【强烈推荐】八年级数学三角形辅助线大全(精简、全面)(完整版)资料.doc

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1、【强烈推荐】八年级数学三角形辅助线大全(精简、全面)（完整版）资料(可以直接使用，可编辑 优秀版资料，欢迎下载）三角形作辅助性方法大全1.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.例：已知D为ABC内任一点，求证：BDCBAC证法（一）：延长BD交AC于E，BDC是EDC 的外角，BDCDEC同理：DECBACBDCBAC证法（二）：连结AD，并延长交BC于FBDF是ABD的外角，BDFBAD同理CDFCADBDFCDFBADCAD即：BDCB

2、AC2.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形. 例：已知，如图，AD为ABC的中线且1 = 2，3 = 4，求证：BECFEF证明：在DA上截取DN = DB，连结NE、NF，则DN = DC 在BDE和NDE中，DN = DB1 = 2ED = EDBDENDEBE = NE同理可证：CF = NF在EFN中，ENFNEFBECFEF3. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.例：已知，如图，AD为ABC的中线，且1 = 2，3 = 4，求证：BECFEF证明：延长ED到M，使DM = DE，连结CM、FMBDE和CDM中， BD = CD1 = 5ED

3、 = MDBDECDMCM = BE又1 = 2，3 = 4 123 4 = 180o3 2 = 90o即EDF = 90oFDM = EDF = 90oEDF和MDF中ED = MDFDM = EDFDF = DFEDFMDFEF = MF在CMF中，CFCM MFBECFEF（此题也可加倍FD，证法同上）4. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.例：已知，如图，AD为ABC的中线，求证：ABAC2AD证明：延长AD至E，使DE = AD，连结BEAD为ABC的中线BD = CD在ACD和EBD中BD = CD 1 = 2AD = EDACDEBDABE中有ABBEAEABAC

4、2AD5.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等.这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况之一时用此种方法：abab = cab = cd例：已知，如图，在ABC中，ABAC，1 = 2，P为AD上任一点，求证：ABACPBPC证明：截长法：在AB上截取AN = AC，连结PN在APN和APC中，AN = AC1 = 2AP = APAPNAPCPC = PNBPN中有PBPCBNPBPCABAC补短法：延长AC至M，使AM = AB，连结PM在ABP和AMP中AB = AM 1 = 2AP =

5、 APABPAMPPB = PM又在PCM中有CM PMPCABACPBPC练习：1.已知，在ABC中，B = 60o,AD、CE是ABC的角平分线,并且它们交于点O求证：AC = AECD2.已知，如图，ABCD1 = 2 ,3 = 4. 求证：BC = ABCD 6.证明两条线段相等的步骤：观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等.如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形.例:如图，已知，BE、CD相交于F，B = C，1 = 2，求证：DF = EF 证明：ADF =B3

6、 AEF = C4又3 = 4B = CADF = AEF在ADF和AEF中ADF = AEF1 = 2 AF = AFADFAEFDF = EF7.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等.例：已知，如图RtABC中，AB = AC，BAC = 90o，过A作任一条直线AN，作BDAN于D，CEAN于E，求证：DE = BDCE证明：BAC = 90o, BDAN12 = 90o 13 = 90o2 = 3BDAN CEANBDA =AEC = 90o在ABD和CAE中，BDA =AEC2 = 3AB = ACABDCAEBD = AE且AD = CEAEA

7、D = BDCEDE = BDCE8.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等.例：AD为ABC的中线，且CFAD于F，BEAD的延长线于E求证：BE = CF 证明：（略）9.条件不足时延长已知边构造三角形.例：已知AC = BD，ADAC于A，BCBD于B求证：AD = BC证明：分别延长DA、CB交于点EADAC BCBDCAE = DBE = 90o在DBE和CAE中DBE =CAEBD = ACE =EDBECAEED = EC，EB = EAEDEA = EC EBAD = BC10.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题.例：已知，如图，ABCD，ADB

8、C 求证：AB = CD 证明：连结AC（或BD）ABCD，ADBC1 = 2 在ABC和CDA中，1 = 2 AC = CA3 = 4 ABCCDAAB = CD练习：已知，如图，AB = DC，AD = BC，DE = BF，求证：BE = DF11.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“角分垂等腰归”.例：已知，如图，在RtABC中，AB = AC，BAC = 90o，1 = 2 ，CEBD的延长线于E求证：BD = 2CE证明：分别延长BA、CE交于FBECFBEF =BEC = 90o在BEF和BEC中1 = 2 BE = BEBEF =BECBEFBECCE =

9、FE =CFBAC = 90o , BECFBAC = CAF = 90o 1BDA = 90o1BFC = 90oBDA = BFC在ABD和ACF中BAC = CAFBDA = BFCAB = ACABDACFBD = CFBD = 2CE练习：已知，如图，ACB = 3B，1 =2,CDAD于D，求证：ABAC = 2CD12.当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形.例：已知，如图，AC、BD相交于O，且AB = DC，AC = BD，求证：A = D证明：（连结BC，过程略）13.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件.例：已知，如

10、图，AB = DC，A = D 求证：ABC = DCB 证明：分别取AD、BC中点N、M，连结NB、NM、NC（过程略）14.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题.例：已知，如图，1 = 2 ，P为BN上一点，且PDBC于D，ABBC = 2BD，求证：BAPBCP = 180o证明：过P作PEBA于EPDBC，1 = 2 PE = PD在RtBPE和RtBPD中BP = BPPE = PDRtBPERtBPDBE = BDABBC = 2BD，BC = CDBD，AB = BEAEAE = CDPEBE，PDBCPEB =PDC = 90o

11、在PEA和PDC中PE = PDPEB =PDCAE =CDPEAPDCPCB = EAPBAPEAP = 180oBAPBCP = 180o练习：1.已知，如图，PA、PC分别是ABC外角MAC与NCA的平分线，它们交于P，PDBM于M，PFBN于F，求证：BP为MBN的平分线2. 已知，如图，在ABC中，ABC =100o，ACB = 20o，CE是ACB的平分线，D是AC上一点，若CBD = 20o，求CED的度数。15.有等腰三角形时常用的辅助线作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB = AC，BDAC于D，求证：BAC = 2DBC证明：（方法一）作BAC的平分线AE

12、，交BC于E，则1 = 2 = BAC又AB = ACAEBC2ACB = 90oBDACDBCACB = 90o2 = DBCBAC = 2DBC（方法二）过A作AEBC于E（过程略）（方法三）取BC中点E，连结AE（过程略）有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，ABC中，AB = AC，D为BC中点，DEAB于E，DFAC于F，求证：DE = DF证明：连结AD.D为BC中点，BD = CD又AB =ACAD平分BACDEAB，DFACDE = DF将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图，ABC中，AB = AC，在BA延长线和AC上各取一点E、F，使AE = AF，求证：EF

13、BC证明：延长BE到N，使AN = AB,连结CN,则AB = AN = ACB = ACB, ACN = ANCBACBACNANC = 180o2BCA2ACN = 180oBCAACN = 90o即BCN = 90oNCBCAE = AFAEF = AFE又BAC = AEF AFEBAC = ACN ANCBAC =2AEF = 2ANCAEF = ANCEFNCEFBC常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，连结DE交BC于F求证：DF = EF证明：（证法一）过D作DNAE，交BC于N，则DN

14、B = ACB，NDE = E，AB = AC，B = ACBB =DNBBD = DN又BD = CE DN = EC在DNF和ECF中1 = 2NDF =EDN = EC DNFECFDF = EF（证法二）过E作EMAB交BC延长线于M,则EMB =B（过程略）常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图，ABC中，AB =AC，E在AC上，D在BA延长线上，且AD = AE，连结DE求证：DEBC证明：（证法一）过点E作EFBC交AB于F，则AFE =BAEF =CAB = ACB =CAFE =AEFAD = AEAED =ADE又AFEAEFAEDADE = 180o2AEF2

15、AED = 90o 即FED = 90o DEFE又EFBCDEBC（证法二）过点D作DNBC交CA的延长线于N，（过程略）（证法三）过点A作AMBC交DE于M，（过程略）常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形-等边三角形例：已知，如图，ABC中，AB = AC，BAC = 80o ,P为形内一点，若PBC = 10o PCB = 30o 求PAB的度数.解法一：以AB为一边作等边三角形，连结CE则BAE =ABE = 60oAE = AB = BEAB = ACAE = AC ABC =ACBAEC =ACEEAC =BACBAE = 80o 60o = 20oACE = (180oEAC)=

16、 80oACB= (180oBAC)= 50oBCE =ACEACB = 80o50o = 30oPCB = 30oPCB = BCEABC =ACB = 50o, ABE = 60oEBC =ABEABC = 60o50o =10oPBC = 10oPBC = EBC在PBC和EBC中PBC = EBCBC = BCPCB = BCEPBCEBCBP = BEAB = BEAB = BPBAP =BPAABP =ABCPBC = 50o10o = 40oPAB = (180oABP)= 70o解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。解法三：以BC为一边作等边三角形BCE，连结AE,则EB

17、 = EC = BC，BEC =EBC = 60oEB = ECE在BC的中垂线上同理A在BC的中垂线上EA所在的直线是BC的中垂线EABCAEB = BEC = 30o =PCB由解法一知：ABC = 50oABE = EBCABC = 10o =PBCABE =PBC,BE = BC,AEB =PCBABEPBCAB = BPBAP =BPAABP =ABCPBC = 50o10o = 40oPAB = (180oABP) = (180o40o)= 70o16.有二倍角时常用的辅助线构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角例：已知，如图，在ABC中，1 = 2，ABC = 2C，求证

18、：ABBD = AC证明：延长AB到E，使BE = BD，连结DE则BED = BDEABD =EBDEABC =2EABC = 2CE = C 在AED和ACD中E = C1 = 2AD = ADAEDACDAC = AEAE = ABBEAC = ABBE即ABBD = AC平分二倍角例：已知，如图，在ABC中，BDAC于D，BAC = 2DBC求证：ABC = ACB证明：作BAC的平分线AE交BC于E，则BAE = CAE = DBCBDACCBD C = 90oCAEC= 90o AEC= 180oCAEC= 90oAEBCABCBAE = 90oCAEC= 90oBAE = CAE

19、ABC = ACB加倍小角例：已知，如图，在ABC中，BDAC于D，BAC = 2DBC求证：ABC = ACB证明：作FBD =DBC,BF交AC于F（过程略）17.有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来.例：已知，如图，ABC中，AB = AC，BAC = 120o，EF为AB的垂直平分线，EF交BC于F，交AB于E求证：BF =FC证明：连结AF，则AF = BFB =FABAB = ACB =CBAC = 120oB =CBAC =(180oBAC) = 30oFAB = 30oFAC =BACFAB = 120o30o =90o又C = 30oAF = FCBF =F

20、C练习：已知，如图，在ABC中，CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DMAB于M，DNAC延长线于N求证：BM = CN18. 有垂直时常构造垂直平分线.例：已知，如图，在ABC中，B =2C，ADBC于D求证：CD = ABBD证明：（一）在CD上截取DE = DB，连结AE，则AB = AEB =AEBB = 2CAEB = 2C又AEB = CEACC =EACAE = CE又CD = DECECD = BDAB（二） 延长CB到F，使DF = DC，连结AF则AF =AC（过程略）（三）19.有中点时常构造垂直平分线.例：已知，如图，在ABC中，BC = 2AB, ABC

21、 = 2C,BD = CD求证：ABC为直角三角形证明：过D作DEBC，交AC于E，连结BE，则BE = CE，C =EBCABC = 2CABE =EBCBC = 2AB，BD = CDBD = AB在ABE和DBE中AB = BDABE =EBCBE = BEABEDBEBAE = BDEBDE = 90oBAE = 90o即ABC为直角三角形20.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题.例：已知，如图，在ABC中，A = 90o，DE为BC的垂直平分线求证：BE2AE2 = AC2证明：连结CE，则BE = CEA = 90o AE2AC2 = EC2AE2AC2=

22、 BE2BE2AE2 = AC2练习：已知，如图，在ABC中，BAC = 90o，AB = AC，P为BC上一点求证：PB2PC2= 2PA221.条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中.例：已知，如图，在ABC中，B = 45o，C = 30o，AB =，求AC的长. 解：过A作ADBC于DBBAD = 90o，B = 45o，B = BAD = 45o，AD = BDAB2 = AD2BD2，AB =AD = 1C = 30o，ADBCAC = 2AD = 2相似三角形添加辅助线的方法举例例1： 已知：如图，ABC中，ABAC，BDAC于D求证： BC22CDAC例2已知梯形中，

23、是腰上的一点，连结（1）如果，求的度数；（2）设和四边形的面积分别为和，且，试求的值例3如图4-1，已知平行四边ABCD中，E是AB的中点，连E、F交AC于G求AG：AC的值例4、如图45，B为AC的中点，E为BD的中点，则AF：AE=_.例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，E为AB延长线上一点，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的长例6、已知在ABC中，AD是BAC的平分线求证：相似三角形添加辅助线的方法举例答案例1： 已知：如图，ABC中，ABAC，BDAC于D求证： BC22CDAC分析：欲证 BC22CDAC，只需证但因为结论中有“

24、2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似由“2”所放的位置不同，证法也不同 证法一（构造2CD）：如图，在AC截取DEDC，BDAC于D，BD是线段CE的垂直平分线，BC=BE，C=BEC，又 ABAC，C=ABC BCEACB， BC22CDAC证法二（构造2AC）：如图，在CA的延长线上截取AEAC，连结BE， ABAC， ABAC=AEEBC=90，又BDACEBC=BDC=EDB=90，E=DBC，EBCBDC即BC22CDAC证法三（构造） ：如图，取BC的中点E，连结AE

25、，则EC=又AB=AC，AEBC，ACE=CAEC=BDC=90ACEBCD即BC22CDAC证法四（构造）：如图，取BC中点E，连结DE，则CE= BDAC，BE=EC=EB，EDC=C又AB=AC，ABC=C，ABCEDCJ即BC22CDAC 说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧在解题中方法要灵活，思路要开阔例2已知梯形中，是腰上的一点，连结（1）如果，求的度数；（2）设和四边形的面积分别为和，且，试求的值（1）设，则解法1如图，延长、交于点， ，为的中点又 ，又 为等边三角形 故解法2如图作分别交、于点、则，得平行四边形同解法1可证得为等边三角形故解法3如图作交于，交的

26、延长线于作，分别交、于点、则，得矩形 ，又 ，故为、的中点以下同解法1可得是等边三角形故解法4如图，作，交于，作，交于，得平行四边形，且读者可自行证得是等边三角形，故解法5如图延长、交于点，作，分别交、于点、，得平行四边形可证得为的中点，则，故得为等边三角形，故解法6如图（补形法），读者可自行证明是等边三角形，得（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等）（2）设，则解法1（补形法）如图补成平行四边形，连结，则设，则，由得， ， 解法2（补形法）如图，延长、交于点，又设，则，解法3（补形法）如图连结，作交延长线于点连结则，故（1），故（2）由（1）、（2）两式得即解法4（割补法）

27、如图连结与的中点并延长交延长线于点，如图，过、分别作高、，则且，又，故说明 本题综合考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是作辅助线，构造相似三角形. 例3如图4-1，已知平行四边ABCD中，E是AB的中点，连E、F交AC于G求AG：AC的值解法1： 延长FE交CB的延长线于H， 四边形ABCD是平行四边形， ， H=AFE，DAB=HBE又AE=EB， AEFBEH，即AF=BH， ， ，即 ADCH，AGF=CGH，AFG=BHE， AFGCGH AG：GC=AF：CH， AG：GC=1：4， AG：AC=1：5解法2： 如图42，延长EF与CD的延长线交于M，由平行四边

28、形ABCD可知，即ABMC， AF：FD=AE：MD，AG：GC=AE：MC ， AF：FD=1：2， AE：MD=1：2 AE：MC=1：4，即AG：GC=1：4， AG：AC=1：5例4、如图45，B为AC的中点，E为BD的中点，则AF：AE=_.解析：取CF的中点G，连接BG B为AC的中点， BG：AF=1：2，且BGAF，又E为BD的中点， F为DG的中点 EF：BG=1：2故EF：AF=1：4， AF：AE=4：3例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，E为AB延长线上一点，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的长解法1： 过O点作O

29、MCB交AB于M， O是AC中点，OMCB， M是AB的中点，即， OM是ABC的中位线，且OMBC，EFB=EOM，EBF=EMO BEFMOE，即，.解法2： 如图4-8，延长EO与AD交于点G，则可得AOGCOF， AG=FC=b-BF， BFAG，即， .解法3： 延长EO与CD的延长线相交于N，则BEF与CNF的对应边成比例，即解得.例6、已知在ABC中，AD是BAC的平分线求证：分析1 比例线段常由平行线而产生，因而研究比例线段问题，常应注意平行线的作用，在没有平行线时，可以添加平行线而促成比例线段的产生此题中AD为ABC内角A的平分线，这里不存在平行线，于是可考虑过定点作某定直线

30、的平行线，添加了这样的辅助线后，就可以利用平行关系找出相应的比例线段，再比较所证的比例式与这个比例式的关系，去探求问题的解决证法1： 如图49，过C点作CEAD，交BA的延长线于E在BCE中， DACE， 又 CEAD， 1=3，2=4，且AD平分BAC， 1=2，于是3=4， AC=AE代入式得分析2 由于BD、CD是点D分BC而得，故可过分点D作平行线证法2： 如图410，过D作DEAC交AB于E，则2=3 1=2， 1=3于是EA=ED又， ， .分析3 欲证式子左边为AB：AC，而AB、AC不在同一直线上，又不平行，故考虑将AB转移到与AC平行的位置证法3： 如图411，过B作BEAC

31、，交AD的延长线于E，则2=E 1=2， 1=E，AB=BE又， .分析4 由于AD是BAC的平分线，故可过D分别作AB、AC的平行线，构造相似三角形求证证法4 如图412，过D点作DEAC交AB于E，DFAB交AC于F易证四边形AEDF是菱形则 DE=DF由BDEDFC，得又 ， .全等三角形中做辅助线技巧要点大汇总口诀：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中

32、线，延长中线等中线。一、 由角平分线想到的辅助线 口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线（一）、截取构全等如图1-1，AOC=BOC，如取OE=OF，并连

33、接DE、DF，则有OEDOFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。例1 如图1-2，AB/CD，BE平分BCD，CE平分BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。例2 已知：如图1-3，AB=2AC，BAD=CAD，DA=DB，求证DCAC例3 已知：如图1-4，在ABC中，C=2B,AD平分BAC，求证：AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？练习1 已知在ABC中，AD平分BAC，B=2C，求证：AB+BD=AC2 已知：

34、在ABC中，CAB=2B，AE平分CAB交BC于E，AB=2AC，求证：AE=2CE3 已知：在ABC中，ABAC,AD为BAC的平分线，M为AD上任一点。求证：BM-CMAB-AC4 已知：D是ABC的BAC的外角的平分线AD上的任一点，连接DB、DC。求证：BD+CDAB+AC。（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。例1 如图2-1，已知ABAD, BAC=FAC,CD=BC。求证：ADC+B=180分析：可由C向BAD的两边作垂线。近而证ADC与B之和为平角。例2 如图2-2，在ABC中，A=90，AB=A

35、C，ABD=CBD。求证：BC=AB+AD分析：过D作DEBC于E，则AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法。例3 已知如图2-3，ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：BAC的平分线也经过点P。分析：连接AP，证AP平分BAC即可，也就是证P到AB、AC的距离相等。练习：1如图2-4AOP=BOP=15，PC/OA，PDOA， 如果PC=4，则PD=（ ） A 4 B 3 C 2 D 12已知在ABC中，C=90，AD平分3已知：如图2-5, BAC=CAD,ABAD，CEAB，AE=（AB+AD）.求证：D+B=180

36、。4.已知：如图2-6,在正方形ABCD中，E为CD 的中点，F为BC 上的点，FAE=DAE。求证：AF=AD+CF。5 已知：如图2-7，在RtABC中，ACB=90,CDAB，垂足为D，AE平分CAB交CD于F，过F作FH/AB交BC于H。求证CF=BH。（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。例1 已知：如图3-1，BAD=DAC，ABAC,C

37、DAD于D，H是BC中点。求证：DH=（AB-AC）分析：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。例2 已知：如图3-2，AB=AC，BAC=90，AD为ABC的平分线，CEBE.求证：BD=2CE。例3已知：如图3-3在ABC中，AD、AE分别BAC的内、外角平分线，过顶点B作BFAD，交AD的延长线于F，连结FC并延长交AE于M。求证：AM=ME。分析：由AD、AE是BAC内外角平分线，可得EAAF，从而有BF/AE，所以想到利用比例线段证相等。例4 已知：如图3-4，在ABC中，AD平分BAC，AD=AB，CMAD交AD延长线于M。求证：AM=（AB+AC）分析：题设中给出了角

38、平分线AD，自然想到以AD为轴作对称变换，作ABD关于AD的对称AED，然后只需证DM=EC，另外由求证的结果AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可尝试作ACM关于CM的对称FCM，然后只需证DF=CF即可。练习：1 已知：在ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中点，AE是BAC的平分线，且CEAE于E，连接DE，求DE。2 已知BE、BF分别是ABC的ABC的内角与外角的平分线，AFBF于F，AEBE于E，连接EF分别交AB、AC于M、N，求证MN=BC（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。12ACDB例4 如图，ABAC, 1=2，求证：ABACBDCD。例5 如图，BCBA，BD平分ABC，且AD=CD，求证：A+C=180。BDC