机器人运动学方程优秀PPT.ppt

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1、机器人课件运动学方程你现在浏览的是第一页，共38页3.1 引言引言(Introduction)本章，我们采用齐次变换来描述在各种坐标系中机械手的位置与方向。首先介绍各种正交坐标系的齐次变换。然后介绍在非正交关节坐标系中描述机械手末端的齐次变换。注意，对任何数目关节的各种机械手均可以这样进行。描述一个连杆与下一个连杆之间关系的齐次变换称A矩阵。A矩阵是描述连杆坐标系之间的相对平移和旋转的齐次变换。连续变换的若干A矩阵的积称为T矩阵，对于一个六连杆（六自由度）机械手有T6=A1A2A3A4A5A6（3.1）六连杆的机械手有六个自由度，其中三个自由度用来确定位置，三个自由度用来确定方向。表示机械手在

2、基坐标中的位置与方向。则变换矩阵有下列元素 nxoxaxpxnyoyaypyT6=nzozazpz（3.2）0001你现在浏览的是第二页，共38页如图3.1所示，机器人的末端执行器（手爪）的姿态（方向）由n、o、a三个旋转矢量描述，其坐标位置由平移矢量p描述，这就构成了式（3.2）中的变换矩阵T。由于n、o、a三个旋转矢量是正交矢量，所以有n=oa图3.1末端执行器的描述你现在浏览的是第三页，共38页3.2 姿态描述姿态描述(SpecificationofOrientation)对式（3.2）中16个元素一一赋值就可确定T6。假定机械手可以到达要求的位置，而单位旋转矢量o和a正交，即oo1（3

3、.3）aa1（3.4）oa0（3.5）a形成单位向量aa（3.6）|a|构成与o和a正交的nnoa（3.7）在o和a形成的平面上旋转o，使得o与n和a正交oan（3.8）单位向量o是oo（3.9）|o|根据第二章给出的一般性的旋转矩阵ot(k,)，它把机械手末端的姿态规定为绕k轴旋转角。你现在浏览的是第四页，共38页3.欧拉角欧拉角(EulerAngles)姿态变更常用绕x,y或z轴的一系列旋转来确定。欧拉角描述方法是：先绕z轴旋转，然后绕新的y(即y/)轴旋转，最后绕更新的z(z/)轴旋转（见图3.2）欧拉变换Euler(,)可以通过连乘三个旋转矩阵来求得Euler(,)ot(z,)ot(y

4、,)ot(z,)（3.10）在一系列旋转中，旋转的次序是重要的。应注意，旋转序列如果按相反的顺序进行，则是绕基坐标中的轴旋转：绕z轴旋转，接着绕y轴旋转，最后再一次绕z轴旋转，结果如图3.3所示，它与图3.2是一致的。你现在浏览的是第五页，共38页xxxxyyyzzzzy图3.2 欧拉角0 xxxxyyyzzzzy图3.3 基于基坐标的欧拉角0你现在浏览的是第六页，共38页3.4 摇摆、俯仰和偏转摇摆、俯仰和偏转(Roll,PitchandYaw)摇摆、俯仰和偏转为另一种旋转。如图3.4所示，就像水中航行的一条小船一样，绕着它前进的方向（z轴）旋转 称为摇摆，绕着它的横向中轴（y轴）旋转 称为

5、俯仰，绕着它甲板的垂直向上的方向（x轴）旋转 称为偏转。借助于这种旋转来描述机械手的末端执行器如图3.5所示。规定旋转的次序为 RPY(,)ot(z,)ot(y,)ot(x,)（3.12）即，绕x轴旋转，接着绕y轴旋转，最后绕z轴旋转，这个变换如下 cos0sin0100001000cossin0RPY(,)=ot(z,)sin0cos00sincos0（3.13）00010001cossin00cossinsinsincos0sincos000cossin0RPY(,)=0010-sincossincoscos0（3.14）00010001你现在浏览的是第七页，共38页图3.4摇摆、俯仰和偏

6、转角图3.5机械手的末端执行器的摇摆、俯仰和偏转你现在浏览的是第八页，共38页RPY(，)=coscoscossinsinsincoscossincos+sinsin0sincossinsinsin+coscossinsincoscossin0-sincossincoscos00001（3.15）你现在浏览的是第九页，共38页3.5 位置的确定位置的确定(SpecificationofPosition)一旦方向被确定之后，用一个相应的p向量的位移变换可得到机器人末端执行器在基坐标中的位置：100px010pyT6=001pz（3.16）0001旋转变换矩阵你现在浏览的是第十页，共38页3.6

7、圆柱坐标圆柱坐标(CylindricalCoordinates)如图3.6所示，在圆柱坐标中确定机械手的位置是沿x轴平移r，接着绕z轴旋转，最后沿着z轴平移z。Cyl(z,r)=Trans(0,0,z)Rot(z,)Trans(r,0,0)cos-sin00100rsincos000100Cyl(z,r)=Trans(0,0,z)0010001000010001（3.17）1000cos-sin0rcos0100sincos0rsinCyl(z,r)=001z001000010001（3.18）zaCzyxBAorn图3.6圆柱坐标注意：圆柱坐标只能绕z轴旋转你现在浏览的是第十一页，共38页c

8、os-sin0rcossincos0rsinCyl(z,r)=001z（3.19）0001 如用一个绕z轴旋转-的变换矩阵右乘式（3.19）,结果如下 cos-sin0rcoscos(-)-sin(-)00sincos0rsinsin(-)cos(-)00Cyl(z,r)=001z0000（3.20）00110001cos-sin0rcoscossin00sincos0rsin-sincos00Cyl(z,r)=001z0000（3.21）00010001100rcos010rsinCyl(z,r)=001z（3.22）0001上式表明平移矢量未变，旋转矩阵为单位阵，此时末端坐标的姿态未变，而

9、只是改变了它的空间位置。你现在浏览的是第十二页，共38页3.7 球坐标球坐标(SphericalCoordinates)如图3.7所示，用球坐标来确定位置向量的方法是：沿着z轴平移，然后绕y轴旋转，最后绕z轴旋转。Sph(,)=Rot(z,)Rot(y,)Trans(0,0,)（3.23）cos0sin0100001001100Sph(,)=Rot(z,)-sin0cos000100010001（3.24）aonzyx图3.7球坐标你现在浏览的是第十三页，共38页cos-sin00cos0sinrsinsincos000100Sph(,)=0010-sin0cosrcos（3.25）00010

10、001coscos-sincossincossinsincoscossinsinsinsinSph(,)=-sin0coscos（3.26）0001同样，如果不希望改变末端坐标的姿态，而只是改变其空间位置，我们可以用Rot(y,-)和Rot(z,-)右乘式（3.26）Sph(,)=Rot(z,)Rot(y,)Trans(0,0,)Rot(y,-)Rot(z,-)（3.27）100cossin010sinsinSph(,)=001cos（3.28）0001你现在浏览的是第十四页，共38页3.7 T6的确定的确定(SpecificationofT6)T6可以用旋转和平移的方法来确定。T6=平移旋转

11、（3.29）表3.1各种平移与旋转的表达式Translation EqnRotationEqnpx,py,pzoxoyozaxayazRot(k,)2.32Cyl(z,r)3.22Euler(,)3.11Sph(,)3.26RPY(,)3.12我们已经研究过的各种平移与旋转的式子，总结在表3.1中。如果我们使用Cyl和Sph的非旋转的形式，那么矩阵积（3.29）仅仅是一个平移变换。你现在浏览的是第十五页，共38页3.9 各种各种A矩阵的确定矩阵的确定(SpecificationofmatricesA)现在考虑方程(3.1)右边各A矩阵的确定。串联杆型机械手是由一系列通过连杆与其活动关节连接在一

12、起所组成。如图3.8所示，任何一个连杆都可以用两个量来描述：一个是公共垂线距离an，另一个是与an垂直的平面上两个轴的夹角n，习惯上称an为连杆长度，n称为连杆的扭转角。图3.8连杆的长度与扭转角你现在浏览的是第十六页，共38页如图3.9所示，在每个关节轴上有两个连杆与之相连，即关节轴有两个公垂线与之垂直，每一个连杆一个。两个相连的连杆的相对位置用dn和n确定，dn是沿着n关节轴两个垂线的距离，n是在垂直这个关节轴的平面上两个被测垂线之间的夹角，dn和n分别称作连杆之间的距离及夹角。图3.9连杆参数xn-1你现在浏览的是第十七页，共38页为了描述连杆之间的关系，我们对每个连杆赋一个坐标系。转转

13、动动关关节节：关节变量为n。连杆n的坐标原点设在关节n和关节n+1轴之间的公共垂线与关节n+1轴的交点上。在关节轴相交的情况下（无公垂线），这个原点就在两个关节轴的相交点上（an0）。如果两个关节轴平行（有无数条公垂线），则原点的选择要使下一个连杆的关节距离为0（dn0），连杆n的z轴与n+1关节轴在一条直线上。x轴与任何存在的公共垂线成一条直线，并且沿着这条垂线从n关节指向n+1关节。在相交关节的情况下，x轴的方向平行或者逆平行zn-1zn的向量叉积，应该注意，这个条件对于沿着关节n和n+1之间垂线的x轴同样满足。当xn-1和xn平行，且有相同的指向时，则对于第n个转动关节n0。连杆本身的参

14、数连杆长度an连杆两个轴的公垂线距离（x方向）连杆扭转角n连杆两个轴的夹角（x轴的扭转角）连杆之间的参数连杆之间的距离dn相连两连杆公垂线距离（z方向平移距）连杆之间的夹角n相连两连杆公垂线的夹角（z轴旋转角）表3.2连杆参数你现在浏览的是第十八页，共38页棱棱形形关关节节：关节变量为dn。关节轴的方向就是关节的运动方向。与转动关节不同，轴的运动方向被确定了，但在空间的位置并没有确定（见图2.10）。对于棱形关节，连杆长度an没有意义，所以被设置为0。棱形关节坐标的z轴（zn）与下一个连杆的轴在一条直线上，x轴（xn）平行或逆平行棱形关节轴的方向（zn-1）与zn的叉积。对于棱形关节，当dn=

15、0时，定义为0位置（即坐标原点）。因此棱形关节坐标原点与上一个关节（n-1）坐标原点重合，上一个关节的z轴（zn-1）与棱形关节的轴向相同，其关节长度an-1为上一个关节的轴线与zn-1的公垂线长度，xn-1轴向为公垂线向下一个关节延伸的方向。图3.10棱型关节的连杆参数an-1你现在浏览的是第十九页，共38页根据上述模式用下列旋转和位移我们可以建立相邻的n-1和n坐标系之间的关系：绕zn-1旋转一个角度n沿zn-1位移一个距离dn沿着被旋转的xn-1即xn位移an绕xn旋转的扭转角为n这四个齐次变换的积为A矩阵，即An=Rot(z,)Trans(0,0,d)Trans(a,0,0)Rot(x

16、,)（3.30）cos-sin00100a1000sincos0001000cos-sin0An=0010001d0sincos0（3.31）000100010001cos-sincossinsinacossincoscos-cossinasinAn=0sincosd（3.32）0001你现在浏览的是第二十页，共38页对于棱形关节，an=0，则式（3.32）A矩阵简化为cos-sincossinsin0sincoscos-cossin0An=0sincosd（3.33）0001一旦给机械手各连杆坐标系都赋了值，各种固定的连杆参数可以确定：对于后面是旋转关节的连杆参数为d,a和，对于后面是棱形关

17、节的连杆参数为和。根据这些参数，的正弦和余弦也可以求出。这样，对于旋转关节，A矩阵变成了关节变量的函数。或在棱形关节的情况下，变成了d的函数。一旦这些值给出，对于六个Ai变换矩阵的值就可以确定。你现在浏览的是第二十一页，共38页3.10 根据根据A矩阵来确定矩阵来确定T6(SpecificationofT6inTermsoftheAmatrices)机械手的坐标变换图如图3.11所示，机械手的末端（即连杆坐标系6）相对于连杆坐标系n-1的描述用n-1T6表示，即：n-1T6=AnAn+1A6（3.34）0zA1A2A3A4A5A60EX0T61T62T63T64T65T6图3.11机械手的坐标

18、变换图你现在浏览的是第二十二页，共38页机械手的末端相对于基坐标系（用T6表示）用下式给出T6=A1A2A3A4A5A6（3.35）如果机械手用变换矩阵Z与参考坐标系相联系，机械手末端执行器用E来描述，末端执行器的位置和方向相对参考坐标系用X来描述，如图3.11所示有X=ZT6E（3.36）由此可以得到T6的表达式T6=Z-1XE-1（3.37）你现在浏览的是第二十三页，共38页3.11 斯坦福机械手的运动方程斯坦福机械手的运动方程(KinematicEquationsfortheStanfordManipulator)斯坦福机械手及其各关节坐标的设置如图3.12所示。将角的正弦和余弦简化si

19、ni =Sicosi=Cisin(i+j)=Sijcos(i+j)=Cij注：将所有关节x轴的方向设置一致，可简化坐标变换。图3.12斯坦福机械手坐标系你现在浏览的是第二十四页，共38页表3.2斯坦福机械手连杆参数LinkVariableadcossin11-90000-122900d2013d300d31044-90000-1559000016600010你现在浏览的是第二十五页，共38页斯坦福机械手的A变换如下：C10-S10S10C10A1=0-100（3.38）0001C20S20S20-C20A2=010d2（3.39）000110000100A3=001d3（3.40）0001 你

20、现在浏览的是第二十六页，共38页C40-S40S40C40A4=0-100（3.41）0001C50S50S50-C50A5=0100（3.42）0001C6-S600S6C600A6=0010（3.43）0001你现在浏览的是第二十七页，共38页斯坦福机械手A变换的积如下所示，这些是从连杆6开始，然后逐步回到基坐标。C6-S600S6C6005T6=0010（3.44）0001C5C6-C5S6S50S5C6-S5S6-C504T6=S6C600（3.45）0001C4C5C6-S4S6-C4C5S6-S4C6C4S50S4C5C6+C4S6-S4C5S6+C4C6S4S503T6=-S5C

21、6S5S6C50（3.46）0001你现在浏览的是第二十八页，共38页C4C5C6-S4S6-C4C5S6-S4C6C4S50S4C5C6+C4S6-S4C5S6+C4C6S4S502T6=-S5C6S5S6C5d3（3.47）0001C2(C4C5C6-S4S6)-S2S5C6-C2(C4C5S6+S4C6)+S2S5S6S2(C4C5C6-S4S6)+C2S5C6-S2(C4C5S6+S4C6)-C2S5S61T6=S4C5C6+C4C6-S4C5S6+C4C600C2C4S5+S2C5S2d3S2C4S5-C2C5-C2d3S4S5d2（3.48）01你现在浏览的是第二十九页，共38页n

22、xoxaxpxnyoyaypyT6=nzozazpz（3.49）0001其中nx=C1C2(C4C5C6-S4S6)-S2S5C6-S1(S4C5S6+C4S6)ny=S1C2(C4C5C6-S4S6)-S2S5C6+C1(S4C5S6+C4S6)nz=-S2(C4C5C6-S4S6)-C2S5C6ox=C1-C2(C4C5S6+S4C6)+S2S5C6-S1(-S4C5S6+C4S6)oy=S1-C2(C4C5C6+S4C6)+S2S5S6+C1(-S4C5S6+C4S6)oz=S2(C4C5C6+S4C6)+C2S5S6ax=C1(C2C4S5+S2C5)S1S4C5ay=S1(C2C4S

23、5+S2C5)+C1S4S5az=S2C4S5+C2C5px=C1S2d3S1d2py=S1S2d3+C1d2pz=C2d3你现在浏览的是第三十页，共38页3.12 肘机械手的运动方程肘机械手的运动方程(KineamticEquationsforanElbowManipulator)肘机械手及其各关节坐标的设置如图3.13所示。z1z0z2z3z4z5、z6xa3a4a2图3.13肘机械手的坐标系x0y0你现在浏览的是第三十一页，共38页 表3.3肘机械手的连杆参数LinkVariableadcossin11900001220a2010330a301044-90 a400-15590 0001

24、6600010注：在以下的T矩阵中用变量23=2+3和234=23+4来进行简化。你现在浏览的是第三十二页，共38页肘机械手的A变换如下：C10S10S10-C10A1=0100（3.50）0001C2-S20C2S2S2C20S2a2A2=0110（3.51）0001C3-S30C3a3S3C30S3a3A3=0010（3.52）0001你现在浏览的是第三十三页，共38页C40-S4C4a4S40C4S4a4A4=0-100（3.53）0001C50S50S50-C50A5=0-100（3.54）0001C6-S600S6C600A6=0010（3.55）0001你现在浏览的是第三十四页，共

25、38页 为了得到T6，我们从连杆6开始来算A矩阵的积，逐步往回计算到基坐标。C6-S600S6C6005T6=0010（3.55）0001C5C6-C5S6S50S5C6-S5S6-C504T6=S6C600（3.56）0001C4C5C6-S4S6-C4C5S6-S4C6C4S5C4a4S4C5C6+C4S6-S4C5S6+C4C6S4S5S4a43T6=-S5C6S5S6C50（3.57）0001你现在浏览的是第三十五页，共38页C34C5C6-S34S5-C34C5S6-S34C6C34S5C34a4+C3a3S34C5C6+C34S6-S34C5S6+C34C6S34S5S34a4+S

26、3a32T6=-S5C6S5S6C50（3.58）0001C234C5C6-S234S6-C234C5C6-S234C6C234S5C234a4+C23a3+C2a2S234C5C6+C234S6-S234C5S6+C234C6S234S5S234a4+S23a3+S2a21T6=-S5C6S5S6C50（3.59）0001你现在浏览的是第三十六页，共38页nxoxaxpxnyoyaypyT6=nzozazpz（3.60）0001其中ox=-C1C234C5S6+S234C6+S1S5S6oy=-S1C234C5S6+S234C6-C1S5S6oz=-S234C5C6+C234C6ax=C1C234S5+S1C5ay=S1C234S5-C1C5az=S234S5px=C1C234a4+C23a3+C2a2py=S1C234a4+C23a3+C2a2pz=S234a4+S23a3+S2a2你现在浏览的是第三十七页，共38页3.13 小结小结(Summary)本章，主要介绍了用齐次变换来描述在各种坐标系中机械手的位置与方向。首先介绍了各种正交坐标系的齐次变换。然后介绍了非正交关节坐标系描述机械手末端的齐次变换。上述变换关系对任何数目关节的各种机械手均适用。你现在浏览的是第三十八页，共38页