运筹学第二版（熊伟）著课后习题答案.pdf

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1、运筹学（第 2 版）习题答案第1章 线 性 规 划P36-40第2章线性规划的对偶理论P68-69第3章 整数规划P82-84第4章 目 标 规 划P98100第5章 运输与指派问题P134-136第6章 网络模型P164-165第7章 网络计划P185-187第8章 动态规划P208-210第9章 排 队 论P239-240第10章 存 储 论P269-270第11章 决 策 论Pp297-298第12章 博 弈 论P325-326全书360页习题一1.1 讨论下列问题：（1）在 例1.1中，假定企业一周内工作5天，每天8小时，企业设备A有5台，利用率为0.8,设备B有7台，利用率为0.85

2、,其它条件不变，数学模型怎样变化.（2）在 例1.2中，如果设否（j=l,2,7）为工作了 5天后星期一到星期日开始休息的营业员，该模型如何变化.（3）在 例1.3中，能否将约束条件改为等式；如果要求余料最少，数学模型如何变化；简述板材下料的思路.（4）在 例1.4中，若允许含有少量杂质，但杂质含量不超过1%,模型如何变化.（5）在 例1.6中，假定同种设备的加工时间均匀分配到各台设备匕 要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备任一台加工时间1小时，模型如何变化.1.2 工厂每月生产工、8、C三种产品，单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1-2 3所示.表

3、 123品ABC资源限量材料（kg）1.51.242500设备（台时）31.61.21400利润（元/件）101412根据市场需求，预测三种产品最低月需求量分别是150、260和120,最高月需求是250、310和130试建立该问题的数学模型，使每月利涧最大.【解】设勺、X2、X3分别为产品A、B、C的产量，则数学模型为maxZ=10%+14x2+12x31.5x,+1.2X2+4X3 25003为 +1.6X2+1.2X3 1400150 x,250260X2 310120 x3 01.3 建筑公司需要用6m 长的塑钢材料制作A、B 两种型号的窗架.两种窗架所需材料规格及数量如表1 -2 4

4、 所示：表 1 24窗架所需材料规;咨及数量问怎样下料包【解】第一型 号 A型 号 B每 套 窗 架 需 要材料长度（m）数量（根）长 度（m）数量（根）A1：1.72Bl；2.72A2：1.33B2：2.03需 要 量（套）2 0 01 5 0三得（1）用料最少：（2）余料最少.步：求下料方案，见下表。第二步：建立线性规划数学模型方案一 二 三四 五八.七 八 九 十 十一 十二 十三 十四 需要量Bl:2.7m 2111 0000000000300B2:2m01 003221110000450Al:L7m 001001021 03210400A2:1.3m 011200101 302346

5、00余料0.6 0 0.3 0.7 0 0.3 0.7 0.6 1 0.1 0.900.40.8设 为 0=1,2,，14）为第/种方案使用原材料的根数，则（1）用料最少数学模型为14minZ=E x：7=12玉+x2+x3+x4 300 x2+3X5+2X6+2X7+x8+x9+x10 450 400 x2+x3+2X4+七+/+3x10+2X12+3 q +4x4 600Xj NO,J=1,2,14用单纯形法求解得到两个基本最优解X=(50,200,0,0,84,0,0,0,0,0,0,200,0,0);Z=534X =(0,200,100,0,84,0,0,0,0,0,0,150,0,0

6、);Z=534(2)余料最少数学模型为min Z=0.6.+0.3.+0.7x4+0.4x13+0.8x142X 1+x2+xi+x4 300 x,+3X5+2xb+2X7+x8+x9+Mo 450 400 x,+x3+2X4+x7+x9+3x10+2X12+3阳3+4x14 600 x-2,14用单纯形法求解得到两个基本最优解X=(0,300,0,0,50,0,0,0,0,0,0,200,0,0);Z=0,用料 550 根X(2)=(0,450,0,0,0,0,0,0,0,0,0,200,0,0);Z=0,用料 650 根显然用料最少的方案最优。1.4某企业需要制定16 月份产品A 的生产与

7、销售计划。已知产品A 每月底交货，市场需求没有限制，由于仓库容量有限，仓库最多库存产品A1000件，1 月初仓库库存200件。16 月份产品A 的单件成本与售价如表125所示。表 1-25月份123456产品成本（元/件）300330320360360300销售价格（元/件）350340350420410340（1）1 6月份产品A各生产与销售多少总利润最大，建立数学模型；（2）当1月初库存量为零并且要求6月底需要库存200件时，模型如何变化。【解】设巧、乃。=1,2,，6）分 别 为1 6月份的生产量和销售量，则数学模型为m axZ=-300 xj+350y,-330 x2+340y2-32

8、0 x3 4-350y3-360 x4+420y4-360%+410J5-300 x6+340儿%8004-x2 800 x-yl+x2-y2-hx3 8002 _ M 一歹2+%3 _%+W 800玉 必 +X2-J/2+X3-J；34-X4-J；4+X5 800（1）一%+,200Xj+凹 一 Z 200-Xj+%-+%、3+%200F +必一工2+乃一 工3+必一+%-20。一 再 +,一 /+%-X3+8 一 +招 一 X$+乃 200一 玉 +必一%+y2X3+y3 X4+、4 X5+弘 _彳6+”-200X j,yj N O =1,2,6（2）目标函数不变，前6个约束右端常数800

9、改 为1000,第7 11个约束右端常数200改为0,第12个 约 束“W200”改 为“=一200”。1.5某投资人现有下列四种投资机会，三年内每年年初都有3万 元（不计利息）可供投资：方案一：在三年内投资人应在每年年初投资，一年结算一次，年 收 益 率 是2 0%,下一年可继续将本息投入获利；方案二：在三年内投资人应在第一年年初投资，两年结算一次，收 益 率 是5 0%,下一年可继续将木息投入获利，这种投资最多不超过2万元；方案三：在三年内投资人应在第二年年初投资，两 年 结 算 次，收 益 率 是6 0%,这种投资最多不超过1.5万元；方案四：在三年内投资人应在第三年年初投资，一年结算一

10、次，年 收 益 率 是3 0%,这种投资最多不超过1万元.投资人应采用怎样的投资决策使三年的总收益最大，建立数学模型.【解】是 设/为 第i年投入第/项目的资金数，变量表如下项目一项目二项目三项目四第1年第2年第3年X|1切工31X2%23与4数学模型为m axZ=0.2再1+0.2x21+0.2x31+0.5x12+0.6x23+0.3x34X”+x12 300001.2%|+%2i+*2 3 -30000-1.5X12-1.2X21+X31+X34 30000 x12 20000 x2J 15000 x34 0,z=l,-,3；y=l,-4最优解 X=(30000,0,66000,0,10

11、9200,0)；Z=847201.6 炼油厂计划生产三种成品油，不同的成品油由半成品油混合而成，例如高级汽油可以由中石脑油、重整汽油和裂化汽油混合，辛烷值不低于9 4,每桶利润5 元，见 表 126。表 1 26半成品油的辛烷值、气压、及每天可供应数量见表127。表 1 27成品油高级汽油一般汽油航空煤油一般煤油半成品油中石脑油重整汽油裂化汽油中石脑油重整汽油裂化汽油轻 油、裂化油、重油、残油轻 油、裂化汕、重油、残油按 10:4:3:1调合而成辛烷值,9 484蒸汽压：公斤/平方厘米W1利润(元/桶)54.231.5半成品油1中石脑油2重整汽油3裂化汽油4轻油5裂化汕6重油7残油辛烷值801

12、15105蒸汽压：公斤/平方厘米1.01.50.60.05每天供应数量(桶)200010001500120010001000800问炼油厂每天生产多少桶成品油利润最大，建立数学模型。解 设修为第i(=1,2,3,4)种成品油配第4=1,2,7)种半成品油的数量(桶)。总利润：z =5(X|+Xt2+X3)+4.2(X2|+X22+%23)+3(34+“35+36+“37)+1 -5(%44+45+“46+”47)高级汽油和般汽油的辛烷值约束8*|+115、3 +1 5X3)94 84 801+115程 +153 X”+$2+须3航空煤油蒸气压约束X2 1 +X22+*23拓4+1.5X35+0

13、.6X36+0.05X37 X34+“35+36+%37一般煤油比例约束a ：%：x46:x47=1 0:4:3:1即半成品油供应量约束xH+x2 1 2 000 xl 2+x2 2 1 000国3 +x2 3 1 5 00%+孙 1 2 00 x3 5+%1 000 x3 6+X 4 6 014%21+2 1 22+1 1%3-0-4X21+3 lx22+2 lx23 00.5X35-0.4X36-0.9 5X37 04X44-10X45=03X45-4X46=0X46 3%47=*xn+x21 2000 xl2+x2 2 1000 x13+x23 1500X34 1200 5+均 4 10

14、00%+X 46 K 1000X3 7+x47 8 00%=l,2,3,4;j =1,2,，71.7 图解下列线性规划并指出解的形式：m a x Z =2.5x+2x2(1)2x)+x2 80.5x j 1.5+2X2 0【解】最优解X=(2,4)；最优值Z=133X+8%24 12xi+x2 22x,0【解】有多重解。最优解x=(3/2,1/2)；*出=(4/5,6/5)最优值Z=2、1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1C3(4)mi n Z =4+6x2xl+2X2 8x,4-x2 8x2 0,x2 0【解】最优解X=(2,3)；最优值Z=2 6,有唯一最优解max

15、Z=X +2X2XJ-x2 2%1 3Vx2 0【解】无 界 解。minZ=2xl-5x2x.+2x.6(6)X+%2 0【解】无可行解。1.8 将下列线性规划化为标准形式ma x Z=x+4X2 x3(1)2M+4 +3为 310X 1+3X2+6X3 -5司0,X2 0,%3无限制【解】（l）令 =X；-只,工4，工 5，工 6 为松驰变量，则标准形式为max Z=$+4X2-X；+X；2xl+x2+3X3-3x；+x4=205xj-7X2+4xj-4x；-x5=3-10 x,-3X2-6X3 4-6X3+x6=5min Z=9x-3x2+5x3(2)16Xj+7X2 4X3|51%1 +

16、8X2=-8X j 0,x2 0,x3 0【解】（2）将绝对值化为两个不等式，则标准形式为max Z=-9Xj+3x2-5x36%j+7X2-4X3+x4=20-6x-7X2+4X3+x5=200(3)max Z=2$+3x21 0,x2 0【解】方法1：max Z=2再 +3x2X j-x3=10方法2：令x；=七 一1,有再=x；+Lx：W 5-1 =4max Z=2(x：+1)+3x2x4 0则标准型为max Z=2+2x；+3x2x；+Xj=4 0(4)max Z=min(3x+4x2+x2+x3)&+2X2+x3 15V9演 +/+6x3 -5X 1无约束,“2、1N O【解】令y

17、3再+4马/玉+工2+工3，再=不；一X：，线性规划模型变为ma x Z=yy 3(x：-X)+4X2y x-xx2+不x-2X2+毛 -5X p x f,x2 x3 0标准型为ma x Z =yy-3x；+3x f-4X2+x4=0y-x+x f-x2-x3+x5=0 x；-x：+2X2+x3+x6=304x-4X-X2+2X3-X7=15-9x+9 x f-x2-6X3+x8=51.9设线性规划ma x Z =5x+2 x22 x+3X2+X3=500,7 424102401取基4=(耳，p3)、B=，分别指出与 和 与 对应的基变量和非基变量,求出基本解，并说明名、当 是不是可行基.【解

18、】8：修，制为基变量，必，M为非基变量，基本解为X=(15,0,20,0)T,B 1是可行基。By.是基变量，也用为非基变量，基 本 解(25,0.0,-40)T,B 2不是可行基。1.10分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划，指出单纯形法迭代的每一步的基可行解对应于图形上的那一个极点.ma x Z =X +3X2(1)-2X 1+X222 xt+3X2 0【解】图解法单纯形法:对应的顶点:CO)1300bRatioC(i)BasisXIX2X3X40X3-2 1110220X42301124C(D-Z(j)130003X2-21102M0X4|8|0 3160.75C(j)-z 70-30

19、63X2010.250.257/21XI10-0.3750.1253/400-0.375-0.87545/43 7 45最优解 x=(z，),z =7基可行解可行域的顶点X(l)=(0,0,2,12),(0,0)犷=(0,2,0,6,),(0,2)3 7X(3)=(居minZ=-3须-5x2x+2X2 6(2)x,+4X2 10VX,+x2 0,x2 0【解】图解法单纯形法:c(j)-3-5000bR a ti oB a s i sc(i)X IX 2X 3X 4X 5X 301210063X 401|4|010102.5X 501100144C(j)-Z(j)-3-50000X30|0.5|

20、01-0.5012X2-50.25100.2502.510X500.7 500-0.2511.52C(j)-Z(j)-1.7 5001.250-12.5X I-3102-102MX 2-501-0.50.5024X 5000-1.5|0.5|100C(j)-z 003.5-0.50-16X I-310-1022X 2-50110-12X 4000-3120C(j)-Z(j)00201-16对应的顶点:基可行解可行域的顶点X(1)=(0,0,6,10,4)-(0,0)X)=(0,2.5,1,0,1.5,)(0,2.5)X(3)=(2,2,0,0,0)(2,2)X4)=(2,2,0,0,0)(2,

21、2)最优解：X=(2,2,0,0,0)；最优值 Z=16该题是退化基本可行解，5 个基本可行解对应4 个极点。1.11用单纯形法求解下列线性规划max Z=3X+4x2+x32xt+3X2+x3 1 X+2X2+2X3 3Xj N O,/=1,2,3【解】单纯形表:co34100R.H.S.RatioBasisc(i)XIX2X3X4X5X4X50021|3|2121001131/33/2CG)-z(j)341000X2X5402/31-1/3101/34/31/3-2/3011/37/31/2MC(j)-Z(j)1/30-1/3-4/30-4/3XIX530103/21/21/23/21/2

22、-1/2011/25/20-1/2-1/2-3/20-3/2最优解：x=(1/2,0,0,0,5/2)；最优值 Z=3/2(2)max Z=+x2-3x3+5x4X1+5X2+3X3-7X4 303x1-x2+x3+x4 102x-6X2-x3 4-4X4 0并且q 7 0（，=1,2,3）,故原问题具有无界解，即无最优解。C(j)-Z 21-35000X509/2-11/25/40107/465MX605/2|1/2|5/4001-1/4510X451/2-3/2-1/41001/45MC(j)-z(j)-1/217/2-7/4000-5/4X50320150111-1120MX21515/

23、2002-1/21010X45807/2103-1/220MC(j)-Z(j)-430-2300-173m a x Z =3%+2x2 1x3-x+2X2+3X3 44x1-2X3 123%j +8X2+4X3 0【解】CO)32-0.125000R.H.S.RatioBasisC(i)XIX2X3X4X5X6X40-1231004MX50140-2010123X603840011010/3C(D-Z(j)32-1/80000X40025/211/4073.5XI310-1/201/403MX6008111/20-3/4111/80211/80-3/409X40009/817/16-1/427

24、/46XI310-1/201/403MX2201|11/16 0-3/321/81/80.181818C(J)-Z G)0000-9/16-1/437/4X3进基、X 2出基，得到另一个基本最优解。原问题具有多重解。c o)32-0.125000R.H.S.RatioBasisXIX2X3X4X5X6X400-18/110113/22-5/1172/116XI318/11002/111/1134/11MX3-0.125016/1110-3/222/112/110.18180000-9/16-1/437/4i 77 34 2 7?77基本最优解X。）=（3,-,0,0）及 X。）=（,0,o）r

25、；z =,最优解的通解可表8 4 11 1111 4示为X=QX+(l-a)X 即X=(史-L,L,2-2,卫 2 4,0),(0 Wl)11 11 8 11 1 1 1 1 1 1(4)ma x Z =3再 +2x2+x35再 +4X2+6 与 25 E x,+6X2+3 xy 0,y =1,2,3【解】单纯形表:C O)32100R.H.S.R a ti oB a s i sc(i)X IX 2X 3X 4X 5X 4054610255X 501816301243C(j)-z 321000X 4001/433/81-5/810X I313/43/801/83C(j)-z 0-1/4-1/8

26、0-3/89最优解：X=(3,0,0,10,0)；最优值 Z=91.12分别用大法和两阶段法求解下列线性规划:ma x Z =1 O x j -5x2+x35 X j +3X2+X3=10 5%|+X 2 1013 415巧.W=l,2,3【解】大 M 法。数学模型为ma x Z =1 O x j -5x2+x3-M x55 +3X2+/+/=100,7 =l,2,-,5C Q)10-510-MR.H.S.R a ti oB a s i sc(i)X IX 2X 3X 4X 5X 5-M53101102X 40-51-101015MC G)-z(j)10-51000*B i g M531000

27、X I1013/51/501/52X 4004-91125C(j)-Z 0-11-10-220*B i g M0000-10最优解 X=(2,0,0)；Z=20两阶段法。第一阶段：数学模型为mi n w-x55X 1+3X2+X 3+/=10*5%1+%2 1OX3+x4=15巧 N O,/=1,2,5C O)00001R.H.S.R a ti oB a s i sc(i)X IX 2X 3X 4X 5X 51153101102X 40-51-101015MC(j)-Z -5-3-100X I013/51/501/52X 4004-91125C(i)-Z(j)00001第二阶段C O)10-5

28、10R.H.S.R a ti oB a s i sc(i)X IX 2X 3X 4X I1013/51/5022X 4004-9125M0-11-10最优解 X=(2,0,0)；Z=20mi n Z =5x1-6x2-7x3x+5X2-3X3 15(2)5x,-6 x2 4-10 x3 200,J =1,2,3【解】大M法。数学模型为mi n Z =5xt-6x2-7 x3+MA、+MA3+5%2 3x j S 1+4 =155xy-6X2+10X3+52=20*X1+工2+X3+4 =5.所有变量非负C 5-6-700MMR.H.S.R a ti oB a s i sc X IX 2X 3S

29、 IS 2AlA3AlM1|5|-3-1010153S 205-610010020MA3M111000155c o)-z u)5-6-70000两阶段法。*B i g M-2-621000X 2-61/51-3/5-1/501/503MS 2031/5032/5-6/516/50389 5/16A3M4/5018/51/50-1/5125/4C(j)-Z(j)31/50-53/5-6/506/50*B i g M-4/50-8/5-1/506/50X 2-61/210-1/801/83/815/4S 20300-212-430X 3-71/2011/80-1/85/85/4C(j)-z(j)2

30、3/2001/80-1/853/8*B i g M0000011第一阶段：数学模型为min 狡=4 +4$+5%2 S+4 15V51 6X2+1 Oxj+5,2 20M+%+/+4 =5所有变量非负c o)0000011R.H.S.R a ti oB a s i sc(i)X IX 2X 3S IS 2AlA3Al115-3-1010153S 205-610010020MA31111000155-2-621000X 201/51-3/5-1/501/503MS 2031/5032/5-6/516/50389 5/16A314/50|8/5|1/50-1/5125/4-4/50-8/5-1/5

31、06/50X 201/210-1/801/83/815/4S 20300-212-430X 301/2011/80-1/85/85/4C(j)-Z 0000011第二阶段:C O)5-6-700R.H.S.R a ti oB a s i sc(i)X IX 2X 3S IS 2X 2-61/210-1/8015/43S 20300-2130MX 3-71/2011/805/4523/2001/80最优解：X =(0,-,-)r,Z=-4 4 4m axZ=10 再 +15X25x+3X2 9-5xj+6X2 5x,x2 x3 0【解】大 M 法。数学模型为max Z=10 x,+15x2-Mx

32、k5须 +3x2+x3=9-5%+6X2+X4-152须 +x2-x5+x6=5Xj N O,/=1,2,6C1015000-MR.H.S.RatioBasis C(i)XIX2X3X4X5X6X3 053100091.8X4 0-56010015MX6-M2100-1152.5C(i)-Z(j)101500000*BigM2100-100XI 1013/51/50009/5X4 009110024X6-M0-1/5-2/50-117/5C(j)-z 09-200018*BigM0-1/5-2/50-100因为X60,原问题无可行解。两阶段法第一阶段：数学模型为min Z=x65xj+3x2+

33、x3=9-5%j+6X2+x4=152Xj+x2-x5+x6=5Xj N O,J=1,2,6C000001R.H.S.RatioBasisc(i)XIX2X3X4X5X6X30|5|3100091.8X40-56010015MX612100-1152.5C(D-Z(j)-2-10010514XI013/51/50009/5X4009110024max Z=4再 +2x2+5x36x-x2+4X3 10V3演一 3X2-5X3 20 0,y=1,2,3【解】大M法。X7是人工变量，数学模型为max Z=4$+2x2+5x3-Mx76x-x2+4X3+X4=100,y=l,2,-,7G425000

34、-MR.H.S.RatioCB XBXIX2X3X4X5X6X70 X46-141100 X53-3-518-M X71121-112010C(j)-Z(j)425*BigMM2MM-1无界解。0X413/29/21-1/21/2200X59/2-7/21-3/23/2382X21/211/2-1/21/210C(i)Z(j)341-1*BigM-15X313/912/9-1/91/940/90X586/97/91-17/917/9482/92X2-2/91-1/9-4/94/970/9C(j)Z(j)-25/9-8/913/9-13/9*BigM-1两阶段法。第阶段：min Z=x76x-x

35、2+4工3+4 =103%j-3X2-5X3+x5=8X +2X2+X3-X6+X7=20X/N O,/=1,2,7第二阶段:G0001R.H.S.RatioCBXBXIX2X3X4X5X6X70X46-141100X53-3-5181X71121-112010-1-2-110X413/2I9/2|1-1/21/2200X59/2-7/21-3/23/2382X21/211/2-1/21/2101原问题无界解。Cj425000R.H.S.RatioCB XBXIX2X3X4X5X60 X413/29/21-1/2200 X59/2-7/21-3/2381 X21/211/2-1/210C(j)

36、-Z(j)7/29/21/20 X313/912/9-1/940/90 X586/97/91-17/9482/92 X2-2/91-1/9-4/970/9c（j）-z（j）-3-112 11.13在 第1.9题中，对于基8=4 0,求所有变量的检验数%(/=1,4),并判断8是不是最优基.0-【解】忸|=4,歹=*,1 L 2A=C-CBB-Anlr ru 4 2 3 1 0=(5,2,0,0)-(5,0),1 4-2 0 11-L 2j=(5,2,0,0)(5,；5,0,5?)二 (0,93,0,5=)2 4 2 49 5A=(0,-,0,-),8不是最优基，可以证明B是可行基。1.14已知

37、线性规划ma x z =5工1+8 x2+7 x3+4x42x1+3X2+3X3+2X4 20 3x,+5X2+4X3+2X4 30X j N 0,7 =l,4 2 3的 最 优 基 为8=2 5，试 用 矩 阵 公 式 求(1)最 优 解；(2)单 纯 形 乘 子；凡 及M；(4)4和4。【解】5 _ 3尸=：，4=&9)=(4,8,),则2 2.(l)J ff i=(x4,x2)r=S-|6 =(|,5)r,最优解X=(0,5,0,1)r,Z =50(2)乃=CBB =(1,1)(3)(4)NLB-R4 =q C8M=5-(4,8)o-5-5-1-41-2%=0 3-。”3=7-(4,8)

38、34227-7 =0注：该题有多重解:X=(0,5,0,X=(0,10/3,5/2)10/3,0)X=(10,0,0,0),孙是基变量，X是退化基本可行解Z=501.15已知某线性规划的单纯形表128,求价值系数向量C 及目标函数值Z.表 1 一 28GCl6C3C4C5C6C7bcBXBXX2X4了5X6X730121-30244Xl10-1020-100X60-140-4123/2%0-1-1010-2【解】由 乙=C,一 c科 有 =%+X哂。2=-1+(3X 1+4X 0+0X (-1)=2c3=-l+(3X2+4X(-1)+0X 4)=1cs=l+(3X(-3)+4X 2+0X (-

39、4)=0贝IJ 入=(4,2,1,3。0,0,),Z=CBXB=121.16已知线性规划maxZ=cx+c2x2+c3x3allxl+a2x2+。1 3工3 4 b、0的最优单纯形表如表129所示，求原线性规划矩阵C、4、及b,最优基8及8表 1-29CjClc2C3c4C5bCBXBX x2X 3x4与CIX1041/61/156C2X201-301/52%00-1-2-3【解】B=6-2-0 5 _,B-=-1 1 6 150-L 5 J,C4=C 5 -0仿照第15题方法可求出5=12,C2=ll,C3=14由 A=BA得由得A=BA-0b B-b-6b=Bb=06-2 300 5-15

40、1一 6 2 30 32 6-2 6则有 0 =(12,11,14),/=,b=,B=,B-=00 5-15 10 0 5 八115_51.17已知线性规划的单纯形表1-30.表 1-30G-3a-1-1bCBXB11MX4-1X 3-2210b-1X 43101b2%入 入2九3X 4当4=（）也=（），=（）时，X=（0,0,仇 也）为唯一最优解.当”=（），仄=（）,斫（）时，有多重解，此时入=（）【解】（1）瓦0,庆。水T(2)仇2 0,历0,。=-3,X =(-2,0,0,0)习题二2.1 某人根据医嘱，每天需补充A、B、C三种营养，A不少于8 0 单位，B不少于1 5 0 单位,C

41、不少于1 8 0 单位.此人准备每天从六种食物中摄取这三种营养成分.已知六种食物每百克的营养成分含量及食物价格如表2-2 2 所示,（1）试建立此人在满足健康需要的基础上花费最少的数学模型；（2）假定有一个厂商计划生产一中药丸，售给此人服用，药丸中包含有A,B,C三种营养成分.试为厂商制定一个药丸的合理价格，既使此人愿意购买，又使厂商能获得最大利益，建立数学模型.表222含量 物一二三四五六需要量A13251440811280B249302512152150C18721341002180食物单价（元/100g）0.50.40.80.90.30.2【解】（1）设芍为每天第j 种食物的用量，数学模

42、型为m i n Z =0.5 x）+0.4 x2+0.8 x3+0.9 x4+0.3 x5+0.2 x61 3 Xj+25X2+1 4X3+4 0X4+8 x5 4-1 l x6 8 02 4 Xj+9X2+3 0X3+2 5X4+12 x5+15x6 15 01 8 Xj+7X2+2 l x?+3 4X4+1 0 x5 1 8 0 x2 x3 x4 x5 x6 0(2)设乃为第，种单位营养的价格，则数学模型为m a x w=8 0 y +1 5 0 y2+1 8 0 81 3弘+2 4 y 2 +1 8%0.52 5y+9 y 2 +7为 0.41 4 y +3 0 8 +2 1%4 0.8

43、 4 0%+2 5%+3 4 8 8 4xpx2,x3 0m a x Z=2 Xj-x2+3 x3x1+2X2=9v X 3X2+X3 W 1 0玉无约束，x2?x3 0m a x 狡=8必 +4y2-必+284 3【解】3弘+为4 5 0(3)m a x Z =Xj+2X2+4 x3-3 x41 O x+x2-x3-4X4=8：7匹 +6X2-2X3-5X4 1 04x-8X2+6/+x4 O,x3 W 0,%4无约束(4)【解】m a x Z=-2 x j+3 x2+6x3-7 x43 x j-2X2+x3-6 X4 =96占 +5X3-X46 Xj+2 X 刍 +2X4 W 25 x 1

44、 0X2 0,工2，工3，工4无约束【解】m in 坡=8 y +1 0 y2+6 y31 0乂+7%+4%2 1凹 +6%-8 y 3 N 2f _ 2%+6%W 4-4 -5 y2+y3=-3、凹无约束；y,0m a x Z =-2 x,+3 x2+6 x3-7 x43 x,-2X2+x3-6X4=96芭 +5X3-X46-X +2X2-X3 +2X4 W 2Xj 5-2-2 X+2%=3 4xx+5X2 22M+3X2 7x1 9x2 0(1)说明原问题与对偶问题都有最优解；(2)通过解对偶问题由最优表中观察出原问题的最优解：(3)利用公式CBB T求原问题的最优解；(4)利用互补松弛条

45、件求原问题的最优解.【解】(1)原问题的对偶问题为m a x w-4必+2y2+7y3y+y2+2y3 0,y=1,2,3容易看出原问题和对偶问题都有可行解，如X=(2,1)、Y=(l,0,1),由定理2.4知都有最优解。(2)对偶问题最优单纯形表为对偶问题的最优解Y=(4/5,0,28/5),由定理2.6,原问题的最优解为X=(16/5,1/5),Z=42.4C(j：42700R.H.S.B a s i sC(i)yiy2y3y4y5y370-1/514/5-1/528/5yi417/50-3/52/54/5c(j)-z 0-11/50-16/5-1/5w=42.4(3)CB=(7,4),b

46、 =45_ 3_r-52，X =(7,4)-45_ 3_r-52=(16/5,1/5)_-55 _-55 .(4)由凹、外不等于零知原问题第一、三个约束是紧的，解等式X1+4X2=4*+3X2=7得到原问题的最优解为X=(16/5,1/5)。2.4证明下列线性规划问题无最优解m i n Z=x-2x2-2x32工1+x2-2X3=3 2x19x2 0,它无约束证明：首先看到该问题存在可行解，例如x=(2,1,1),而上述问题的对偶问题为m a x w=3必+2y2 2乂+8 W1-2%+3%=-2必N 0,必无约束由约束条件知刈W O,由约束条件当及2 0知刃2 1,对偶问题无可行解，因此原问

47、题也无最优解（无界解）。2.5已知线性规划m a x Z=15占 +20 x2+5x3X,+5X2+x3 5V5x+6X2+x3 63x,+10 x2+x3 0,X2 0户3无约束的最优解X =（；,0,弓 尸，求对偶问题的最优解.【解】其对偶问题是：m i n 狡=5必+6y2+ly3,+5%+3%N155%+6%+10%20+%+必=5.凹，%，%2 0由原问题的最优解知，原问题约束的松弛变量不等于零（X0 H 0 ）,X1、X3不等于零，则对偶问题的约束、约束为等式，又由于 S3 W 0知心=0；解方程乂+5%=15V71+2=5得到对偶问题的最优解Y=(5/2,5/2,0)；w=5 5

48、/2=27.52.6用对偶单纯形法求解下列线性规划(1)m i n Z=3巧 +4x2+5x3X1+2X2+3X3 8 10Xj,x2,x3 0【解】将模型化为m i n Z=3玉 +4x2+5 x3 Xj -2工2-3x j +=-8 0,y=1,2,3,4,5对偶单纯形表：C j34500CBXBX,X2X3X4X5b6 列全为非负，最优解为x=(2,3,0)；Z=18(2)min Z=3x+4x200X4X5-11-21-2-2-3-11001-8-1 0C(j)-z 3450000X401-1-5/21-1/2-33Xt111/20一 1/25C(j)-Z(j)017/203/205x

49、2015/2-11/233X.10-21-12C(j)-Z(j)00111X 1+x2 2 40,x2 0【解】将模型化为min Z=3玉 +4x2-X|-x2+七 二 4 0,y=1,2,3,43400hXBCBXiX2X3X4X30-1-110-4X4021012C j-Z j3400X,311-104X400-121-6C j-Z j0130X,31011-2X2401-2-16C j-Z j0051出基行系数全部三目 负，最小比值失效，原问题无可行解。(3)m inZ=2x)+4x22X1+3X2 10Vx+3X2 15x x2 0【解】将模型化为min Z=2$+4x22xl+3X2

50、+x3=24-X1-2X2+&=-0 0,7=1,2,3,4,5最优解 X=(0,5)；Z=20Cj24000bXBCBXiX2X3X4X5X302310024X40-1-2010-10X，0-1-3001-15C j-Z j24000X30101019X40-1/3001-2/30X241/3100-1/35C j-Z j2/30004/3(4)min Z=22+3x2+5x3+6x4x1+2X2+3X3+x4 2 2xj+工2 -9 +3X4 W -3x/0 J =l,4【解】将模型化为min Z=22+3x2+5x3+6x4一%)2x?3刍 +g 20,y=6Cj235600bXBCBX