2023年高中数学_椭圆,知识题型全面汇总归纳.pdf

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1、,.陈氏优学 教学课题 椭圆 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.讲练结合一.椭圆的定义 1若ABC的两个顶点 4,0,4,0AB，ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程是 知识点二：椭圆的标准方程 1当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2在椭圆的两种标准方程中，都有和；3椭圆的焦点总在长轴上.当

2、焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。讲练结合二利用标准方程确定参数,.1椭圆2214xym的焦距为2，则m=。2椭圆5522 kyx的一个焦点是)2,0(，那么k 。知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆的的简单几何性质 （1）对称性 对于椭圆标准方程，把 x 换成 x，或把y 换成 y，或把x、y 同时换成x、y，方程都不变，所以椭圆是以 x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围 椭圆上所有的点都位于直线 x=a 和 y=b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|a，|y|b。,.（3）

3、顶点 椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆（ab0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 A1（a，0），A2（a，0），B1（0，b），B2（0，b）。线段 A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长 和短半轴长。（4）离心率 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用 e 表示，记作。因为 ac0，所以 e 的取值范围是 0e1。e 越接近 1，则 c 就越接近 a，从而越小，因 此椭圆越扁；反之，e 越接近于 0，c 就越接近 0，从而 b 越接近于 a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当 a=

4、b 时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为 x2+y2=a2。椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：,.（1），；（2），；（3）,，；知识点四：椭圆与（ab0）的区别和联系 标准方程 图形 性质 焦点，焦距 范围，对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称 顶点，轴 长轴长=，短轴长=离心率 准线方程 焦半径，注意：椭圆，（ab0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关,.系都有 ab0 和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。题型一 椭圆焦点三角形面积公式的应用 定理 在椭圆12222byax（ab0）中，焦点分别为1F、2F，点 P 是椭圆上任意一

5、点，21PFF，则2tan221bSPFF.证明：记2211|,|rPFrPF，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121arrarr 在21PFF中，由余弦定理得：.)2(cos22212221crrrr 配方得：.4cos22)(22121221crrrrrr 即.4)cos1(242212crra.cos12cos1)(222221bcarr 由任意三角形的面积公式得：2tan2cos22cos2sin2cos1sinsin2122222121bbbrrSPFF.2tan221bSPFF 典题妙解 例 1 若 P 是椭圆16410022yx上的一点，1F、2F是其焦点，且6021PFF，

6、求 21PFF的面积.解法一：在椭圆16410022yx中，,6,8,10cba而.60记.|,|2211rPFrPF P y F1 O F2 x P,.点 P 在椭圆上，由椭圆的第一定义得：.20221arr 在21PFF中，由余弦定理得：.)2(cos22212221crrrr 配方，得：.1443)(21221rrrr.144340021rr从而.325621rr.336423325621sin212121rrSPFF 解法二：在椭圆16410022yx中，642b，而.60.336430tan642tan221bSPFF 解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！例

7、 2 已知 P 是椭圆192522yx上的点，1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，若21|2121PFPFPFPF，则21PFF的面积为（）A.33 B.32 C.3 D.33 解：设21PFF，则21|cos2121PFPFPFPF，.60.3330tan92tan221bSPFF 故选答案 A.练习 6已知椭圆的中心在原点，1F、2F为左右焦点，P 为椭圆上一点，且21|2121PFPFPFPF，21PFF 的面积是3，准线方程为334x，求椭圆的标准方程.参考答案,.6解：设21PFF，120,21|cos2121PFPFPFPF.3360tan2tan22221bbbSPFF，1b.又3

8、342ca，即33333411222cccccbc.3c或33c.当3c时，222cba，这时椭圆的标准方程为1422yx；当33c时，33222cba，这时椭圆的标准方程为13422yx；但是，此时点 P 为椭圆短轴的端点时，为最大，60，不合题意.故所求的椭圆的标准方程为1422yx.题型二 中点弦问题 点差法 中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆12222byax中，以00(,)P xy为中点的弦所在直线方程？例 3.过椭圆内一点，引一条弦，使弦被点平分，求这条xyMM22164121()弦所在的直线方程。分析：本例的实质是求出直线的斜率，在所给已知条件下求

9、直线的斜率方法较多，故本例解法较多，可作进一步的研究。解：法一 设所求直线方程为，代入椭圆方程并整理，得yk x 12()()()()4124 211602222kxkk xk，又设直线与椭圆的交点为,.A xyB xyxxxxkkk()()()11221212228 241，、，则、是方程的两个根，于是，又为的中点，解之得，故所求直线方MABxxkkkk122224 241212()程为xy 240 法二 设直线与椭圆的交点为，、，为的中点，A xyB xyMAB()()()112221，又、两点在椭圆上，则，xxyyABxyxy121212122222424164 164012221222

10、，两式相减得()()xxyy yyxxxxyy12121212412()即，故所求直线为kxyAB 12240 点差法 1.过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为22的椭圆C相交于A、B两点，直线y=21x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强，属级题目.知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题.错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键.技巧与方法：本题是典型的求

11、圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式.解法二，用韦达定理.,.解法一：由e=22ac,得21222aba,从而a2=2b2,c=b.设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两 式 相 减 得，(x12x22)+2(y12y22)=0,.)(221212121yyxxxxyy 设AB中点为(x0,y0),则kAB=002yx,又(x0,y0)在直线y=21x上，y0=21x0,于是002yx=1,kAB=1,设l的方程为y=x+1.右焦点(b,0)

12、关于l的对称点设为(x,y),byxbxybxy11 1221解得则 由点(1,1 b)在椭圆上，得 1+2(1 b)2=2b2,b2=89,1692a.所求椭圆C的方程为2291698yx=1,l的方程为y=x+1.解法二：由e=21,22222abaac得,从而a2=2b2,c=b.设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x1),将l的 方 程 代 入C的 方 程，得(1+2k2)x2 4k2x+2k2 2b2=0,则x1+x2=22214kk,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k=2212kk.直线l：y=21x过AB的中点(2,22121yyxx

13、),则2222122121kkkk,解得k=0，或k=1.若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0 舍去，从而k=1，直线l的方程为y=(x1),即y=x+1,.以下同解法一.题型三 弦长公式与焦半径公式 1、一般弦长公式 弦长公式：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点 A、B，且12,x x分别为 A、B 的横坐标，则AB2121kxx，（若12,y y分别为 A、B 的纵坐标，则AB21211yyk），若弦 AB 所在直线方程设为xkyb，则AB2121 kyy。2、焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算

14、，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。1.第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数 ecaeM()01 的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为 椭圆的准线，常数 e 是椭圆的离心率。注意：对对应于右焦点，的准线称为右准线，xaybabFc22222100()()方程是，对应于左焦点，的准线为左准线xacFcxac2120()e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。,.2.焦半径及焦半径公式：椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。对于椭圆，设，为椭圆上一点，由第二定义：xaybabP xy22210()()

15、左焦半径左左rxaccarexcaacaex02020 右焦半径右右racxcaraex200 已知点 P 在椭圆yaxbab222210()上，FF12、为椭圆的两个焦点，求|PFPF12的取值范围 6.解：设 P()xy00，椭圆的准线方程为yac2，不妨设 F1、F2分别为下焦点、上焦点 则|PFyaccaPFacyca102220，|PFcayaPFacay1020|()()PFPFacayacay1200acay22202 aya0，当y00时，|PFPFa122最大，最大值为 当yaPFPFacb012222 时，最小，最小值为|因此，|PFPF12的取值范围是ba22，例 2.椭

16、圆的焦点为、，点 为其上的动点，当为钝角xyFFPF PF221212941,.时，点 P 横坐标的取值范围是_。（2000 年全国高考题）分析：可先求 F1PF290时，P 点的横坐标。解：法一 在椭圆中，依焦半径公式知，abcPFx 3253531|PFxF PFPFPFF F2121222122353，由余弦定理知为钝角()()()3533532 59535352222 xxxx，应填 法二 设，则当时，点 的轨迹方程为，P xyF PFPxy()1222905 由此可得点 的横坐标，点 在 轴上时，；点 在 轴上PxPxF PFPy35012 时，为钝角，由此可得点 横坐标的取值范围是

17、F PFPx123535 题型四 参数方程 3.椭圆参数方程 问题：如图以原点为圆心，分别以 a、b（ab0）为半径作两个圆，点 B 是大圆半径 OA 与小圆的交点，过点 A 作 ANOx，垂足为 N，过点 B 作 BNAN，垂足为 M，求当半径 OA 绕 O 旋转时点 M 的轨迹的参数方程。,.解：设点的坐标是，是以为始边，为终边的正角，取为Mxy()Ox 参数。那么xONOAyNMOBxayb|cos|sincossin()1 这就是椭圆参数方程：为参数时，称为“离心角”说明：对上述方程（1）消参即 xaybxaybcossin22221普通方程 由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角

18、变形即得参数方程。直线与椭圆位置关系：xaybykxb22221 求椭圆上动点 P（x，y）到直线距离的最大值和最小值，（法一，参数方程法；法二，数形结合，求平行线间距离，作ll且l与椭圆相切）例 4.已知椭圆，在椭圆上求一点，使 到直线：xyPPlxy228840 的距离最小并求出距离的最小值（或最大值）？解：法一 设，由参数方程得P(cossin)()2 2,.则d|cossin|sin()|2 242342 其中，当时，tanmin 2 221222d 此时，cossinsincos2 2313 即 点坐标为，PP()8313 法二 因 与椭圆相离，故把直线平移至，使 与椭圆相切，则与

19、的距离，llllll 即为所求的最小值，切点为所求点最大()l 设：，则由消 得lxymxymxyx 008822 9280449802222ymymmm，令()解之得，为最大，由图得mm333()此时，由平行线间距离得Pl()min831322 222200021031 0123xyabeA BabABxPABC xyxFAFBF 椭圆（）的离心率，、是椭圆上关于坐标不对称的两点，线段的中垂线与 轴交于点（，）。（）设中点为（，），求 的值。（）若 是椭圆的右焦点，且，求椭圆的方程。,.15952323332292332233249995195950019594323212212220212

20、1212122120000000000202212121020221212122121222222222222122122222222220021210210212211yxbcacaaxxxxxaexaexaexaBFexaAFxcaBFacxcaAFBFAFxxxyxyxyxyaxbxxyyyyyaxbxxyyyyaxxxxbbayaxbbayaxbbyaxBAababaaceyxxxyyyyyxxxyxByxA所求椭圆方程为）（又）（）（）（）（）（上在椭圆、又由，则），（）、，（）令（1椭圆221925xy的焦点为1F、2F，AB是椭圆过焦点1F的弦，则2ABF的周长是 。,.2设1F

21、，2F为椭圆400251622yx的焦点，P为椭圆上的任一点，则21FPF的周长是多少？21FPF的面积的最大值是多少？3 设点P是椭圆2212516xy上的一点，12,F F是焦点，若12F PF是直角，则12F PF的面积为 。变式：已知椭圆14416922 yx，焦点为1F、2F，P是椭圆上一点 若6021PFF，求21FPF的面积 五离心率的有关问题 1.椭圆1422myx的离心率为21，则m 2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为0120，则此椭圆的离心率e为 3椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为 4.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴

22、的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。,.5.在ABC中，3,2|,300 ABCSABA若以A B，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e 讲练结合六.最值问题 1.椭圆2214xy两焦点为 F1、F2，点 P 在椭圆上，则|PF1|PF2|的最大值为_，最小值为_ 2、椭圆2212516xy两焦点为 F1、F2，A(3，1)点 P 在椭圆上，则|PF1|+|PA|的最大值为_，最小值为 _ 3、已知椭圆2214xy，A(1，0)，P 为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值 最小值 。4.设 F是椭圆322x242y=1 的右焦点,定点 A(2,3)在椭圆内,在椭

23、圆上求一点P 使|PA|+2|PF|最小,求P点坐标 最小值 .知识点四：椭圆与（ab0）的区别和联系,.标准方程 图形 性质 焦点，焦距 范围，对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称 顶点，轴 长轴长=，短轴长=离心率 准线方程 焦半径，注意：椭圆，（ab0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有 ab0 和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。,.1如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两

24、个定形条件 a、b，一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2椭圆标准方程中的三个量 a、b、c 的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：ab0，ac0，且 a2=b2+c2。可借助下图帮助记忆：a、b、c 恰构成一个直角三角形的三条边，其中 a 是斜边，b、c 为两条直角边。3如何由椭圆标准方程判断焦点位置 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看 x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4方程 Ax

25、2+By2=C（A、B、C 均不为零）表示椭圆的条件,.方程 Ax2+By2=C 可化为，即，所以只有 A、B、C 同号，且 A B 时，方程表示椭圆。当时，椭圆的焦点在 x 轴上；当时，椭圆的焦点在 y 轴上。5求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方 程中的参数、的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异 共焦点，则 c 相同。与椭圆（ab0）共焦点的椭圆方程可设为（kb2）。此类问题常用待定系数法求解。7判断曲线关于x

26、 轴、y 轴、原点对称的依据：若把曲线方程中的x 换成 x，方程不变，则曲线关于 y 轴对称；若把曲线方程中的 y 换成 y，方程不变，则曲线关于 x 轴对称；,.若把曲线方程中的 x、y 同时换成 x、y，方程不变，则曲线关于原点对称。8如何解决与焦点三角形 PF1F2（P 为椭圆上的点）有关的计算问题？与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、，有关角()结合起来，建立、之间的关系.9如何研究椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率，因为 c2=a2b2，ac0，用

27、a、b 表示为，当越小时，椭圆越扁，e 越大；当越大，椭圆趋近圆，e 越小，并且 0e1。课后作业 1已知 F1(-8，0)，F2(8，0)，动点 P 满足|PF1|+|PF2|=16，则点 P 的轨迹为()A 圆 B 椭圆 C 线段 D 直线 2、椭圆221169xy左右焦点为 F1、F2，CD 为过 F1的弦，则CDF1的周长为_ 3 已知方程22111xykk表示椭圆，则 k 的取值范围是()A-1k0 C k 0 D k1 或 k-1 4、求满足以下条件的椭圆的标准方程 (1)长轴长为 10，短轴长为 6 ,.(2)长轴是短轴的 2 倍，且过点(2，1)(3)经过点(5，1)，(3，2

28、)5、若 ABC 顶点 B、C 坐标分别为(-4，0)，(4，0)，AC、AB 边上的中线长之和为 30，则 ABC 的重心 G 的轨迹方程为_ 6.椭圆22221(0)xyabab 的左右焦点分别是 F1、F2，过点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于 P 点。若 F1PF2=60，则椭圆的离心率为 _ 7、已知正方形 ABCD，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的的离心率为_ 椭圆方程为 _.8 已知椭圆的方程为22143xy，P 点是椭圆上的点且1260F PF,求12PF F的面积 9.若椭圆的短轴为 AB，它的一个焦点为 F1，则满足 ABF1为等边三角形的椭圆的离心率为 10

29、.椭圆13610022yx上的点 P 到它的左焦点的距离是 12，那么点 P 到它的右焦点的距离是 11已知椭圆)5(125222ayax的两个焦点为1F、2F，且821FF，弦 AB 过点1F，则2ABF的周长 12.在椭圆252x+92y=1 上求一点 P,使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍 13、中心在原点、长轴是短轴的两倍,一条准线方程为4x,那么这个椭圆的方程为 。14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离,则椭圆的离心率e=_.15、椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,准线方程为18y,椭圆上一点到两焦点的距离分别为 10 和 14,则椭圆方程为 _.16.已知 P 是椭

30、圆90025922yx上的点,若 P 到椭圆右准线的距离为 8.5,则 P 到左焦点的距离为_.17椭圆1162522yx内有两点2,2A，0,3B，P 为椭圆上一点，若使53PAPB最小，则最小值为 ,.18、椭圆32x22y=1 与椭圆22x32y=(0)有 (A)相等的焦距 (B)相同的离心率 (C)相同的准线 (D)以上都不对 19、椭圆192522yx与125922yx（0k9）的关系为 (A)相等的焦距 (B)相同的的焦点 (C)相同的准线 (D)有相等的长轴、短轴 20、椭圆12622yx上一点 P 到左准线的距离为 2，则点 P 到右准线的距离为 21、点P为椭圆1162522yx上的动点,21,FF为椭圆的左、右焦点,则21PFPF 的最小值为_,此时点P的坐标为_.