Sznan17.解：(1)设 等 差 数 列 E J 的 公 差 为 d,则 an=ai+(nl)d.a7=4,|ai+6d=4,因 为 所 以 ai9=2a9,ai+18d=2(ai+8d),解 得 a1=L d=：.所 以 E 的 通 项 公 式 为 a.=*.i 9 2 2(2)因 为 b“=所 以 na n

10、(n+1)n n+12n=n+T-17.D2,D32013 福 建 卷 已 知 等 差 数 列 aj的 公 差 d=l,前 n 项 和 为 S.(1)若 1,a as成 等 比 数 列，求 a“(2)若 S5aia9,求 a 的 取 值 范 围.17.解:(1)因 为 数 列 凡 的 公 差 d=l,且 1,a”a,成 等 比 数 列，所 以 a；=lX(ad2),即 aia,2=0,解 得 ai 1 或 ai=2.(2)因 为 数 列 aj的 公 差 d=l,且 S5ala9.所 以 5a1+10ai+8a1,即 aj+3al 10 解 得 一 5a)即(ai+10d)2=ai(ai+12d

11、),于 是 d(2a,+25d)=0.又 ai=25,所 以 d=0(舍 去)，d=-2.故 a=2n+27.(2)令 S“=ai+ai+a7H-Fa31 1T.由(1)知 a3-=-6 n+3 1,故 展 1 是 首 项 为 25,公 差 为 一 6 的 等 差 数 列.从 而 S=(a i+a 3-2)=(6n+56)3n2+28n.20.D22013 山 东 卷 设 等 差 数 列 aj的 前 n 项 和 为 Sn,且 S4=4Sz,a2=2a+l.(1)求 数 列 aj的 通 项 公 式；(2)若 数 列 bn 满 足 灯+b 4-F2=1-J,ndN*,求(b)的 前 n 项 和 T

12、、ai a2 an 220.解：(1)设 等 差 数 列 a“的 首 项 为 a“公 差 为 d.由 S.1 4S2,a2n=2&1+1 得4ai+6d=8ai+4d,a1+(2n1)d=2ai+2(n 1)d+1.解 得 ai=l,d=2.因 此 an=2n1,nGN*.(2)由 已 知 包 十 包 H-1 J,nGN*,31 32 3n 2当 n=l 时，=!；ai 2当 心 2 时,*1 9 _(1 一 制/所 以 neN*.Sn 22n1由 知 an=2n1,n G N*,所 以 bn=-5 一,nN*.又 Tn=+堤+/+专 工 两 式 相 减 得 2n 3.2n 12n所 以 T“

13、=32n+317.D22013 陕 西 卷 设 S”表 示 数 列&的 前 n 项 和.(1)若 a j 是 等 差 数 列，推 导 S”的 计 算 公 式；(2)若 揶=1,q#0,且 对 所 有 正 整 数 n,有 权=尸.判 断 a j 是 否 为 等 比 数 列，并 证 明 1q你 的 结 论.17.解：(1)方 法 一：设 a j 的 公 差 为 d,则 S=ai+a2+,+af l=ai+(ai+d)4-1&+(n-l)d,又 Stl=an+(an-d)H-1-a(n1)d,/.2Sn=n(ai+an),.n(ai+a)*On-2 方 法 二：设 a,的 公 差 为 d,则 Sn=

14、ai+a2+*+an=ai+(ai+d)+,+ai+(nl)d,又 Sn=an+an-H-Fai=ai+(n-1)d+a,i+(n-2)d+a，2Sn=2ai+(n 1)d+2ai+(n 1)d+2ai+(n 1)d=2nai+n(nl)d,.q.n(n-1).Sn=nai+-d.aj是 等 比 数 列.证 明 如 下：_ _(j(l_q)_ 1q 1q 1q 联 nV ai=1,qNO,，当 nel 时，有-=i=q.an q因 此，a“是 首 项 为 1 且 公 比 为 q 的 等 比 数 列.16.D2,D3E2013 四 川 卷 在 等 比 数 列 a.中，a2-a t=2,且 2a2

15、为 3。和 比 的 等 差 中 项,求 数 列 a,的 首 项、公 比 及 前 n 项 和.16.解：设 该 数 列 的 公 比 为 q,由 已 知，可 得 a y a1=2,4aiq=3a1+a1q2,所 以，a,(q1)=2,q24q+3=0,解 得 q=3 或 q=l.由 于 aKq-1)=2,因 此 q=l 不 合 题 意，应 舍 去.故 公 比 q=3,首 项 ai=l.所 以，数 列 的 前 n 项 和 Sn=Z3ny-.117.D2、D4E2013 新 课 标 全 国 卷 I 已 知 等 差 数 列 的 前 n 项 和 S满 足$3=0,S6=-5.(1)求 a0 的 通 项 公

16、 式；(2)求 数 列 1 1)的 前 n 项 和.32n-1 3 2 1 1+1 J1 7.解：(1)设&J 的 公 差 为 d,则 S n=g+(丁)d3ai+3 d=0,由 已 知 可 得 1,解 得 ai=l,d=-I.l5ai+l0d=5,故 an 的 通 项 公 式 为 a=2n.a2n-ia2n+i(32n)(12n)22n3 2n1/数 歹 一 一 1的 前 n 项 和 为；(一 一:+；-；-1-k J J)=1.a2n-ia2n+ij 21 1 1 3 2n3 2n17 12n19.D22013 浙 江 卷 在 公 差 为 d 的 等 差 数 列 卷 中,已 知=1 0,且

17、 2a2+2,5a3成 等 比 数 列.求 d,a,；(2)若 d0,求|3|+区|+|ao|T-F Ian|.1 9.解：(1)由 题 意 得 5a3 ai=(2az+2)1即 d2-3d-4=0.故 d=-1 或 d=4.所 以 既=n+11,nN*或 dn=4n+6,nN*.(2)设 数 列 aj的 前 n 项 和 为 S n,因 为 d0,证 明：a a”，a-是 等 差 数 列.20.解：(1)5=2,&=3,&=6.(2)证 明：因 为 aDO,公 比 ql,所 以 4,a2,a“是 递 增 数 列.因 此，对 i=l,2,n1,Ai=ai,Bi=ai+i.于 是 对 i=l,2,

18、n1,di Ai-Bi=a(ai+i=ai(1q)q-I.因 此 d H O 且 U-=q(i=l,2,，n2),即 d”d2,d I 是 等 比 数 列.(3)证 明：设 d 为 dl,d2,，&T 的 公 差.对 IWiWn2,因 为 d0,所 以 Ai+i=Bi+i+di+i2Bi+&+dBi+di=Ai.又 因 为 Ai+i=max Ai,ai+J,所 以 ai+i=Ai+iAi2ai.从 而 ai,a2,&一 是 递 增 数 列，因 此 Ai=ai(i=l,2,n1).又 因 为 Bi=Ai-di=di-d ai,所 以 BKaKa?0,b0)的 左、右 焦 点 分 别 a b为 R

19、,&,离 心 率 为 3,直 线 y=2 与 C 的 两 个 交 点 间 的 距 离 为 求 a,b；(2)设 过&的 直 线 1 与 C 的 左、右 两 支 分 别 交 于 A,B 两 点,且|AFj=|BR|,证 明：|晒|,|AB|,IBF2I成 等 比 数 列.22.解：(1)由 题 设 知=3,即 2=9,故 b2=8a；a a所 以 C 的 方 程 为 8x2y2=8a?.将 y=2 代 入 上 式，并 求 得 x=-a2+1.由 题 设 知，2 口=/，解 得 a?=l.所 以 a=l,b=2 乖.(2)证 明：由(1)知，Fi(-3,0),F2(3,0),C 的 方 程 为 8

20、x?y2=8.由 题 意 可 设 1 的 方 程 为 y=k(x3),1k|2镜，代 入 并 化 简 得 G Mx?616+y；=d(xi+3)2+8x；-8=-(3xi+l),|BFi I=y(x2+3)2+y2=yj(x2+3)2+8x28=3x2+1.9由|AFI|=|BFI 一(3XI+1)=3 X2+1,即 xi+x2=-o,6k2 2 2 4“一 19故 记 二=-q，解 得 k=m，从 而 xiX2=-由 于 IAF21=yj(X L 3)斗 y：=y/(X L 3)+8xf-8=1-3xi,IBF21=y(x；-3)+yf=N(X2-3)、+8x；-8=3x2-1,I AB|=

21、|AF21-IBF21=2-3(xi+x2)=4,IAF2I,BF2I=3(xi+x2)9 XIX 21=16.因 而 IAF2I|B F2|=|AB 2,所 以|但|,|AB|,IBF2I成 等 比 数 列.47.D3 2013 全 国 卷 已 知 数 列 aj满 足 3an+i+an=0,a2=则 瓜 的 前 10项 和 等 于()A.-6(l-3-1)B.(l-310)C.3(1-3)D.3(1+3)7.C 解 析 由 3a“+d a“=0,得 a“W 0(否 则 a?=0)且 2=一 4，所 以 数 列 a“是 公 比 为(n104 X 1(I-11 I 3/i10一)的 等 比 数

22、列，代 入 a?可 得 小=4,故 S”,=-t-3 X i-l=3(1-3-,0).1+L/J317.D2,D3 2013 福 建 卷 已 知 等 差 数 列 aj的 公 差 d=l,前 n 项 和 为 S0.若 1,a1,a3成 等 比 数 列,求 出；若 SsMa”求 ai的 取 值 范 围.17.解：(1)因 为 数 列 因 油 的 公 差 d=l,且 1,a”a3成 等 比 数 列，所 以 a；=1 X 0+2),即 a：ai2=0,解 得 a=-1 或 a1=2.(2)因 为 数 列 aj的 公 差 d=l,且 SsMa”所 以 5ai+10al+8ai,BP a?+3ai-100

23、,解 得 一 5a2.11.D312013 广 东 卷 设 数 列 aj是 首 项 为 1,公 比 为 一 2 的 等 比 数 列,则 adl&l+aa+I a,|=.11.15 解 析 方 法 一：易 求 得 a?=-2,a3-4,&=-8,尿|+a：,+|aj=15.1 91方 法 二：相 当 于 求 首 项 为 1,公 比 为 2 的 等 比 数 列 的 前 4 项 和，S,=15.1 乙 14.D3 2013 江 苏 卷 在 正 项 等 比 数 列 以 中，a5=1,ao+a7=3.则 满 足 a1+a2H-FaQa包 a”的 最 大 正 整 数 n 的 值 为.14.12 解 析 设

24、 aj的 公 比 为 q.由 a5=1及 eu(q+q2)=3 得 q=2,所 以 a】=,所 以 a6=l,aia2-au=ai1=:l,此 时 ai+azd-FaQl.又 a+a2H-(-312=2,aia2-ai2=2(i2aia2-ai2,但 a+a2T-J-ai3=28,aia2-ai3=2e-27=25 2828,所 以&+a2T-卜 ai3 aia2a13,故 最 大 正 整 数 n 的 值 为 12.12.D3 2013 江 西 卷 某 住 宅 小 区 计 划 植 树 不 少 于 100棵，若 第 一 天 植 2 棵，以 后 每 天 植 树 的 棵 数 是 前 一 天 的 2

25、倍，则 需 要 的 最 少 天 数 n(n2)等 于12.6 解 析 S“=2 C)=2 1 2。100,得 n26.1 214.D3 2013 辽 宁 卷 已 知 等 比 数 列 a j是 递 增 数 列，S.是&的 前 n 项 和.若 a“a3是 方 程 x 5 x+4=0 的 两 个 根，则 S e=.14.63 解 析 由 题 意 可 知 ai+a：,=5,a,as=4.又 因 为 a j为 递 增 的 等 比 数 列，所 以 X(1 96)Hi=1,a3=4,则 公 比 q=2,所 以 Se=63.1 z17.D2,D3 2013 新 课 标 全 国 卷 H 已 知 等 差 数 列

26、的 公 差 不 为 零，a.=2 5,且 a1，an,ai3成 等 比 数 列.(1)求 a j 的 通 项 公 式；(2)求 ai+a.i+a7d-baan-2.17.解:(1)设 a j 的 公 差 为 d.由 题 意,尸 a冏 3,即 3+10d)2=ai(ai+12d),于 是 d(2a1+25d)=0.又 ai=25,所 以 d=0(舍 去),d=-2.故 an=-2n+27.(2)令 Sn=ai+a.i+a7+*,+a3n-2.由 知 a3n-2=-6 n+3 L 故 a3n2 是 首 项 为 2 5,公 差 为 一 6 的 等 差 数 列.从 而 Sn=(a i+a 3 n-2)

27、=(6n+56)=3r?+28n.16.D2,D3 2013 四 川 卷 在 等 比 数 列 匕 力 中，22&=2,且 2a2为 3al和 a3的 等 差 中 项,求 数 列&1的 首 项、公 比 及 前 n 项 和.16.解：设 该 数 列 的 公 比 为 q,由 已 知，可 得 aiq-ai=2,4a1q=3ai+aiq.所 以，ai(q1)=2,q24q+3=0,解 得 q=3 或 q=L由 于 a1(q 1)=2,因 此 q=l 不 合 题 意，应 舍 去.故 公 比 q=3,首 项 a1=l.3n 1所 以，数 列 的 前 n 项 和 Sn=.26.D3C2013 新 课 标 全

28、国 卷 I 设 首 项 为 1,公 比 为 鼻 的 等 比 数 列 匕 的 前 n 项 和 为 Sn,O则()A.Sn=2an1 B.Sn=3an 2C.Su=4-3a“D.S=3-2a“6.D 解 析 a,二(1)n 1,2 2Sn=3 1-TQn=3-2dn.乙 O1-316.D 2和 D312013 重 庆 卷 设 数 列 aj满 足：&=1,a+尸 3A,nN+.求 的 通 项 公 式 及 前 n 项 和 S.；(2)已 知 b j是 等 差 数 列，T,为 其 前 n 项 和,且 bi=az,b：i=ai+a2+a3,求 T20.16.解：(1)由 题 设 知 aj是 首 项 为 1

29、,公 比 为 3 的 等 比 数 列,所 以 a“=3i,SN=T1 T3=9(13-1).1 o z2Qx IQ(2)bi=a2=3,b3=H-3+9=13,b3bi=10=2d,所 以 公 差 d=5,故 丁 20=203+工 LX5=l 010.D 4 数 列 求 和 19.D2,D4E2013-安 徽 卷 设 数 列 瓜 满 足 出=2,22+1=8,且 对 任 意 nN*,函 数 f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+icos x-an+2sin X 满 足 fz(引=0.(1)求 数 列 aj的 通 项 公 式；若 b“=2(an+!),求 数 列 bj的 前 n 项 和

30、 S.乙 a”19.解：(1)由 题 设 可 得,f(x)=atlan+i+an+2an+isin xa+2cos x.对 任 意 nN*,f万=&an+i+an+2an+i=0,E|J an+ian=aIl+2an+u 故 瓜 为 等 差 数 列.由 a】=2,a2+a4=8,解 得 瓜 的 公 差 d=L所 以 an=2+l(n1)=n+l.(2)由 bn=2an+(=2(n+l+=2 n+/+2 知，S11=bi+b2+bn=2n+21 _ln5+3 n+f乙 r J L 乙 1-217.D2、D42013 全 国 卷 等 差 数 列 aj中,a?=4,al9=2a9.求 aj的 通 项

31、 公 式；设 b=,求 数 列 b 的 前 n 项 和 S.nan17.解：设 等 差 数 列 aj的 公 差 为 d,则 an=ai+(n l)d.因 为 a?=4,ai9=2a9.ai+6d=4,所 以 lai+18d=2(ai+8d),解 得 ai=l,d=1.所 以 aj的 通 项 公 式 为 a.：1,1 2 2 2”(2)因 为 壮=应=口(n+1)=、市 所 以 n+V16.D4 2013 江 西 卷 正 项 数 列 4 满 足:a-(2n-l)a-2n=0.(D求 数 列 a、的 通 项 公 式 a”；令 求 数 列 b“的 前 n 项 和 T,.16.解：由-(2n-l)aL

32、2n=0,得(a.-2n)(&+1)=0.由 于 aJ是 正 项 数 列，所 以 a“=2n.由 a0=2n,卜=一 言，则 b=2n+1)=去 一 看,n2(n+1),17.D2 D4E2013 新 课 标 全 国 卷 I 已 知 等 差 数 列 aj的 前 n 项 和 Sn满 足 S3=0,S5=-5.求 aj的 通 项 公 式；(2)求 数 列!:的 前 n 项 和.a 2 n-ia 2 n+lj17.解：(1)设 an 的 公 差 为 d,则 Sk g+上 勺 产 _&由 已 知 可 得，3ai+3d=0,5ai+10d=-5,解 得 a1=l,d=-1.故 的 通 项 公 式 为 a

33、“=2-n.由 矢 II-3 2 n-1 3 2 n+l数 歹 的 前 n项 和 为 骋：+：+_ 1 n2n3 2n1J 1 2nD 5 单 元 综 合 20.M2,D2,D3,D5 2013 北 京 卷 给 定 数 列 a”a2,a,对 i=l,2,n-1,该 数 列 前 i项 的 最 大 值 记 为 Ai,后 ni项 a：+”ai+2,a的 最 小 值 记 为 B“dA,B).(1)设 数 列 a“为 3,4,7,1,写 出 d“ch的 值；(2)设 a a2,a(n24)是 公 比 大 于 1 的 等 比 数 列，且 a。.证 明：d,d2,d-i是 等 比 数 列；设 d”d2)d一

34、 是 公 差 大 于。的 等 差 数 列，且 山 0,证 明：a az,，a一 是 等差 数 列.2 0.解：(l)d i=2,d2=3,d3=6.(2)证 明：因 为 a 0,公 比 qL所 以 a1，a2,二 是 递 增 数 列.因 此，对 i=l,2,n 1,Ai=ai,B i=ai+i.于 是 对 i=l,2,，n1,di=A i-B i=ai-a i+i(1-Q)Q.因 此&W0 且 y-=q(i=l,2,n2),di即 d”d2,d-是 等 比 数 列.(3)证 明：设 d 为 4 d2,，d 1 的 公 差.对 lW i 0,所 以 Ai+产 Bi+i+&+i2Bi+di+dBi

35、+di=Ai.又 因 为 Ai+i=max Ai,ai+J,所 以 ai+i=Ai+iAiNa：.从 而 a”a2,是 递 增 数 列，因 此 A i=ai(i=l,2,n1).又 因 为 Bi=A i-di=aid a i,所 以 BKaKQ i.因 此 an=Bi.所 以 B1=B2=B r 1=a.所 以 ai=Ai=Bi+di=an+&.因 此 对 i=L 2,n2 都 有 a i+i-a i=d+-d i=d,B P an a2,a-是 等 差 数 列.19.D5,E92013 广 东 卷 设 各 项 均 为 正 数 的 数 列 a 的 前 n 项 和 为 Sn,满 足 4酎=成+4

36、n1,n N*,且 a2,a5,a g构 成 等 比 数 列.(1)证 明：a2=*/4a+5；(2)求 数 列 a j 的 通 项 公 式；(3)证 明：对 一 切 正 整 数 n,有+-+一.3 1 3 2 a 2 a 3 S n S n+l 乙 1 9.解：19.D512013 湖 北 卷 已 知 S“是 等 比 数 列 a.的 前 n 项 和，S“S2,S3成 等 差 数 列,且 a2+a?+aq=-18.(1)求 数 列 a 1的 通 项 公 式；(2)是 否 存 在 正 整 数 n,使 得 4 2 2 0 1 3?若 存 在，求 出 符 合 条 件 的 所 有 n 的 集 合；若

37、不 存 在，说 明 理 由.1 9.解：(1)设 数 列.的 公 比 为 q,则 aH O,q#0.由 题 意 得-S,1 S 3-S 2,32+33+34=-18,2 3 2aiq aiq=a,即 aiq(1+q+q2)=18,解 得 a1=3,q=-2,故 数 列 an 的 通 项 公 式 为 a=3(-2)-?ri(9)ni(2)由(1)有 S,尸 明,；=1-(-2).1(2)若 存 在 n,使 得 S22 013,则 1一(一 2)”22 013,即(一 2)W 2 012.当 n 为 偶 数 时，(-2)”0,上 式 不 成 立；当 n 为 奇 数 时,(一 2)=2nW 2 01

38、2,即 222 012,则 n ll.综 上，存 在 符 合 条 件 的 正 整 数 n,且 所 有 这 样 的 n 的 集 合 为 n|n=2k+l,kGN,k25.15.DI,D5 2013 湖 南 卷 对 于 E=a”az,，ai 的 子 集 X=aL,ai2,aij,定 义 X 的 特 征 数 列 为 x”X2,，Xioo,其 中 xii=xi2=3=xik=l,其 余 项 均 为 0.例 如：子 集&,aj的“特 征 数 列”为 0,1,1,0,0,0.(1)子 集 a a.aj的“特 征 数 歹 的 前 3 项 和 等 于；(2)若 E 的 子 集 P 的 特 征 数 列 p”p2

39、,P100 满 足 Pi=l,Pi+Pi+I=l,lWiW99；E的 子 集 Q 的“特 征 数 列“q”牛，q侬 满 足 卬=1,q+qj+,+q,+2=l,lWjW98,则 PCQ的 元 素 个 数 为.15.2 17 解 析(1)由 特 征 数 列 的 定 义 可 知，子 集 面，as,as 的“特 征 数 列”为 1,0,1,0,1,0-,0,故 可 知 前 三 项 和 为 2.根 据“E 的 子 集 P 的“特 征 数 列”p“pz,，pw满 足 a=L Pi+Pi+1=l,lWiW99”可 知 子 集 P 的“特 征 数 列”为 1,0,1,0,，1,0.即 奇 数 项 为 1,偶

40、 数 项 为 0.根 据“E 的 子 集 Q 的 特 征 数 列“q”电，,q,oo满 足 5=1,qj+q,+dq,+2=l,lWjW98”可 知 子 集 Q的“特 征 数 列 为 1,0,0,1,0,0,，0,1.即 项 数 除 以 3 后 的 余 数 为 1的 项 为 1,其 余 项 为 0,则 P C Q 的 元 素 为 项 数 除 以 6 余 数 为 1 的 项，可 知 有 a”a?,ai3，a,共 17项.19.D512013 江 苏 卷 设 是 首 项 为 a,公 差 为 d 的 等 差 数 列(d#0),S.是 其 前 n 项 的 和.记 匕,=倦，nWN*,其 中 c 为 实

41、 数.若 c=0,且 bi,b2,bi成 等 比 数 列，证 明：Snk=n2Sk(k,nN*)；(2)若 bn 是 等 差 数 列,证 明：c=0.19.解：由 题 设，S=na+-(n-1)-d.S n 1(1)由 c=0,得 bn=、=a+亍 d.又 因 为 b”b2,b”成 等 比 数 列，所 以 整=b,，化 简 得 d22ad=0.因 为 d W O,所 以 d=2a.因 此，对 于 所 有 的 mWN*,有 此=i112a.从 而 对 于 所 有 的 k,neN*,Snk=(nk)2a=n2k2a=n2Sk.设 数 列 bn 的 公 差 是 由,则 bn=bi+(n1)4,即 念

42、=bi+(nl)d,neN*,代 入 S”的 表 达 式，整 理 得，对 于 所 有 的 n N 有(d i-卜+(b1-di-a+gdb+cdm=c(dibi).令 A=di-3d,B=bidia+1d,D=c(dibi),则 对 于 所 有 的 n N*,有 An3+Bn2+cdin=D(：Jc).在 式 中 分 别 取 n=l,2,3,4,得 A+B+cdi=8A+4B+2cdi=27A+9B+3cdi=64A+16B+4cdi,从 而 有 7A+3B+cdi=0,19A+5B+c&=0,21A+5B+cdi=0,由，得 A=0,cdi=-5 B,代 入 方 程，得 B=0,从 而 cd

43、i=O.即 di；d=0,bid】一 a+5d=0,cdi=0.若 出=0,则 由 did=0 得 d=0,与 题 设 矛 盾，所 以 diNO.又 因 为 cd】=O,所 以 c=0.319.D512013 天 津 卷 已 知 首 项 为 2的 等 比 数 歹 心 须 的 前 n 项 和 为 S”(nN*),且 一 2S2,S3,4Si成 等 差 数 列.(1)求 数 列 的 通 项 公 式；1 n(2)证 明 Sn+W-(nN).Sn 619.解：(1)设 等 比 数 列 aj的 公 比 为 q,因 为 一 2s2,S3,4s4成 等 差 数 列,所 以 S3+2S2=4SL S 3,即

44、S L S3=S2S I,可 得 2a4=-a 3,于 是 q=S=.又 a】=,所 以 等 比 数 列 aja 3 2 23 1 q的 通 项 公 式 为&尸 5乂 一 i=(I)1 尹 L 1、，1 1 1 1 2+20(702n+_1 11)x,n 为 奇 数，(2)证 明：Sn=l-n,Sn+3=1-n+-=y 当 n 为 1-2 2+”“，n为 偶 数.乙 I 1)奇 数 时，S n+白 随 n 的 增 大 而 减 小，所 以 S n+w S l+9=中.On On O1 0当 n 为 偶 数 时，S,+白 随 n 的 增 大 而 减 小，所 以$“+袅&+告=器 On On 02

45、1 N1 I 3故 对 于 nWN*,有 Sn 61.2013 新 乡 期 末 数 列 aj中，a,=l,a=+1,则 以 等 于()Qn 15 4A.B.-J o2C.1 D-o1.A 解 析 由 ai=l,&=一 十 1 得，a2=+1=2,3n-l 311,1,3 1,2 1 5、aa=-+1=-+1=,a，i=_+l=w+l=W，选 A.a2 2 2 a3 3 32.2013 合 肥 联 考 已 知 等 差 数 列 aj的 前 n 项 和 为 as+a8=13且 i=3 5,则 a?=A.11 B.10C.9 D.82.D 解 析 由 已 知 及 等 差 数 列 的 性 质 S,=7&

46、=3 5,所 以 a产 5,又 出+a7=as4-a.8=13,所 以 a?=8,选 D.3.2013 天 津 新 华 中 学 月 考 设 S.是 等 差 数 歹 心 a j的 前 n 项 和，2 3 应+&),则 录 值 为(1A.-63C-5)1B-35D-63.D 解 析 由 Ss=3(az+或)及 等 差 数 列 的 性 质 得 山 野-=3X2a$,即 5a3=6a5,所 以 冬=,选 D.3 64.2013 岳 阳 模 拟 已 知 等 比 数 列 a.的 前 n 项 和 为 S.=3+a,n d N*,则 实 数 a 的 值 是()A.-3 B.3C.-1 I).14.C 解 析

47、当 n22 时，an=Sn Sn-i=3n3-1=2 3-1；当 n=l 时，ai=S i=3+a,因 为 a力 是 等 比 数 列，所 以 有 3+a=2,解 得 a=-l,选 C.5.2013 成 都 检 测 已 知 等 比 数 列 a j的 前 三 项 依 次 为 al,a+l,a+4 2 i j a=()A.4-铲 B.4-(I)-1C.4-g D.4-(p-5.B 解 析 因 为 数 列 为 等 比 数 列，所 以(a+l)2=(a D(a+4),解 得 a=5,即 数 列 的 前 三 项 为 4,6,9,公 比 为 所 以 a,尸 a d-=4 g|.6.2013 昆 明 调 研

48、公 比 不 为 1的 等 比 数 列 a j的 前 n项 和 为 S,且 一 3a“-a2,a,成 等 差 数 列，若 a=1,贝 g=()A.-2 0 B.0C.7 D.406.A 解 析 设 数 列 的 公 比 为 q(q W l),因 为 一 3a”一&,as成 等 差 数 列，所 以-3为 十 a3=-2a2,由 于 ai=l,所 以-3+q 2+2 q=0,因 为 q H l,所 以 q=-3.故 Si=l 3+9 27=-2 0.高 效 能 学 习 的 十 大 学 习 方 法 方 法 一：目 标 激 励 法 成 就 天 才 的 必 备 素 质 就 是 远 大 志 向，明 确 目 标

49、，勤 奋 刻 苦，持 之 以 恒，百 折 不 挠。作 为 一 名 学 生，要 想 在 学 习 的 道 路 上 路 高 歌，战 胜 各 科 学 习 困 难，在 考 试 中 脱 颖 而 出，就 必 须 树 立 远 大 的 理 想，制 定 明 确 的 学 习 目 标 和 切 实 可 行 的 计 划，在 日 常 学 习 中 勤 奋 苦 学，孜 孜 不 倦，持 之 以 恒，面 对 学 习 中 上 的 挫 折，百 折 不 挠,勇 往 直 前，并 掌 握 一 套 正 确 的 学 习 方 法，科 学 合 理 地 安 排 好 自 己 的 时 间，只 有 这 样，才 能 到 达 成 功 的 理 想 彼 岸。方 法

50、 二：统 筹 计 划 学 习 法正 像 建 造 楼 房 先 要 有 图 纸，打 仗 先 要 有 部 署 一 样，成 功 有 效 的 学 习 也 必 须 制 定 好 一 套 切 实 可 行 的 计 划。所 谓 统 筹 计 划 学 习 法，就 是 学 习 者 为 达 到 一 定 的 学 习 目 标，根 据 主 客 观 条 件 而 制 订 学 习 步 骤 的 一 种 学 习 方 法。统 筹 计 划 学 习 法 包 括 四 个 方 面：是 学 习 目 标，二 是 学 习 内 容，三 是 时 间 安 排，四 是 保 证 落 实 的 措 施。只 有 综 合 考 虑 这 四 个 方 面，才 能 订 出 切