专题三函数的概念.pdf

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1、综 合 复 习 一.知 识 网 络 专 题 三 函 数 的 概 念 函 数 的 概 念 定?近 代 定 义 映 函 数 的 定 义 传 统 定 定 义 城、僵 域 符 号 心)的 意 义 的 意 义 解 析 法 图 象 法 列 表 法 头 桂 述 法 函 数 的 表 示 重 点 间 题 1,用 解 析 法 表 出 的 函 数 中 对 应 法 则-raast；2 由 上 述 的 意 义 引 出 的 函 数 问 题 特 有 的 代 换 一 一“同 位 替 换”的 感 悟 与 认 知.映 射 的 要 点 家 的 定 义 3的 s义 二.高 考 考 点 1.映 射 中 的 象 与 原 象 的 概 念；

2、2.分 段 函 数 的 问 题:定 义 域、值 域 以 及 相 关 的 方 程 或 不 等 式 的 解 的 问 题;3.复 合 函 数 的 解 析 式、图 象 以 及 相 关 的 最 值 等 问 题；4.分 类 讨 论、数 形 结 合 等 数 学 思 想 方 法 的 应 用.三.知 识 要 点(一)函 数 的 定 义 1、传 统 定 义:设 在 某 一 变 化 过 程 中 有 两 个 变 量 X和 y,如 果 对 于 某 一 范 围 内 x 的 每 个 值,y 都 有 唯 的 值 和 它 对 应，那 么 就 说 y 是 x 的 函 数,x 叫 做 自 变 量,y 叫 做 因 变 量(函 数).

3、2、现 代 定 义:设 A、B 是 两 个 非 空 数 集，如 果 按 照 某 个 确 定 的 对 应 关 系 f,使 对 于 集 合 A 中 的 任 意 一 个 数 x，在 集 合 B 中 都 有 唯 一 确 定 的 数 f(x)和 它 对 应，那 么 就 称 f：A B 为 从 集 合 A 到 集 合 B 的 一 个 函 数，记 作 尸 f(x),xe A.其 中,x 叫 做 自 变 量,x 的 取 值 范 围 A 叫 做 函 数 的 定 义 域;与 x 的 值 相 对 应 的 y 的 值 叫 做 函 数 值,函 数 值 的 集 合 f(x)|xG A 叫 做 函 数 的 值 域.3、认

4、知：注 意 到 现 代 定 义 中“A、B 是 非 空 数 集”，因 此，今 后 若 求 得 函 数 定 义 域 或 值 域 为 l)对 应 法 则“俨 表 示 这 样 一 套 运 算 的 框 架:5()-2()+3,()1.即 f:5()-2()+3,()1.据 此，我 们 可 分 别 对 函 数 值 与 函 数 表 达 式 作 以 诠 释 和 辩 析：f(a):对 自 变 量 x 的 取 值 a实 施 上 述 运 算 后 的 结 果，故 有 f(a)=5-2a+3(al);f(x):对 自 变 量 x 实 施 上 述 运 算 后 的 结 果，故 有 心 尸 5 1-2x+3(xl);1f(

5、g(x):对 函 数 g(x)实 施 上 述 运 算 后 的 结 果,于 是 有 f(g(x)=5匚(x)-2g(x)+3(g(x)l)感 悟:函 数 符 号 意 义 之 下 的 产 物 或 推 论 有 比 较 才 能 有 鉴 别，有 品 味 才 能 有 感 悟.我 们 仔 细 地 比 较 和 品 味、，不 难 从 中 悟 出 这 样 的 代 换 规 律:凡 是 M 的 位 宜 上 均 授 以.GH包 括 的 中 的。丁 f(X)的 解 析 式 凡 是&)的 位 鱼 上 均 酗 H包 括 陋 中 的(&)fg(x)的 表 达 式 我 们 将 上 述 替 换 形 象 地 称 之 为“同 位 替

6、换”.显 然，同 位 替 换 是 在 函 数 符 号 的 意 义 下 产 生 的 函 数 特 有 的 替 换,它 源 于“等 量 替 换”，又 高 于“等 量 替 换”,对 于 同 位 替 换，在 两 式 不 可 能 相 等 的 条 件 下 仍 可 操 作 实 施，这 是“等 量 替 换”所 不 能 比 拟 的.由 f(x)的 解 析 式 导 出 f(x+l)的 解 析 式，便 是 辩 析 两 种 替 换 的 一 个 很 好 的 范 例.四.经 典 例 题 例 1.在 直 角 梯 形 O A B C中,八 8。(2,13(2,0。,且 AB=1,OC=BC=2,直 线 l:x=t,截 此 梯

7、形 所 得 位 于 1左 方 的 图 形 面 积 为 S,则 函 数 S=f(t)的 大 致 图 象 是 以 下 图 形 中()分 析 1:立 足 于 出。在 te 0,1上 的 函 数 式.直 线 O A的 方 程 为 y=2x,1(2t)t-t1故 当 Owtwi时，s=2,，由 此 否 定 A,B,D,应 选 C.分 析 2:运 用 运 动 的 观 点,感 悟 函 数 图 象 所 反 映 的 函 数 值 随 着 自 变 量 的 变 化 而 变 化 的 状 态.当 1在 O,D之 间 运 动 时,S 随 着 t 的 增 加 而 增 加，并 且 增 加 的 速 度 越 来 越 快,即 AS、

8、AS2.ASn是 递 增 的($是 单 位 时 间 内 面 积 的 增 量)，故 排 除 A 和 B,对 于 C和 D,由 te 0,1时 f(t)=1的 凹 凸 性 可 排 除 D,故 应 选 C.例 2.梯 形 O ABC各 顶 点 的 坐 标 分 别 为 0(0,0),A(6,0),B(4,2),C(2,2),一 条 与 y 轴 平 行 的 直 线 1从 点 O 开 始 作 平 行 移 动，到 点 A 为 止.设 直 线 1与 x 轴 的 交 点 为 M,OM=x,并 记 梯 形 被 直 线 1截 得 的 在 左 侧 的 图 形 面 积 为 y,求 函 数 y=f(x)的 解 析 式，定

9、 义 域 及 值 域.分 析:由 于 点 M 位 置 的 不 同,所 得 图 形 的 形 状 与 面 积 不 同，故 需 要 分 类 讨 论，注 意 到 决 定 1左 侧 图 形 形 状 的 关 键 点，故 以 x=2,4分 划 讨 论 的 区 间.解：-1-1 J=-J(1)当 0WXW2时，上 述 图 形 是 一 等 腰 Rt，此 时，y=2，即 2 当 2 x 时，上 述 图 形 是 一 直 角 梯 形.注 意 到 它 可 分 割 为 个 等 腰 Rt(确 定 的)和 个 矩 形，此 时,y=-x2 x 2+2(x-2 32，即 y=2x-2;(3)当 4=/=2x-?.2xS-g-+6

10、x-l0.4 vxM6由 此 可 知,f(x)的 定 义 域 为 O,2U(2J u(46=0,6.又 当 0 x2 时，2，即 此 时 0 y 2;当 2x4 时,22x-26,即 此 时 2y6;当 4xW6 时,62),求 f(2x+l)的 解 析 式;(2)己 知/S+D=K+，求 g+1)的 解 析 式.解：(1)Vf(x)=x2+2x-l(x2)；.以 2x+l 替 代 上 式 中 的 x 得 f(2x+1)=(2x+1)2+2(2x+1)-1(2x+1 2)f(2x+l)=4x2+8x+2(x-)(2)由 已 知 得=G 6+D 一 l.,.以 X 替 代 上 式 中 的 疝+1

11、 f#fi；x)=x2-l(xl).,.f(x+D=(x+iy-l(x+l*)即 f(x+l)=x2+2x(x0)点 评:上 述 求 解 也 可 运 用 换 元 法，但 是，不 论 是“换 元 法，还 是 上 面 实 施 的“同 位 替 换”,它 们 都 包 括 两 个 方 面 的 替 换：(1)解 析 式 中 的 替 换;(2)取 值 范 围 中 的 替 换.根 据 函 数 三 要 素 的 要 求，这 两 个 方 面 的 替 换 缺-不 可.例 4.设 y=f(2x+l)的 定 义 域 为-1,1 龄-1尸 x)试 求 不 等 式 f(1-x)x的 解 集.分 析:为 将 不 等 式 f(x

12、+l)x具 体 化，根 据“同 位 替 换”法 则，先 求 f(l-x)的 表 达 式.解:由 题 设 知，在 y=f(2x+l)中 有-IWxWl=-l2x+l3,r.运 用“同 位 替 换”的 思 想 在 f(x-l)中 应 有-1WX-1W3 又 由 题 设 知 f(x-l尸(x-iy+2(x-l)+l，由、得 f(x-l)=(x-l)2+2(x-l)+l(-lx-l3).,.f(l-x)=(l-x)2+2(l-x)+l(-ll-x3)即 fU-x)=x2-4x+4(-2x2)于 是 有 f(l-x)x=X2*4X+4 X(-2X2)N X2-5X+40(-2X2)=(x-l)(x-4)

13、0(-2x2)=lx4(-2x2)=lx2因 此，所 求 不 等 式 f(l-x)f(b)2fi：c),则 映 射 f 的 个 数 为;若 映 射 f 满 足 f(a)+f(b)+fl：c尸 0,则 映 射 f 的 个 数 为;若 映 射 f 满 足 f(a)-f(b)=f(c),则 映 射 f 的 个 数 为.(2)设 A=1,2,3,4,5,B=6,7,8,从 A 到 B 的 映 射 f 满 足 耳 1)第 2)线 3)0f(4f(5),则 映 射 f 的 个 数 为.分 析:注 意 到 Ra)的 意 义:在 映 射 f：A-B 之 下 A 中 元 素 a 的 象，故 有 为 便 于 梳

14、理 思 路,解 答 这 类 题 经 常 运 用 列 表 法 或 分 类 讨 论 的 方 法.解：由 已 知 得 f(a),f(b),f(c)eB 列 表 法：f(a)f(b)f(c)Ra)只 能 取 0 或 l,f(c)只 能 取-1或 0.根 据 映 射 的 定 义，以 f(a)取 值 从 大 到 小 的 次 序 列 表 考 察：f(a)f(b)f(c)1 0 01 00-1-1由 此 可 知 符 合 条 件 的 映 射 是 4 个.列 表 法:注 意 到 f(a)+f(b)+f(c)=0,又 B 中 三 个 元 素 之 和 为 0 的 情 形 只 有 两 种:0+0+0;1+(-1)+0,

15、以 a 的 象 f(a)的 取 值(从 小 到 大)为 主 线 列 表 考 察 fl)f(b)f(c)0 0 00 1-10-1 11 0-11-1 0-1 1 0-1 0 1由 此 可 知 符 合 条 件 的 映 射 有 7 个.分 类 讨 论：f(a)-f(b)=f(c)=Ra尸 f(b)+f(c)即 a 的 象 等 于 其 它 两 个 元 素 的 象 的 和.以 象 集 合 元 素 的 个 数 为 主 线(从 小 到 大)展 开 讨 论.(i)当 象 集 合 为 单 元 素 集 合 时，只 有 象 集 0满 足 已 知 条 件，此 时 符 合 条 件 的 映 射 f 只 有 1个.(ii

16、)当 象 集 合 为 双 元 素 集 合 时，满 足 条 件 的 象 集 合 为-1,0或 1,0-1,0:-1=0+(-1),-1=(-1)+0；1,0:1=0+1,1=1+0 此 时 符 合 条 件 的 映 射 有 4 个.(i i i)当 象 集 合 为 三 元 素 集 合 时,满 足 条 件 的 象 集 合 为-1,0,1-1,0,1：0=1+(-1),0=(-1)+1.此 时 符 合 条 件 的 映 射 f 有 2 个 于 是 综 合、(ii)、(iii)得 符 合 条 件 的 映 射 f 的 个 数 为 7.(2)分 类 讨 论:以 象 集 合 中 元 素 的 个 数(从 小 到

17、大)为 主 线 展 开 讨 论.当 象 集 合 为 单 元 素 集 时,象 集 为 6或 7或 8,故 此 时 满 足 条 件 的 映 射 f 有 3 个;(ii)当 象 集 合 为 双 元 素 集 时，先 将 A 中 元 素 分 为 两 组，有 T 种 分 法，又 每 两 组 的 象 有 3 种 情 形，故 此 时 符 合 条 件 的 映 射 f有 C*3=1 2个；(iii)当 象 集 合 为 三 元 素 集 时，先 将 A 中 元 素 分 为 3 组，有 4 种 分 法，又 每 三 组 的 象 只 有 1 种 情 形，故 此 时 符 合 条 件 的 映 射 f有 4*1=6个。于 是 综

18、 合、(ii)、(iii)得 符 合 条 件 的 映 射 f 的 个 数 为 3+12+6=21.点 评:在 认 知 出 入)(人 6 川 的 意 义 以 及 题 设 条 件 的 意 义 的 基 础 上,以 象 集 元 素 的 个 数(从 小 到 大)为 主 线 展 开 讨 论，是 解 决 此 类 映 射 问 题 的 通 用 方 法(通 性 通 法)，请 同 学 们 在 今 后 的 解 题 中 注 意 应 用.例 6.已 知 函 数 出。对 任 意 实 数 x,y满 足 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+l,且 f(-2)=-2.(1)求 fU)的 值;(2)试 求 满 足 f(t)=t

19、的 整 数 t的 个 数，并 说 明 理 由.分 析:这 是 未 给 出 具 体 的 函 数 解 析 式，只 给 出 一 个 函 数 恒 等 式.注 意 到 这 一 恒 等 式 的 一 般 性，循 着“一 般”与“特 殊”之 间 的 辩 证 关 系,想 到 从“特 殊”(特 殊 取 值 或 特 殊 关 系)入 手 去 破 解“一 般，以 寻 出 H 标.解:为 了 出 现 f(1),在 上 述 恒 等 式 中 令 x=l,y=-l得 出 0户 f(l)+f(-l)又 令 x=O,y=O 得 f(O)=-l 令 x=-l,y=-l 得 f(-2)=2f(-l)+2I,f(-2)=-2,.(1)=

20、-2 将、代 入 得 Rl)=l.(2)为 利 用 R 1)=1,在 上 述 恒 等 式 中 令 x=l 得 f(y+l)=f(y)+y+2=f(y+l)-f(y尸 y+2.当 t G Z 时，有 f(t+l)-f(t户 t+2(4)根 据，运 用 阶 差 法 得 f(t)=f(1)+f(2)-f(1)+.+f(t)-f(t-l)?.f(t)=1+(1+2)+(2+2)+.+(t-1)+2=1+2(t-1)+2 即 fift)=2 2f(t)=t 2 2-t2+t-2=0(t-l)(t+2)=0 t=l 或 t=-2点 评：函 数 f(x)当 x 取 正 整 数 时 的 问 题，即 为 数 列

21、 问 题.所 以，这 里 运 用(或 借 鉴)了 数 列 求 和 的 思 想 或 方 法(阶 差 法 或 分 项 法).看 透 问 题，把 握 本 质,解 题 时 方 能 联 想 顺 畅，入 手 准 确.这 是 我 们 始 终 所 追 求 的 境 界./五.高 考 真 题(一)选 择 题 1.(2005湖 北 卷)在 y=2x,y=log2x,y=x2,y=cos2x 这 四 个 函 数 中，当 0X1x2l 时，,阿+g2 恒 成 立 的 函 数 的 个 数 是().A.O B.l C.2 D.3分 析:运 用 数 形 结 合 思 想，考 察 各 函 数 的 图 象.注 意 到 对 任 意

22、X1,X2CI,且 X1X2,当 f(x)总 满 足/(2 时，函 数 Rx)在 区 间 I上 的 图 象 是“上 凸”的，由 此 否 定 y=2x,y=x2,y=cos2x,本 题 应 选 B2.(2004湖 北 卷)已 知 l+x l+x，则 f(x)的 解 析 式 可 取 为()A.1+12xB E2 Mc.D力=凝 g l).a一 份 I-x 1/分 析:运 用 直 接 法.令 l+x=t,则 x=1+2K；.f(x尸 l(x齐 1)应 选 C“1 X、1-K 2-J-说 明:注 意 到 对 于 1+x，有 1+M=-1+1+X A1,.对 于 Rx)应 有 XAI.若 选 项 中 的

23、 函 数 附 加 定 义 域,则 从 定 义 域 入 手 筛 选 为 上 乘 解 法.3.(2004湖 南 卷)设 函 数 f(x)=I2*，若 4_4尸 40),小 2尸-2,则 关 于 x 的 方 程 f(x)=x的 解 的 个 数 为().A.l B.2 C.3 D.4分 析：从 确 定 f(x)的 解 析 式 入 手.由 R-4)=f(0),f(-2尸-2得 1 6 T-=c fi=41 4 26+c=2=2x0 JxMO xMO*=/=2或 1/+4 x+2=”-卜+女+2=0 或*=2故 本 题 应 选 c|(X 4-1)JC1的 自 变 量 x 的 取 值 范 围 为()A.(Y

24、 T 1 U0,10 B.(-1-21 U0,l C,-a*,2lul,10 D,-2,0Ul,10分 析:注 意 到 解 决 分 段 函 数 的 基 本 策 略:分 段 研 究，综 合 结 论.fx l(计 炉 2 1或 1 4-而 彳 之 1=x 1，由 此 否 定 B,故 本 题 应 选 A(二)填 空 题 1.(2005江 苏 卷)已 知 a,b 为 常 数，若 f i；x)=x2+4x+3,Rax+b)=x2+10 x+24,贝 l j 5 a-b=.分 析：I l f(x)=x2+4x+3 f(ax+b)=(ax+b)2+4(ax+b)+3=a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b

25、+3,，由 已 知 条 件 得 a2x2+(2ab+4a)x+b2+4b+3=x2+10 x+24故 有 2ab+4a=WA4+464-3=246 a=l3%.=-7/.5a-b=22.(2005北 京 卷)对 于 函 数 定 义 域 中 任 意 的 X1,X2(x/X2),有 如 下 结 论：f i：X|+X2)=f(X|)f(X2)f(XrX2)=f(Xi)+f(X2)R 3)0/卢 如,+/(珀；2 2当 出 x)=lgx时，上 述 结 论 中 正 确 结 论 的 序 号 是.分 析:根 据 对 数 的 运 算 法 则 知 正 确,不 正 确；g g借 助 f(x)=lgx的 图 象，考

26、 察 的 几 何 意 义;经 过 点(Xi,f(X1),(X2,心 2)的 直 线 的 斜 率，可 知 正 确;注 意 到 f(X尸 IgX的 图 象“上 凸”，可 知 正 确.故 木 题 应 填、.3.(2004浙 江)已 知,则 不 等 式 x+(x+2)Rx+2)W5的 解 集 是.分 析：注 意 到 原 不 等 式 中 之 下 的 式 子 为(x+2),为 利 用 已 知 条 件 化 抽 象 为 具 体，故 从 x+2的 符 号 或 取 值 入 手 进 行 讨 论 和 等 价 转 化.x+2 2 0 J JT+2 0 3 3或=2 s x s 2 或 x f(x)-|x-l|.分 析：

27、求“对 称 曲 线 的 函 数 式 或 方 程，基 本 策 略 是 从 点 的 对 称 切 入 探 求.而 对 于 含 有 绝 对 值 的 不 等 式，在 运 用 公 式 或 平 方 去 掉 绝 对 值 不 能 实 现 时，“分 类 讨 论”乃 是 解 题 取 胜 的 杀 手 铜.解：(1)设 点 Q(x0,y0)为 y=f(x)图 象 上 任 意 一 点，点 Q 关 于 原 点 的 对 称 点 为 P(x,y),则 有 心=。r.2l=-A-2.,点 Q(xo,yo)在 函 数 y=Rx)图 象 上 yo=x()2+2xo 二 代 入 得-y=(-x+2(-x)即 y=-x2+2x 故 有

28、g(x尸-x?+2x(2)g(x)f(x)-|x-l|=2X2-|X-1|l 时 Nx?-x+l0,此 不 等 式 无 解;当 X U 时,2占。=-3 耳.原 不 等 式 的 解 集 为 卜 4点 评:以“点 对 称 入 手 破 解 对 称 问 题，以“绝 对 值 的 零 值 分 划 讨 论 的 区 间,这 都 是 解 决 相 关 问 题 的 基 本 策 略.2.(2005上 海 卷)已 知 函 数 f(x尸 kx+b的 图 象 与 x、y轴 分 别 相 交 于 点 A、B,AB=芯+2 了(儿 1 分 别 是 与 x、y 轴 正 半 轴 同 方 向 的 单 位 向 量)，函 数 g(x)=

29、x2-x-6g(x)+l(1)求 k、b 的 值;(2)当 x 满 足 f(x)g(x)时,求 函 数/W 的 最 小 值.分 析:对 于(1),注 意 到 k、b 含 在 f(x)的 解 析 式 中，故 从 探 求 A、B 点 坐 标 切 入，利 用+2 建 立 方 程 或 方 程 组;对 于(2),则 要 注 意 立 足 于 不 等 式 f(x)g(x)的 解 集，探 求 所 给 函 数 的 最 小 值.b b v2 p=i解：由 已 知 得 A(-工，0),B(0,b),从 而 布=(上，b)、又 短=(2,2),故 得 心=2=b=2工 所 求 k=l,b=2.(2)f(x)g(x)=

30、X+2X2-X-6=X2-2X-80=-2x4 式 0+l j _*_ 5(x+2)2_5(x+2)+l 1/W=x+2=*+2=(x+2)+x+2-5(分 离 整 式 项)又 由 知 0 x+26、S2J(r+2)-I-1-.由 得/W 1+2 5=-3 当 且 仅 当 X+2=X+2 即 x=-l(满 足 式)时 等 号 成 立.9+1二 函 数 的 最 小 值 为-3.点 评:在 这 里，运 用 不 等 式 求 所 给 函 数 的 最 小 值，函 数 式 的 分 离 整 式 项 的 变 形 至 关 重 要.般 地，当 分 子 次 数 等 于 分 母 次 数 时,分 式 可 分 离 出 一

31、 个 常 数 项;当 分 子 次 数 大 于 分 母 次 数 时，分 式 可 分 离 出 一 个 整 式 项.“分 离”整 式 项 的 手 法，是 在 分 r 实 施“配 凑”,将 分 子 表 示 为 分 母 的 函 数 式.3.(2005江 西 卷)已 知 函 数 fl,解 关 X 的 不 等 式 2-X分 析：对 于(1),从 已 知 方 程 的 实 根 入 手 推 理.对 于(2),则 要 注 意 求 解 分 式 不 等 式 的 基 本 过 程:移 项 一 通 分 分 解 因 式 一 转 化(为 整 式 不 等 式)一 求 解.这 是 解 决 这 类 问 题 的 规 范 性、完 整 性

32、以 及 完 解 完 胜 的 基 础 与 保 障.解：(1)f(x)-x+12=0=-X+12=0将 X】=3,X2=4代 入 方 程 得 方+A上=-8 3+A 解 得 a=I/“2.八 二 口 为 4.f(x)=4*(H 0，-&+l+Jb 0(2)原 不 等 式=Rx)-2-X=2-K=(2-x)/一 读+。*+/0 X(I)当 l k 2时，由 你)解 得 l x 2;(II)当 k=2 时，由 你)得(X-2)2(X-1)0=lx2;(HI)当 k 2时，由 伊)得 l x k.于 是 可 知，当 1 2时，原 不 等 式 的 解 集 为(1,2)U(k,+8).点 评:本 题 突 出

33、 考 察 分 类 讨 论 与 数 形 结 合 的 思 想.在 解 高 次 不 等 式 时，若 采 用“根 轴 法”，则 可 使 解 答 更 为 快 捷 准 确，请 同 学 们 一 试.4.(2005上 海 卷)对 定 义 域 分 别 是 Df、Dg的 函 数 y=f(x)，产 g(x),规 定:函 数(力 或 才 3xeDffijreD l,则 x-10,h(x)24,当 且 仅 当 x=2时 等 号 成 立；若 x v l,则 x-l3时，关 于 x 的 方 程 Rx)=f(a)有 三 个 实 数 解.分 析：由 于 二 次 函 数 与 反 比 例 函 数 的 形 式 确 定,故 运 用“待

34、 定 系 数 法”探 求 0(x)与 以 x);对 于(2),当 对 方 程 f(x)=f(a)直 接 求 解 感 到 困 难 时，要 想 到 运 用 数 形 结 合 思 想，适 时 转 化 为 两 个 函 数 图 象 的 交 点 问 题.解：由 题 意 设 f|(x)=ax2,&(x)=*(k0),由 f|(l)=l 得 a=l,故 f|(x)=x2又 y=f2(x)的 图 象 与 直 线 y=x的 交 点 分 别 为 A(海,B,则 由|AB|=8得 k=8,故 f2(x)=8 8*fi(x)=x2+X8.8 8一 a 十 一 一 z T-(2)证 法 一：由 f(x)=f(a)得 x?+

35、左=,=X=x2+.8 8在 同 一 坐 标 系 内 作 出 L(x尸 X 与 f3(x)=X?+a 的 大 致 图 象，注 意 到 以 X尸 工 的 图 象 是 以 坐 标 轴 为 渐 近 线，且 位 于 第 一、三 象 限 的 双 曲 线,f3(X尸 一 X?+的 图 象 则 是 以 点(0,)为 顶 点，开 口 8向 下 的 抛 物 线.因 此$(x)=M 与 均(x)=-x2+-的 图 象 在 第 三 象 限 有 个 交 点,即 f(x)=f(a)有 一 个 负 数 解.又 V 蚊 2)=4,6(2)=4-4，当 a3 时,f3(2)仅 2)=。-80,当 a3时，在 第 一 象 限&

36、(x)的 图 象 上 存 在 一 点(2,f3(2)在 y=f(x)图 象 的 上 方.y=f2(x)y=f3(x)的 图 象 在 第 一 象 限 有 两 个 交 点.即 方 程 f(x尸 f(a)有 两 个 正 数 解.于 是 由、知，当 a3时，方 程 f(x)=f(a)有 三 个 实 数 解.8,.8 8-a+证 法 二：由 Rx尸 Ra)得 x?+*=。=(x-a)(x+a-8)=08；.x=a为 方 程 f(x尸 f(a)的 一 个 实 数 解.又 方 程 x+a-QC=0 可 化 为 ax，。*8=0 由 a3得 方 程 的 判 别 式=a4+32a0p，-3,+32a-fl*+3

37、2a.由 解 得 X2=2a 内=2tfX20,.*.X1X2 且 X2#X3-o _此 时，若 X1=X3,则 有 a=3a2=J，+32a=a，=4a=a=0 或 a=这 与 a3矛 盾，故 有 x#X3 于 是 由、知，原 方 程 有 三 个 实 数 解.点 评:以 上 两 种 解 法 各 有 短 长.解 法 一 转 化 为 两 个 函 数 图 象 的 交 点 问 题，显 直 观 灵 活，但 本 题 的 求 解 头 绪 较 多 且 比 较 隐 蔽;解 法 二 立 足 于 求 解 方 程,感 觉 踏 实 稳 健，但 有 时 会 招 致 复 杂 的 运 算.对 于 所 给 相 关 问 题 究

38、 竟 选 择 哪 一 种 解 法 为 上，则 要 具 体 情 况 具 体 分 析，不 可 一 概 而 论.函 数 的 概 念 例 1.下 列 对 应 是 不 是 从 A 到 B 的 映 射，为 什 么？(1)A=R+,B=R,对 应 法 则 是“求 平 方 根”；(2)A=x|-2x2,B=y|Oyl,对 应 法 则 是“平 方 除 以 4”；(3)A=x|0 x2,B=y|Oyl.对 应 法 则 是 f:x-y=(x-2)2,其 中 xeA,y B;(4)A=x|00 x180,B=y|OWyWl对 应 法 则 是“求 正 弦”.(5)A=平 面 a 内 的 圆,B=平 面 a 内 的 矩

39、形,对 应 法 则 是“做 圆 的 内 接 矩 形”.解：(2),(4)是 从 A 到 B 的 映 射，因 为 对 于 集 合 A 中 的 任 何 一 个 元 素，按 照 对 应 法 则，在 集 合 B中 都 有 唯 的 元 素 和 它 对 应.(1)不 是 从 A 到 B 的 映 射.因 为 A 中 的 元 素 1在 B 中 有-1和 1两 个 元 素 与 之 对 应.(3)不 是 从 A 到 B 的 映 射，因 为 A 中 的 元 素 0 在 B 中 没 有 元 素 与 之 对 应.(5)不 是 从 A 到 B 的 映 射.因 为 一 个 圆 有 无 穷 多 个 内 接 矩 形，即 A 中

40、 任 何 一 个 元 素 在 B 中 都 有 无 穷 多 个 元 素 与 之 对 应.例 2.点(x,y)在 映 射 f 下 的 象 是 Q x-y,2 x+y),求 点(4,6)在 映 射 f 下 的 原 象.4 1解：由 映 射 的 定 义 得+y?解 得 卜 5-21所 以 点(4,6)在 映 射 f 下 的 原 像 是(二,1).例 3.下 列 函 数 f(x)与 g(x)是 否 表 示 同 一 个 函 数？为 什 么？(1)f(x)=(x-l),g(x尸 1.(2)f(x)=x,g(x)=V?.(3)f(x)=x2,g(x)=(x+l)2.分 析：中 f(x)与 g(x)的 定 义

41、域 不 同.(2)中 f(x)与 g(x)的 定 义 域 相 同 但 值 域 不 同.(3)f(x)与 g(x)的 定 义 域 相 同.值 域 也 相 同，但 对 应 法 不 同.所 以 它 们 都 不 表 示 同 一 个 函 数.例 4.以 墙 为 一 边，用 篱 笆 围 成 一 个 长 方 形 的 场 地，并 且 用 平 行 于 一 边 的 篱 笆 隔 开(如 右 图 1).已 知 篱 笆 总 长 为 定 值 Z,(1)写 出 场 地 面 积,y 为 边 长 x 的 函 数 表 达 式，并 指 出 函 数 的 定 义 域.(2)当 边 长 x 为 何 值 时，场 地 面 积 最 大？并 求

42、 出 最 大 值.解：(1)由 题 设 可 知:另 一 边 长 为/3 x,于 是 y=x(1 3x),x(0,三).y=x(/-3x)=-3x2+/x=-3(x-*)2+1 2,当!_ x=f时，场 地 面 积 y 最 大=1 2,此 时 另 一 边 长 为 上.例 5.(1)已 知 f(x+l)=x J 2,求 f(x).(2)已 知 f(x)+2f(工 尸 3 x,求 f(x).(3)已 知 f(x)为 二 次 函 数，且 f(x+l)+f(x-l)=2x2-4x 求 f(l-企)的 值.解：方 法 1：令 x+l=t,则 x=t-l,于 是,f(t)=-(t-1)2-2=-t2+2t-

43、3=-x2+2x-3方 法 2：/f(x+l)=-(x+l)2+2(x+l)-3 f(x)=-x2+2x-3.I I 3 I 2 由 f(x)+2f(H)=3x 得 f(工)+2f(x)=1.联 立 消 去 f(工)，得 f(x)=H-x.(3)分 析：要 求 G-点)，只 要 求 出 转 x)即 可，可 设：f(x尸 ax?+bx+c.利 用 待 定 系 数 法 求 f(x).解：设 f(x)=ax2+b x+c,则 1)=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+(b+2a)x+a+b+cf(x-1)=a(x-1)2+b(x-1)+c=ax2-(2a-b)x+a-b+c*/f(x-1)+f

44、(x+1)=2X2-4X/.2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x/.2a=2,2b=-4,2a+2c=0,a=l,b=-2,c=-l,/.f(x)=x2-2x-l)=0.评 注：求 函 数 表 达 式 的 主 要 方 法 有 凑 法，换 元 法，待 定 系 数 法.如 果 已 知 复 合 函 数 flg(x)的 表 达 式 时，常 用 换 元 法，如 方 法 一，当 已 知 复 合 函 数 表 达 式 比 较 简 单 时，可 用 直 接 配 凑 法，如 方 法 二，如 果 已 知 函 数 解 析 式 的 构 造 时 可 用 待 定 系 数 法，如(3),特 殊 情 况.采 用 特 殊 方

45、 法 处 理.如(2).例 6.求 下 列 函 数 的 值 域.l-3 x(l)y=2 x*l(2)y=2a-4 x*34 7(3)y=石+3(4)y=2x-3+*l 3-4 x5 产 必 可 十 后 亨 l-3 xI解：产 2*+1=.3-2x+1=-，-2x-1_ 3+5 12 2 2*+1法,值 域 是 y|y#-,yG R).ax+b评 注：对 于 形 如 产 cx+d 的 函 数 求 值 域，常 采 用 离 析 常 数，使 分 子 不 含 X,从 而 求 出 函 数 的 值 域.(2)V 对 于 2X2-4X+3,A=(-4)2-4X2X3=-80,函 数 定 义 域 为 R,原 函

46、 数 化 成 2yx?_4yx+3y-5=0,x C R 且 y翔，关 于 x 的 方 程 应 有 A=16y2-4-2y(3y-5巨 0,/.0 对._契 尸 2,.值 域 是 一 弓,2).评 注：已 知 两 个 变 量 的 关 系 如 其 中 一 个 变 量 的 范 围，可 以 求 出 另 一 变 量 的 范 围._ 13-尸 13 T l 1(4)设 1=113_4_,则*=4(t 0).于 是，y=2-4-3+t=-(t-l)2+4(t0),在 区 间 0,+8)上，当 t=l时，ymax=4.而 y 没 有 最 小 值，故 函 数 的 值 域 为(Q,4.评 注：采 用 换 元 法

47、，把 原 函 数 求 值 域 的 问 题 转 化 成 二 次 函 数 求 值 域 的 问 题.是 求 值 域 的 常 用 方 法，应 注 意 新 自 变 量 的 定 义 域.(5)尸 火 1=|x+l|+|x-2|.它 表 示 数 轴 上 任 一 点 P(x)到 定 点 A(-1),B(2)间 的 距 离 之 和，如 右 图.Q当 P 点 在 线 段 AB 上 时，|x+l|+|x-2|=3,-_ _ 1 _-当 P 点 在 A 点 左 侧 或 B 点 右 侧 时|x+l|+|x-2|3,.在 3.2 人 0 B例 7.在 边 长 为 4 的 正 方 形 A B C D 的 边 上 有 一 动

48、 点 P,从 点 P 开 始 沿 折 线 B C D 向 点 A 运 动，设 点 P 移 动 的 距 离 为 x,A A B P 的 面 积 为 y,求 y=f(x)的 定 义 域.1 1解：(1)点 P在 BC边 上 时，图 甲，有 y=之 4x=2x.(2)点 P在 CD边 上 运 动 时，图 乙，有 y=44=8.(3)点 P在 D A边 上 时,如 图 丙，有|AP|02-x.则 广 二 4(12-x)=24-2x.综 上,0 1 J 44 x RK 7 12，f(x淀 义 域 是 0,12.评 注：建 立 函 数 关 系 要 注 意 考 虑 实 际 问 题 的 各 个 方 面，注 意

49、 从 实 际 意 义 出 发 确 定 自 变 量 x 的 范 围.三、综 合 练 习：(1)已 知 f(2x+l)=3x-2 且 f(a)=4,则 a 的 值 为.(2)若 3f(x)+2f(工)=2x,则 f(x)=.x-5,x A T/(x+2),x 6,则 的 尸 3 4 _(4)已 知 f(x)的 值 域 为 M,9,求 产 f(x)+J1一(x)的 值 域.参 考 答 案：(1-1(1)令 2x+l=a,x=2,f(a)=3,2-2=4,a=51(2)用 H 代 替 3f(x)+2f(H)=2x中 的 X 得 3f(工)+2f(x户,两 式 联 立,2 f 消 去 人 工)得 f(x

50、)=5 x.5x.(3)f(3)=f(3+2)=f(5)=f(5+2)=f(7)=7-5=2.所 以 f(3)=2._ 3 4 1 1(4)令 1=小-=(*=曲)=2，又：8f(x)ji-2f(x)工 l 一 尸 J 7=3 ty=2+t=-(t-l)2+l nt=3 时，ymin=-(3-1)2+1=ji 2 _i 7t=时，ymax=-/(-l)+l=8.在 线 测 试选 择 题 1.设 f：A-B 是 集 合 A 到 B 的 映 射，下 列 命 题 中 正 确 的 是().C A、A 中 不 同 元 素 必 有 不 同 的 象 U B、B 中 的 每 一 个 元 素 在 A 中 必 有