机器人运动学-PPT.ppt

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1、创新设计作业:设计一种类人教学机器人。要求机器人具有类似人的四肢，设计一种类人教学机器人。要求机器人具有类似人的四肢，单片机控制 单片机控制。给出总体的设计方案、机械结构和传动方案、。给出总体的设计方案、机械结构和传动方案、选择合适的传感器、控制方案。选择合适的传感器、控制方案。第2章 机器人运动学(Kinematics of Robots)引言 机器人位置与姿态的描述 机器人运动学正问题 机器人运动学逆问题 机器人的雅可比矩阵22.1 引 言（The Introduction）机器人运动学 正问题：定义 逆问题：定义 机器人动力学3基本概念（The Basic ConceptsThe Bas

2、ic Concepts）n n 自由度：物体能够对坐标系进行独立运动的物体能够对坐标系进行独立运动的数目称为自由度数目称为自由度(DOF,degree of freedom)(DOF,degree of freedom)。n n刚体具有刚体具有66个自由度个自由度 三个旋转自由度 三个旋转自由度 R R1 1,R R2 2,R R3 3 三个平移自由度 三个平移自由度T T1 1,T T2 2,T T3 3Y YX XZ ZR R1 1R R2 2R R3 3T T1 1T T2 2 T T3 34n n 机动度：Degree of Mobilityn n 关节：Jointn n 连杆：Lin

3、k自由度由机动度构成自由度由机动度构成,机动度不一定是自由度机动度不一定是自由度.1 12 23 34 45 55 5个机动度，个机动度，2 2个自由度 个自由度52.2 机器人位置与姿态的描述(The Description of Position and Posture)The Description of Position and Posture)0 0E EG GB BZ Z0 0T Tn nz zy yx x一个物体与机械手 一个物体与机械手 6位置与姿态的表示n n 位置描述：位置矢量位置矢量(position vector)(position vector)直角坐标系直角坐标系A

4、,A,位置矢量位置矢量AApp矩阵表示矩阵表示矢量和表示矢量和表示矢量的模矢量的模，单位矢量单位矢量x xA Ay yA Az zA Ao oA Ap pA Ap p7一、机器人坐标系变换一、机器人坐标系变换(Coordinate Transformation)(Coordinate Transformation)Ouvw Ouvw：PPuvwuvw=（PPu u,P,Pv v,P,Pww）TT Oxyz Oxyz：PPxyzxyz=（PPx x,P,Py y,P,Pzz）TT 当当OuvwOuvw坐标系绕一轴线转动后坐标系绕一轴线转动后，均可通过一个均可通过一个33xx33旋转矩阵旋转矩阵R

5、R 将原坐标将原坐标PPuvwuvw变换到变换到OxyzOxyz系中系中 的坐标的坐标PPxyz xyz，即：即：PPxyzxyz=R=R PPuvwuvw 8大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点 可以互相讨论下，但要小声点9由矢量分量的定义有 由矢量分量的定义有：P Puvw uvw=p pu u i iu u+p pv v j jv v+p pw w k kw w p pu u、p pv v、p pw w分别表示 分别表示P P沿 沿Ou Ou、Ov Ov、Ow Ow 轴的分量 轴的分量 P Px x=i ix xP P=i ix x i iu u p pu u+i ix

6、 x j jv v p pv v+i+ix x k kw w p pw w P Py y=i iy yP P=i iy yi iu u p pu u+i iy y j jv v p pv v+i+iy y k kw w p pw w P Pz z=i iz zP P=i iz zi iu u p pu u+i iz z j jv v p pv v+i+iz z k kw w p pw w 将上式写成矩阵形式：将上式写成矩阵形式：P Px x=i ix x i iu u i ix x j jv v i ix x k kw w P Pu u P Py y=i iy yi iu u i iy y j

7、 jv v i iy y k kw w P Pv v P Pz z=i iz zi iu u i iz z j jv v i iz z k kw w P Pw w P Pxyz xyz=R=R P Puvw uvw 同样，也有 同样，也有P Puvw uvw=QP=QPxyz xyz，Q Q R R 1 1 R RT T10 如果 如果OuvwOuvw坐标系统绕 坐标系统绕OxOx轴转动 轴转动 角 角，变换矩阵 变换矩阵R Rx,x,称为 称为绕 绕OxOx轴转动 轴转动 角的旋转矩阵，此时 角的旋转矩阵，此时i ix x=i iu u，ix iu ix jv ix kw 1 0 0 R R

8、x,x,=iyiu iy jv iy kw=0 cos-sin-sin iziu iz jv iz kw 0 sin sin cos 向量点乘：向量点乘：aa b b=|a|=|a|b|b|coscos(a)(a)1 1类似地，绕 类似地，绕Oy Oy 轴转动 轴转动 角和绕 角和绕Oz Oz 轴转 轴转角的 角的3 33 3旋转矩阵分别为 旋转矩阵分别为，cos cos 0 0 sin sin R Ry,y,=0 0 1 1 0 0-sin sin 0 0 cos cos cos cos-sin sin 0 0 R Rz,z,=sin sin cos cos 0 0 0 0 1 0 0 1

9、矩阵 矩阵R Rx,x,、R Ry,y,和 和R Rz,z,称为基本旋转矩阵。称为基本旋转矩阵。任何旋转变换可以由有限个基本旋转变换合成得到。任何旋转变换可以由有限个基本旋转变换合成得到。12依次左乘（如果依次左乘（如果uvwuvw对对xyzxyz旋转）旋转）依次右乘（如果依次右乘（如果uvwuvw绕自己的坐标轴旋转）绕自己的坐标轴旋转）R=RR=Rz,z,RRy,y,RRx,x,13n n 例题：求表示绕Oy轴转角，然后绕Ow轴转角，再绕Ou轴转角的合成旋转矩阵。14n例题：坐标系B的初始位姿与参考坐标系A相同，坐标系B 相对于A的zA轴旋转30，再沿A的xA轴移动12，沿A的yA轴移动6。

10、求旋转矩阵。解：15二、齐次坐标和变换矩阵 齐次坐标是用 齐次坐标是用n+l n+l 维坐标来描述 维坐标来描述n n维空间中的位置，其 维空间中的位置，其第 第n+1 n+1个分量（元素）个分量（元素）称为比例因子。称为比例因子。P=(P=(P Px x,P Py y,P Pz z,)T T 在机器人学的应用中，一般将比例因子取为 在机器人学的应用中，一般将比例因子取为1 1。机器人系统运动分析中，齐次变换矩阵写成以下形式：机器人系统运动分析中，齐次变换矩阵写成以下形式：T T=R R3 3 3 3 P P3 3 1 1=旋转矩阵 旋转矩阵3 3 3 3 位置矢量 位置矢量3 3 1 1 O

11、 O1 1 3 3 I I1 1 1 1 O O1 1 3 3 1 116若三维空间的位置矢量 若三维空间的位置矢量P P表示成齐次坐标，即 表示成齐次坐标，即 P P=ppx x ppy y ppz z 1 1 T T,1 1 0 0 0 0 0 0 cos cos 0 0 sin sin 0 0 T Tx x，=0 0 cos cos-sin-sin 0 0 T Ty y，=0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 sin sin cos cos 0-0-sin sin 0 0 cos cos 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 cos cos-sin-s

12、in 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 d dx x T Tz z，=sin sin cos cos 0 0 0 0 T Ttran tran=0 1 0 1 0 0 d dy y 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 d dz z 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 P Pxyz xyz=T P T Puvw uvw17课前提问：（1）什么是机器人运动学的正问题和逆问题？（2）机器人的坐标变换矩阵的一般形式是什么？（3）连续的变换矩阵，什么情况下依次左乘、什么情况下依次右乘？（4）什么是齐次坐标和齐次变换？182.3 机器人运动学正问题(T

13、he Forward Kinematic Problem)(The Forward Kinematic Problem)Denavit Denavit Hartenberg(D-H)Hartenberg(D-H)表示法表示法191.1.坐标系的建立：坐标系的建立：nn关节机器人需建立关节机器人需建立n+1n+1个坐标系，其中参个坐标系，其中参考考(机座机座)坐标系为坐标系为OO00 xx00yy00zz00,，机械手末端的坐，机械手末端的坐标系为标系为OOnnxxnnyynnzznn20 串 串联 联杆 杆型 型机 机械 械手 手是 是由 由一 一系 系列 列通 通过 过连 连杆 杆与 与其

14、其活 活动 动关 关节 节连接在一起所组成 连接在一起所组成。如 如图 图所 所示 示，任 任何 何一 一个 个连 连杆 杆都 都可 可以 以用 用两 两个 个量 量来 来描 描述 述：一 一个 个是 是公 公共 共垂 垂线 线距 距离 离a an n，另 另一 一个 个是 是与 与a an n垂 垂直 直的 的平 平面 面上 上两 两个 个轴 轴的 的夹 夹角 角 n n，习 习惯 惯上 上称 称 a an n为 为连 连杆 杆长 长度 度，n n称 称为 为连 连杆 杆的 的扭转角。扭转角。21 如 如图 图所 所示 示，在 在每 每个 个关 关节 节轴 轴上 上有 有两 两个 个连 连杆

15、 杆与 与之 之相 相连 连，即 即关 关节 节轴 轴有 有两 两个 个公 公垂 垂线 线与 与之 之垂 垂直 直，每 每一 一个 个连 连杆 杆一 一个 个。两 两个 个相 相连 连的 的连 连杆 杆的 的相 相对 对位 位置 置用 用d dn n和 和 n n确 确定 定，d dn n是 是沿 沿着 着n n关 关节 节轴 轴两 两个 个垂 垂线 线的 的距 距离 离，n n是 是在 在垂 垂直 直这 这个 个关 关节 节轴 轴的 的平 平面 面上 上两 两个 个被 被测垂线之间的夹角，测垂线之间的夹角，d dn n和 和 n n分别称作连杆之间的距离及夹角。分别称作连杆之间的距离及夹角。

16、x xn-1 n-122 为了描述连杆之间的关系，我们对每个连杆赋一个坐标系。为了描述连杆之间的关系，我们对每个连杆赋一个坐标系。转 转动 动关 关节 节：关 关节 节变 变量 量为 为 n n。连 连杆 杆n n的 的坐 坐标 标原 原点 点设 设在 在关 关节 节n n和 和关 关节 节n+1 n+1轴 轴之 之间 间的 的公 公共 共垂 垂线 线与 与关 关节 节n+1 n+1轴 轴的 的交 交点 点上 上。在 在关 关节 节轴 轴相 相交 交的 的情 情况 况下 下（无 无公 公垂 垂线 线），这 这个 个原 原点 点就 就在 在两 两个 个关 关节 节轴 轴的 的相 相交 交点 点上

17、 上（a an n 0 0）。如 如果 果两 两个 个关 关节 节轴 轴平 平行 行（有 有无 无数 数条 条公 公垂 垂线 线），则 则原 原点 点的 的选 选择 择要 要使 使下 下一 一个 个连 连杆 杆的 的关 关节 节距 距离 离为 为0 0（d dn n 0 0），连 连杆 杆n n的 的z z轴 轴与 与n+1 n+1关 关节 节轴 轴在 在一 一条 条直 直线 线上 上。x x轴 轴与 与任 任何 何存 存在 在的 的公 公共 共垂 垂线 线成 成一 一条 条直 直线 线，并 并且 且沿 沿着 着这 这条 条垂 垂线 线从 从n n关 关节 节指 指向 向n+1 n+1关 关节

18、 节。在 在相 相交 交关 关节 节的 的情 情况 况下 下，x x轴 轴的 的方 方向 向平 平行 行或 或者 者逆 逆平 平行 行z zn-1 n-1z zn n的 的向 向量 量叉 叉积 积，应 应该 该注 注意 意，这 这个 个条 条件 件对 对于 于沿 沿着 着关 关节 节n n和 和n+1 n+1之 之间 间垂 垂线 线的 的x x轴 轴同 同样 样满 满足 足。当 当x xn-1 n-1和 和x xn n平 平行 行，且 且有 有相 相同 同的 的指 指向 向时 时，则 则对 对于 于第 第n n个 个转 转动 动关 关节 节 n n 0 0。表 表 连杆参数 连杆参数23 确定

19、和建立每个坐标系的原则：确定和建立每个坐标系的原则：(1)(1)z zi i 轴沿着第 轴沿着第i i关节的运动轴 关节的运动轴;(2)(2)x xi i 轴垂直于 轴垂直于z zi-1 i-1 轴和 轴和z zi i 轴并指向离开 轴并指向离开z zi-1 i-1 轴的方向 轴的方向;(3)(3)y yi i 轴按右手坐标系的要求建立。轴按右手坐标系的要求建立。按照这些规则，第 按照这些规则，第0 0号坐标在机座上的位置和方向 号坐标在机座上的位置和方向可任选，只要 可任选，只要z z0 0 轴沿着第 轴沿着第1 1关节运动轴。第 关节运动轴。第n n 坐标系可 坐标系可放在手的任何部位，只

20、要 放在手的任何部位，只要x xn n 轴与 轴与z zn-1 n-1 轴垂直。轴垂直。24z0 z0z2 z2z3 z3z4 z4x3 x3x2 x2x0 x0 x4 x40 02 21 1z5 z5x5 x5z6 z6x6 x66 64 43 35 5z1 z1x1 x125 2、几何参数的定义 描述串联机器人相邻坐标系之间的关节关系可归纳为如 描述串联机器人相邻坐标系之间的关节关系可归纳为如 下 下4 4个参数：个参数：i i:绕 绕z zi i-1-1 轴 轴(右手规则 右手规则)由 由x xi i-1-1轴 轴 指向 指向x xi i 轴的关节角 轴的关节角;d di i:从第 从第

21、i i-1-1坐标系的原点到 坐标系的原点到z zi i-1-1轴 轴 和 和x xi i 轴的交点沿 轴的交点沿z zi i-1-1轴的距离 轴的距离;a ai i:从 从z zi i-1-1和 和x xi i的交点到第 的交点到第i i坐标系 坐标系 原点沿 原点沿x xi i 轴的偏置距离 轴的偏置距离;i i:绕 绕x xi i 轴 轴(右手规则 右手规则)由 由z zi i-1-1 轴转 轴转 向 向z zi i 轴的偏角。轴的偏角。26 3 3、建立、建立i i 坐标系和坐标系和ii-1-1坐标系的齐次变换矩阵：坐标系的齐次变换矩阵：27第第i i 坐标系相对于机座齐坐标系的次变换

22、矩阵是各齐次坐标系相对于机座齐坐标系的次变换矩阵是各齐次变换矩阵变换矩阵i-1i-1AAii的连乘积：的连乘积：44、得出机器人手爪到机座的变换矩阵、得出机器人手爪到机座的变换矩阵280 0T Tn n=0 0A A1 1 1 1A A2 2.n-1 n-1A An nn n为手的法向矢量，为手的法向矢量，o o为手的滑动矢量，为手的滑动矢量，a a为手的接近矢量，为手的接近矢量，p p为手的位置矢量 为手的位置矢量29例例题题11：建建立立二二秆秆机机构构的的末末端端的的变变换换矩矩阵阵同理：同理：30最后得到的变换矩阵为：最后得到的变换矩阵为：31z0 z0z2 z2z3 z3z4 z4x

23、3 x3x2 x2x0 x0 x4 x40 02 21 1z5 z5x5 x5z6 z6x6 x66 64 43 35 5 D-H参数表：z1 z1x1 x1例题例题2:PUMA2:PUMA机器机器人的坐标变换人的坐标变换矩阵矩阵32z0 z0z2 z2z3 z3z4 z4x3 x3x2 x2x0 x0 x4 x40 02 21 1z5 z5x5 x5z6 z6x6 x66 64 43 35 5 D-H参数表：z1 z1x1 x13334例题例题3:3:斯坦福机械手斯坦福机械手一、建立坐标系二、D-H参数表 三、i-1Ai坐标变换矩阵0 01 12 23 34 45 56 6Z0 Z0X0 X

24、0Z1 Z1X1 X1Z2 Z2X2 X2Z3 Z3X3 X3Z4 Z4X4 X4Z5 Z5X5 X5Z6 Z6X6 X635表 表 斯坦福机械手连杆参数 斯坦福机械手连杆参数 Link Link i i i i a a i i d d i i cos cos i i sin sin i i 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0-1 1 2 2 2 2-90-90 0 d 0 d2 2 0 0 1 1 3 0 3 0 90 90 0 d 0 d3 3 1 0 1 0 4 4 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0-1 1 5 5 5 5-90-90 0 0 0 1 0 0 0 1 6

25、 6 6 6 90 90 0 d 0 d6 6 1 0 1 036斯坦福机械手的 斯坦福机械手的A A变换如下：变换如下：C C1 1 0 0-S S1 1 0 0 S S1 1 0 C 0 C1 1 0 0 0 0A A1 1=0=0-1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 C C2 2 0 S 0 S2 2 0 0 S S2 2 0 0-C C2 2 0 0 1 1A A2 2=0 1 0 d=0 1 0 d2 2 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 2 2A A3 3=0 0 1 d=0 0 1 d3 3 0 0

26、 0 1 0 0 0 1 37 C C4 4 0 0-S S4 4 0 0 S S4 4 0 C 0 C4 4 0 0 3 3A A4 4=0=0-1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 C C5 5 0 S 0 S5 5 0 0 S S5 5 0 0-C C5 5 0 0 4 4A A5 5=0 1 0 0=0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 C C6 6-S S6 6 0 0 0 0 S S6 6 C C6 6 0 0 0 0 5 5A A6 6=0 0 1 0=0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 138斯坦福机械手 斯坦福机械手A A变换的积如下所示，

27、这些是从连杆 变换的积如下所示，这些是从连杆6 6开始，然后逐步回到基坐标。开始，然后逐步回到基坐标。C C6 6-S S6 6 0 0 0 0 S S6 6 C C6 6 0 0 0 0 5 5T T6 6=0 0 1 0=0 0 1 0（3.44 3.44）0 0 0 1 0 0 0 1 C C5 5C C6 6-C C5 5S S6 6 S S5 5 0 0 S S5 5C C6 6-S S5 5S S6 6-C C5 5 0 0 4 4T T6 6=S=S6 6 C C6 6 0 0 0 0（3.45 3.45）0 0 0 1 0 0 0 1 C C4 4C C5 5C C6 6-S

28、S4 4S S6 6-C C4 4C C5 5S S6 6-S S4 4C C6 6 C C4 4S S5 5 0 0 S S4 4C C5 5C C6 6+C+C4 4S S6 6-S S4 4C C5 5S S6 6+C+C4 4C C6 6 S S4 4S S5 5 0 0 3 3T T6 6=-S S5 5C C6 6 S S5 5S S6 6 C C5 5 0 0（3.46 3.46）0 0 0 1 0 0 0 139 C C4 4C C5 5C C6 6-S S4 4S S6 6-C C4 4C C5 5S S6 6-S S4 4C C6 6 C C4 4S S5 5 0 0 S

29、S4 4C C5 5C C6 6+C+C4 4S S6 6-S S4 4C C5 5S S6 6+C+C4 4C C6 6 S S4 4S S5 5 0 0 2 2T T6 6=-S S5 5C C6 6 S S5 5S S6 6 C C5 5 d d3 3（3.47 3.47）0 0 0 1 0 0 0 1 C C2 2(C(C4 4C C5 5C C6 6-S S4 4S S6 6)-S S2 2S S5 5C C6 6-C C2 2(C(C4 4C C5 5S S6 6+S+S4 4C C6 6)+S)+S2 2S S5 5S S6 6 S S2 2(C(C4 4C C5 5C C6 6

30、-S S4 4S S6 6)+C)+C2 2S S5 5C C6 6-S S2 2(C(C4 4C C5 5 S S6 6+S+S4 4C C6 6)-C C2 2S S5 5S S6 6 1 1T T6 6=S=S4 4C C5 5C C6 6+C+C4 4C C6 6-S S4 4C C5 5S S6 6+C+C4 4C C6 6 0 0 0 0 C C2 2C C4 4S S5 5+S+S2 2C C5 5 S S2 2d d3 3 S S2 2C C4 4S S5 5-C C2 2C C5 5-C C2 2d d3 3 S S4 4S S5 5 d d2 2（3.48 3.48）0 1

31、 0 140 n nx x o ox x a ax x p px x n ny y o oy y a ay y p py y 0 0T T6 6=n=nz z o oz z a az z p pz z 0 0 0 1 0 0 0 1其中 其中 n nx x=C=C1 1 C C2 2(C(C4 4C C5 5C C6 6-S S4 4S S6 6)-S S2 2S S5 5C C6 6-S S1 1(S(S4 4C C5 5S S6 6+C+C4 4S S6 6)n ny y=S=S1 1 C C2 2(C(C4 4C C5 5C C6 6-S S4 4S S6 6)-S S2 2S S5 5

32、C C6 6+C+C1 1(S(S4 4C C5 5S S6 6+C+C4 4S S6 6)n nz z=-S S2 2(C(C4 4C C5 5C C6 6-S S4 4S S6 6)-C C2 2S S5 5C C6 6 o ox x=C=C1 1-C C2 2(C(C4 4C C5 5S S6 6+S+S4 4C C6 6)+S)+S2 2S S5 5C C6 6-S S1 1(-S S4 4C C5 5S S6 6+C+C4 4S S6 6)o oy y=S=S1 1-C C2 2(C(C4 4C C5 5C C6 6+S+S4 4C C6 6)+S)+S2 2S S5 5S S6 6

33、+C+C1 1(-S S4 4C C5 5S S6 6+C+C4 4S S6 6)o oz z=S=S2 2(C(C4 4C C5 5C C6 6+S+S4 4C C6 6)+C)+C2 2S S5 5S S6 6 a ax x=C=C1 1(C(C2 2C C4 4S S5 5+S+S2 2C C5 5)S S1 1S S4 4C C5 5 a ay y=S=S1 1(C(C2 2C C4 4S S5 5+S+S2 2C C5 5)+C)+C1 1S S4 4S S5 5 a az z=S S2 2C C4 4S S5 5+C+C2 2C C5 5 p px x=C=C1 1S S2 2d

34、d3 3 S S1 1d d2 2 p py y=S=S1 1S S2 2d d3 3+C+C1 1d d2 2 p pz z=C=C2 2d d3 3410Tn=0A1 1A2.n-1An42课前提问：（11）PUMAPUMA机器人的坐标变换矩阵机器人的坐标变换矩阵D-HD-H参数？参数？（22）矩阵的逆矩阵如何求解？）矩阵的逆矩阵如何求解？43定定义义：若若|AA|00,则则方方阵阵AA可可逆逆，且且A A*称为 称为A A的伴随阵，由行列式 的伴随阵，由行列式|A A|的方阵各个元素的代数 的方阵各个元素的代数余子式所 余子式所A Aij ij构成。构成。另一种求法：另一种求法：行列式变

35、换 行列式变换44 2.4 机器人运动学逆问题(The Inverse Kinematic Problem)450 0E EG GB BZ Z0 0T Tn nz zy yx x一个物体与机械手 一个物体与机械手 有向变换图 有向变换图G GB BE ET T6 6Z Z 0 0Z Z：机器人基座相对于基础坐标系：机器人基座相对于基础坐标系0 0T Tn n：手部端点相对于机器人基座 手部端点相对于机器人基座Z Z：末端执行器相对于手部端点物体用变换：末端执行器相对于手部端点物体用变换 B B：物体参考：物体参考坐标系相对于基础坐标系 坐标系相对于基础坐标系G G：末端执行器对物体的抓持位置相

36、对于物体参考坐标系：末端执行器对物体的抓持位置相对于物体参考坐标系 Z Z 0 0T Tn n E=B G E=B G 这个方程可以用有向变换图来表示。图的 这个方程可以用有向变换图来表示。图的每一段弧表示一个变换。从它的定义的坐标 每一段弧表示一个变换。从它的定义的坐标系向外指向。系向外指向。用 用 Z-1 Z-1左乘和用 左乘和用E-1 E-1右乘方程，得到 右乘方程，得到 0 0T Tn n=Z=Z-1-1 B G E B G E-1-1机器人坐标变换关系：机器人坐标变换关系：46 从 从有 有向 向变 变换 换图 图上 上我 我们 们可 可以 以直 直接 接得 得到 到上 上述 述结

37、结果 果，从 从0 0T Tn n弧 弧线 线的 的尾 尾部 部开 开始 始，沿 沿着 着图 图形 形顺 顺时 时针 针依 依次 次列 列出 出各 各个 个变 变换 换，直 直到 到0 0T Tn n弧 弧的 的箭 箭头 头为 为止 止。在 在逆 逆变 变换 换时 时，我 我们 们从 从0 0T T6 6弧 弧的 的箭 箭头 头开 开始 始，按 按逆 逆时 时针 针方 方向 向依 依次 次列 列出 出各 各个 个变 变换 换，直 直到 到T T6 6弧 弧的 的起 起始 始点 点为 为止，则可得到 止，则可得到0 0T Tn n的逆 的逆 0 0T Tn n-1 1=EG=EG-1 1B B-

38、1 1Z Z 作 作为 为进 进一 一步 步的 的例 例子 子，假 假设 设一 一个 个物 物体 体 B B的 的位 位置 置不 不知 知道 道，但 但机 机械 械手 手移 移动 动，使 使得 得末 末端 端抓 抓手 手正 正好 好定 定位 位在 在物 物体 体上 上面 面。然 然后 后用 用 G G-1 1右 右乘 乘式 式（2.61 2.61）求 求出 出 B B。或 或者 者在 在有 有向 向变 变换 换图 图中 中从 从 B B的 的尾 尾部 部沿 沿着 着逆 逆时 时针 针方 方向 向到 到达 达弧 弧 B B的 的箭 箭头 头，直 直接 接得 得到 到同 同样 样结 结果。果。B=

39、Z B=Z0 0T Tn nEG EG-1 1 同样，我们可以用有向变换图求出变换的连接组。例如 同样，我们可以用有向变换图求出变换的连接组。例如 Z Z0 0T Tn n=BGE=BGE-1 1B B G G E E0 0T6 Z Z图 图2.20 2.20有向变换图的另一种形式 有向变换图的另一种形式474849 5051同时可确定同时可确定dd33为为 用用 依次左乘方程式可得以下依次左乘方程式可得以下44个方程式个方程式52n n 计算得 计算得n n 式中 式中53n n由式中第由式中第33行第行第33列为列为00可得可得n n 即 即n n 解得 解得54n n由式第由式第11行行

40、33列和第列和第22行行33列可得列可得n n解得解得n n由第由第44个方程式可得个方程式可得55类似的有类似的有,第第11行行22列和列和22行行22列对应元素相等得列对应元素相等得可得可得562.5 机器人的雅可比矩阵(Jacobian Matrix)意义：手端在基础坐标中的速度与各关节速度间的关 意义：手端在基础坐标中的速度与各关节速度间的关 系，以及手部与外界接触力与对应各关节力间 系，以及手部与外界接触力与对应各关节力间 的关系。的关系。一、雅可比矩阵的定义：一、雅可比矩阵的定义：n n自由度机器人，其关节变量向量可写为 自由度机器人，其关节变量向量可写为 Q Q(q(q1 1,q

41、,q2 2,q,qn n)T T，手部在基础坐标中，手部在基础坐标中 的位置和姿态为 的位置和姿态为P,P,则：则：PP(xxee y ye e z ze e exex eyey ezez)TT(pp11 p p22 p p3 3 pp4 4 p p55 p p6 6)TT57 P P 的各个元素都是 的各个元素都是n n个关节变量的函数：个关节变量的函数：58二、雅可比矩阵的求法 二、雅可比矩阵的求法P P的前 的前3 3个元素表示手的线速度，后 个元素表示手的线速度，后3 3个元 个元 素表示手的角速度。素表示手的角速度。可以将 可以将P P写成分块形式：写成分块形式：59 1 1、J J

42、Li Li 的求法 的求法 a a、第、第i i 个关节为移动关节：个关节为移动关节：设某时刻仅此关节运动，设某时刻仅此关节运动，其余关节静止不动 其余关节静止不动:v ve e=J JLi Liq qi i 设 设b bi-1 i-1为 为z zi-1 i-1轴上的单位矢量：轴上的单位矢量：.60b b、第、第i i个关节为转动关节时 个关节为转动关节时，61 2 2、JJAiAi的求法的求法 aa、bb、总 总 结 结:623.3.确定确定bbi-1i-1和和rri-1,ei-1,e用用bb表示表示zzi-1i-1轴上的单位向量轴上的单位向量把它转换在基础坐标系中把它转换在基础坐标系中,即

43、为即为如图所示如图所示,用用O,OO,Oi-1i-1,O,Onn分别表示基础坐标系分别表示基础坐标系,i-1,i-1号号坐标系及手部坐标系原点。用矢量坐标系及手部坐标系原点。用矢量xx表示在各自表示在各自坐标系中的原点。坐标系中的原点。O OO On nO Oi-1 i-1r ri-1,e i-1,e63把把rri-1,ei-1,e用齐次坐标表示用齐次坐标表示,令令所以所以64xx00yy00 xx11yy11xx22yy221122rr1,e1,e6566三、雅可比矩阵的逆 对于在三维空间运动的对于在三维空间运动的 n n 关节机器人，雅可比矩关节机器人，雅可比矩阵的阶数为阵的阶数为66n

44、n。当当n=6n=6时，时，JJ是是6666方阵可直接求其逆。方阵可直接求其逆。当当n6n6时，时，JJ不是方阵，通常用其伪逆表示。不是方阵，通常用其伪逆表示。J J+=J J T T(JJ JJ T T)-1-167四、雅可比矩阵的应用四、雅可比矩阵的应用 1 1、分离速度控制：、分离速度控制：增量控制：增量控制：682、在静力分析中的应用：69证明：70 3、加速度关系：71 第2 章 结 束72 e e d d b b c c a aMotoman UP6 Motoman UP6机器人运动学分析 机器人运动学分析:73 焊接机器人 搬运机器人 喷漆机器人 达芬奇手术机器人 粒子植入机器人

45、 康复机器人 智能机器人 仿人机器人 护理机器人 建筑机器人 家用服务机器人 采摘机器人要点：-机器人的目的意义、功能和应用领域?该种机器人的应用解决了什么问题？该种机器人有哪些类型？主要组成部分和各部分功能?该机器人的市场需求情况（包括价格、国内外市场份额、消费群体、）国内外厂家情况（每个公司生产的机器人型号、特点、产量等）机器人的研究情况（哪些大学和研究单位在研究，国内外对比，已经取得了哪些研究成果，还有哪些问题未解决，未来发展趋势情况）翻转课堂题目翻转课堂题目l l 共 共12 12个组，每组 个组，每组5 5人，自由组合，报给课代表。人，自由组合，报给课代表。l l ppt ppt不少于 不少于20 20页，页，word word不少于 不少于20 20页。页。l l 演讲不超过 演讲不超过10 10分钟。分钟。l l 上交 上交ppt ppt和 和word word电子版。电子版。74