2019年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科).pdf

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1、2019年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试(广 东 卷)数 学(文 科)本 试 卷 共 4 页，21小 题，满 分 150分。考 试 用 时 120分 钟。注 意 事 项：I.答 卷 前，考 生 务 必 用 黑 色 字 迹 的 钢 笔 或 签 字 笔 将 字 迹 的 姓 名 和 考 生 号、实 施 号、座 位 号 填 写 在 答 题 卡 上 用 2B铅 笔 将 试 卷 类 型(B)填 涂 在 答 题 卡 相 应 位 置 上。将 条 形 码 横 贴 在 答 题 卡 右 上 角“条 形 码 粘 贴 处 2.选 择 题 每 小 题 选 出 答 案 后，用 2B铅 笔 把 大

2、题 卡 上 对 应 题 目 选 项 的 答 案 信 息 点 涂 黑，如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案，答 案 不 能 答 在 试 卷 上。3.非 选 择 题 必 须 用 黑 色 字 迹 钢 笔 或 签 字 笔 作 答，答 案 必 须 卸 载 答 题 卡 个 题 目 指 定 区 域 内 相 应 位 置 上；如 需 改 动，先 划 掉 原 来 的 答 案，然 后 再 写 上 新 的 答 案；不 准 使 用 铅 笔 和 涂 改 液。不 按 以 上 要 求 作 答 的 答 案 无 效。4.作 答 选 做 题 时，请 先 用 2B铅 笔 填 涂 选 作 题 地 题

3、号 对 应 的 信 息 点，再 作 答，漏 涂，错 涂、多 涂。答 案 无 效。5.考 生 必 须 保 持 答 题 卡 的 整 洁，考 试 结 束 后，将 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回。参 考 公 式：锥 体 体 积 公 式 v=lsh,其 中 S 为 锥 体 的 底 面 积，h 为 锥 体 的 高。3_线 性 回 归 方 程 y=分 x+。中 系 数 计 算 公 式 人=上 1=-、a=y b/=!样 本 数 据 xi,X2,.xa 的 标 准 差，+(x(-x)2+(x2-x)+(xn-x)其 中 工 亍 表 示 样 本 均 值。N 是 正 整 数，则 an-hn=(a-b)(a

4、n-+an-2b+.abn-2+b-)一、选 择 题：本 大 题 共 10小 题，每 小 题 5 分，满 分 50分，在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.设 复 数 z满 足 iz=l,其 中 i为 虚 数 单 位，则 A.-i B.i C.-1 D.I2.已 知 集 合 A=|(x,y)|x,y为 实 数，且+,2=1,B=|(x,y)|x,y为 实 数，且 x+y=1则 A C B 的 元 素 个 数 为 A.4 B.3 C.2 D.I3.已 知 向 量 2=(1,2),b=(1,0),c=(3,4)。若 一 为 实 数，(a

5、+财)c),则 4 二 1 1A.B.C.1 D.24 24.函 数/(幻=+lg(l+x)的 定 义 域 是 1-xA.(-oo,-l)C.(-1,1)U(1,+8)5.不 等 式 2x2-x-l0的 解 集 是 A.(-;,1)C.(-oo,1)U(2,+oo)6.已 知 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 上 的 区 域 D 由 不 等 式 2 给 定，若 M(x,y)为 D 上 的 动 X yfly点，点 A 的 坐 标 为(8,1),则 2=而 赤 的 最 大 值 为 B.(1,+oo)D.(-00,+8)B.(1,+oo)D.(oo,-)U(1,+oo)0 x V2A.3 B.

6、4 C.35/2 D.4 7 27.正 五 棱 柱 中，不 同 在 任 何 侧 面 且 不 同 在 任 何 底 面 的 两 顶 点 的 连 线 称 为 它 的 对 角 线，那 么 一 个 正 五 棱 柱 对 角 线 的 条 数 共 有 A.20 B.15 C.12 D.108.设 圆 C 与 圆 X?+(y-3)2=l外 切，与 直 线 y=0 相 切，则 C 的 圆 心 轨 迹 为 A.抛 物 线 B.双 曲 线 C.椭 圆 D.圆 9.如 图 1-3,某 几 何 体 的 正 视 图(主 视 图)，侧 视 图(左 视 图)和 俯 视 图 分 别 是 等 腰 三 角 形 和 菱 形，则 该 几

7、 何 体 体 积 为 侧 视 图 图 2A.46 B.4 C.2-73 D.210.设 f(x),g(x),h(x)是 R 上 的 任 意 实 值 函 数，如 下 定 义 两 个 函 数(/g)(x)和(/x)(x)；对 任 意 X G R,(f.g)(x)=/(g(x)；(f-g)(x)=/(x)g(x).则 下 列 恒 等 式 成 立 的 是 A.(/g)/?)(*)=(/)(g/)(x)B.(7-g)/?)(%)=(/h(g/z)(x)C.(/g)h)(x)=(/h)(g h)(x)D.(f-g)-/i)(x)=(f-h)-(g-h)(x)二、填 空 题：本 大 题 共 5 小 题，考

8、生 作 答 4 小 题，每 小 题 5 分，满 分 20分。11.已 知 他“是 同 等 比 数 列，a2=2,a4-a3=4,则 此 数 列 的 公 比 4=12.设 函 数/(x)=dcosx+l,若 则 f(-a)=13.为 了 解 篮 球 爱 好 者 小 李 的 投 篮 命 中 率 与 打 篮 球 时 间 之 间 的 关 系，下 表 记 录 了 小 李 某 月 1 号 到 5号 每 天 打 篮 球 时 间 x(单 位：小 时)与 当 天 投 篮 命 中 率 y 之 间 的 关 系：时 间 尤 1 2 3 4 5命 中 率 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4小 李 这 5 天 的 平

9、 均 投 篮 命 中 率 为;用 线 性 回 归 分 析 的 方 法，预 测 小 李 每 月 6 号 打 篮 球 6小 时 的 投 篮 命 中 率 为.(-)选 择 题(14-15题，考 生 只 能 从 中 选 做 一 题)14.(坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题)已 知 两 曲 线 参 数 方 程 分 别 为=病 益(0。乃)和 J=彳 y=sin(teR),它 们 的 交 点 坐 标 为:L15.(集 合 证 明 选 讲 选 做 题)如 图 4BC 上 点，且 EF=3,EF/7AB,_OD.t c二 图 4在 梯 形 ABCD 中，AB CD,AB=4,CD=2.E,F 分 别

10、 为 AD,则 梯 形 ABFE与 梯 形 E F C D 的 面 积 比 为 三、解 答 题：本 大 题 共 6 小 题,16.(本 小 题 满 分 为 12分)已 知 函 数/(x)=2sin(；x(1)求 八 0)的 值；7T(2)、蚊 a,0 0,f(36满 分 80分，解 答 须 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 和 演 算 步 骤.-今,力 e R。OZ+工)=W,f(3/+2)=.求 sin(a P)的 值 2 13 517.（本 小 题 满 分 13分）在 某 次 测 验 中，有 6 位 同 学 的 平 均 成 绩 为 75分。用 X。表 示 编 号 为 n（n=l,2,

11、.,6）的 同 学 所 得 成 绩，且 前 5 位 同 学 的 成 绩 如 下：编 号 n 1 2 3 4 5成 绩 Xn70 76 72 7()72（1）求 第 6 位 同 学 的 成 绩 X6,及 这 6 位 同 学 成 绩 的 标 准 差 s;（2）从 前 5 位 同 学 中，随 机 地 选 2 位 同 学，求 恰 有 1位 同 学 成 绩 在 区 间（68,75）中 的 概 率。18.（本 小 题 满 分 13分）图 5 所 示 的 集 合 体 是 将 高 为 2,底 面 半 径 为 1 的 直 圆 柱 沿 过 轴 的 平 面 切 开 后，将 其 中 一 半 沿 切 面 向 右 水 平

12、 平 移 后 得 到 的.A,A,B,B吩 别 为。,。力，。芯 的 中 点，0,0、Q 分 别 为 8,。,。？的 中 点.（1）证 明：4,Q,6 四 点 共 面；（2）设 G 为 A A，中 点，延 长 到 H，使 得 证 明：B O 2，平 面 8。19.（本 小 题 满 分 14分）设 a0,讨 论 函 数 f（x）=lnx+a（1-a）x2-2（1-a）的 单 调 性。20.（本 小 题 满 分 14分）设 b0,数 列 a0 满 足 aj=b,a=履 二!_（孑 2）%+-1 求 数 列 a 的 通 项 公 式;n+l（2）证 明：对 于 一 切 正 整 数 n,2an b+12

13、1.(本 小 题 满 分 14分)在 平 面 直 角 坐 标 系 X。)，中，直 线/：*=-2交 x 轴 于 点 A,设 P 是/上 一 点，M 是 线 段 0 P 的 垂 直 平 分 线 上 一 点，且 满 足 Z M P O=Z A O P(1)当 点 P 在/上 运 动 时，求 点 M 的 轨 迹 E 的 方 程；(2)已 知 T(l,-1),设 H 是 E 上 动 点，求|“0|+|刀 的 最 小 值，并 给 出 此 时 点 H 的 坐 标；(3)过 点 T(1,-1)且 不 平 行 与 y 轴 的 直 线 h 与 轨 迹 E 有 且 只 有 两 个 不 同 的 交 点，求 直 线

14、4 的 斜 率 k 的 取 值 范 围。参 考 答 案 一、选 择 题：本 大 题 考 查 基 本 知 识 和 基 本 运 算，共 10小 题，每 小 题 5 分，满 分 50分。A 卷：15DBCBA 610CADCB二、填 空 题：本 大 题 考 查 基 本 知 识 和 基 本 运 算，体 现 选 择 性。共 5 小 题，每 小 题 5 分，满 分 20分,其 中 1415题 是 选 做 题，考 生 只 能 选 做 一 题。f,2 11.2 12.-9 13.0.5,0.53 14.1,15.7：5I 5)三、解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，满 分 80分，解 答 须 写 出 文

15、字 说 明、证 明 过 程 和 演 算 步 骤。16.(本 小 题 满 分 12分)解：/(0)=2sin-=-2sin-=-1；6(/2八)i=，n c n 七 始)c.f 3aH=2sin x 3aH-2sinc c 13 k 2J(3 1 2)6 J6 fl 7 C(7C=/(3/?+2)=2sin-x(3/?+2)-=2sin/?+=2cos,5 3 6 J 2)/.sin a=,cos=故 sin(a+/?)=sin a cos p+cos asin/?=x-+x=一.13 5 13 5 6517.(本 小 题 满 分 13分)_ 6解：(1)冗=2%”=756=1_ 5/.x6=6

16、x75-70-76-72-70-72=90,=1.6 1/=-f-Y(x-x)2=-(52+12+32+52+32+152)=49,6=|6/.s 7.(2)从 5 位 同 学 中 随 机 选 取 2 位 同 学，共 有 如 下 10种 不 同 的 取 法：1,2,1,3,1,4,1,5,2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5,选 出 的 2位 同 学 中，恰 有 1位 同 学 的 成 绩 位 于(68,75)的 取 法 共 有 如 下 4 种 取 法：1,2,2,3,2,4,2,5,2故 所 求 概 率 为 二.18.(本 小 题 满 分 13分)证 明：(1)A A分 别 为 CD

17、,C。中 点，连 接 BO2直 线 BO2是 由 直 线 AO)平 移 得 到 AO,/BO2O：A/BO共 面。(2)将 AO1延 长 至 H 使 得 O|H=OiA,连 接 HO：,HB,HH二 由 平 移 性 质 得 O。；4HBBO；11 HO；AG=AH N O：HH=ZGAH=GAH：.ZHOH+GHA=-：.O：H 1 HGBO；A.HGO：O；BO；,O；O；1 O；O2,B，O；C O M=O；O：O；1 平 面 BBQQO：O；1 BO；：.BO；1 HBHB c H G=HBO；_L 平 面”5G.19.(本 小 题 满 分 14分)解：函 数/(X)的 定 义 域 为(

18、0,+20)./,/2Q(1 d)x2(1 ci)x+1J 3=-x当 a。1时,方 程 2a(ba)x2-2(1 a)x+1=0 的 判 别 式=12(a_l)(a_g7 当 0 a 0,/(x)有 两 个 零 点,1 V(-1)(362-1)八 1 J(a-1)(31)x w-u,x0=-1-2a 2a(1 a)2a 2a(a)且 当 0 X/时,f(x)0,/(X)在(0,X)与(W，+00)内 为 增 函 数;当 不/吐/0)0,/0 在(工,无 2)内 为 减 函 数;当；4 a 0,所 火(x)在(0,+8)内 为 增 函 数;当 a=1时，/(x)=-0(x 0),/(0在(0,

19、+00)内 为 增 函 数;X 当 a 的,AXUL J(aT)(3T)2a0,2a(l-a)X，二-+D(3a 1)0,所 以 广，(处 在 定 义 域 内 有 唯 一 零 点 修,2a 2a(l a)且 当 0 x0,/(x：(0,%)内 为 增 函 数；当 x x,时，f(忌。为 生 乂 十 内 为 减 函 数。/(光)的 单 调 区 间 如 下 表:0-3 a 1(0,玉)(%,巧)(x2,+oo)(0,+8)(。,王)(%,+oo)、(其 中 为=1_-7 c、二，2=T 1 二)2a 2a(l a)2a 2a(l a)2 0.（本 小 题 满 分 14分）解：（1）由 4=8 0,

20、知 一 则 工 0%+-1n i l n-l=-a”b b an_x.n令 a,=一，Aan1b当 2 2时，+：如 1b1 h1 1，H-H-r A.b-b-1 1H-r H-.hn-h 当 b w 1 时,A“=1-F bnb 当/?=i 时，A 1=九 n b(b-i).-,b 声 1bn-Il,b=l(2)当 b w 1 时,(欲 证 2 4=2川；(1)v 夕+i+,/7 1只 需 2应/夕(2+2+2)=2田,2an=2，h(h l+bn+.b-i综 上 所 述 2%1）.另 一 种 情 况，见 图 2（即 点 M 和 A 位 于 直 线 O P 的 同 侧）。M Q 为 线 段

21、0 P 的 垂 直 平 分 线,；.N M P Q=ZMOQ.又 N M P Q=Z A O P,Z M O Q=ZAOP.因 此 M 在 轴 上，此 时，记 M 的 坐 标 为（x,0）.为 分 析 M（x,O）中 x 的 变 化 范 围，设 尸（一 2,d）为 I上 任 意 点（a e R）.由|M O|=|M P|aix=yl（x+2）2+a2）得，x=-a2-1.4故 M（x,0）的 轨 迹 方 程 为 y=0,x-l 综 合 和 得，点 M 轨 迹 E 的 方 程 为 24（X 4-1）,X 1,y=0,x 1.（2）由（1）知，轨 迹 E 的 方 程 由 下 面 已 和 E2两 部

22、 分 组 成（见 图 3）：图 3耳：/=4（x+i）（x 1）；E2:y=0,x v-L当“e g 时，过 T 作 垂 直 于/的 直 线，垂 足 为 厂，交 Ei于。（一,一 1）再 过 H 作 垂 直 于/的 直 线，交/于 因 此，|月。|=|m7|（抛 物 线 的 性 质）。：HO+HT|=|HH+HT|TT=3（该 等 号 仅 当“与 T重 合（或 H 与 D 重 合）时 取 得）当“马 时，则|O|+|T|3O|+|3T|l+6 3.综 合 可 得，|HO|+|HT|的 最 小 值 为 3,且 此 时 点 H 的 坐 标 为 1-j,一 1）.（3）由 图 3 知，直 线 4的

23、斜 率*不 可 能 为 零。设 4:y+l=k（x-V）（k w 0）.故=，（；+1）+1,代 入&的 方 程 得：y2-y-|-+8 1=0.k k k）16（4）（4 Y因 判 别 式 4=台+4-+8=-+2+280.k）所 以 与 E 中 的 E1有 且 仅 有 两 个 不 同 的 交 点。又 由 E2和 4 的 方 程 可 知，若 4 与 E2有 交 点，则 此 交 点 的 坐 标 为,0，且=1即 当 一 上 左 00寸，4与 七 有 唯 一 交 点(k)k 2、k,0,从 而 4 表 三 个 不 同 的 交 点。)因 此，直 线 4斜 率 左 的 取 值 范 围 是(-00,-g U(0,+00).