【强烈推荐】八年级-数学三角形辅助线大全(精简、全面~).doc

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1、|三角形作辅助性方法大全1.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.例：已知 D 为ABC 内任一点，求证：BDCBAC证法（一）：延长 BD 交 AC 于 E，BDC 是EDC 的外角，BDCDEC同理：DECBACBDCBAC证法（二）：连结 AD，并延长交 BC 于 FBDF 是 ABD 的外角，BDF BAD同理CDF CADBDF CDFBAD CAD即：BDCBAC2.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.例：已知

2、，如图，AD 为ABC 的中线且1 = 2 ，3 = 4，求证：BECFEF证明：在 DA 上截取 DN = DB，连结 NE、NF，则 DN = DC在BDE 和NDE 中，DN = DB1 = 2ED = EDBDENDEBE = NE同理可证：CF = NF在EFN 中，ENFNEFBECF EF3. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为ABC 的中线，且1 = 2， 3 = 4，求证：BECFEF证明：延长 ED 到 M，使 DM = DE，连结 CM、FMBDE 和CDM 中，BD = CD1 = 5ED = MDBDECDMCM =

3、BEFAB CDEDCBA4321NFED CBA|又1 = 2，3 = 4123 4 = 180 o3 2 = 90 o即EDF = 90 oFDM = EDF = 90oEDF 和MDF 中ED = MDFDM = EDFDF = DFEDFMDFEF = MF在CMF 中，CFCM MFBECF EF（此题也可加倍 FD，证法同上）4. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为ABC 的中线，求证：ABAC2AD证明：延长 AD 至 E，使 DE = AD，连结 BEAD 为ABC 的中线BD = CD在ACD 和EBD 中BD = CD 1 = 2AD

4、 = EDACDEBDABE 中有 ABBEAEABAC 2AD5.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等.这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段 a、b、c、d 有下列情况之一时用此种方法：abab = cab = cd例：已知，如图，在ABC 中，ABAC，1 = 2，P 为 AD 上任一点，求证：ABACPBPC证明：截长法：在 AB 上截取 AN = AC，连结 PN在APN 和 APC 中，AN = AC1 = 2AP = APAPN APCMAB CDE F1 2 3451 2ED CBAP1 2ND C

5、BA|PC = PNBPN 中有 PBPCBNPB PCABAC补短法：延长 AC 至 M，使 AM = AB，连结 PM在ABP 和 AMP 中AB = AM 1 = 2AP = APABP AMPPB = PM又在PCM 中有 CM PM PCABAC PBPC练习：1.已知，在ABC 中，B = 60 o,AD、CE 是ABC 的角平分线,并且它们交于点 O求证：AC = AECD2.已知，如图，ABCD1 = 2 ,3 = 4. 求证：BC = ABCD 6.证明两条线段相等的步骤：观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和

6、它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等.如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形.例:如图，已知，BE、CD 相交于 F，B = C，1 = 2，求证：DF = EF证明：ADF = B3 AEF = C 4又3 = 4B = CADF = AEF在ADF 和 AEF 中ADF = AEF1 = 2 AF = AFADF AEFDF = EF7.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等.例：已知，如图 RtABC 中，AB = AC，BAC = 90o，过 A 作任一条直线 AN，作BDAN 于 D，CE AN 于 E，求证：DE = BDCE

7、证明：BAC = 90o, BD AN12 = 90 o 13 = 90 o2 = 3BDAN CEANBDA =AEC = 90 oAB CD21PM43 21FEDCBA4321E DCBA|在ABD 和CAE 中，BDA =AEC2 = 3AB = ACABDCAEBD = AE 且 AD = CEAEAD = BDCEDE = BD CE8.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等.例：AD 为ABC 的中线，且 CFAD 于 F，BEAD 的延长线于 E求证：BE = CF证明：（略）9.条件不足时延长已知边构造三角形.例：已知 AC = BD，ADAC 于 A，BCBD

8、于 B求证：AD = BC证明：分别延长 DA、CB 交于点 EADAC BCBDCAE = DBE = 90o在DBE 和CAE 中DBE =CAEBD = ACE = EDBECAEED = EC，EB = EAEDEA = EC EBAD = BC10.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题.例：已知，如图，ABCD，ADBC求证：AB = CD证明：连结 AC（或 BD）ABCD ，ADBC1 = 2 在ABC 和CDA 中，1 = 2 AC = CA3 = 4 ABCCDA321NEDCBA21D CBAFEOED CBA4321DCBAEFD CBA|AB = CD

9、练习：已知，如图，AB = DC，AD = BC，DE = BF，求证：BE = DF11.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“角分垂等腰归”.例：已知，如图，在 RtABC 中，AB = AC，BAC = 90o，1 = 2 ，CE BD 的延长线于 E求证：BD = 2CE证明：分别延长 BA、CE 交于 FBECFBEF =BEC = 90o在BEF 和BEC 中1 = 2 BE = BEBEF =BECBEFBECCE = FE = CF2BAC = 90 o , BECFBAC = CAF = 90 o 1BDA = 90o1BFC = 90 oBDA = BFC

10、在ABD 和ACF 中BAC = CAFBDA = BFCAB = ACABDACFBD = CFBD = 2CE练习：已知，如图，ACB = 3B，1 =2,CDAD 于 D，求证：ABAC = 2CD12.当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形.例：已知，如图，AC、BD 相交于 O，且 AB = DC，AC = BD，求证：A = D证明：（连结 BC，过程略）21EFDCBAOABDC21D CBA|13.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件.例：已知，如图，AB = DC，A = D求证：ABC = DCB证明：分别取 AD、B

11、C 中点 N、M，连结 NB、NM、NC （过程略）14.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边 做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题.例：已知，如图，1 = 2 ，P 为 BN 上一点，且 PD BC 于 D，AB BC = 2BD，求证：BAP BCP = 180 o证明：过 P 作 PEBA 于 EPDBC，1 = 2 PE = PD在 Rt BPE 和 RtBPD 中BP = BPPE = PDRtBPERtBPDBE = BDABBC = 2BD，BC = CDBD，AB = BEAEAE = CDPEBE，PD BCPEB =PDC = 90 o在PEA 和PDC 中P

12、E = PDPEB =PDCAE =CDPEAPDCPCB = EAPBAP EAP = 180 oBAP BCP = 180 o练习：1.已知，如图，PA、PC 分别是ABC 外角MAC 与NCA 的平分线，它们交于P，PDBM 于 M，PFBN 于 F，求证：BP 为MBN 的平分线2. 已知，如图，在ABC 中，ABC =100 o，ACB = 20 o，CE 是ACB 的平分线，D 是 AC 上一点，若CBD = 20 o，求CED 的度数。BA DCFMNPBADCED CBANPEDCBA21|15.有等腰三角形时常用的辅助线作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB

13、= AC，BDAC 于 D，求证：BAC = 2DBC证明：（方法一）作BAC 的平分线 AE，交 BC 于 E，则1 = 2 = BAC1又AB = ACAEBC2ACB = 90oBDACDBCACB = 90 o2 = DBCBAC = 2DBC（方法二）过 A 作 AEBC 于 E（过程略）（方法三）取 BC 中点 E，连结 AE（过程略）有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，ABC 中，AB = AC，D 为 BC 中点，DEAB 于 E，DFAC 于 F，求证：DE = DF证明：连结 AD.D 为 BC 中点，BD = CD又AB =ACAD 平分BACDEAB，DFACDE

14、 = DF将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图，ABC 中，AB = AC，在 BA 延长线和 AC 上各取一点 E、F，使AE = AF，求证： EFBC证明：延长 BE 到 N，使 AN = AB,连结 CN,则 AB = AN = ACB = ACB, ACN = ANCBACBACNANC = 180 o2BCA2ACN = 180oBCAACN = 90 o即BCN = 90 oNCBCAE = AFAEF = AFE又BAC = AEF AFEBAC = ACN ANCBAC =2AEF = 2ANC21EDCBAFED CBANFECBA|AEF = ANCEFNCEF

15、BC常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在ABC 中，AB = AC，D 在 AB 上，E 在 AC 延长线上，且 BD = CE，连结 DE 交 BC 于 F求证：DF = EF证明：（证法一）过 D 作 DNAE ，交 BC 于 N，则DNB = ACB，NDE = E ，AB = AC，B = ACBB =DNBBD = DN又BD = CE DN = EC在DNF 和 ECF 中1 = 2NDF =EDN = EC DNF ECFDF = EF（证法二）过 E 作 EMAB 交 BC 延长线于 M,则EMB =B（过程略）常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如

16、图，ABC 中，AB =AC，E 在 AC 上，D 在 BA 延长线上，且 AD = AE，连结 DE求证：DEBC证明：（证法一）过点 E 作 EFBC 交 AB 于 F， 则AFE =BAEF =CAB = ACB =CAFE =AEFAD = AEAED =ADE又AFEAEFAED ADE = 180o2AEF2AED = 90 o 即FED = 90 o DEFE又EFBCDEBC（证法二）过点 D 作 DNBC 交 CA 的延长线于 N， （过程略）（证法三）过点 A 作 AMBC 交 DE 于 M， （过程略）常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形-等边三角形例：已知，如图，ABC

17、 中，AB = AC，BAC = 80o ,P 为形内一点，若PBC = 21N FEDCBA21MFEDCBANMF EDCBA|10o PCB = 30o 求PAB 的度数.解法一：以 AB 为一边作等边三角形，连结 CE则BAE =ABE = 60oAE = AB = BEAB = ACAE = AC ABC =ACBAEC =ACEEAC =BACBAE= 80o 60 o = 20oACE = (180oEAC)= 80 o12ACB= (180oBAC)= 50 oBCE =ACEACB= 80o50 o = 30oPCB = 30 oPCB = BCEABC =ACB = 50o

18、, ABE = 60 oEBC =ABEABC = 60 o50 o =10oPBC = 10 oPBC = EBC在PBC 和EBC 中PBC = EBCBC = BCPCB = BCEPBCEBCBP = BEAB = BEAB = BPBAP =BPAABP =ABCPBC = 50o10 o = 40oPAB = (180oABP)= 70 o12解法二：以 AC 为一边作等边三角形，证法同一。解法三：以 BC 为一边作等边三角形BCE ，连结 AE,则EB = EC = BC，BEC =EBC = 60 oEB = ECE 在 BC 的中垂线上同理 A 在 BC 的中垂线上EA 所在

19、的直线是 BC 的中垂线EABCAEB = BEC = 30o =PCB12由解法一知：ABC = 50oPECBAPECBA|ABE = EBCABC = 10 o =PBCABE =PBC,BE = BC, AEB =PCBABEPBCAB = BPBAP =BPAABP =ABCPBC = 50o10 o = 40oPAB = (180oABP) = (180o40 o)= 70o121216.有二倍角时常用的辅助线构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角例：已知，如图，在ABC 中，1 = 2，ABC = 2C ，求证：ABBD = AC证明：延长 AB 到 E，使 BE = B

20、D，连结 DE则BED = BDEABD =EBDEABC =2EABC = 2CE = C 在AED 和 ACD 中E = C1 = 2AD = ADAED ACDAC = AEAE = AB BEAC = ABBE即 ABBD = AC平分二倍角例：已知，如图，在ABC 中，BDAC 于 D，BAC = 2DBC求证：ABC = ACB证明：作BAC 的平分线 AE 交 BC 于 E，则BAE = CAE = DBCBDACCBD C = 90oCAEC= 90 o AEC= 180 oCAEC= 90 oAEBCABCBAE = 90oCAEC= 90 oBAE = CAEABC = ACB加倍小角例：已知，如图，在ABC 中，BDAC 于 D，BAC = 2DBC求证：ABC = ACB21ED CBADE CBA