2023年高中数学椭圆的经典知识全面汇总归纳(最详细).pdf

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1、 高中数学椭圆的经典知识总结 椭圆知识点总结 1.椭圆的定义：1,2（1）椭圆：焦点在x轴上时12222byax（222abc）cossinxayb（参数方程，其中为参数），焦点在y轴上时2222bxay1（0ab）。方程22AxByC表示椭圆的充要条件是什么？（ABC0，且 A，B，C 同号，AB）。2.椭圆的几何性质：（1）椭圆（以12222byax（0ab）为例）：范围：,axabyb ；焦点：两个焦点(,0)c；对称性：两条对称轴0,0 xy，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)ab，其中长轴长为2a，短轴长为2b；准线：两条准线2axc；离心率：cea，椭圆01e，e越

2、小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。通径22ba 2.点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P xy在椭圆外2200221xyab；（2）点00(,)P xy在椭圆上220220byax1；（3）点00(,)P xy在椭圆内2200221xyab 3直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：0直线与椭圆相交；（2）相切：0直线与椭圆相切；（3）相离：0直线与椭圆相离；如:直线 ykx1=0 与椭圆2215xym恒有公共点，则 m 的取值范围是_（答：1，5）（5，+）；4、焦半径（圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径0redaex，

3、其中d表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。如（1）已知椭圆1162522yx上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3，则点 P 到右准线的距离为_（答：10/3）；（2）椭圆13422yx内有一点)1,1(P，F 为右焦点，在椭圆上有一点 M，使MFMP2 之值最小，则点 M 的坐标为_（答：)1,362(）；5、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：20tan|2Sbc y，当0|yb即P为短轴端点时，maxS的最大值为bc；6、弦长公式：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点 A、B，且12,x x分别为 A、B 的横坐标，则AB2121kxx，若12,y y分别为 A

4、、B 的纵坐标，则AB21211yyk，若弦 AB 所在直线方程设为xkyb，则AB2121 kyy。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。7、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆12222byax中，以00(,)P xy为中点的弦所在直线的斜率k=0202yaxb；如（1）如果椭圆221369xy弦被点 A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：280 xy）；（2）已知直线 y=x+1 与椭圆22221(0)xyabab 相交于 A、B 两点，且线段 A

5、B的中点在直线 L：x2y=0 上，则此椭圆的离心率为_（答：22）；（3）试确定 m 的取值范围，使得椭圆13422yx上有不同的两点关于直线mxy 4对称（答：2 13 2 13,1313）；特别提醒：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0！椭圆知识点 1如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件ba,；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2椭圆标

6、准方程中的三个量cba,的几何意义 椭圆标准方程中，cba,三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：)0(ba，)0(ca，且)(222cba。可借助右图理解记忆：显然：cba,恰构成一个直角三角形的三条边，其中 a 是斜边，b、c 为两条直角边。3如何由椭圆标准方程判断焦点位置 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看2x，2y的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4 方程均不为零）CBACByAx,(22是表示椭圆的条件 方程CByAx22可化为122CByCAx

7、，即122BCByACx，所以只有 A、B、C同号，且 AB时，方程表示椭圆。当BCAC时，椭圆的焦点在x轴上；当BCAC时，椭圆的焦点在y轴上。5求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数cba,的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异 共焦点，则 c 相同。与椭圆12222byax)0(ba共焦点的椭圆方程可设为12222mbymax)(2bm，此类问题常用待定系数法求解。7判断曲线关于x轴、y轴、原点对称

8、的依据：若把曲线方程中的x换成x，方程不变，则曲线关于y轴对称；若把曲线方程中的y换成y，方程不变，则曲线关于x轴对称；若把曲线方程中的x、y同时换成x、y，方程不变，则曲线关于原点对称。8如何求解与焦点三角形PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式2121sin2121PFFPFPFSFPF相结合的方法进行计算解题。将有关线段2121FFPFPF、，有关角21PFF(21PFF21BFF)结合起来，建立21PFPF、21PFPF 之间的关系.9如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系

9、？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率)10(eace，因为222bac，0 ca，用ba、表示为)10()(12eabe。显然：当ab越小时，)10(ee越大，椭圆形状越扁；当ab越大，)10(ee越小，椭圆形状越趋近于圆。椭 圆 题型 1:椭圆定义的运用 例 1、已知12,F F为椭圆221259xy的两个焦点，过1F的直线交椭圆于 A、B 两点若2212FA FB，则AB _。例 2、椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点 A、B 是它的焦点，长轴长为 2a，焦距为 2c，静放在点 A 的

10、小球（小球的半径不计），从点 A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时，小球经过的路程是 例 3、如果方程222xky表示焦点在 x 轴的椭圆，那么实数 k 的取值范围是_.例 4、已知P为椭圆2212516xy上的一点，,M N分别为圆 2231xy 和圆 2234xy 上的点，则PMPN的最小值为 题型 2：求椭圆的标准方程 例 1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)经过两点)2,3(A、(2 3,1)B；(2)经过点(2，3)且与椭圆364922 yx具有共同的焦点.（3）一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4 24.题型 3:求椭圆的离心

11、率（或范围）例 1、ABC中，030,2,3ABCAABS 若以,A B为焦点的椭圆经过点C，则椭圆的离心率为 .例 2、过椭圆的一个焦点2F作椭圆长轴的垂线交椭圆于 P，若 12F PF为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 题型 4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例 1、已知实数,x y满足22142xy,则22xyx的范围为 例 2、已知 P 是椭圆22221xyab上一点，12,F F是椭圆的两个焦点，求12PFPF的最大值与最小值 例 3、已知点,A B是椭圆22221xymn（0,0mn）上两点,且AOBOuuu ruuu r,则=例 4、如上图，把椭圆2212516xy的

12、长轴AB分成 8 等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于1,234567,P P P P P P P七个点，F是椭圆的一个焦点，则1234567PFP FP FP FP FP FP F_ 题型 5：焦点三角形问题 例 1、已知12,F F为椭圆22194xy的两个焦点，p 为椭圆上的一点，已知12,P F F为一个直角三角形的三个顶点，且12PFPF,求12PFPF的值；例 2、已知12,F F为椭圆 C:22184xy的两个焦点，在 C 上满足12PFPF的点的个数为 例 3、若12,F F为椭圆22194xy的两个焦点，p 为椭圆上的一点，当12F PF为钝角时，点 P 横坐标的取

13、值范围为 例 4、已知椭圆的焦点是)1,0(),1,0(21FF,且经过点（1，32）求椭圆的方程;设点 P 在椭圆上,且121PFPF,求 cos21PFF.题型 6:三角代换的应用 例 1、椭圆221169xy上的点到直线 l:90 xy 的距离的最小值为_ 例 2、椭圆221169xy的内接矩形的面积的最大值为 题型 7：直线与椭圆的位置关系的判断 例 1、当m为何值时，直线yxm 与椭圆221169xy相交？相切？相离？例 2、若直线)(1Rkkxy与椭圆1522myx恒有公共点，求实数m的取值范围；题型 8：弦长问题 例 3求直线24yx被椭圆224199xy所截得的弦长.例 4、已

14、知椭圆2212xy的左右焦点分别为 F1,F2，若过点 P（0，-2）及 F1的直线交椭圆于 A,B 两点，求ABF2的面积；题型 9：中点弦问题 例 5、求以椭圆22185xy内的点 A（2，-1）为中点的弦所在的直线方程。例 6、中心在原点，一个焦点为1(0,50)F的椭圆截直线32yx 所得弦的中点横坐标为12，求椭圆的方程 例 7、椭圆221mxny，与直线1xy 相交于、两点，是 的中点若2 2AB ，斜率为22（O为原点），求椭圆的方程 题型 10：椭圆与向量、解三角形的交汇问题 例 6、设过点,P x y的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称

15、，O为坐标原点，若2BPPAuuu ruuu r，且1OQ ABuuu r uuu r，求P点的轨迹方程;15.如图，在 RtABC 中，CAB=90，AB=2，AC=22。一曲线 E 过点 C，动点 P 在曲线 E 上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线 l 经过 A 与曲线 E 交于 M、N 两点。（1）建立适当的坐标系，求曲线 E 的方程；（2）设直线 l 的斜率为 k，若MBN 为钝角，求 k 的取值范围。基础巩固训练 1.如图,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线1AB与 BF 交于 D,且1BDB,则椭圆的离心率为 2.设12,F F为椭圆2214xy的两焦点，P 在椭圆上，

16、当12F PF面积为 1 时，12PFPFuuu r uuu u r的值为 3.椭圆221369xy的一条弦被 4,2A平分,那么这条弦所在的直线方程是 4.在ABC中，90A o，3tan4B 若以,A B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e 5.若12,F F为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若3:2:1:211221PFFFPFFPF,则此椭圆的离心率为 6.在平面直角坐标系中，椭圆22221(0)xyabab 的焦距为 2，以 O 为圆心，a为半径的圆，过点2(,0)ac作圆的两切线互相垂直，则离心率e=综合提高训练 7、已知椭圆22221(0)xyabab 与过点 A(2，0)

17、，B(0，1)的直线 l 有且只有一个公共点 T，且椭圆的离心率32e 求椭圆方程；8.已知 A、B 分别是椭圆22221(0)xyabab 的左右两个焦点，O 为坐标原点，点 P21,2在椭圆上，线段 PB 与 y 轴的交点 M 为线段 PB 的中点。（1）求椭圆的标准方程；（2）点 C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于ABC，求sinsinsinABC的值。9.已知长方形 ABCD,AB=2 2,BC=1.以 AB 的中点O为原点建立如图 8 所示的平面直角坐标系xoy.()求以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的标准方程;()过点 P(0,2)的直线l交()中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线l,使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.O x y A B C D 图 8