数学（四）-2023年高考考前20天终极冲刺攻略（新高考专用）含答案.docx

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1、数学（四）-2023年高考考前20天终极冲刺攻略（新高考专用）等差数列与等比数列1.等差数列以考查通项公式、前项和公式及性质为主，以通项公式、前项和公式为载体，结合等差数列性质考查分类讨论、转化与化归、函数与方程等数学思想.2. 等比数列以考查通项公式、前项和公式及性质为主，以通项公式、前项和公式为载体，结合等差数列性质考查分类讨论、转化与化归、函数与方程等数学思想.3.考查形式：(1)选择题、填空题多单独考查基本量的计算；(2)解答题等差数列与等比数列结合考查，或结合实际问题或其他知识考查.等差数列1.定义：数列若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称是等差数列，这个常数称为的公

2、差，通常用表示2.等差数列的通项公式：，此通项公式存在以下几种变形：（1），其中：已知数列中的某项和公差即可求出通项公式（2）：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差（3）：已知首项，末项，公差即可计算出项数.3.等差中项：如果成等差数列，则称为的等差中项（1）等差中项的性质：若为的等差中项，则有即（2）如果为等差数列，则，均为的等差中项（3）如果为等差数列，则4.等差数列通项公式与函数的关系：，所以该通项公式可看作关于的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质.5.等差数列前项和公式：，此公式可有以下变形：（1）由可得：，作用：在求等差数列前项和时，不一定必须已知，

3、只需已知序数和为的两项即可.（2）由通项公式可得：作用： 这个公式也是计算等差数列前项和的主流公式 ，即是关于项数的二次函数，且不含常数项，可记为的形式.从而可将的变化规律图像化.（3）当时， 因为 而是的中间项，所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系当时，即偶数项和与中间两项和的联系6.等差数列前项和的最值问题：此类问题可从两个角度分析，一个角度是从数列中项的符号分析，另一个角度是从前项和公式入手分析等比数列1.定义：数列从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数，则称为等比数列，这个常数称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为的等比数列，而常数列只是等差数列2.等比数列通项

4、公式：，也可以为：3.等比中项：若成等比数列，则称为的等比中项（1）若为的等比中项，则有（2）若为等比数列，则，均为的等比中项（3）若为等比数列，则有4.等比数列前项和公式：设数列的前项和为当时，则为常数列，所以当时，则可变形为：，设，可得：5.由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列（2）已知等比数列，则有 数列（为常数）为等比数列 数列（为常数）为等比数列，特别的，当时，即为等比数列 数列为等比数列 数列为等比数列6.等比数列的判定：（假设不是常数列）（1）定义法（递推公式）：（2）通项公式：（指数类函数）（3）前项和公式：数列的求和的方法（

5、1）等差数列求和公式： （2）等比数列求和公式： 1（2022北京统考高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.若为单调递增数列，则，若，则当时，；若，则，由可得，取，则当时，所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；若存在正整数，当时，取且，假设，令可得，且，当时，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.

6、故选：C.2（2022全国（乙卷文理）统考高考真题）已知等比数列的前3项和为168，则（）A14B12C6D3【答案】D【详解】解：设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，所以，则，解得，所以.故选：D.3（2022北京统考高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足给出下列四个结论：的第2项小于3；为等比数列；为递减数列；中存在小于的项其中所有正确结论的序号是_【答案】【详解】由题意可知，当时，可得；当时，由可得，两式作差可得，所以，则，整理可得，因为，解得，对；假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，所以，可得，解得，不合乎题意，故数列不是等比数列，错；当时，可得，所以，数列为递减数列，

7、对；假设对任意的，则，所以，与假设矛盾，假设不成立，对.故答案为：.4（2022全国（乙卷文）统考高考真题）记为等差数列的前n项和若，则公差_【答案】2【详解】由可得，化简得，即，解得.故答案为：2.5（2022浙江统考高考真题）已知等差数列的首项，公差记的前n项和为(1)若，求；(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，所以，又，所以，所以，所以，（2）因为，成等比数列，所以，由已知方程的判别式大于等于0，所以，所以对于任意的恒成立，所以对于任意的恒成立，当时，当时，由，可得当时，又所以6（2022全国（甲卷文理）统考高考真题）记为

8、数列的前n项和已知(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）因为，即，当时，得，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列（2）方法一：二次函数的性质由（1）可得，又，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时，方法二：【最优解】邻项变号法由（1）可得，又，成等比数列，所以，即，解得，所以，即有.则当或时，7（2022全国（新高考卷）统考高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且(1)证明：；(2)求集合中元素个数【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）设数列的公差为，所以，即可解得，所以原命题得证（2）由（1）

9、知，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为1（2023湖北十堰统考二模）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：该数列的特点为前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，即，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则（）A-2024B2024C-1D12（2023陕西西安校联考一模）设等差数列的前n项和为，若，则当取得最大值时，（）A8B9C10D113（2023河南校联考模拟预测）数列满足：，且，成等差数列，成等比数列，有以下命题：若，则；若，则；，使；可取任意实数.其中正确命题的个数是（）A1B2C3D44（202

10、3江西鹰潭二模）已知等差数列的公差，且，成等比数列，若，为数列的前n项和，则的最小值为（）AB7CD5（2023河南信阳校联考模拟预测）南宋数学家杨辉在详解九章算术中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列是一阶等比数列，则该数列的第项是（）ABCD6（2023福建统考模拟预测）已知一组个数据：，满足：，平均值为

11、，中位数为，方差为，则（）ABC函数的最小值为D若，成等差数列，则7（2023广东湛江统考二模）一百零八塔始建于西夏时期，是中国现存最大且排列最整齐的塔群之一，塔群随山势凿石分阶而建，自上而下一共12层，第1层有1座塔，从第2层开始每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座塔已知包括第1层在内的其中10层的塔数可以构成等差数列，剩下的2层的塔数分别与上一层的塔数相等，第1层与第2层的塔数不同，则（）A第3层的塔数为3B第6层的塔数为9C第4层与第5层的塔数相等D等差数列的公差为28（2023湖南益阳统考模拟预测）如图，有一列曲线，且是边长为6的等边三角形，是对进行如下操作而得到：将曲线的每条

12、边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到，记曲线的边长为，周长为，则下列说法正确的是（）ABC在中D在中9（2023浙江统考二模）已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推.将该数列前项的和记为，则使得成立的最小正整数的值是_.10（2023江西九江瑞昌市第一中学校联考模拟预测）著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为“牛顿数列”.已知函数，数列为“牛顿数列”，且，则_.11（2023内蒙古包头统考二模）已知等差数列的前n项和为，等比

13、数列的前n项和为，(1)若，且等比数列的公比大于0，求和的通项公式；(2)若，求12（2023河南校联考模拟预测）已知等差数列满足，.(1)求的通项公式；(2)等比数列的前项和为，且，再从下列这三个条件中选择两个作为已知条件，求满足的的最大值.条件：；条件：；条件：13（2023黑龙江哈尔滨哈尔滨三中校考模拟预测）已知数满足，的前项和为.(1)求数列的通项公式及前项和；(2)若，求数列的前项和.1我国的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，.，9填入的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，填入的方格内，使得每行、每列、每条对角

14、线上的数的和相等，这个正方形就叫做阶幻方.记阶幻方的一条对角线上数的和为(如：在3阶幻方中，)，则A1020B1010C510D5052意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：该数列的特点为前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，即，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则（）A-2024B2024C-1D13已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推.将该数列前项的和记为，则使得成立的最小正整数的值是_.4已知等比数列的前项和满足，数列满足，其中，给出以下命题：；若对恒成立，则；设，则的最小值为；设，若数列单

15、调递增，则实数的取值范围为其中所有正确的命题的序号为_5已知等比数列的公比为q，且，则q的取值范围为_；能使不等式成立的最大正整数_.参考答案名校预测：1C【详解】因为，当时，所以又，所以是首项为1，公比为-1的等比数列，则，故故选：C.2C【详解】在等差数列中，由，得，则，又，则当取得最大值时，故选：C3C【详解】由已知可得，.对于，当时，由已知可得，解得，故正确；对于，当时，由已知可得，解得.又，则，故正确；对于，由已知可得，则.又，则.若，则，解得或.当时，不合题意，故，故正确；对于，因为，所以时，.此时，不能成等比数列，故错误.故正确，所以正确命题的个数是3.故选：C.4B【详解】由于

16、，成等比数列，所以，解得（负值舍去），所以，由对勾函数性质知在上单调递增，所以当时，在时取得最小值为：，又，所以在上的最小值为4，所以的最小值为.故选：B.5C【详解】记数列为，设，则，数列是以为首项，为公比的等比数列，.故选：C.6BCD【详解】A：当时，一组数据1,2,4,17，则，不在2，4之间，故错误；B：由中位数定义知：，正确；C：，当时，最小值为，正确；D：若，成等差数列，则，故正确故选：BCD7ACD【详解】设等差数列的公差为，若，则这10层的塔数之和为，则最多有座塔，不符合题意；若，则这10层的塔数之和不少于，不符合题意；所以，这10层的塔数之和为，塔数依次是1，3，5，7，9

17、，11，13，15，17，19，依题意剩下2层的塔数为3与5，所以这12层塔的塔数分别为1，3，3，5，5，7，9，11，13，17，19，因此A，C，D正确，B错误故选：ACD.8ACD【详解】依题意,将曲线的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到，曲线的边长为，数列是首项为6，公比为的等比数列，A正确；封闭曲线的周长为，则数列是首项为，公比为的等比数列，于是，则，B错误；如图，由对称性可得，有，则，于是，又，则，C正确；显然点在线段上，则，D正确.故选：ACD9【详解】将已知数列分组，每组的第一项均为，即第一组：；第二组：；第三组：；依此类推；

18、将各组数据之和记为数列，则，记数列的前项和为，则；，；对应中项数为项，即，则使得成立的最小正整数.故答案为：.10【详解】由得，.所以，因此，所以，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故.故答案为：128.11(1)，(2)或【详解】（1）设的公差为d，的公比为q，则，联立，即，因为，解得，所以，.（2）设的公差为d，的公比为q.当时，不满足题意，所以.所以，整理可得，解得，或.当时，由，得，所以，故 ；当时，由，得，所以，故 .12(1)(2)条件选择见解析，的最大值为10【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，所以，解得，所以；（2）（i）选择：由（1）可知，所以，则，因为，所以因为

19、，所以，因为数列为等比数列，所以公比，所以，由，解得.所以满足的的最大值为10.（ii）选择：由（1）可知，所以，所以，因为，所以，因为数列为等比数列，所以，因为，所以，所以，则，所以，解得.所以满足的的最大值为10.（iii）选择：由（1）可知，所以，所以，因为，所以，因为数列为等比数列，所以，解得或，因为，所以，则，所以，所以，解得.所以满足的的最大值为10.13(1)(2)【详解】（1）由题可知：当时，当时，由-得：，即，检验符合，.（2）.名师押题:1D【详解】阶幻方共有个数，其和为阶幻方共有行，每行的和为，即，故选D.2C【详解】因为，当时，所以又，所以是首项为1，公比为-1的等比数

20、列，则，故故选：C.3【详解】将已知数列分组，每组的第一项均为，即第一组：；第二组：；第三组：；依此类推；将各组数据之和记为数列，则，记数列的前项和为，则；，；对应中项数为项，即，则使得成立的最小正整数.故答案为：.4【详解】由为等比数列，其前项和，则，故不正确；由，可得，则，若对恒成立，即对恒成立，令，则当时，；当时，当时，则，则，故正确；由，令，则当，时，当，时则，故不正确；，由单调递增，则，则，故正确故答案为：5 4039【详解】由已知，结合知，解得，故q的取值范围为.由于是等比数列，所以是首项为，公比为的等比数列.要使成立则即，将代入整理得：故最大正整数.故答案为：；数列的综合数列是高

21、考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有，其中小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系；解答题的难度中等或稍难，将稳定在中等难度.往往在利用方程思想解决数列基本问题后，进一步数列求和，在求和后可与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等与不等式结合、“放缩”思想及方法尤为重要1.等差数列、等比数列的混合计算(1)等差数列中利用某项确定，另有不连续三项按某种条件构成等比数列，由此计算得到等差数列的首项与公差，并求通项与前n项和.(2)等比数列中利用某项确定，另有不连续三项按某种条件构成等差数列，由此计算

22、得到等比数列的首项与公比，并求通项与前n项和.(3)注意在数列计算中基本量的应用.2.等差数列前n项和的最大（小）项利用等差数列的前n项和公式，结合二次函数的求最值的特点及相应的图象，利用函数的单调性判断最值.3.数列通项公式（1）观察法根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项.（2）利用递推公式求通项公式叠加法：形如的解析式，可利用递推多式相加法求得叠乘法：形如的解析式，可用递推多式相乘求得构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法和同除以指数法.利用与的关系求解形如的关系，求其通项公式，可依据，

23、求出4.数列求和(1)等差数列、等比数列的前n项和等差数列的前n项和；等比数列的前n项和(2)分组求和法求数列的前n项和分组求和法可以解决形如类数列的求和问题，其基本步骤是首先确定通项公式，然后对通项公式进行拆分，拆成几个可以直接求和的数列（最好是等差数列或等比数列），再分别求和后相加即可得到原数列的和.(3)裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法的基本思想是把数列的通项拆分成等的形式，从而在求和时起到逐项相消的目的.比较常见的类型有：，等.采用裂项相消法求数列的前n项和时，要注意系数的问题以及求和逐项相消后前后剩余的项的问题.(4)错位相减法求数列的前n项和错位相减法主要应用于求解由等差数列与

24、等比数列的对应项之积组成的数列的求和问题，即求的和.其一般步骤为先识别数列的通项公式是否为等差数列与等比数列对应项之积构成的数列，并确定等比数列的公比，然后写出前n项和的表达式，并在等式两边同时乘以公比或公比的倒数，得到另一个式子，再对两式作差，最后根据差式中间的项构成的等比数列求和，合并同类项即得所求的前n项和.错位相减法的计算过程较为复杂，对计算的能力要求比较高，同时考查的力度也相对较高，应注意加强训练.1（2022浙江统考高考真题）已知数列满足，则（）ABCD【答案】B【详解】，易得，依次类推可得由题意，即，即，累加可得，即，即，,又，累加可得，即，即；综上：故选：B2（2022全国（甲

25、卷文理）统考高考真题）记为数列的前n项和已知(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）因为，即，当时，得，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列（2）方法一：二次函数的性质由（1）可得，又，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时，方法二：【最优解】邻项变号法由（1）可得，又，成等比数列，所以，即，解得，所以，即有.则当或时，3（2022浙江统考高考真题）已知等差数列的首项，公差记的前n项和为(1)若，求；(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，所以，又，所以

26、，所以，所以，（2）因为，成等比数列，所以，由已知方程的判别式大于等于0，所以，所以对于任意的恒成立，所以对于任意的恒成立，当时，当时，由，可得当时，又所以4（2022全国（新高考卷）统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列(1)求的通项公式；(2)证明：【答案】(1)(2)见解析【详解】（1），,又是公差为的等差数列，,当时，,整理得：,即,，显然对于也成立，的通项公式；（2） 5（2022天津统考高考真题）设是等差数列，是等比数列，且(1)求与的通项公式；(2)设的前n项和为，求证：；(3)求【答案】(1)(2)证明见解析(3)【详解】（1）设公差为d，公比为，则，由可得（

27、舍去），所以；（2）证明：因为所以要证，即证，即证，即证，而显然成立，所以；（3）因为，所以，设所以，则，作差得，所以，所以.6（2022北京统考高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足给出下列四个结论：的第2项小于3；为等比数列；为递减数列；中存在小于的项其中所有正确结论的序号是_【答案】【详解】由题意可知，当时，可得；当时，由可得，两式作差可得，所以，则，整理可得，因为，解得，对；假设数列为等比数列，设其公比为，则，即，所以，可得，解得，不合乎题意，故数列不是等比数列，错；当时，可得，所以，数列为递减数列，对；假设对任意的，则，所以，与假设矛盾，假设不成立，对.故答案为：.1（202

28、3河南洛阳市第三中学校联考模拟预测）已知无穷数列满足：如果，那么，且，是与的等比中项若的前n项和存在最大值S，则（）A0B1C2D32（2023江西南昌统考二模）已知数列的通项公式为，保持数列中各项顺序不变，对任意的，在数列的与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前n项的和为，则（）A4056B4096C8152D81923（2023安徽淮南统考二模）我国古代数学在宋元时期达到繁荣的顶点，涌现了一大批卓有成就的数学家，其中朱世杰与秦九韶、杨辉、李冶被誉为我国“宋元数学四大家”.朱世杰著有四元玉鉴和算学启蒙等，在算学启蒙中，最为引人入胜的问题莫过于堆垛问题，其中记载有以下问题：“今有三角

29、、四角果子垛各一所，共积六百八十五个，只云三角底子一面不及四角底子一面七个，问二垛底子一面几何？”其中“积”是和的意思，“三角果子垛”是每层都是正三角形的果子垛，自上至下依次有1，3，6，10，15，个果子，“四角果子垛”是每层都是正方形的果子垛，自上至下依次有1，4，9，16，个果子，“底子一面”指每垛最底层每条边”.根据题意，可知该三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数是（）（参考公式：）A4，11B5，12C6，13D7，144（2023湖南郴州统考三模）已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（）ABCD5（2023上海宝山统考二模）将正整数分解为两个正整数、的积，即，当、

30、两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解如，其中45即为20的最优分解，当、是的最优分解时，定义，则数列的前2023项的和为（）ABCD6（2023河南安阳统考二模）如果有穷数列，（m为正整数）满足条件，即（t为常数），则称其为“倒序等积数列”例如，数列8，4，2，是“倒序等积数列”已知是80项的“倒序等积数列”，且，是公比为2，的等比数列，设数列的前n项和为，则（）A210B445C780D12257（2023河南洛阳洛阳市第三中学校联考一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为“高斯函数”，

31、例如：，已知数列满足，若，为数列的前n项和，则（）ABCD8（多选）（2023全国模拟预测）已知定义在上的函数该函数称为黎曼函数若数列满足，则下列说法正确的是（）ABCD9（多选）（2023江苏南京校考一模）提丢斯波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，表示的是太阳系第颗行星与太阳的平均距离(以天文单位为单位).现将数列的各项乘以10后再减，得到数列，可以发现数列从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（）

32、A数列的通项公式为B数列的第2021项为C数列的前项和D数列的前项和10（2023浙江统考二模）已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推.将该数列前项的和记为，则使得成立的最小正整数的值是_.11（2023黑龙江哈尔滨哈尔滨三中校考模拟预测）设等比数列的前项和为，若，且、成等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，其中表示不超过的最大整数，求数列的前项的和；(3)设，求数列的前项和.12（2023福建统考模拟预测）已知等差数列，等比数列，满足，(1)求数列，的通项公式；(2)令，求满足的最小的正整数的值13（2023广东统考二模）已知等差数列的公差，且满足，成等比数

33、列(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足求数列的前2n项的和14（2023黑龙江大庆铁人中学校考二模）已知数列的前n项和为，_，.(1)求数列的通项公式；(2)已知数列，当时，.记数列的前n项和为，求.在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.；.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.15（2023新疆校联考二模）已知数列中，数列的前项和为，对于，都满足，（）(1)证明：数列为等差数列，并求；(2)已知数列满足，记数列的前项和为，求16（2023山东聊城统考二模）设数列的前n项和为，已知，且数列是公比为的等比数列(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，证明：1已

34、知数列的通项公式为，保持数列中各项顺序不变，对任意的，在数列的与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前n项的和为，则（）A4056B4096C8152D81922我国古代数学在宋元时期达到繁荣的顶点，涌现了一大批卓有成就的数学家，其中朱世杰与秦九韶、杨辉、李冶被誉为我国“宋元数学四大家”.朱世杰著有四元玉鉴和算学启蒙等，在算学启蒙中，最为引人入胜的问题莫过于堆垛问题，其中记载有以下问题：“今有三角、四角果子垛各一所，共积六百八十五个，只云三角底子一面不及四角底子一面七个，问二垛底子一面几何？”其中“积”是和的意思，“三角果子垛”是每层都是正三角形的果子垛，自上至下依次有1，3，6，10

35、，15，个果子，“四角果子垛”是每层都是正方形的果子垛，自上至下依次有1，4，9，16，个果子，“底子一面”指每垛最底层每条边”.根据题意，可知该三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数是（）（参考公式：）A4，11B5，12C6，13D7，143已知数列满足，是数列的前n项和且，则_4已知等差数列的首项，记的前n项和为，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列公差，令，求数列的前n项和.5已知等差数列的前n项和为，且，数列的前n项和为，且(1)求数列，的通项公式(2)记，若数列的前n项和为，数列的前n项和为，探究：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由参考答案名校预测：1B【详解】由

36、是与的等比中项，得，若，由及已知，得，由，得，则，因此数列的项依次为：，数列是以4为周期的数列，显然，数列单调递增，无最大项，因此数列的前项和无最大值；若，同理可得数列的项依次为：，数列是以4为周期的数列，数列是以4为周期的数列，且，此时的前n项和存在最大值，所以的最大值.故选：B2C【详解】插入组共个，前面插入12组数，最后面插入9个，又数列的前13项和为，故选：C3B【详解】设三角果子垛自上至下依次为，当时，所以，且时，所以三角果子垛第层的果子数为，四角果子垛第层的果子数为，设三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数分别为，所以三角果子垛各层果子总和为，四角果子垛各层果子总和为，由题意，即，

37、解得，所以该三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数分别是.故选：B.4C【详解】，则，所以，所以.故选：C.5B【详解】当时，由于，此时，当时，由于，此时，所以数列的前2023项的和为.故选：B6B【详解】由题可知当时，.根据定义，当时，.则.故.故选：B7C【详解】由，得又，所以数列构成以2为首项，2为公比的等比数列，所以.又，叠加可得，即，所以.又因为满足上式，所以.所以.因为，所以，即，所以.故.所以.故选：C.8AD【详解】因为，且为既约真分数，所以，故A正确，所以，故，B错误，故C错误，故D正确故选：AD9CD【详解】数列各项乘以10再减4得到数列故该数列从第2项起构成公比为2的等比

38、数列，所以故A错误；从而所以故B错误当时；当时0.3.当时也符合上式，所以故C正确因为所以当时当2时，所以所以又当时也满足上式，所以，故D正确.故选：CD.10【详解】将已知数列分组，每组的第一项均为，即第一组：；第二组：；第三组：；依此类推；将各组数据之和记为数列，则，记数列的前项和为，则；，；对应中项数为项，即，则使得成立的最小正整数.故答案为：.11(1)(2)(3)【详解】（1）解：因为、成等差数列，则，即，即，即，设等比数列的公比为，则，又因为，则.（2）解：依题意，对任意的，设数列的前项的和为，则.（3）解：由（1）可得，所以，上述两个等式作差可得，化简得.12(1)答案见解析(2

39、)8【详解】（1）设公差为，由当时，不符合题意，舍去；故，所以，；（2）由题意，可得，所以，由，又，所以当时，当时，故的最小值为813(1)(2)【详解】（1）因为，成等比数列，所以，即，解得或因为，所以，所以（2）由（1）得所以，所以 ，所以数列的前2n项的和14(1)(2)【详解】（1）选：，时，两式相减得，即，又当n=1时，满足上式，；选：当n=1时，时，两式相减得，数列是以2为首项2为公比的等比数列，；选，时，两式相除得，当n=1时，满足上式，；（2）因为当时，所以当时，当时，当时，.当时，当时，当时，所以.15(1)证明见解析，(2)【详解】（1）当时，由得化简得，即又，所以数列是以

40、首项为1，公差为1的等差数列，即；当，符合上式，所以（2）由（1）知，则，故.即16(1)(2)证明见解析【详解】（1） ， ，所以数列是首项为1，公比为的等比数列，所以，即，从而，两式作差得： ， 化简得： ，即，所以，所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列，故数列的通项公式为；（2），因为，所以.名师押题:1C【详解】插入组共个，前面插入12组数，最后面插入9个，又数列的前13项和为，故选：C2B【详解】设三角果子垛自上至下依次为，当时，所以，且时，所以三角果子垛第层的果子数为，四角果子垛第层的果子数为，设三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数分别为，所以三角果子垛各层果子总和为，四角果子垛各层果子总和为，由题意，即，解得，所以该三角、四角果子垛最底层每条边上的果子数分别是.故选：B.3【详解】由，得，即，数列是首项为，公差为的等差数列，所以，即当n为偶数时，所以，所以，故故答案为：4(1)或(2)【详解】（1）由题意可得：，整理得，则可得或，故或.（2），由（1）可得，则，故所以.5(1)，(2)是定值，定值为【详解】（1）设等差数列的公差为d，则，解得，故，因为，所以当时，