立体几何基础题题库(360道附详细答案).pdf-得力文库

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1、立体几何基础题题库一(有详细答案)1、二面角a-/-是直二面角，Ae a,B 三 ,设直线48与a、所成的角分别为N 1和N 2,则(A)Zl+Z2=90(B)N l+/2290(C)Nl+N2W90(D)Zl+Z2 Z 2 ZA B O+Z 1 =9 0 ，Z 2 +Z 1 6 C 则,BD=J a+b?,CD=y/c2+b2,BC=yta+C1C8 8是锐角三角形。7.设a、b是两条不同的直线，a、B是两个不同的平面，则下列四个命题（）若 a Lb,a X.a,则b a若则a,尸a _L B、a 1 ,则aa若a _L b,a J_ a,6 _L P,则 a _L其中正确的命题的个数是()

2、A.0个B.1个C.2个D.3个B解析：注意中b可能在a上；中a可能在a上；中b a,或b e a均有a,6,故只有一个正确命题8.如图所示，已知正四棱锥SABCD侧棱长为血，底面边长为百，E 是 SA 的中点，则异面直线B E与 SC所成角的大小为A.90 B.60C.45 D.30B解析：平移SC到 S 3,运用余弦定理可算得8E =S E =S8=J I9.对于平面M 与平面N,有下列条件:M、N 都垂直于平面Q;M、N 都平行于平面Q;M内不共线的三点到N 的距离相等;/,M 内的两条直线,且/M,m/N;/,m 是异面直线，且/M,m/M;/N,m/N,则可判定平面M 与平

4、线/、m 中至少有一条与平面B相交；丙：平面a 与平面6 相交.当甲成立时，A.乙是丙的充分而不必要条件 B.乙是丙的必要而不充分条件C.乙是丙的充分且必要条件 D.乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件解析：当甲成立，即“相交直线/、m 都在平面a 内，并且都不在平面B 内”时，若“/、m 中至少有一条与平面6 相交”，则“平面a 与平面P相交.”成立；若“平面a 与平面B相交”，则“/、m 中至少有一条与平面B相交”也成立.选（C）.13 .已知直线机、及平面其中山，那么在平面a 内到两条直线m、距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）

5、空集.其中正确的是解析：（1）成立，如冽、都在平面内，则其对称轴符合条件；（2）成立，阳、在平面a 的同一侧，且它们到a 的距离相等，则平面a 为所求，（4）成立，当相、”所在的平面与平面a 垂直时，平面a 内不存在到机、距离相等的点14.空间三条直线互相平行，由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（）A.3 B.1 或 2 C.1 或 3 D.2 或 3解析：C 如三棱柱的三个侧面。15.若。、6 为异面直线，直线c 小则 c 与 6 的位置关系是（）A.相交 B.异面 C.平行 D.异面或相交解析：D 如正方体的棱长。16.在正方体AB|C|D|一ABCD中，A C 与 B Q

6、,田;川上小为（）解析：D B Q 在平面A C 上的射影B D 与 A C 垂直，根据三垂线定理可得。17.如图，点 P、Q、R、S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线P Q 与 R S 是异面直线的一个图是（）解析：CA,B 选项中的图形是平行四边形，而 D 选项中可见图:18.如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C 为其上的三个点，则在正方体盒子中,解析：B 如图右图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题:A B 与 C D 所在直线垂直;C D 与 EF所在直线平行A B 与 M N 所在直线成6 0 角;M N 与 EF所在直线异面其中正

7、确命题的序号是()A.B.C.D.解析：DD B闻1 9.线段必 O B,比不共面，Z AO B=Z BO C=Z（7 6 5 4=6 0 ,O A=,O B=2,0 0 3,贝 lJ/比是（）A.钟边三角形 B I I：等边的等腰三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形解析：B.设 AC=x,AB=y,BC=z,由余弦定理知：x=l2+32-3=7,y=l2+22-2=3,z2=22+32-6=7（,.4 6 C 是不等边的等腰三角形，选（8）.TT2 0.若 a,b,，是两两异面的直线，a 与 3 所成的角是工,31 与 a、/与 b 所成的角都是a,则a 的取值范围是()n 5不A.

8、-,6 6n 5万C.一,3 6n 7 iB.3 27 T nD.6 2解析：DTT解当/与异面直线 a,6 所成角的平分线平行或重合时，a 取得最小值一，当/与 a、6 的公垂线平行6TT时，a 取得最大值2,故选（）.22 1.小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为1 m 的竹竿影长0.9 m,但当他马上测树高时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所示.他测得留在地面部分的影子长2.7 m,留在墙壁部分的影高 1.2 m,求树高的高度（太阳光线可看作为平行光线）4.2 米解析：树高为A B,影长为BE,C D 为树留在墙上的影高，JCD =1

9、2=1,CE=L08米，树影长CE 0.9BE=2.7+1.08=3.78 米,树高AB=-BE=4.2 米。0.922.如图，正四面体A-B C D （空间四边形的四条边长及两对角线的长都相等）中，E,F分别是棱AD,BC的中点,产和/C 所成的角的大小是.解析：设各棱长为2,则 EF=血，取 A B 的中点为M,cosNM FE=4 Z.即。=工.2 423.OX,OY,OZ是空间交于同一点O 的互相垂直的三条直线，点 P 到这三条直线的距离分别为3,4,7,则 O P长解析：在长方体。Z8PC中，OX、。八 OZ是相交的三条互相垂直的三条直线。又 PZLOZ,PYA.O

10、Y,P X 1 O X,有 OX2+OZ2=49,0=0=9,OY2+OZ2=16,得以 W+冰3 7,华历.24.设直线告上有6 个点，直线 6 上有9 个点，则这 15个点，能确定个不同的平面.解析：当直线4,b 共面时，可确定一个平面；当直线0,b 异面时，直线。与 6 上 9 个点可确定 9 个不同平面，直线b 与。上 6 个点可确定6 个不同平面，所以一点可以确定15个不同的平面.25.在空间四边形ABCD中，E,F 分别是AB,BC的中点.求证：EF和 A D 为异面直线.解析：假设E F 和 A D在同一平面a 内，（2分），则 A,B,E,Fe a；（4分）又 A,E

11、GAB,；.A B u a,；.B w a,.（6 分）同理 Cwa.（8 分）故 A,B,C,De a,这与 A B C D 是空间四边形矛盾。；.E F 和 A D为异面直线.2 6.在空间四边形A BCD中，E,H分别是AB,A D的中点，F,G分别是C B,CD的中点，若 A C +B D=a,A C -B D =b,求 E G。+FH2.A解析：四边形E F G H 是平行四边形，.（4分）/2 7.如图，在三角形/A BC中，N AC B=9 0。，AC=b,B C=a,P 是/AB C 所在平面外一点，P B 1 AB,点，A B1MC,求异面直MC与 P B间的距离.解析：作

12、M N/AB 交 P B 于点 N.（2 分）；P B，AB,AB M C,AM N 1 M C.（8分）M N 即为异面直线M C 与 P B 的M是 P A 的中（4分）又公垂线段，（1 0 分）其长度就是M C 与 P B 之间的距离，则得 A 1 M N=AB=y/a2+b2.2 22 8.已知长方体A B C D A BCD中,A|A=AB,E、F分别是B D|和 A D中点.（1）求异面直线C D”E F 所成的角；（2）证明E F 是异面直线A D和 BQ的公垂线.（1）解析：在平行四边形B/2G中，E也是/G的中点，（2分）两相交直线DC与 C D,所成的角即异面直线C D,与

13、 E F 所成的角.（牝辽上 _A|A=A B,长方体的侧面Z 3 耳4，CZ）G都是正方形 BZ-,A D i Cl CD!.异面直线CD 1、E F 所成的角为9 0 .（7分）（2）证:设 A B=A A i=a,=SF）A E F 1BD,.（9分）由平行四边形B Z O i G，知 E也是N g 的中点，且点E是长方体A B C D A i Bi CQ i 的对称中心，（12分）；.E A=E D,；.E F _ L A D,又 E F _ L BD ，；.E F 是异面直线 BD 1AD的公垂线.（14 分）29./AB C 是边长为2 的正三角形，在/AB C 所在平一点 P

14、,P B=P C=-,P A=-,延长 BP 至 D,使2 2B D=V 7 ,E是 B C 的中点，求 AE和 C D所成角的大小条直线间的距离.解析:分别连接P E 和 CD,可证P E/CD,（2 分）则/P E AAE和 C D所成角.（4分）在 Rt/P BE 中，面外有和这两即是P B=,BE=1,：.PE=.在/A E P 中，A E=V3 ,2 2cos ZAEP-4 4-12忑巫22/.Z A E P=6 0,即 A E 和 CD 所成角是 6 0.（7 分）VA E 1BC,P E BC,P E/D C,A CD IBC,距离为1.（14 分）CE 为异面直线A E

15、和 C D 的公垂线段,（12分）它们之间的3 0.在正方体A B C D AIBIGDI中，E,F,G,H,M,N 分别是正方体的棱 A B,BC,C G，GA，A 4 的中点，试证：E,F,G,H,M,N 六点共面.解析：.E N/M F,；.E N与 MF共面（2 分）又；E F/M H,；.E F 和 MH 共面力.（4分）1不共线的三点E,F,M确定一个平面，（6分），平面a与重合，.点Hw a。（8 分）同理点G c a.（10分）故 E,F,G,H,M,N 六点共面.31.三个互不重合的平面把空间分成六个部份时:它们的交线有A.1条 B.2 条C.3 条 D.1条

16、或2 条D解析：分类：1）当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，有两条交线；2）当三个平面交于一条直线时，有一条交线，故选D32.两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是（）A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.8 个解析：C 如四棱锥的四个侧面，。：=6 个。3 3.在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、D A上分别取E、F、G、H 四点如果EF与 HG交于点 M,则（）A.M 一定在直线AC上B.M 一定在直线BD上C.M 可能在A C 上，也可能在B D 上D.M 不在AC上，也不在BD上解析：.平面ABCCI平面ACD=AC,先证MG平面ABC,MW平面A C D,从而MWA

17、CA3 4.用一个平面去截正方体。其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是解析：6 条3 5.已知：a c a,b c a,a（b=A,P&b,PQHa.求证：PQ cz a.（12分）本题主要考查用平面公理和推论证明共面问题的方法.解析：PQ/a,：.PQ与。确定一个平面仇:.直线a u仇点P e p.p w b,b u a,:,p e a又 a u a ，c与乃重合 PQGa36.已知aABC三边所在直线分别与平面a 交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线。（12分）本题主要考查用平面公理和推论证明共线问题的方法 A解析：；A、B、C 是不在同一直线上的三点/V.,.过A、B、

18、C 有一个平面力/又 C a =P，月 8 U（3 国一五二二2 一/.,.点尸既在月内又在a 内，设a C 夕=/,则/.同理可证：。e。R /，P,Q,R三点共线.37.已知：平面a c 平面夕=a/u a/c a =4。u 夕且c a,求证：b、c 是异面直线解析：反证法：若 b 与 c 不是异面直线，则 bc 或 b 与 c 相交若6 c 4 c,:.ab这与a c b =4 矛盾（2）若b,c相交于民则6 e 0、又a cb =A,:.A e。AB u p,B|Jb b.求 A G 与 B D所成的角的余弦.解一：连 A C,设 ACAB D=O,则 0 为 A C 中点，取 C C

19、的中点F,连 O F,贝 OF A C 1 且 OF=，A C1,2所以NF O B即为A C 1 与 D B所成的角。在A F O B中，O B=L j q 2+从，0 F=lA/2+b2+c2,2 2B E=2+卜 2,由余弦定理得BA(a2+b2)+-(a2+b2+c2)-(b2+-c2)2,2,4 4 4 a -bcos Z O B=-=i2-a2+b2 a2+b2+c2 a2+b2)(a2+b2+c2)解二：取 A C 中点Oi,B i B 中点G.在ACQi G 中，NC Q G即 A C 1 与 D B所成的角。解三：.延长CD到 E,使 ED=DC.则 AB DE为平行四边形

20、.AEB D,所以/E A G 即为A C 与 B D所成的角.连E G,在AEC1中，A E=J a、+6、,ACl=-/t/2+b2+c2,Cl E=7 4 t/2+c 由余弦定理，得cos Z EACi=(a2+b2)+(a2+b2+c2)-(4 a2+c2)2-V a2+b-y/a2+b2+c2b2-a2,-27(2+b2)(a2+b2+c2)5 4.已知A O 是平面a的斜线，A 是斜足，O B垂直a,B为垂足，则直线A B是斜线在平面a内的射影，设 A C 是a内的任-条直线,解析：设 A O 与 A B所成角为。,A B与 A C 所成角为。2,角为0,贝 i j 有 cos。=

21、cos。1-cos%。在三棱锥 SA B C 中，Z S A B=Z S A C=A O 与A C 所成Z ACB=9 0,A C =2,BC=后,SB=回,求异面直线S C 与 A B所成角的大小。（略去了该题的1,2 问）由 SAJ _ 平面A BC 知，A C 为 S C 在平面A BC 内的射影,设异面直线S C 与 A B所成角为。,则 cos 0=cos Z.SCA-cos Z B A C ,由 A C =2,BC=5S B =得A B =4l 7,SA=2 43,SC=2cos Z.SCA=22cos NBA C=-,717cos0=7,即异面直线SC与AB所成角为a rc c

22、o s H。17 175 5.已知平行六面体/B C D-4 8 c A 的底面ABCD是菱形，且N C gB=C D =/BCD =6 0 ,证明 CC1D.（略去了该题的2,3 问）解析：设3 在平面ABCD内射影为H,则CH为C,C在平面ABCD射影，内的cosNGCD=c o sN C C cos ZD CH,/.cos ZC C5=cos NGCH-cos ZB CH,由题意 NCCD=NGCB,：.cosNDCH=cosNBCH.又:N D C H/B C H 7 0 g：.ZDCH=NBCH,从而CH为NDCB的平分线，又四边形ABCD是菱形，CHLBD：.G C 与BD所成角为

23、90。，即CCBD56.在正四面体ABCD中，E,F 分别为BC,AD的中点,求异面直线A E与CF所成角的大小。解析：连接BF、E F,易证ADJ_平面BFC,EF为AE在平面BFC内的射影，设AE与CF所成角为0,/.cos 0=cos Z.AEF-cos Z.CFE,设正四面体的棱长为a,则AE=CF=BF=a2显然EF1BC,EF=a2csE F =叵 =近，cs/AFE=叵 =旦AE 3 CF 32 2/.cos 0=,即 AE 与 CF 所成角为 arccos。3 357.三棱柱 OAB-G%B,平面平面 OAB,卬OB=60。,ZAOB=90。，且 OB=OQ=2 Q =5（

24、略去了该题的1问）求异面直线A.B与所成角的大小,解析：在平面BO】内作BCLOQ于C,连4 C,由平面B O Q B J平面AOB,ZAOB=9 0 知，人0_1平面8。01耳，二 AO1BC,又 AOcOO=O,8（2_1_平面/0 0 1 4,4 c为4 8在平面Z O Q 4内的射影。设/也与NO】所成角为e,4。与io 1所成角为当，则 c o sO u c o s/B Z Q c o s/，由题意易求得BC=,A1C=2,A1B=4 i,/C 2cos/BA】C 尸 fAyB V7在矩形N O Q 4中易求得4 c与/Q所成角%的余弦值:cos。一立2 14/.c

25、os 0=cos ZB A,C-cos d=,12 7即力出与/O 1所成角为arccosy 05 8.已知异面直线a与6所成的角为5 0,P 为空间一定点，则过点P 且与。，力所成的角均是3 0。的直线有且只有（）A、1 条 B、2 条 C、3条 D、4条解析：过空间一点P 作。a,b,/b,则由异面直线所成角的定义知：。与6的交角为5 0,过 P与a ,6,成等角的直线与a,b 亦成等角，设a ,从确定平面a,a ,/交角的平分线为/,则过/且与a垂直的平面（设为口）内的任一直线/与/，6 成等角（证明从略），由上述结论知：/与 a,b 所成角大于或等于/与a ,6 所成角25,这样

26、在0 内/的两侧与。，6成3 0角的直线各有一条，共两条。在a,6 相交的另一个角1 3 0内，同样可以作过1 3 0。角平分线且与a垂直的平面丫，由上述结论知，丫内任一直线与a,6所成角大于或等于6 5,所以丫内没有符合要求的直线，因此过P 与。，6成3 0的直线有且只有2 条，故选（B）5 9.垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（)A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能解析：D6 0.1 卜卜是两条异面直线，直线明、m 2与 1 卜 b 都相交，则 m i、m 2的位置关系是（)A.异面或平行B.相交C.异面D.相交或异血6 1.在正方体A B C D-A B C，。中，与棱A A

27、，异面的直线共有几条（）A.4 B.6C.8 D.1 0解析：A62.在正方体ABCD-A，B，C D，中 12条棱中能组成异面直线的总对数是)A.48 对C.12 对解析:BB.24 对D.6对一次，共有24对.棱 AA，有 4 条与之异面，所以，所有棱能组成4 X 12=48对，但每对都重复计算6 3.正方体人8口 4 旧0中,异面直线0和 8。所成的角的度数是（）A.45B.60C.9O0D.120解析：BZAD,C=60即为异面直线CD，和 B C 所成的角的度数为6064.异面直线a、b,ab,c 与 a 成 3 0 角，则 c 与 b 成角的范围是()iiB.田g 2K ILTT

28、JI T直线c 在位置c2时，它与b 成角的最大值为90,直线c 在 c l 位置时，它与b 成角的最小值是6065.如图，空间四边形ABCD的各边及对角线长都是1,点 M 在边A B上运动、点 Q 在边CD上运动,则 P、Q 的最短距离为（）3%解析：B当 M,N分别为中点时。因为AB,CD 为异面直线，所以M,N 的最短距离就是异面直线AB,CD的距离为最短。连接BN,AN则CDBN,CDAN 且 AN=BN,所以 NM_LAB。同理，连接 CM,MD 可得 MNICDo 所以 MN 为 AB,CDVBN2-BM2=的公垂线。因为AN=BN=2 所以在RTZBMN中，MN=求异面直线的距离

29、通常利用定义来求，它包括两个步骤:先证一条线段同时与两异面直线相交垂直；再利用数量关系求解。在做综合题时往往大家只重视第二步，而忽略第一步。6 6.空间四边形ABCD中，AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点，E F=J 3,则 AD,BC所成的角为D.1200CcosZEMF=12+12-(V3)2 12dd=2解 B 注：考察异面直线所成角的概念，范围及求法，需注意的是，异面直线所成的角不能是钝角，而利用平行关系构造可求解的三角形，可能是钝角三角形，望大家注意。同时求角的大小是先证明再求解这一基本过程。6 7.直线a 是平面a 的斜线，b 在平a 内，已知a 与 b 成 6 0 的角

30、，且 b 与 a 在平a 内的射影成45角时，a 与 a 所成的角是（）A.45 B.60C.90 D.135解 AAea,A在a 内的射影是C,则ACJ_ odFIC,ABb于B,则OB_L平面ABC.OB_LBCOC OBVCOSZAOC=TT COSZAOB=COS60=-T-TOA OAOB OCcosZ BOC=cos45=:.cosZAOC=-cosZAOB cos60 J2cosZBOC cos450 2:.ZAOC=4568.m 和 n 是分别在两个互相垂直的面a、B 内的两条直线，a 与 B 交于1,m 和 n 与 1既不垂直,也不平行，那么m 和 n 的位置关系是A.可能垂

31、直，但不可能平行B.可能平行，但不可能垂直C.可能垂直，也可能平行D.既不可能垂直，也不可能平行解析：这种结构的题目，常常这样处理，先假设某位置关系成立，在此基础上进行推理，若无矛盾,且推理过程可逆，就肯定这个假设；若有矛盾，就否定这个假设。设 m/n,由于m 在 B 外，n 在 B 内，m/B而 Q 过 m 与 6 交于1这与已知矛盾，m 不平行n.设 111，11,在 B 内作直线a 1,a p,/.a a,.m _La.又由于n 和 a 共面且相交（若 a/n 则 n J J,与已知矛盾）/.m B,.m JJ与已知矛盾,.m 和 n 不能垂直.综上所述，应选（D）.6 9.如图，AB

32、CD-ABGDi是正方体，E、F 分别是AD、DD1的中点，则面EFQB和面 BCC 所成二面角的正切值等于C./D.-f?解析：为了作出二面角E-BC C 的平面角，需在一个面内取一点，过该点向另一个面引垂线（这是用三垂线定理作二面角的平面角的关键步骤）。从图形特点看，应当过E（或 F）作面BCG的垂线.解析：过 E 作 E H L B C,垂足为H.过 H 作 HGLBC”垂足为G连 EGVffi ABCDlffi BCCi，而 EH_LBCEG是面BCC,的斜线，HG是斜线EG在面BC3内的射影.VHG1BC,AEGlBCi./.ZEGH是二面角E-BCrC的平面角。S 2在 RtBC

33、Ci 中：s in/G B C=g =不HG在 RtBHG 中：sin/G B C=B R2 1 1-X _ =-；.H G=、行 2 75（设底面边长为1）.而 EH=1,EH在 RtAEHG 中：tgZEGH=的NEGH=arctg 百故二面角E-BG-C爬70.将边长为1的正方形A B C D,沿对角线AC折起，使 BD=2.则三棱锥D-ABC的体积为76一247224aD.72一127612zC.解析：设 AC、BD交于O 点，则 BOLAC且 DOJ_AC,在折起后，这个垂直关系不变，因此NBOD是二面角B-AC-D的平面角.由于DOB中三边长已知，所以可求出NBOD：1 1 6 1

34、cos Z.BOD=-=.2这是问题的一方面，另一方面为了求体积，应求出高，这个高实际上是ADOB中，OB边上的高DE,理由是：ACLOBACLOD幺C1面。配）=面3 c 1面V D E 1 0 B.D E A B C.D_ J,显由 cos/DOB=2,知 sinZDOE=2xsin ZD O E=.DE=2 4应选(B)71.球面上有三个点A、B、C.A和 B,A和 C 间的球面距离等于大圆周长的5.B和 C间的球面距离等于大圆周长的4.如果球的半径是R,那么球心到截面ABC的距离等于A-R B.R C R D.-R2 2 2 3解析：本题考查球面距离的概念及空间想像能力.如图所示，圆

35、 0 是球的大圆，且大圆所在平面与面ABC垂直，其中弦EF是过A、B、C 的小圆的直径，弦心距0 D 就是球心0 到截面ABC的距离，0 E 是球的半径,因此，欲求0 D,需先求出截面圆ABC的半径.下一个图是过A、B、C 的小圆.AB、AC、CB是每两点之间的直线段.它们的长度要分别在AOB、11 密AOC、ACOB中求得（O 是球心）.由于A、B 间球面距离是大圆周长的6,所以/A 0B=6 X2 n=3,K乳同理/A 0 C=3,NB0C=2|AB|=R,|AC|=R,|BC|=圾&.唬ZiABC 中，由于 AB?+AC2=BC2.ZBAC=90,BC是小圆ABC的直径.电-K：.|ED

36、|=2从而 IO D|=2.故应选B.72.如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA_L底面A B C D,该图中，互相垂直的面有A.4 对 B.5 对 C,6 对p答案（D）解析：要找到一个好的工作方法，使得计数时不至于产生遗漏7 3.A B C D 是各条棱长都相等的三棱锥.M是a A B C 的垂心，那么AB 和 D M 所成的角等于解析：9 0 连 C M 交 AB 于 N,连 D N,易知N 是 AB 中点，AB 1 C N,AB 1 D N.7 4.已知P A L 矩形A BCD所在平面，M、N 分别是A B、P C的中点.（1）求证：MN 1CD；(2)若NP D A

37、=4 5 ,求证 M N_L 面 P C D.(1 2 分)解析:取尸。中点、E,又N 为P C 中点,连N E,则NE /CD,N E=；CD.又.A M /CD,A M=-C D,A M/NE,四边形Z A W E 为耳2 =:.M N H AE.PAL 平面/B C D,CD u 面CD L PACD V AD1 CD 1 平面 N D P 尸Z E u平面Z 3?=C Z J.寸土：以备/女 rt j三垂线定理,(2)当NP D 4 =4 5。时，放AP/。为等腰直角三角形则/E PD,又MNI I AE,:.M N X.PD,PDnCD=D：.M N 1 平面P C D7 5.

38、设 P、Q是单位正方体AC i 的面A A Q i D、面 A|B|C|D|的中心。如图：（1）证明：P Q 平面AA|（2）求线段PQ的长。（1 2 分）O D .证法一：取441,/声的中点M N,连结尸 MPH AD,历P=；AD,NQH AR,N Q =L AtDt:.MP/NDHMP=ND四边形PQMVf为平行四边形PQH MN：MN u 面81 B,PQ SALBC8 C u 平面488 J又 AB 1 BC,SA c4B=A,:.BC 1 平面”8BC 1 AE1 SC，平面4HKESC 1 AE又 BCcSC=CAE _ L 平面S B CAE 1 S 3,即E为4在S 8上的

39、射影.用理可证,/是点4在S D上的射影.7 8.在正方体ABCDA|B C|D|,G 为 C G 的中点，0 为底面ABCD的中心。求证：AQ_L平面GBD(14分)解析:4/1 叫AC1BD j8。_1,平面4/。4。u 面4%。=BD L 4。又 4。2 =A,A2+AO2=a2+(芋 a)2 =OG2=0C2+CG2=g )2 +(y=|a24G 2 =4 C j +GG?=(y/2a)2+(y)=a2A,O2+OG2=A,G2A,O1OG 又BDcOG=Q 4。_1,平面G5 O7 9.如图，已知a、b 是两条相互垂直的异面直线，其公垂线段A B的长为定值m,定长为n(nm)的线段P

40、Q 的两个端点分别在a、b 上移动，M、N 分别是AB、PQ 的中点。(1)求证：ABMN：(2)求证：M N的长是定值(14解析:取PB中点H,连结HN,则HN b又 v AB L bAB 1 HN同理48 J.AB 平面 W4B _L 平面MW/AB V MNb l AB T K；=b _L 平面尸/B b 1 PB.b V a J在RfAPBQi I),BQ2=PQ2-PB2=n2-Pfi2-(1)在R/A P 中,P T =PB-AB?=PB2-W2-(2)，两式相加P T +BQ2=n2-m2：a 1 b,:.ZMHN=90MN=yjMH-+NH-=J+(磐f =g j 2-加2(定

41、值)80.已知：平面a 与平面广相交于直线。，直线与a、夕都平行，求证：b/a.证明：在a上取点P,b和P确定平面/设/与a交于，y与0交于a”/b a n b：.b a 旦 b a：.与重合，而 u a,a u p,实际上是a、a”、。三线重合，a/b.81.有三个儿何事实(a,b表示直线，a表示平面)，a/b,。a ,ba.其中，a,b在面a外.用其中两个事实作为条件，另个事实作为结论，可以构造儿个命题？请用文字语言叙述这些命题，并判断真伪.正确的给出证明，错误的举出反例.解析：I:a/ba/a =b/ab在a外II：a/bb/a =a/aQ在二外I、n是同一个命题：两条平行直线都在一

42、个平面外，若其中一条与平面平行，则另一条也与该平面平行.证明：过a作平面夕与a交于丁 a/a,a/a而。b.，6 且6在。外，o 在a内，b/a.Ill：a/a、b/a /命题：平行于同一个平面的两条直线平行，/b/这是错的，如右图/-/8 2.两个平面同时垂直于一条直线，则两个平面平行.已知：a、是两个平面，直线/_La,/!尸，垂足分别为/、B.求证：a 夕思路1：根据判定定理证.证法1:过/作平面了,aC y=AC,/3C 尸BD,过/作平面3,aS=AE,/3Cb=BF,lA.a=l.LAClIQ nlL B Dq A CBD=AC 仇K AC、8。共面同理4 E夕，ACC

43、AE,AC,A E u a,故a 夕.思路2：根据面面平行的定义，用反证法.证法2：设a、尸有公共点尸则/与确定平面?，J l a Ay=AP,/3 Cy=BP.Ia=IA.AP/J_n/_L8P/、AP,8尸共面，于是在同一平面内过一点有两条直线/P、8P都与/垂直，这是不可能的.故a、厂不能有公共点，a/p.8 3.已知：a、b是异面直线，a u平面ar,b u平面力，a/p,b/a.求证：a/p./-7证法1：在a上任取点P,/p I*七7显然PG b._于是b和点尸确定平面且7与a有公共点Pa D 尸b 且6和a交于P,：b/a,：.b/b：.b /p而 a l l B这样a内相交

44、直线。和6,都平行于4a/).证法2：设是心/）的公垂线段,过工8和6作平面7,/n =b,过N8和a作平面S,8 n p=a.a/P a/ab/a=b/b.A B laA B la,ABA.b=ABLb于是 48_La 且/8_L,；.a/p.84.已知人6、c是三条不重合的直线,ac,b/c=a/b-,a/r,b/r=a/b-,a/c,c=a ；a r,；=a /；ac,a c n a a；a/r,a/=a/a.其中正确的命题是(A)(C)bB、厂是三个不重合的平面，下面六个命题:)(B)(D)解析：由公理4 平行于同条直线的两条直线互相平行”可知命题正确；若两条不重合的直线同平

45、行于一个平面，它们可能平行，也可能异面还可能相交，因此命题错误；平行于同一条直线的两个不重合的平面可能平行，也可能相交，命题错误；平行于同一平面的两个不重合的平面一定平行，命题正确；若一条直线和一个平面分别平行于同条直线或同个平面，那么这条直线与这个平面或平行，或直线在该平面内，因此命题、都是错的，答案选A.85.已知直三棱柱48C一小81G中，AC=BC,M、N分别是小8”N8的中点，尸点在线段&C上，则NP与平面的位置关系是（）A 八(A)垂直(B)平行(C)相交但不垂直(D)要依P点的位置而定解析：由题设知B M AN 且 B M=AN,四边形是平行四边

46、形，&B、N AM,8|N 4 M C i 平面.又 C M U C N、得 C N 平面 ZMG，则平面 S NC/A/G，N P u 平面 BiN C,：.N P 平面 Z A/G.答案选B.8 6.已知：正方体4884 8 i G Z)i 棱长为a.(1)求证:平面小8。平面8QC；(2)求平面和平面 8QC的距离.证明：(1)在正方体Z 8 C D/由 CQi中,/8 5 平行且等于。1，四边形BBQQ是平行四边形，:.BD B、D,：.8。平面 B Q i C.同理小8 平面BiDiC,又&B C B D=B,平面小平面 80C解：(2)连 NG交平面小8。于

47、交平面 8QC于 N./C是 ZG在平面/C上的射影，又ACL BD,图0 8?.AC L BD,同理可证，AC X.AxB,：./。1，平面小8D,即 M V_ L平面小B。，同理可证MV L 平面B QCMN的长是平面小8。到平面B Q 1。的距离，设 N C、B D 交于E,则平面小8。与平面小C交于直线小E.A/C 平面小8。，A/GNGu平面小C,M&AiE.同理N G C F.在矩形44CC中，见图9 2 1(2),由平面几何知识得MN=A G，MN u3评述：当空间图形较为复杂时，可以分解图形，把其中的平面图形折出分析，利于清楚地观察出平面上各种线面的位置关系.证明面面平行，

48、主要是在其中一个平面内找出两条与另一个平面平行的相交直线，或者使用反证法.8 7.已知正三棱柱/8 C 4 81G，底面边长为8,对角线8 C=1 0,。为ZC的中点.(1)求证/批平面GB D；求直线倜到平面C BD的距离./证明：(1)设&c n 8 G=o.连。O,则。是 8 1 c 的中点.在 4 C S 中，。是 NC中点，。是 2 1 c 中点.DO/AB,H B又。Ou平面 G8。，平面 G 8 D,，平面 G8D解：(2)由于三棱柱/8 C 小8 1 c l 是正三棱柱，。是 ZC中点，B D A.AC,且 8 D _ L C G，平面/G，平面C|B O J_ 平面NG，CQ

49、是交线.在平面/G内作垂足是，平面 G BD,又N S 平面C i B D,故Z”的长是直线/已到平面GB D的距离.由 8 c=8,8 1 c=1 0,得 C G=6,在 R t G D C 中，DC=4,C C|=6,s i n AC.D C =,6=2+6 2 V1 3在中，N 4 D H=N C 1 D C：./=Qsin/GOC=.即ABi到平面C iBD的距离是小叵.评述：证明线面平行的关键是在平面内找出与已知直线平行的直线，如本题的。本题的第(2)问，实质上进行了“平移变换”，利用/丛平面C/。，把求直线到平面的距离变换为求点工到平面的距离.8 8.已知：直线a 平面

50、e.求证：经过a和平面。平行的平面有且仅有一个.证：过 a作平面与a交于，在a内作直线6 与相交，在上任取一点P,在/和尸确定的平面内，过尸作b b .b在a外，6 在a内，b/a而 a aa,b 确定的平面夕过a 且平行于a.过 a,6 的平面只有一个,过。平行于平面a 的平面也只有一个89.已知平面 a、0、y、8.其中 7 n b =/,a n y=a,P A y=a,a/a,a n 8=b,P n 8=b,b/b 上述条件能否保证有a?若能，给出证明，若不能给出一个反例，并添加适当的条件，保证有a不足以保证。/.如右图.如果添加条件。与 6 是相交直线，那么a/7./证明如下：Ka

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