结构力学-第4章影响线.ppt

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1、结构力学傅向荣第四章 影响线4-1 移动荷载和影响线的概念移动荷载的概念移动荷载的概念一般工程结构除了承受恒载外，还将受到活载的作用。吊车梁要承受吊车荷载(图4-1)，桥梁要承受汽车、火车荷载等。在进行结构设计时，需要算出结构在恒载和活载共同作用下各量值的最大值。就需要研究活载作用下结构各量值的变化规律，以便找出它们的最大值。图图图图4-14-1结构在活载作用下的计算，从原理上讲与前述静力计算无异，只是荷载位置不是固定的。显然，要求出活载作用下某一量值的最大值，必须先确定产生这种最大值的荷载位置。这一荷载位置称为该量值的最不利荷载位置。最不利荷载位置的概念最不利荷载位置的概念在寻求最不利荷载位

2、置时，由于结构上各量值的变化规律并不相同，因此只能逐一考虑。例如：(图4-2a)所示的简支梁，当有一汽车自左向右移动时，各截面的内力和支座反力等都将随荷载的移动而变化(图4-2b)。其中，左支座反力FAy是逐渐减小的；相反，右支座反力FBy的变化却是逐渐增大的。可见FAy和FBy的变化规律是不同的，因而它们的最不利荷载位置也是不同的。在实际工程中，活载又可分为移动活载和可动活载两类。汽车荷载吊车荷载都属移动荷载，而人群、风、雪等活载则属可动活荷载。为了清晰和直观起见，最好把量值随FP1移动而变化的规律用函数图形表示出来，这种图形称为影影影影响响响响线线线线。它的定义如下：当当一一个个方方向向不

3、不变变的的单单位位荷荷载载沿沿一一结结构构移移动动时时，表表示示某某指指定定截截面面的的某某一一量量值值变变化化规规律律的函数图形，称为该量值的影响线的函数图形，称为该量值的影响线。影响线的概念影响线的概念图4-3a所示的简支梁，其支座A的反力FAy的影响线(图4-3b)的竖标分别表示FP1作用于A、C、B各点时，反力FAy的大小。显然，FAy的影响线只能表示FP1在梁上移动时FAy的变化规律。如果要表示FBy或其它量值的变化规律，则需另行作出FBy的影响线或其它相应量值的影响线。FP=1FAyFByEABCDFAy影响线(a)(b)影影影影响响响响线线线线是是是是研研研研究究究究活活活活载载

4、载载作作作作用用用用下下下下结结结结构构构构计计计计算算算算的的的的基基基基本本本本工工工工具具具具。应应应应用用用用它它它它，可可可可确确确确定定定定最最最最不不不不利利利利荷荷荷荷载载载载位位位位置，进而求出相应量的最大值。置，进而求出相应量的最大值。置，进而求出相应量的最大值。置，进而求出相应量的最大值。第四章 影响线4-2 静力法作简支梁影响线 4-2静力法作简支梁影响线静力法作简支梁影响线下面先以简支梁为例，介绍按静力法绘制其反力、弯矩和剪力影响线的方法。4-2-1 4-2-1 简支梁的影响线简支梁的影响线1.1.反力影响线反力影响线反力影响线反力影响线设要绘制简支梁(图4-4a)反

5、力FAy的影响线。为此，取梁的左端A为原点，令x表示FP1至原点A的距离，并假定反力的方向以向上为正。根据力矩条件由MB0，FP=1ABlx(4-4a)(4-4b)由此可得因FAy是x的一次函数，故FAy的影响线是一根直线，它只需定出两个竖标即可绘出。如图4-4b1FAy影响线为了绘制反力FBy的影响线，可取对左支座的力矩平衡条件MA0，由此得FBy的影响线方程为：绘得反力Fby的影响线如图4-4c所示。1FBy影响线(4-4c)在在在在作作作作影影影影响响响响线线线线时时时时，通通通通常常常常规规规规定定定定将将将将正正正正号号号号影影影影响响响响线线线线竖竖竖竖标标标标绘绘绘绘在基线的上边

6、，负号竖标绘在下边。在基线的上边，负号竖标绘在下边。在基线的上边，负号竖标绘在下边。在基线的上边，负号竖标绘在下边。2.2.弯矩影响线弯矩影响线弯矩影响线弯矩影响线设要绘制简支梁指定截面(图4-5a)的弯矩影响线。FP=1ABlxabC为此，先将荷FP1作用于截面C左方的某一位置x(xa)处。为计算简便起见，取梁的CB段为隔离体，以FBy对点C取矩，并规定以使梁的下边纤维受拉的弯矩为正，则得由此可知，MC的影响线在截面C以左部分为一直线。FP=1ABlxabC当荷载FP1作用于截面C以后时，即xa时，上面所求得的影响线方程显然已不再适用。因此，需另行列出MC的表达式才能作出相应部分的影响线。为

7、计算简便，取AC段为隔离体，以FAy对C点取矩，即得荷载FP1在截面C以右移动时MC的影响线方程为上式表明：MC的影响线在截面C以右部分也是一直线。FP=1ABlxabC全部影响线如图。FP=1ABlxabCMC影响线ab从上列弯矩影响线方程可以看出：左直线可由反力FBy的影响线将竖标放大到b倍而成，而右直线则可由反力FAy的影响线将竖标放大到a倍而成。因此，可以利用FAy和FBy的影响线来绘制MC的影响线。这种利用某一已知量值的影响线来作其他量值影响线的方法，常会带来较大的方便。3.3.剪力影响线剪力影响线剪力影响线剪力影响线设要绘制截面C(图4-5a)的剪力影响线。FP=1ABlxabC可

8、先列出FQC的影响线方程。关于剪力的正负号，仍规定以使隔离体有顺时针转动趋势者为正。当FP1在截面C以左移动时，取截面C以右部分为隔离体，可得当FP1在截面C以右移动时，取截面C以左部分为隔离体，可得由上面两式可知，FQC影响线的左直线与反力FBy的影响线竖标相同，惟符号相反，而其右直线则与FAy的影响线相同。据此，即可作出FQC影响线如图4-5c所示。1FQC影响线14-2-2 4-2-2 影响线与内力图的比较影响线与内力图的比较影响线和内力图虽然都是表示某种函数关系的图形，但两者的自变量和因变量是不相同的。现以简支梁弯矩影响线和 弯矩图为例说明如下：FP=1ABlxabCMC影响线bD(a

9、)FP=1ABlxabCM图bD(b)第四章 影响线4-3 结点荷载作用下梁的影响线4-3 4-3 经结点传荷的主梁经结点传荷的主梁经结点传荷的主梁经结点传荷的主梁影响线影响线影响线影响线纵梁纵梁横梁横梁主梁主梁作作M Mk,k,Q Q k k影响线影响线作法作法:1.1.作荷载直接作用作荷载直接作用 于主梁时的影响线于主梁时的影响线;ab/l2.2.将结点投影到影将结点投影到影 响线上响线上;3.3.将相邻投影点连以直线将相邻投影点连以直线.M Mk k影响线影响线a/lQ Qk k影响线影响线b/l作法的根据作法的根据:1.1.无论荷载在主梁上无论荷载在主梁上还是在纵梁上还是在纵梁上,结点

10、处结点处的纵标相同的纵标相同;2.2.影响线在相邻结点间是直线影响线在相邻结点间是直线.4-3 4-3 经结点传荷的主梁经结点传荷的主梁经结点传荷的主梁经结点传荷的主梁影响线影响线影响线影响线纵梁纵梁横梁横梁主梁主梁作作M Mk,k,Q Q k k影响线影响线作法作法:1.1.作荷载直接作用作荷载直接作用 于主梁时的影响线于主梁时的影响线;ab/l2.2.将结点投影到影将结点投影到影 响线上响线上;3.3.将相邻投影点连以直线将相邻投影点连以直线.M Mk k影响线影响线作法的根据作法的根据:1.1.无论荷载在主梁上无论荷载在主梁上还是在纵梁上还是在纵梁上,结点处结点处的纵标相同的纵标相同;2

11、.2.影响线在相邻结点间是直线影响线在相邻结点间是直线.1 1s sx x1-x/s1-x/sx/sx/s第四章 影响线4-4 静力法作桁架的影响线N N1 1影响线影响线 桁架承受的是结点荷载。桁架承受的是结点荷载。经结点传荷的主梁影响线经结点传荷的主梁影响线的做法同样适用于桁架。的做法同样适用于桁架。4-4 4-4 静定桁架影响线静定桁架影响线静定桁架影响线静定桁架影响线1 11 11 11 1aaa1 11 14-4 4-4 静定桁架影响线静定桁架影响线静定桁架影响线静定桁架影响线1.N1.N1 1影响线影响线1 1aaa1 1a2 23 34 4ABCDEFGHI.L.YI.L.YA1

12、 11 1I.L.YI.L.YBN N2 2ACEFN N1 1YAY YBBDN N2 2N N1 1力在力在G G点右侧点右侧:力在力在F F点左侧点左侧:1 12 212.N2.N2 2影响线影响线力在力在G G点右侧点右侧:力在力在F F点左侧点左侧:23.N3.N3 3 影响线影响线N N2 2N N3 3DI.L.NI.L.N34.N4.N4 4 影响线影响线力在力在G G左左:N N4 4=0=0力在力在G G点点:N N4 4=-1=-1I.L.NI.L.N41 1第四章 影响线4-5 机动法作影响线 4-5机动法作影响线机动法作影响线用机动法作静定结构的内力或反力影响线是以刚

13、体虚位移原理为依据的，它把作内力或反力影响线的静力问题转化为作位移图的几何问题。以绘制图4-7a所示梁的反力FAy的影响线为例，说明这一方法。FP=1AB(a)为了求出反力FAy应将与它相应的约束去掉而以力X代替其作用，如图4-7b所示。FP=1XAB(a)(b)这样，原结构便成为具有一个自由度的机构。使该机构发生任意微小的虚位移，并以X和P分别表示力X和FP的作用点沿力的作用方向的虚位移。则根据虚位移原理有作影响线时，取FP1，故得式中X即为力X作用点沿其方向的位移，故在给定虚位移的情况下，它是不变的；但P却随荷载FP1的位置不同而变化。则上式变为由此可知，使X1时的虚位移P图就代表X的影响

14、线，只是符号相反。综合上述可知，为了作出量值X的影响线，只需将与X相应的约束去掉，并使所得机构沿X的正方向发生单位位移，则由此得到的虚位移图即代表X的影响线。这种绘制影响线的方法，便称为机动法机动法机动法机动法。FAy影响线1XFP=1AB(a)(b)(c)下面再讨论用机动法作简支梁的内力影响线。C1C2xMcC(a)FP=1ABlab1a(c)FQCFQCCFP=1AB(d)11(e)图图图图4-84-8C1A1xa x=+(b)FP=1BA由上述可知，用机动法作静定梁的内力或反力影响线时，在去掉与所求量值X相应的约束后，原结构就成为具有一个自由度的机构。当此机构沿X的正方向发生单位位移时，

15、各杆段将如同刚性杆段那样发生符合约束条件的转动或移动，由此所得到的虚位移图沿FP1方向的分位移即代表X影响线。例例例例4-14-1 试用机动法绘制图4-9a所示多跨静定梁的FBy、MK、MC、的影响线。AGxCDBKEF2m4m3m3m2m2m1m(4-9a)(4-9b、c)解：解：解：解：(1)(1)F FByBy影响线影响线影响线影响线ACDBFEGFByGEBx1F0.51.51Fby影响线1撤去B处的支座链杆，以FBy代替其作用，并使梁ABC的点B向上发生单位虚位移(图4-9b，令BB1)。这时ABE将绕点A转动，由几何关系可知，点E的虚位移EE1.5；由此又将使梁段ECF产生虚位移，

16、因ECF在点C应满足竖向位移等于零的约束条件，故ECF只能绕点C转动，由比例关系可求得FF1；同理，进而又将引起梁段FDG绕点D转动，由比例关系可得GG0.5。梁的虚位移图如图4-9b所示。据此即可绘出FBy的影响线如图4-9c所示。(4-9d)B1GDFCEAKMK影响线(单位m)A2(2)(2)M MK K影响线影响线影响线影响线AGxCDBEF2m4m3m3m2m2m1mKMK以下不再绘出机构的虚位移图，直接作出所求量值的影响线。设想将截面K改为铰接，使铰K左右两侧杆段发生单位相对角位移，为此，可取AA2，得点K的竖标为4/62=4/3，由几何关系可求得点E的竖标为1；进而可作出ECF段

17、和FDG各段的影响线。MK的影响线如图4-9d所示。(4-9e)(3)(3)M MC C影响线影响线影响线影响线AGxCDBKEF2m4m3m3m2m2m1mMCMC影响线(单位m)21(4)(4)影响线影响线影响线影响线212/3影响线(4-9f)AGxCDBKEF2m4m3m3m2m2m1m影响线11(4-9g)(5)(5)影响线影响线影响线影响线AGxCDBKEF2m4m3m3m2m2m1m第四章 影响线4-6 影响线的应用 4-6影响线的应用（一）影响线的应用（一）利用影响线求影响量利用影响线求影响量在应用影响线确定某一量值的最不利荷载位置时，可分两步来考虑：首先，把实际活载的位置看作

18、是固定不动的，利用影响线求出实际荷载对该量值的影响；然后再进一步考察，当活载位置变动时该量值的变化规律，从而找出其最不利荷载位置。本节先讨论前一个问题，即如何利用某量值的影响线来求出作用于某一已知位置的若干集中荷载或分布荷载对该量值的影响。1.1.集中荷载的影响。集中荷载的影响。集中荷载的影响。集中荷载的影响。ABlxabCFQC影响线11y2FP1FP2FP3y3y1(a)(b)设以y1、y2、y3分别代表荷载FP1、FP2、FP3所对应的影响线竖标，则根据影响线的定义和叠加原理，可求得该荷载组作用下FQC的值为：将上述结果推广到一般情况，设结构承受一组集中荷载FP1、FP2、FP3的作用，

19、若结构上某量值S的影响线已知，而且与各荷载作用点相应位置的影响线竖标分别为y1、y2、yn，则在该组集中荷载作用下，量值S的数值可表为：(4-1)应用式(4-1)时，需注意到影响线竖标yi的正、负号。以集中荷载的影响为依据，就不难推求分布荷载对量值S的影响(图4-11a、b)。2.2.分布荷载的影响。分布荷载的影响。分布荷载的影响。分布荷载的影响。yyAAByBxdxqxABS影响线(a)(b)为此，将分布荷载沿其长度方向分成无限多个微段dx，每一微段上的荷载qxdx可看作一个集中荷载。在AB区段内的分布荷载对量值S的影响可表达为(4-2)若qx为均布荷载，即当qx=q时，则上式变为(4-3)

20、qBA2AByAS影响线AA1yB(c)(d)例例例例4-24-2 试利用影响线求简支梁(4-12a)在图示荷载作用下的MC和FQC的值。ABFP=20kNq=10kN/mCD1.2m1.2m1.2m1.2m1.2m6.0m(a)解解解解：先分加作出MC和FQC的影响线并求出有关的影响线竖标值，如图4-11b、c所示。ABFP=20kNq=10kN/mCD1.2m1.2m1.2m1.2m1.2m6.0m0.721.440.960.48110.20.40.60.40.2FQC影响线MC影响线(单位m)(a)(b)(c)根据叠加原理，可算得根据叠加原理，可算得 4-6影响线的应用（二）影响线的应用

21、（二）最不利荷载位置最不利荷载位置1 1 可动均布荷载可动均布荷载由于可动均布荷载可以任意断续地布置，故其最不利荷载位置易于确定。由式SqA可知：当均布活载布满对应于影响线正号面积的范围时，则量值S将产生最大正值Smax；反之，当均布活载布满对应于影响线负号面积的范围时，则量值S将产生最小值Smin。例例例例如如如如，对于图4-12a所示的伸臂梁，欲求截面C的最大 正 弯 矩MC(max)和最大负弯 矩 MC(min)，则它们相应的最不利荷载位置将分别如图4-13c、d所示。ABCMC影响线MC(max)MC(min)(a)(b)(c)(d)2 2 移动集中荷载移动集中荷载所谓移动集中荷载，是

22、指一组互相平行而且间距保持不变的荷载。在它们的作用下，确定某量值的最不利荷载位置一般要困难一些。临界荷载判别式临界荷载判别式 多边形影响线情况多边形影响线情况多边形影响线情况多边形影响线情况 左、右移左、右移左、右移左、右移 x x影响量影响量影响量影响量的改变量的改变量的改变量的改变量 Z Z为：为：为：为：为使向左移动时为使向左移动时为使向左移动时为使向左移动时 Z Z 为负（为负（为负（为负（极大极大极大极大），必须左移时），必须左移时），必须左移时），必须左移时（右移（右移（右移（右移 Z Z 为正，为正，为正，为正，极小极小极小极小）为使向右移动时为使向右移动时为使向右移动时为使向右

23、移动时 Z Z 为负（为负（为负（为负（极大极大极大极大），必须右移时），必须右移时），必须右移时），必须右移时（左移（左移（左移（左移 Z Z 为正，为正，为正，为正，极小极小极小极小）这就是多边形影响线的这就是多边形影响线的这就是多边形影响线的这就是多边形影响线的临界荷载判别式临界荷载判别式临界荷载判别式临界荷载判别式临界荷载的判别方法（临界荷载的判别方法（1）临界荷载判别式临界荷载判别式 三角形影响线情况（作为多边形的特例）三角形影响线情况（作为多边形的特例）三角形影响线情况（作为多边形的特例）三角形影响线情况（作为多边形的特例）为使向左移动时为使向左移动时为使向左移动时为使向左移动时

24、Z Z 为负，必须左移时为负，必须左移时为负，必须左移时为负，必须左移时 为使向右移动时为使向右移动时为使向右移动时为使向右移动时 Z Z 为负，必须右移时为负，必须右移时为负，必须右移时为负，必须右移时这就是三角型影响线的这就是三角型影响线的这就是三角型影响线的这就是三角型影响线的临界荷载判别式临界荷载判别式临界荷载判别式临界荷载判别式临界荷载的判别方法（临界荷载的判别方法（2）只讨论影响线为三角形时最不利荷载位置的确定。hab设荷载组为自左向右移动，并以 表示临界荷载FPcr以左的荷载总和，表示FPcr以右的荷载总和。即临界荷载通过影响线顶点时 应该改变符号。当荷载向右移动时，有则上式可改

25、写为(4-4)式式式式4-44-4称为三角形影响线确定临界荷载的判别式。称为三角形影响线确定临界荷载的判别式。称为三角形影响线确定临界荷载的判别式。称为三角形影响线确定临界荷载的判别式。可写出S发生极大值的两个不等式必须指出，上述判别式是假定荷载组自左向右移动而得出的，如荷载自右向左移动，也将得到同样的判别式，故它与荷载移动的方向无关。最后还需指出，上述临界荷载判别式，不适用于影响线范围内竖标有突变的情况(例如剪力影响线)。例例例例4-44-4 试求图4-14a所示简支梁在图示移动荷载作用下截面K的最大弯矩。已知FP150kN，FP2100kN，FP330kN，FP470kN，FP530kN，

26、FP670kN，A4m4m5m15m4mKB40m10m30m(a)解：解：解：解：作出弯矩MK 的影响线，如图5-14b所示。1m4m4m5m15m4m7m50 100 30 707030单位kN6m4m4m5m15m4m2m7050 100 30 7030单位kN104.57.56.255.251.50.5MK影响线(单位m)A4m4m5m15m4mKB40m10m30m(a)(b)(c)(d)当FP330kN在截面K左、右侧时(图4-14c)，按判别式(4-4)有故FP3不是临界荷载。根据本例的荷载和影响线的具体情况，FP5、FP6以及FP1在截面K时都不可能是使MK产生最大值的最不利荷

27、载位置。当FP2100kN在截面K左、右侧时(图4-14d)，按判别式(5-4)有故FP2为一临界荷载。同理，可判定FP4不是临界荷载。FP2在K时即是最不利荷载位置，算出相应于这一荷载位置时各集中力所对应的影响线竖标值(图4-14b)，求得。4-8简支梁的包络图和绝对最大弯矩简支梁的包络图和绝对最大弯矩房屋建筑中的梁板式楼面，其上的板、次梁和主梁一般都按连续梁计算。这些连续梁将可能同时承受恒载和活载的作用，设计时必须考虑两者的共同影响，求出各个截面可能产生的最大和最小的内力作为设计依据。其中，恒载所引起的内力是不变的，而活载所引起的内力则将随活载分布的不同而改变，故应将恒载和活载的影响分别加

28、以考虑。连续梁在恒载和活载作用下不仅会产生正弯矩，而且还会产生负弯矩。因此，它的弯矩包络图将由两条曲线组成：其中一条曲线表示各截面可能出现的最大弯矩值，另一条曲线则表示各截面可能出现的最小弯矩值(当该截面的弯矩为负值时，此最小值即为其最大的负弯矩值)。它们表示了梁在恒载和活载的共同影响下各截面弯矩的极限范围，称为弯弯弯弯矩矩矩矩包络图包络图包络图包络图。作弯矩包络图的步骤可总结如下：作弯矩包络图的步骤可总结如下：(1)绘出恒载作用下的弯矩图；(2)依次按每一跨单独布满活载的情况，逐一绘出其弯矩图。(3)将各跨分为若干等分，对每一等分点处，将恒载弯矩图中该处的竖标值与所有各个活载弯矩图中对应的的

29、正(负)竖标值之和相叠加，便得到各分点处截面最大(小)弯矩值。(4)将上述各最大(小)弯矩值在同一图中按同一比例尺用竖标标出，并以曲线相连，即得所求的弯矩包络图。弯弯弯弯矩矩矩矩包包包包络络络络图图图图在在在在连连连连续续续续梁梁梁梁的的的的设设设设计计计计中中中中是是是是很很很很有有有有用用用用的的的的。它它它它表表表表示示示示了了了了连连连连续续续续梁梁梁梁上上上上各各各各截截截截面面面面弯弯弯弯矩矩矩矩变变变变化化化化的的的的极极极极限限限限情情情情形形形形，据据据据此此此此可可可可合合合合理理理理地地地地选选选选择择择择截截截截面面面面尺尺尺尺寸寸寸寸。在在在在设设设设计计计计钢钢钢钢

30、筋筋筋筋混混混混凝凝凝凝土梁时，它是布置钢筋的重要依据。土梁时，它是布置钢筋的重要依据。土梁时，它是布置钢筋的重要依据。土梁时，它是布置钢筋的重要依据。1.简支梁内力包络图简支梁内力包络图弯矩包络图弯矩包络图剪力包络图剪力包络图692.212mAB280kN4.8m4.8m1.44280kN 280kN 280kN将梁分成十等份将梁分成十等份求各分点截面弯矩最大值求各分点截面弯矩最大值1182.71471.71639.71668.7用光滑曲线连成曲线用光滑曲线连成曲线660.8576.8-28492.8-56408.8324.8218.4-84-134.4-218.4-324.8-492.8-

31、408.8-576.8-660.8134.4845628求各分点截面剪力的求各分点截面剪力的最大值和最小值最大值和最小值用光滑曲线连成曲线用光滑曲线连成曲线(以上数值未计恒载影响以上数值未计恒载影响)例例例例4-54-5 试绘制图4-15a所示三跨等截面连续梁的弯矩包络图。梁上承受的恒载为g20kN/m，均布活载为p40kN/m。3012EI=常数6m6m6m(a)解解解解：首先作出恒载作用下的弯矩图(4-15b)和各跨分别承受活载时的弯矩图(4-15c、d、e)。将梁的每一跨分为四等分，求出各弯矩图中各等分点的竖标值。然后将图4-15b中各截面的竖标值和图4-15c、d、e中对应正负(负)竖

32、标值相加，即得最大(小)弯矩值。g=20kN/m724.54.57249.55413.51813.55449.5(b)1111326396663662418126p=40kN/m(c)活载在第一跨的M图(单位kNm)恒载的M图(单位kNm)6410863365436725418721840kN/m669661218246366313211140kN/m活载在第三跨的M图(单位kNm)活载在第二跨的M图(单位kNm)(d)(e)又如在第一跨跨中的截面处：把各个最大弯矩值和最小弯矩值分别用曲线相连，即得弯矩包络图，如图4-15f所示。图中弯矩单位为kNm。例如在支座1处：166.519894.54858.512658.54894.5198166.531.51840.524076.55476.524040.51831.5(f)弯矩包络图(单位kNm)