立体几何基础题题库-(600道附详细答案~).doc

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1、- - 1 - -立体几何基础题题库（有详细答案）1、二面角 是直二面角， ，设直线 与 所成的角分别为1 和2，则l BA， AB、（A）1+2=90 0 （B）1+ 290 0 （C）1+290 0 （D ）1+ 290 0解析：C21BA如图所示作辅助线，分别作两条与二面角的交线垂直的线，则1 和2 分别为直线 AB 与平面 所成的角。根据最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平,面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角 2ABO90290AO2. 下列各图是正方体或正四面体，P ， Q， R， S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是PQRSPQRS（A） （B） （C

2、） （D）D解析： A 项： 底面对应的中线，中线平行 QS，PQRS 是个梯形PSB 项： 如图SRQPCDCDBBAAC 项：是个平行四边形- - 2 - -D 项：是异面直线。3. 有三个平面 ， ， ，下列命题中正确的是（A）若 ， ， 两两相交，则有三条交线 （B）若 ， ，则 （C）若 ， =a， =b，则 ab （D）若 ， = ，则 =D解析：A 项：如正方体的一个角，三个平面相交，只有一条交线。B 项：如正方体的一个角，三个平面互相垂直，却两两相交。C 项：如图4. 如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1 的侧面 AB1 内有一动点 P 到直线 AB 与直线 B1C1

3、 的距离相等，则动点 P 所在曲线的形状为1O11OAD1C解析： 平面 AB1 ， 如图：P CDCDBBAAP 点到定点 B 的距离与到定直线 AB 的1B,BCP距离相等，建立坐标系画图时可以以点 B1B 的中点为原点建立坐标系。5. 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中与 AD1 成 600 角的面对角线的条数是（A）4 条 （B）6 条 （C）8 条 （D）10 条C- - 3 - -解析：如图D CCDBBAA这样的直线有 4 条，另外，这样的D CCDBBAA直线也有 4 条，共 8 条。6. 设 A，B ，C，D 是空间不共面的四点，且满足 ， ， ，则BCD0CAB0 0

4、A是（A）钝角三角形 （B）直角三角形 （C）锐角三角形 （D）不确定C解析：假设 AB 为 a，AD 为 b，AC 为 c，且 则， BD= ，CD= ，BC=abc2ab2cb如图c baDCBA则 BD 为最长边，根据余弦定理2ac最大角为锐角。所以222os 0acbabDc DCBBCD 是锐角三角形。7.设 a、b 是两条不同的直线，、 是两个不同的平面，则下列四个命题 （ ）若 若/,b则aa则,/ a则 则若 ,b其中正确的命题的个数是 （ ）A0 个 B 1 个 C2 个 D3 个B 解析：注意中 b 可能在 上；中 a 可能在 上；中 b/，或 均有 ，b故只有一个正确命题

5、- - 4 - -8.如图所示，已知正四棱锥 SABCD 侧棱长为 ，底2面边长为 ，E 是 SA 的中点，则异面直线 BE 与 SC3所成角的大小为 （ ）A90 B 60C45 D 30B 解析：平移 SC 到 ，运用余弦定理可算得BS .2BSE9. 对于平面 M 与平面 N, 有下列条件: M、N 都垂直于平面 Q; M、N 都平行于平面 Q; M内不共线的三点到 N 的距离相等 ; l, M 内的两条直线, 且 l / M, m / N; l, m 是异面直线,且 l / M, m / M; l / N, m / N, 则可判定平面 M 与平面 N 平行的条件的个数是 （ ）A1 B

6、2 C3 D4只有、能判定 M/N，选 B10. 已知正三棱柱 ABCA1B1C1 中，A 1BCB 1，则 A1B 与 AC1所成的角为（A）45 0 （ B）60 0（C）90 0 （ D）120 0C 解析：作 CDAB 于 D，作 C1D1A 1B1 于 D1，连 B1D、AD 1，易知 ADB1D1 是平行四边形，由三垂线定理得 A1BAC 1，选 C。 1 唱唱- - 5 - -11. 正四面体棱长为 1，其外接球的表面积为A. B. C. D.332325解析：正四面体的中心到底面的距离为高的 1/4。 （可连成四个小棱锥得证12. 设有如下三个命题：甲：相交直线 、m 都在平面

7、 内，并且都不在平面 内；乙：直线 、ml l中至少有一条与平面 相交；丙：平面 与平面 相交当甲成立时，A乙是丙的充分而不必要条件 B乙是丙的必要而不充分条件C乙是丙的充分且必要条件 D乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件解析：当甲成立，即“相交直线 、m 都在平面 内，并且都不在平面 内”时，若“ 、m 中至l l少有一条与平面 相交” ，则“平面 与平面 相交 ”成立；若“平面 与平面 相交” ，则“、 m 中至少有一条与平面 相交”也成立选（C） l13. 已知直线 m、n 及平面 ，其中 mn，那么在平面 内到两条直线 m、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平

8、面；（3）一个点；（4）空集其中正确的是解析：（1）成立，如 m、n 都在平面内，则其对称轴符合条件；（2）成立，m 、n 在平面 的同一侧，且它们到 的距离相等，则平面 为所求， （4）成立，当 m、n 所在的平面与平面 垂直时，平面内不存在到 m、n 距离相等的点14.空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个数为（ ）A3 B 1 或 2 C1 或 3 D2 或 3解析：C 如三棱柱的三个侧面。15若 为异面直线，直线 ca，则 c 与 b 的位置关系是 （ ）ba、A相交 B异面 C平行 D 异面或相交解析：D 如正方体的棱长。16在正方体 A1B1C1D1AB

9、CD 中，AC 与 B1D 所成的角的大小为 （ ）- - 6 - -A B64C D32解析：D B1D 在平面 AC 上的射影 BD 与 AC 垂直，根据三垂线定理可得。17如图，点 P、Q、R 、S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线 PQ 与 RS是异面直线的一个图是（ ）解析：C A，B 选项中的图形是平行四边形，而 D 选项中可见图：SRQPCDCDBBAA18如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A 、B、C 为其上的三个点，则在正方体盒子中，ABC 等于 （ ）A45 B60C90 D120解析：B 如图CBA右图是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题

10、：AB 与 CD 所在直线垂直； CD 与 EF 所在直线平行- - 7 - -AB 与 MN 所在直线成 60角； MN 与 EF 所在直线异面其中正确命题的序号是 （ ）A B C D解析：DNMFEDCBA19线段 OA， OB， OC 不共面， AOB= BOC= COA=60 ， OA=1， OB=2， OC=3，则 ABC 是（ ）A等边三角形 B 非等边的等腰三角形C锐角三角形 D钝角三角形解析：B 设 AC=x， AB=y， BC=z，由余弦定理知： x2=12+32-3=7， y2=12+22-2=3， z2=22+32-6=7。 ABC 是不等边的等腰三角形，选（ B） 2

11、0若 a， b， l 是两两异面的直线， a 与 b 所成的角是 ， l 与 a、 l 与 b 所成的角都是 ，3则 的取值范围是 （ ）A B C D 65,2,365,32,6解析：D解 当 l 与异面直线 a， b 所成角的平分线平行或重合时， a 取得最小值 ，当 l 与 a、 b 的公垂线平6- - 8 - -行时， a 取得最大值 ，故选（ D） 221.小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为 1m 的竹竿影长 0.9m，但当他马上测树高时 , 因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙如图所示.他测得留在地面部分的影子长 2.7m, 留在墙壁部分的影高 1.2

12、m, 求树高的高度（太阳光线可看作为平行光线）_.42 米解析：树高为 AB，影长为 BE，CD 为树留在墙上的影高， CE= 米，树影长1.2,09CDE1.8BE= 米，树高.71083. AB= 10.9BE= 米。4222如图,正四面体 ABCD（空间四边形的四条边长 及两对角线的长都相等）中, 分,EF别是棱 的中点, 则ADBC和 所成的角的大小是_.EF解析：设各棱长为 2，则 EF= ，取 AB 的中点为 M， 2cos.MFE即 .423OX，OY ，OZ 是空间交于同一点 O 的互相垂直的三条直 线，点 P 到这三条直线的距离分别为 3，4，7，则 OP 长 为_.解析：在

13、长方体 OXAYZBPC 中，OX 、OY、OZ 是相交的三条互相垂直的三条直线。又ABCDEFAB EDC- - 9 - -PZ OZ，PY OY，PX OX，有 OX2+OZ2=49，OY 2=OX2=9， OY2+OZ2=16，得 OX2+OY2+OZ2=37， OP= 3724设直线 a 上有 6 个点，直线 b 上有 9 个点，则这 15 个点，能确定_个不同的平面.解析： 当直线 a，b 共面时，可确定一个平面； 当直线 a，b 异面时，直线 a 与 b 上 9 个点可确定 9 个不同平面，直线 b 与 a 上 6 个点可确定 6 个不同平面，所以一点可以确定 15 个不同的平面2

14、5. 在空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点求证： EF 和 AD 为异面直线.解析：假设 EF 和 AD 在同一平面 内，（2 分） ，则 A，B，E，F ；（4 分）又A，E AB，AB ，B ，（6 分）同理 C （8 分）故 A，B，C ，D ，这与 ABCD 是空间四边形矛盾。EF 和 AD 为异面直线26. 在空间四边形 ABCD 中，E，H 分别是 AB，AD 的中点， F，G 分别是 CB，CD 的中点，若 AC + BD = a ，AC BD =b，求 .2GF解析：四边形 EFGH 是平行四边形，（4 分） 2EGFH=2 =2()EF2211()(

15、)ACBDab27. 如图，在三角形ABC 中，ACB=90，AC=b,BC=a,P 是ABC 所在平面外一 点，PBAB，M 是 PA 的中点，ABMC ，求异面直 MC 与 PB 间的距离.解析：作 MN/AB 交 PB 于点 N （2 分） PBAB，PBMN。 （4 分）又 ABMC，MNMC （8 分）MN 即 为异面直线MC 与 PB 的公垂线段， （10 分）其长度就是 MC 与 PB 之间 的距离， 则得 MN= AB=122.ab28. 已知长方体 ABCDA1B1C1D1 中, A 1A=AB， E、F 分别是 BD1 和 AD 中点.（1）求异面直线 CD1、EF 所成的

16、角；（2）证明 EF 是异面直线 AD 和 BD1 的公垂线.（1）解析：在平行四边形 中，E 也是 的中点， ， （2 分）BA1AC1/EFCDABCDE GPA BCM FB - - 10 - -两相交直线 D1C 与 CD1 所成的角即异面直线 CD1 与 EF 所成的角.（4 分）又A1A=AB，长方体的侧面 都是正方形1,ABDC，D 1C CD1 异面直线 CD1、EF 所成的角为 90.（7 分）（2）证：设 AB=AA1=a, D 1F= EFBD 1 （9 分）,42BFA.由平行四边形 ，知 E 也是 的中点，且点 E 是长方体 ABCDA1B1C1D1 的对称中心， （

17、121BAC1分）EA=ED，EFAD，又 EFBD 1，EF 是异面直线 BD1 与AD 的公垂线.（14 分）29. ABC 是边长为 2 的正三角形，在ABC 所在平 面外有一点 P，PB=PC= ，PA= ，延长 BP 至 D，使73BD=，E 是 BC 的中点，求 AE 和 CD 所成角的大小和7 这两条直线间的距离.解析：分别连接 PE 和 CD，可证 PE/CD， （2 分）则PEA 即是 AE 和 CD 所成角 （4 分）在 RtPBE 中，PB= ，BE=1，PE= 。在AEP 中，AE= ，72323 cosAEP= 3941AEP=60，即 AE 和 CD 所成角是 60 （7 分）AEBC，PEBC，PE/DC，CDBC，CE 为异面直线 AE 和 CD 的公垂线段， （12 分）它们之间的距离为 1 （14 分）FE C B ADACBD