概率论课后习题答案.docx

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1、概率论课后习题答案习题1解答1.写出下列随机试验的样本空间：1记录一个班一次数学考试的平均分数设以百分制记分；2生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；3对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记为“正品，不合格的记为“次品，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果；4在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.解：1以n表示该班的学生人数，总成绩的可能取值为0，1，2，100n，所以该试验的样本空间为|0,1,2,100iinn=L.2设在生产第10件正品前共生产了k件不合格品，样本空间为10|0,1,2,kk=+=L，或写成10,11,12,.=L3采用0表

2、示检查到一个次品，以1表示检查到一个正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111=.3取直角坐标系，则有22(,)|1xyxy=+(6)A、B、C中有不多于一个事件发生.解：(1)ABC或ABC-或()ABC-U；(2)ABCABCABCUU；(3)ABCUU或ABCABCABCABCABCABCABCUUUUUU；(4)ABCABCABCUU.(5)ABACBCUU或ABCABCABCABCUUU；(6)ABCABCABCABCU

3、UU.3设样本空间|02xx=，事件|0.51Axx=，|0.81.6Bxx=解：(1)由()()()()PABPAPBPAB=+-U得()()()()030.50.80PABPAPBPAB=+-=+-=U.(2)()()()0.300.3PABPAPAB-=-=-=.(3)()1()1()10.80.2.PABPABPAB=-=-=-=U6.设()PAB=()PAB，且()PAp=，求()PB.解：由()PAB=()1()1()1()()()PABPABPABPAPBPAB=-=-=-+U得()()1PAPB+=，进而()1.PBp=-7.设3个事件A、B、C，()0.4PA=，()0.5P

4、B=，()0.6PC=，()0.2PAC=，()PBC=0.4且AB=，求()PABCUU.解：()()()()()()()()0.40.50.600.20.400.9.PABCPAPBPCPABPACPBCPABC=+-+=+-+=UU8.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率.解：依题意可知，基本事件总数为34个.以,1,2,3iAi=表示事件“杯子中球的最大个数为i，则1A表示每个杯子最多放一个球，共有34A种方法，故34136().416APA=2A表示3个球中任取2个放入4个杯子中的任一个中，其余一个放入其余3个杯子中，放法总数为211343CCC

5、种，故211343239().416CCCPA=3A表示3个球放入同一个杯子中，共有14C种放法，故14331().416CPA=9.在整数0至9中任取4个，能排成一个四位偶数的概率是多少?解：从0至9中任取4个数进行排列共有10987种排法.其中有(4987487987)种能成4位偶数.故所求概率为4987487987411098790P?-?+?=?.10.一部五卷的文集，按任意次序放到书架上去，试求下列事件的概率：(1)第一卷出如今旁边；(2)第一卷及第五卷出如今旁边；(3)第一卷或第五卷出如今旁边；(4)第一卷及第五卷都不出如今旁边；(5)第三卷正好在正中.解：(1)第一卷出如今旁边，

6、可能出如今左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意排，所以5/2!5/!42=?=p.(2)可能有第一卷出如今左边而第五卷出现右边，或者第一卷出如今右边而第五卷出如今左边，剩下三卷可在中间三人上位置上任意排，所以10/1!5/!32=?=p.(3)pP=第一卷出如今旁边+P第五卷出现旁边-P第一卷及第五卷出如今旁边2217551010=+-=.(4)这里事件是(3)中事件的对立事件，所以10/310/71=-=P.(5)第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以5/1!5/!41=?=P.11.把2，3，4，5诸数各写在一张小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率

7、.解：末位数可能是2或4.当末位数是2(或4)时，前两位数字从剩下三个数字中选排，所以23342/1/2PAA=?=.12.一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客.电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率.解：每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为79.事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯.所以包含79A个样本点，于是7799)(AAP=.13.某人午觉悟来,觉察表停了,他打开收音机,想听电台报时,设电台每正点

8、是报时一次,求他(她)等待时间短于10分钟的概率.解:以分钟为单位,记上一次报时时刻为下一次报时时刻为60,于是这个人打开收音机的时间必在),60,0(记“等待时间短于10分钟为事件,A则有(0,60),=)60,50(=A,?于是)(AP6010=.61=14.甲乙两人相约812-点在预定地点会面。先到的人等候另一人30分钟后离去，求甲乙两人能会面的概率解:以,XY分别表示甲、乙二人到达的时刻，那末812X，812Y；若以(,)XY表示平面上的点的坐标，则样本空间能够用这平面上的边长为4的一个正方形(,):812,812XYXY=表示，二人能会面的充要条件是1|2XY-，即事件1(,):|,

9、812,8122AXYXYXY?=-?所以所求的概率为：()211221624()15()()1664APA?-?=15.现有两种报警系统A和B，每种系统单独使用时，系统A有效的概率0.92，系统B的有效概率为0.93，在A失灵的条件下，B有效的概率为0.85，求(1)这两个系统至少有一个有效的概率;(2)在B失灵条件下，A有效的概率.解：设A表示“系统A有效，B表示“系统B有效，则()0.92,()0.93,(|)0.85.PAPBPBA=由()()(|)0.851()PBPABPBAPA-=-知()0.862PAB=.(1)()()()()0.920.930.8620.988.PABPAP

10、BPAB=+-=+-=U (2)()()0.920.862(|)0.8285.1()10.93PAPABPABPB-=-16.已知事件A发生的概率()0.5PA=，B发生的概率()0.6PB=，以及条件概率(|)PBA=，求,AB和事件的概率.解：由乘法公式得()()(|)0.50.80.4.PABPAPBA=?=所以()()()()0.50.60.40.7.PABPAPBPAB=+-=+-=U17.一批零件共100个，其中次品有10个每次从中任取1个零件，取3次，取出后不放回求第3次才获得合格品的概率解：设iA表示事件“第i次获得合格品，则123121312109909()()(|)(|)0

11、.00835.10099981078PAAAPAPAAPAAA=?=18.有两个袋子，每个袋子都装有a只黑球，b只白球，从第一个袋中任取一球放入第二个袋中，然后从第二个袋中取出一球，求获得黑球的概率是多少？解：设从第一个袋子摸出黑球A，从第二个袋中摸出黑球为B，则PAaab()=+，PAbab()=+，PBAaab(|)=+11，PBAaab(|)=+1，由全概公式知:PBPBAPAPBAPAaab()(|)()(|)()=+=+.19.一个机床有13的时间加工零件A，其余时间加工零件B加工零件A时，停机的概率是，加工零件B时，停机的概率时，求这个机床停机的概率解：设C表示“机床停机，A表示“

12、加工零件A，B表示“加工零件B，则1211()()(|)()(|)0.30.40.367.3330PCPAPCAPBPCB=+=?+?=20.10个考签中有4个难签，3个人参加抽签考试，不重复地抽取，每人一次，甲先，乙次，丙最后.证实3人抽到难签的概率一样.证实：设甲、乙、丙分别抽到难签的事件为,ABC，则，显然4()10PA=.43644()()(|)()(|).10910910PBPAPBAPAPBA=+=?+?=()()(|)()(|)()(|)()(|)43264346365410981098109810984.10PCPABPCABPABPCABPABPCABPABPCAB=+=?+

13、?+?+?=21.两部机器制造大量的同一种机器零件，根据长期资料总结，甲、乙机器制造出的零件废品率分别是和现有同一机器制造的一批零件，估计这一批零件是乙机器制造的可能性比它们是甲机器制造的可能性大一倍，现从这批零件中任意抽取一件，经检查是废品试由此结果计算这批零件是由甲生产的概率解：设A表示“零件由甲生产，B表示“零件是次品，则12(),(),(|)0.01,(|)0.02.33PAPAPBAPBA=由贝叶斯公式有10.01()(|)3(|)0.2.12()(|)()(|)0.010.0233PAPBAPABPAPBAPAPBA?=+?+?22.有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的

14、概率分别是、假如他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是41、31、121，而乘飞机则不会迟到结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？解：用1A表示“朋友乘火车来，2A表示“朋友乘轮船来，3A表示“朋友乘汽车来，4A表示“朋友乘飞机来，B表示“朋友迟到了.则21)|()()|()()|(41111=kkkABPAPABPAPBAP23.加工一个产品要经过三道工序，第一、二、三道工序不出现废品的概率分别是、若假定各工序能否出废品互相独立，求经过三道工序而不出现废品的概率解：设,1,2,3iAi=分别表示第一、二、三道工序不出现废品，则由独立性得123123()()()()0.90.950

15、.80.684.PAAAPAPAPA=?=24.三个人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别是、1/3、求密码被破译的概率解：设,1,2,3iAi=分别表示第一、二、三个人破译出密码，则由独立性得123123123123()1()1()1()()()210.80.7530.6.PAAAPAAAPAAAPAPAPA=-=-=-=-?=UUUU25.对同一目的，3名射手独立射击的命中率是、和，求三人同时向目的各射一发子弹而没有一发中靶的概率?解：设,1,2,3iAi=分别表示第一、二、三个射手击中目的，则由独立性得123123)()()()(10.4)(10.5)(10.7)0.09PAAAPA

16、PAPA=-=.26.甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为、.飞机被一人击中而击落的概率为，被两人击中而击落的概率为，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率.解：设,1,2,3iCi=依次表示甲、乙、丙击中飞机，,1,2,3iAi=分别表示有i人击中飞机，B表示飞机被击落，则1123123123()()()()0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.060.090.210.36.PAPCCCPCCCPCCC=+=?+?+?=+=2123123123()()()()0.40.50.30.40.50.70.60.50.70.060.140.210.41

17、.PAPCCCPCCCPCCC=+=?+?+?=+=3123()()0.40.50.70.14.PAPCCC=?=由全概率公式，得112233()()(|)()(|)()(|)0.360.20.410.60.1410.458.PBPAPBAPAPBAPAPBA=+=?+?+?=27.证实：若三个事件A、B、C独立，则ABU、AB及AB-都与C独立证实:(1)()()()(ABCPBCPACPCBAP-+=?=)()(CPBAP?.(2)()()()()()CPABPCPBPAPPABC=.(3)()()(ABCACPCABAPCBAP-=-=-=)()(CPBAP-.28.15个乒乓球中有9个

18、新球，6个旧球，第一次比赛取出了3个，用完了放回去，第二次比赛又取出3个，求第二次取出的3个球全是新球的概率解：设iA=第一次取出i个新球，0,1,2,3i=，B表示第二次取出3个新球，则3321312333369698697963333333301515151515151515()()(|)0.089iiiCCCCCCCCCCPBPAPBACCCCCCCC=?+?+?+?=.29.要验收一批100件的物品，从中随机地取出3件来测试，设3件物品的测试是互相独立的，假如3件中有一件不合格，就拒绝接收该批物品.设一件不合格的物品经测试查出的概率为，而一件合格品经测试误以为不合格的概率为，假如这10

19、0件物品中有4件是不合格的，问这批物品被接收的概率是多少？解：设iA=抽到的3件物品中有i件不合格品，0,1,2,3i=.B=物品被接收，则332112033211203969649649643333100100100100()()(|)0.990.990.050.990.050.990.050.8629.iiiPBPAPBACCCCCCCCCCC=?+?+?+?=30.设下列图的两个系统KL和KR中各元件通达与否互相独立，且每个元件通达的概率均为p，分别求系统KL和KR通达的概率.解：设,AB分别表示系统KL与KR通达,(1)解法一3334556323()()()()()()()()()()

20、(32).PAPABCDEFPACFBCFDEFPACFPBCFPDEFPABCFPACDEFPBCDEFPABCDEFppppppppppp=+-+-=+-+=-+UIUIIUU解法二：34323()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(32).PAPABCDEFPFPABCPDEPABCDEpPABPCPDPEPABPCPDPEpPAPBPAPBpppPAPBPABpppp=+-=+-=+-+-+-=-+UIUIIUIUIUU(2)22422223()()()()(1)()()()(2252).PBPCADBEABCDEppppppppppppppp=+=-+-+-+-=+-+UUU习题二参考答案1.随机变量的所有可能取值为：1，2，3，4，5，6，分布律为：2.(1)；(2).3.随机变量的分布律为：由于，那么当时，当时，,当时，,当时，.综合上述情况得随机变量的分布函数为：4.5.1；2；3；4.设表示设备被使用的个数则1234