概率论课后习题.pdf

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1、第 章 1.1(1)。=(正，正)，(正，反)(反，正)(反，反).(2)。=3,4,5,6,7,8,9(3)0=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2);O=(1,1)(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3);。=(1,2),(1,3),(2,3).1.2 W A B C；(2)A B C；(3)J(5 j C)；N U B U C；与 U 月 C U C N.L 3 样 本 点%表 示 出 现 j点,i=A=0“g,g,表 示 咄 现 奇 数 点”后=外,%,均，%，表 示 出 现 的 点 数 不 能 被

2、3整 除/U 8=g,吗，%,必,表 示 出 现 的 点 数 能 被 2或 3整 除 而=q,例,表 示，出 现 的 点 数 既 不 能 被 整 除 也 不 能 被 3整 除，/8=处),表 示”出 现 的 点 数 能 被 6整 除”1.4 若 事 件 A 表 示 抽 到 的 两 张 都 是 前 1 0 号 考 签 p(/)=4=00371.5(1)尸(力)=6x5 x 4 x 3=0.2778C?x 6 x 5 x 4,(2)P(5)=0.55566C t x 6x5(3)P(D)=0.0926(4)P(E)6=0.0046100,100,100,10(),100,10(),100,+-+1

3、.6 P(Z)=一 3_ _ 5_ _ 6_ 10_ 15_ 30_=0.741001.7 方 法 1：若 设 4 表 示 取 出 的 3 个 产 品 中 有 次 品,4 是 取 出 的 3 个 产 品 中 恰 有 i个 次 品（i=l,2,3）,4=4+4+4C；C：5P（4）0.2526，P(A2)=0.0230,P(A3)Jo0.0005P(4)+P(4)+P(4)=0.276方 法 2:I 就 是 取 出 的 3 个 产 品 全 是 合 格 品 _ c3 p(z)=*=0.724 P(4)=l-尸(4)=0.276。501.8 基 本 事 件 的 总 数 为（2）！，每 对 恰 好 排

4、 在 一 起 可 分 为 两 步，第 一 步 确 定 各 对 之 间 的 排 序，共 有”!种，然 后 每 对 新 人 内 部 均 有 2 种 排 序，于 是 由 乘 法 规 则 每 对 每 对 新 人 每 对 恰 好 2 i排 在 一 起 的 排 法 共 有 2!种，从 而 其 概 率 为 上 巴(2)！1.9 P(Z)=3=0.62516QfxQ|1.10 P(A)=-=0.06710!_ r*3 51.11 P(Z)=1-尸(4)=1-=一；Go 61-12 p(AJB)=P(A)+P(B)-P(AB)=-+-=-30 30 30 31.13 4、4、4 分 别 表 示 甲、乙、丙 三

5、厂 生 产；。表 示 次 品.则 P(C)=1 X0.02+-X0.06+-X0.03=0.0352 3 61.1 4 设/表 示“考 生 选 出 正 确 答 案 8 表 示“考 生 会 解 这 道 题”;则 全 概 率 公 式：P（A）=P（B）P（A I 5）+P（B）P（A I B）=0.8x1+0.2x0.25=0.851.1 5 用 4,2,4 分 别 表 示“玻 璃 杯 在 第 一、二、三 次 掉 下 时 被 摔 碎”；8 表 示“玻 璃 杯 被 摔 碎”.则 8=4 U 4 4 4，由 于 4,4 4,4 4 4 互 不 相 容，所 以 P（B）=p（4 u u a 4 4）=P

6、（4）+尸（4 4）+P（4 4 4）=尸(4)+尸 何 以 4 1%)+尸 包 卜(4 1 4)P(4 14 4)=0.6+(1-0.6)0.8+(1-0.6X1-0.8)0.9=0.9921.1 6 设 事 件 B表 示“出 现 次 品”，4 表 示 从 第 i 个 工 厂 所 进 商 品 尸(4)=0.2,尸(4)=0.45,P=0.25,0(4)=0.1P(BA)=0.05,P(卸 4)=0.03,P(4)=0.01,尸 0 4)=0.04P(B)=0,2 x 0.05+0.45 x 0.03+0.25 x 0.01+0.1 x 0.04=0.031.1 7 设 4 分 别 表 示 事

7、 件“报 名 表 是 第 i 个 地 区 考 生 的(i=1,2,3)；8 表 示“抽 到 的 报 名 表 是 女 生 的”.则 1 3 7 尸(4)=p=P(W)=，P(BAi)=-,PBA2)=-,P(BA3)=-onP(B)=P(4(814)+P(4)p(814)+P(H)p(814)=云 1.1 8设 事 件 A是 试 验 结 果 呈 阳 性 反 应，事 件 6 是 被 检 查 者 患 有 癌 症.P(8)=0.004,I 5)=0.95,P(11 月)=0.96P(B)=0.996,P(A I B)=0.05,P(AI B)=0.04P(B)P(A I B)(1)P(B I A)P(

8、B)P(A IB)+P(B)P(A I B)=0.0871故 试 验 结 果 呈 阳 性 的 被 检 者 患 癌 的 可 能 性 不 大,要 进 一 步 检 查 才 能 确 诊。(2)P(B IA)=-匕 P(11 且)=0.9998P(B)P(A I B)+P(B)P(A IB)这 表 明 试 验 结 果 呈 阴 性 反 应 的 被 检 查 者 未 患 癌 症 的 可 能 性 极 大.1.1 9 解：设 4 表 示 第 i台 不 需 要 工 人 照 看，i=1,2,3B 表 示 一 小 时 内 至 多 有 一 台 需 要 工 人 照 看 P(4)=0.9 P(A2)=0.8 P(4)=0.7

9、P(4 4 4+4 4 4+/a 4+4 4 4)=0,902P(AB)P(AB)P(AB)P(B)一 尸(豆)尸(8)P(AB)-P(AB)P(B)=P(AB)P(B)P(AB)=P(B)P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)1.21 设 4：第 i次 取 得 次 品(i=l,2),KIJP(44)=x-=10 9 451.22 P6(10)=Cx 0.26 x 0.84=0.00551.23 设 8：三 次 射 击 中 恰 好 有 一 次 命 中 C：三 次 射 击 中 至 少 有 一 次 命 中，4：第，次 命 中，i=L 2,3则 8=4%4 U%4 耳 U 彳 五 4，c=4 U

10、4 U 4p(8)=P(4 W 4)+P 伉，2%)+p伍 石 4)=0.36p(c)=p(4 U 4 U 4)=1尸(4 U 4 U 4)=1尸 伉 无 4)=0911.24 设 4 是 甲 投 中 i次，均 是 乙 投 中，次 P(4)50)=(Cf x0.7 x 0.33)x(Cf x 0.6 x 0.43)=0.027 x 0.064尸(4 4)=(C；x0.7 x0.32)x(C；x 0.61 x0.42)=0.189 x 0.288尸 2)=C x 0.72 x0.3)x(C；X 0.62X 0.41)=0.441 x 0.432P(A03)=(C3 x0.73x0.3)x(C：x

11、0.63x0.4)=0.343x0.216P(C)=P(44)+P(4 瓦)+P(A2B2)+PIA/?)=0.321第 二 章 2.1 的 取 值 为 0,1,2,345。M/=0)=溪，p e=l)=皆，p 4=2)=合 Joo doo doo 17 3 0 1 6 4 5 0 1 92(3)=必 然 4)=，双。=5)=产，j o o J o o 5 o o4 的 分 布 列：2.2 P(c x b)=P(a%)+P(c x d)-P(a x/)=0百 0 1 2 3 4 5p 20 20C100。肥 20C100 1 8 0 2C 95 c 5 20C100C肥 20C100 T16

12、4。95 c 5 20j o o 20C10012.3 J 的 取 值 为 123,4。C 10P(D=谭=值，*=2)=3x11 3313xl3-169p()=r=3，M 4)=,133 2 1 97 1 33 2 1 97J 的 分 布 列:1 2 3 4p10T33316972 62197 21970 xl分 布 函 数 为:10,c-l x 21310 33 163E(x)=P e 4 x)=-1-13 169 1692 x 33 x 42.4 J 的 分 布 列:1 2P2535所 以 分 布 函 数 为 F(x)=P记 x)=0251xll x 2A2C1 4 3x4 1?2.6

13、4 的 取 值 为 123,4。M O=1)=M 4=2)=?7=),C；7 7x6 423x2x4 24“3x2xlx4 6x e=3)=-=,P(e=4)=-7x6x5 210 7x6x5x4 2104 的 分 布 列:41 2 3 4p4712422421062102.7 设 随 机 变 量 1f 表 示 射 中 次 数，pQ=0)=(O.98)400,P(。=1)=。：00。02)|(0-98)32 2)=1=0)一=1)=0.997.04 22.8 山 题 意 知 可 得 幺=2.所 以 p(。=4)=/=2.2.9 由 题 意 知/(x)=15，0 其 它 P(*3)=2.10(1

14、)由=1可 得=1；,、(1 1 2 Jn3 1 1(2)p 0XJ=,5=d=3.29.、，、2 2(2)0(图 1)=+arctan 1-+arctan(-1)=-2 71 2 7t(3)/(x)(x)=2 71 1+X小(r g f7-10-10 15-102.12 p(7J15)=p、乙 乙 乙=0(2.5)-0(-1.5)=0.9938-(1-0.9332)=0.927 p(归 10d)=p,2 L 2=2(2)1=2 71L2:)0.9,则2.13 p(J 60)=pJ-70 6 0-7 010 10=0)(1)=0.1587=15.9%；P(短 85)=p 7。10 一 8 5-

15、7 010=1-0)(1.5)=0.0668=7%.2.14 p(绊 250)=1 夕 修 250)=1()=0.9236；y-Vp(300 x J 300+x)=0(-)-()=0.9=x=57.75,即 区 间 为 242.25,357.75.2.15=匹 一，其 中 4 的 概 率 密 度 为 4依)=1。5其 x它 6，E Q)=P5)=P(亨)=25当 y 9万，g(y)=l,.,万 4 y 4 97r所 以 力 3=4；3=而 40,其 它 j-a2.16 K(y)=M Wy)=P(a+=,力（力=月；（力=4y-ahy-a b(尸 a-b)2二!-e 2%2-JlTrhcr2.1

16、7 的 取 值 为 2,5,10/7,n 2 5 10 17 的 分 布 列：-p 0.2 0.5 0.1 0.22.18,(夕)=W，)=p(F 夕)=p(。y/y)，当”0,(y)=0,当 V 4,g(y)=l,所 以/(N)=K(N)=,0,其 它 2.194 的 取 值 为 0,1,2,涎=0)=叫。(；)2=),p=i)=G；.；=；,乙 乙 I 乙 乙 乙 p(2)=C冲 2(。=；,1 0 1 2J 的 分 布 列：1.p 4 2 42.20 4 的 取 值 为 1,2,3,4,5。M l)=0.9,p(=2)=0.1x0.9=0.09,p(。=3)=0.F x 0.9=0.00

17、9,p(。=4)=0.x 0.9=0.0009,2(。=5)=0.0.9+015=0.0001,J 的 分 布 列:看 1 2 3 4 5p 0.9 0.09 0.009 0.0009 0.00012.21(l)F(x)=0,x0-,0 xl43-,lx 23(2)p(-ll)=F(l)-F(-l)-;3 g i)=p q=i)+p(j=2)=_ 22.22 p=2(-p p=-j 的 取 值 为 0,1=0)=|,=1)=|,1 0 1J 的 分 布 列：1 2 p 3 32.23(1)J 5(4,0.8);(2)p l)=l-p(0.9 5,“2 299.2.28 当 x 0,F(x)=0

18、=0,当 0 W x 1,F(x)=xdx=x2,为 2当 1Wx 2,F(x)=1,所 以0,x 0E(x)=,1 9x2,0 x l21 9-+2 1-1,1W x 22.29p(六 1)=1=,即 1-8-所 以 0=2.2.30(1)2 cexdx=1=c=;p(-1 孑 1)=2：+-,/=1-1；(3)当 x 0时,F(x)=J1 1 exdx+|exdx+=1,-ex,x 022.31(1)当 x c O,A x Q O n O,当 OWX C L/O O M j(12 x2-2 x+?)dx=4 x3-6x2+3 x,当 x N l,F(x)=l,所 以 0,x 0F(x)=4

19、丁-6/+3 彳,0 4%l(2)0.2)=F(0.2)=0.392；(3)p(0.1 J a=-T 2 p(0()=g c o s M x/.2.33(1)4=1;/仆)=心,)小 f2x其,0 x它 l;(3)p(0.3百 0.7)=/(0.7)-F(0.3)=0.4.2.34 p(J 2.35)=0(2.35)=0.9906,p(4-1.24)=1-0(1.24)=0.1075,p(1.54)=0)(1.54)-D(-1.54)=2(1.54)-1=0.8764.2.35 2(2”5)=*与，？卜(0.5)=0.5328,-4)=1-p(-4)=1-p 匚 二=1(3.5)=(3.5)a

20、l,(2 2)2(闾 180)=l-p(180)=l-p 后=12;(2)p(0l,072)=dy 12e-(3x+4y)dx=0.9499.3.2 尸 信=0 4=0)=言=去，2 值=1,4=0)=?4x4 lo 4P(。=2 4=0)=P借=14=1)C 244 161 1的=0看 2=1)C；x2 44x4-16p=0&=2)4x4-16,1 _ 1-44-16p(*2 g=1)=0,的=1,玄=2)=0,P信=2 g=2)=0,6p(。U h 等=2C6P(5=2&=1)=。，P(4一 o1 或 1&=2)=滑 1?p(4=1 4=2)=0,p(=2 4=2)=0,则 联 合 概 率

21、 分 布 表 为:X0 1 20 021511513156?5023150 03.4(1)/(“)=耳(羽 田=6叫 4+/)(9+/)(2)p(O(2973=3 dy-M-rdx=.I 7 7 L/(4+/)(9+用 i63.5(1)/伽 次 办=1 n/=6；(M a m 二?J 展 叱。(3)p(-ll,-2；72)=_6(21+3=(1-6-2)(1-).,、-,(x,y)e D3.6/(xj)=Kab-0,其 它 3.7(4,心)联 合 概 率 分 布 表 为:01 204164161161416216021记 0 0所 以 0.2,p(j=0,=3)=；x0.4=0.1,(=1,7

22、=1)=1x0.6=0.3,=1,7=2)=x0.6=0.1,=1川=3)=x0.6=0.2,X1 2 3011021011013101To2To P(J=0|l)P 代=。，什 1)P(叱 l)0.2+0.1 10.3+0.3-23.9(1)dxdy=A=6;(2)当 xWO 时，4(x)=o=o,当 x 0 时，人(x)=16+)4=2e”,2e2x所 以/(x)=n,x 0,x o 时,，力(y)=6(23么=3e-3。所 以 力(田=Q,0,y03.10(l)/(xj)=-,x2+y2a27t a0,其 它 当 国”时，f.(x)=Ody=0,当 小。时，.以 八 W 7 7,所 以

23、人(x)=-7 yjCl X,-Q X Q兀 CT0,其 它当 3 4 时，4 3=匚 Odx=O,当 时，A(x)=3.11 当 x 1 时，f(x)=p Ot/v=0,当 0 W x W 1 时，为(x)=dy-lx,所 以 4(x)=2x,0 x 10,其 它 当 丁 1 忖，4()=00 时，/z()=dx=l+y,当 0 3 4 1 时，力 3=烝=1-7，1+乂-1 y 0所 以 力 5)=T n 0 歹 1.0,其 它 3.12 当 xl时，(x)=匚 04=0,当 04x41 时，fi(x)=2dy=2-2x,/、f2(l-x),0 xi 时，力 3=0小=0,当 时，4()=

24、2dx=2-2y,所 以 为 3=廿 力 U，0yl其 它(2)/。/)。7(切 力。)所 以 不 独 立。3.13 当 x 1 时，fi(x)=Ody=0,当 0 4 x 4 1 时，.(x)=8xydy=4x3,所 以 1 o,其 它；当 丁 1 时，4(y)=f：(Wr=O,当 OWyVl 时，%(y)=，8 孙 公=4y_4y3,所 以/,3=卜-3:臼，八,0,其 它 因 为 力。)所 以 不 独 立。“z/、ev,0 x03.14 f(x,y)=(x)f(y)=/(x,y)=0,具 匕 1-x 1o(、e 2，x 0 r(e 3，y03.15 4(%)=2/(，)=3,，0,x 0

25、 0,y 0 时,/z(z)=(x)/-x)dx=1；)产 所 以(z)=e 3I 1 e 6 z 00,其 它3.16 Ae2x+dxdy=1=63 6-2x p=（公-6e（2x+3y）dy=0.983（3）F（x,y）=j 6e2x+3ydxdy-0 时，4（x）=xyex dy=2xexl,所 以 人（x）=，0,x 0 时，力（田=f 4xye2 dx lye所 以 力 壮)=2ye y,y 0.0,0(2)因 为/(x,y)=_4(x)力(y),所 以 独 立。3.19p(4v)=dxJ-x:3,2,办=及 犯-T!-2-e 2(7 rdr=0.5.2而?3.21 2 管+721)

26、=羡 炒=./、/、5,0 x 03.22 力(x)=，fn(y)=i 0,其 它,2 0,其 它/()=人(x)力(y)=n 甘 在；0,具 匕(2)p(rj 0 时，莅(z)=JI 5 T，22 dxdy=2 Y,L7l(yx+y()所 以(z)=E(z)=2 0,z0dO r-e rdr=e 27：-1,JO O k k-3.25 当 2l 时，人(z)=0,当 O W z W l 时,Fz(z)=j j 3xdxdy=j 6/x 3xdy+J i/r j 3xdy=-,x-.vz,0 xl,0 x2),0zl其 它 3/,-11-z所 以 工(z)=g(z)=2、0,3.26 当 x

27、1 时，人(x)=0 0 4=0当 0 W x W1 时，(x)=j 4xydy=2 x,所 以 以/x)、=|。2x，,0 x其 1 时，4 3=。杰=0,当 0 W y 1 时，/(y)=f Axydx-2 y,Brrl,(、加，0 4 1所 3 1。，其 它 因 为/(x,y)=(x)%。),所 以 独 立。3.2 7.证 明：由 X P(4)，丫 尸(4)，可 知 Z 取 一 切 非 负 整 数，且 p(Z=k)=p(X+丫=%),左=0,1,2,=p(X=i,Y=k-i)/=0=Z P(X=。夕(丫=左 一，)/=04 H.(J)!k o i y k-ie-(4+%)9 4 4/=0

28、k!1,】k-i J_ _(4+4)i!g)4 4 T,-(4+2)k即 2=牙+丫 明+4).第 四 章 4.1(X)=(-l)-+0-+-+l3 6 2 6E(-X+1)=-E(X)+1=一；+11 c l i-P 2=-1(f)=(-I)2+。2,+(；)2,12 4 3_ 2-31.2 1.2 1 35 F l-1-Z 一=6 12 4 244.2 由 题 知PX=-1)+P(X=0)+P(X=-1)+P(X=1)=1一 P(X=l)+P(X=l)=0.1P(X=-l)+P(X=l)=0.9解 之 得 P(X=-1)=0.4,P(X=0)=0.1,P(X=1)=0.5.4.3 引 入

29、随 机 变 量 X,：,f l 在 笫 i层 有 乘 客 下 电 梯,L.=,0 否 则.则 街 0 1Pn n又 x=x 且 乂,入 2,x“相 互 独 立，故/=1(x)=E g x,)=.4.4 E(X)=xf(x)dx=卜 2(1-x)dx=4.5 E(2X)=2xexdx=2 xexdx=2.E(e2x)=e2xexdx-e3xdx=g.1 R4.6 设 球 的 直 径 为 y,则 球 的 体 积 为 万 二 不 如.由 于 y 在 上 均 匀 分 布，故(X)=E d/3)=E(y 3)=f/.=+6 6 6 h-a 244.7 设 第 i个 人 摸 到 红 球 数 为 X,.,z

30、=1,2,则 个 人 总 共 摸 到 红 球 数 为 X=X,i=l且 X,相 互 独 立，由 于 2 2P(X,=0)=,P(Xj=1)=中,P(x=2)=法,5 5 3所 以)=0.8,DXj=0.36,从 而 E（x）=E（x,）=0.8H,D（X）=Z D（x）=0.36/=1/=14.8 由 题 意 知 试 开 次 数 X 的 分 布 为 尸（X=i）=1,2,.故 n（x）=f i/=1n+1n2O（x）=E（X2）-（E（X）2=*（1）2/=1 H 2（W+1）（2H+1）5+1）2 2 6 4-124.9 利 用 X 与 Y相 互 独 立 知 E（XY）=EX-EY=fx-2

31、xdx.y d f 办=g x 6=4.4.10由 定 义 知 E（X）=f x 1=笈=0.1 71y/1-X2Q（X）=E（X2）_（E（X）2:E（x2）=1=2/X,dx.1 7T-X2 71 J，71-X2直 接 计 算 得 f/二 改=生.所 以 o（x）=LJVT7 4 21 1 O4.11 E（X+Y）=E（X）+E（Y）=J x 2e-2dx+y 4e-iydy=-+-=-.E Q X-3K2）=2E（X）3E（y2）=2 x.2e-lxdx-3 y2-Aeydy4.12 设 X,为 第 i次 掷 出 的 点 数，则 点 数 之 和 为 X=Z X,，并 且 X,相 互 独

32、立，由 此 12 12可 知 E（X）=W（X），。（幻=i=f=l由 于 P（x=左）=,攵=1,2,6,6所 以 双 占）=等=（,。（乜）=需=|.7 35从 而 E（而）=12/=42,（）=12-=35.4.1 3 由 定 义 知EX=YxiPij=0(S 1+0.2)+1(0.3+0.4)=0.7.ijE(y)=f y j P i j=0(0.1+0.3)+1(0.2+0.4)=0.6.ijO(X)=E(X 2)-(E(X)2=0.7-(0.7)2=021.O(Y)=E(y2)_(E(y)2=0.6-(0.6)2=0 2 4.cov(X,Y)=E(XY)-(X)E(y)=2 为 匕

33、 4-0.6-0.7=0.4-0.6-0.7=-0.02.ijcov(X,y)-0.02-j z)(x)jz)(y)-7021V024-4.14 由 定 义 知 E(X)=x(x+y)dxdy=W f a?+xyd x dy=I：(/+孙 炒=J。+5 个 227同 理 可 算 E(Y)=N6E(X?)=J 1 x2(x+y)dxdy=J(x3+x2y)dxdy=l f(X3+X2)=|.所 以 o(x)=E(X2)一(E(X)2=g _)2=I l3 o 36同 理 可 算 得。(y)=l36由 于 E(AT)=f 1 孙，(x+y)加 力(x3y+xy2)dxdy=/、/、4 49 1所

34、以 cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-=.3 36 36从 而 7rw)_ncov(x,y)i4.15利 用 X与 Y相 互 独 立，E(X+Y)2)=E(X2+产+2)=(x 2)+E(y2)+2ECYy)=E(x 2)+E(Y2)+2E(X)E(Y)=O(X)+(E X/+D(Y+(后 丫-+2E(X)E(Y)=1+02+1+02+2 x 0 x 0=2.4.16 由 于。（x+y）=r）（x）+o（y）+2cov（x,y）=D(X)+。+2 0fz-J o(x o(y)所 以。(X+1)=25+36+2 0.4-j25x36=85类 似 地，D(X-Y)=D(X)+D(Y

35、)-lP x Y dD(XD(Y),所 以。(X y)=25+36 2 0.4 V T=37.4.17 设“1 第，号 球 放 入 第，号 盒 内.*I。否 则 E 2,几 1 1 则 P(Xj=1)=一，因 此 E X,=.由 于 X=,所 以 EX=Z E X j=1n n,=i,=i4.18 由(X,Y)的 分 布 律 易 算 得 E(JcT)=x j j Py=0,E(X)=Xx.P,j=0,(丫)=Z Z/P=0-ij iJ iJ故 cov(x,y)=E(x y)E(x)-E(y)=o,从 而 知 x与 Y是 不 相 关 的。但 由 于 1 3 3p(x=i,y=i)=?,p(x=i

36、)=-,p(y=i)=-,o o o可 得 P(X=i,y=1)/p(x=i)p(y=1),故 x与 Y不 是 相 互 独 立 的。4.19 由 于 X 和 y 相 互 独 立，且 都 服 从 正 态 分 布 N(0,c P),所 以 cov(U,V)=E(UV)-E(u y E(y)=E(aX+bY aX-b Y)-(a E X+bEYaEX-bEY)=a2E(X2)-b2E(Y2)-a2(EX)2+b2(EY)2=a2D(X)-b2D(Y)=(a2-b2)a2,D(U)=a2D(X)+b2D(Y)=面+b2)cr2D(V)=a2D(X)+b2D(Y)=(a2+b2)a2从 而 得 Pwco

37、v(X,D _ a2-b2/D(U)4D(V)+b24.20X 的 左 阶 原 点 矩 E（X*）=1 x*e3xke edx,作 变 量 替 换=/，则 杰=劭，得 E（X*）=。底-力=eT伏+1）=左!.第 五 章 5.1 设 X 表 示 次 重 复 独 立 试 验 中 事 件/出 现 的 次 数，则 乂 8(,0.8),出 现 的 频 率 为 一,E(X)=0.8,0(X)=0.8x0.2=0.16，则 nP(0.79 0.81=P(|X-0.8|1-=1-(0.01/7)2 0.0001/72,1 6 0 0=1-.n由 题 意 得 1-1 2 2 0,9 5,32000.n可.见

38、做 32000次 重 复 独 立 试 验 中 可 使 事 件/发 生 的 频 率 在 0.79 0.8 1之 间 的 概 率 至 少 为 0.95.5.2 证 明：随 机 变 量 的 数 字 特 征 为 E XQ=厢 x；+卜 瓜)义；=4,D(Xk 卜 E(后)=Lnk x+Lnk x=Lnk,2 2Yl k=Yl H Yl对 于 任 意 给 定 的 正 数,由 切 比 雪 夫 不 等 式 知 P(|冗-。华 lim P(同 泊 卜-V lim 皿=0.+oc I/乙 所 以 X“服 从 大 数 定 律.5.3 证 明：任 给，a X(w)0),1=1,2,，则 当 axb时，有 p(x(“

39、)川=尸(m ax%,.%x)=P(X|X)P(X.x)=f|当 时，有 P(X(,)4 x)=0：当 时，有 P(X(“)4 x)=l.任 给 0()=P(X(“)b+)=P(X(“)=0,故 P 0 X-q 卜 0,0 0；若 6-则 尸 佃=-0,.所 以 任 给 0()=0,从 而 证 得 5.4 记=检 查 灯 泡 的 数 量,X,=第 i个 灯 泡 的 寿 命，则 E(X J=2250,0(X,)=2502,记 入=检 查 灯 泡 的 总 寿 命,则 E(X)=2250,。(用=25()2,则 通 过 检 查 的 概 率 为：P(X 2200/7)=1-P(X 1-0-;=I 25

40、0VM)0.997,即 1 2.75 189.06.因 此，要 使 检 查 通 过 的 概 率 不 小 于 0.9 9 7,应 至 少 检 查 190只 灯 泡.5.5 记=第 i个 加 工 产 生 的 误 差 i=1,2,100,则 双 凡)=0,。()=记 5=100次 计 算 产 生 的 误 差,则 则 根 据 中 心 极 限 定 理 得:5.6 随 机 变 量 X 服 从 二 项 分 布 8(1000+，0.0 1 4),由 棣 莫 弗 一 拉 普 拉 斯 中 心 极 限 定 理 有 尸(0 4 X 4 a)0-(1000+a)u0.014 X-(1000+a)x0.014 0.013

41、804 0.9 0,查 表 得(1.28)=0.9 0,所 以 0.9 8 6 a-1 47(1000+a)x 0.0 1 3 8 0 4 1.2 8,可 得 a 2 19.5.7 设 第 人 位 顾 客 的 消 费 额 为 万(左=1,2,10000),商 场 日 销 售 额 为 X,则 10000 x=X k，k=因 为 X&在 1 0 0,1 0 0 0 上 服 从 均 匀 分 布，所 以/1/(1 0 0 0-1 0 0)2 9002：(X j=-(1 0 0+1000)=550,O(X j=-L=.日 平 均 销 售 额 和 销 售 额 方 差 分 别 为：10000E(X)=Z(冬

42、)=10000 x550=55x1()5,k=l10000 Q n n 2o(x)=Z o(X k)=ioooox4r.k=l 1，由 于 X(k=1,2,10000)独 立 同 分 布，由 列 维 定 理，有 尸(55x 1()5 _ 20000 X 5 5 X 105+20000)=P(-20000-55 x 105 20000)(C-20000 X 55x1()5 20000-p-100 x900/-100 x900/-100 x900/I/V12/V12/V12J/“2 lOO x Z-10(0.77)-1=0.56.I/y i n)因 此，日 销 售 额 在 55xl()5 2x1(

43、)4,55x105+2xio1的 概 率 为 0.56.5.8设 X,5 分 别 表 示 在 第 i 个 小 单 元 内，轰 炸 机 和 歼 击 机 被 打 下 的 架 数(1=1,2,50),其 分 布 规 律 分 别 为：p(X,=0)=0.6,P(X,=l)=0.4,(i=l,2.,50),=0)=0.3,尸 化=1)=0.5,尸(匕=2)=0.2,(i=l,2,50),数 学 期 望 和 方 差 分 别 为：E(X,)=0.4,Z)(X,)=0.24,E 化)=0.9,。(工)=0.49,(，=1,2,50).设 X“，工 分 别 表 示 在 一 次 空 战 中 轰 炸 机 以 及 歼

44、 击 机 被 打 卜 的 架 数，则 有 50 50 x,=x,匕=小/=1/=1因 为 毛，,工 0；几,)是 相 互 独 立 的 随 机 变 量，所 以 50 50E(X”)=Z E(X,)=50 x0.4=2O,0(X“)=ZO(X,)=50 x024=12,i=i=l50 50E(工)=Z E(Y)=50 x0.9=45,。(工)=X 0(匕)=50 x049=24.5.i=l i=l山 列 维 定 理 知50X“=X x 近 似 服 从 正 态 分 布 N(20,12),i=50匕=工 近 似 服 从 正 态 分 布 N(45,24.5).i=事 件“空 战 中，有 不 少 于 35

45、%的 轰 炸 机 被 打 下”即 X,；5 0 x 3 5%,则 P Xn 5 0 x 3 5%)=P Xn 17)1 一 中(0.866)=(0.866)=0.806.(2)记 M 为 歼 击 机 被 打 下 来 的 最 大 架 数，则 得 P Q Yn M)=P0-45%_ 4 5 1.635)=0.956.4(1)3.325；(2)2.088；(3)27.488；(4)6.262.6.5(1)2.228；(2)1.813；(3)1.813；(4)-2.764.6.6(1)3.23；(2)6.7(1)-；(3)-；(4)2.06.3.39 2.85。一 o 00 其 他/区，彳 2,，/)

46、=(2)(,7；是，心，心 不 是。因 为(，7；中 不 含 总 体 中 的 唯 一 未 知 参 数 后，而 乙，T.中 含 有 未 知 参 数 6.8(1)易 见，X；+X；即 为 二 个 独 立 的 服 从 N(0,l)的 随 机 变 量 平 方 和，服 从 为 2(2)分 布,即：=：；自 由 度 为 2.X+X(2)由 于+X 2 N(0,2),则 1 N(0,l).V2又 X；+X：+X；/（3）X1+X2与 明+/+x；相 互 独 立 则 田 端 r 喈 瑞 2即 d 岑 自 由 度 为 3.6.9乂 一 2X2 N(0,5x2?),3X3-4 X4 7/(0,25x22)歌 笞+

47、停*7 所 以 a=1-/=一 自 由 度 为 220 1006.1010 Y 15 Y(天)/(1 0),之(彳)/i=l,j=210 x；i=l15 yi f/=ll JF(10,5)第 七 章 7.1 由 两 点 分 布 可 知，E(X)=p,1=E(X),而 x=_(l+l+0+l+l+l)=-,所 以 p=.由 p=r/1 0 0,于 是 r=100p=100 xa83.6 6 6 6故 红 球 的 矩 估 计 值 为；=83个.7.2 已 知=E(X),a2=D(X)=E(X2)-E2(X).因 此 可 用 样 本 一 阶 原 点 矩 和 二 阶 原 点 矩 去 估 计.毛=元；f

48、 x；一 方 2.a Z=1 力/=1 H/=1/=1 4/=1n n 1 w _7.3 E(X)=,因 此？=上，X,=X.2 2 所 以 e=2 x,就 是 e 的 矩 估 计 量.7.4 X 的 分 布 密 度/(x,6)=万.0,其 他.样 本 为,2,x”的 似 然 函 数 为 心,马，猫;吁 针 L.0,其 他.A由 此 式 可 见，要 L 最 大，只 要 6 最 小，而 由 的 表 达 式 知，当。=max(x”X2,猫)时，A，为 最 小，此 时 L 最 大.故 6 的 极 大 似 然 估 计 值 为。=max(x X2,猫)，而 似 然 估 计 量 为 A，=m a x(X，

49、X2,X.)7.5 设 总 体 X 的 分 布 的 期 望(X)=。，每 个 样 本 X 1 的 分 布 与 总 体 分 布 相 同，因 此 其 均 值 E(xj=e,而(了)=2=.g=仇/=|因 此，样 本 均 值 X 是 总 体 均 值 的 无 偏 估 计 量.7.6 设 总 体 期 望 为，方 差 为 b?.样 本 与 总 体 同 分 布.所 以 E(X“)=,(X,)=,E(X,M)=三 者 均 是 的 无 偏 估 计.D(X“)=Z)(X)=,，。(年)=二./=Jn n 1 2。D(Xn+x)=-(n+l)o-=-(M+1)+1三 者 比 较，无 二 的 方 差 最 小，故 为

50、最 有 效.7.7(1)2 已 知，写 出 似 然 函 数-4(勺-A(x”X2,，x“；)=e,X,=1,2,，),0,其 他 ni,n Lr _ j/71n2-2(/=X)x;-n jj),的=1,2,/7),-00,其 他dlnLdnA,0.这 说 明 ln是 随 4 的 增 加 而 增 加 的.由 于 七/2,，居 均 大 于 等 于 4,所 以 要 使 ln最 大,只 须 最 大，而 以 max=m i n a，4，匕)，此 值 即 为 的 极 大 似 然 估 计，即 A=min(X|,X2,x“).(2)直 接 求 E(X)E(X)=加=103+)於 内 力=工+.J Jo 4A