2023年初三数学-锐角三角函数精品讲义1.pdf

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1、优秀教案 欢迎下载 一.教学目标：1.通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），记忆 30、45、60的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；2.会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值会求它的对应的锐角 3.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；4.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力 5.能综合运

2、用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题 二、教学重难点：1重点:（1）锐角三角函数的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函数值也很重要，应该牢牢记住（2）能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题 2难点:（1）锐角三角函数的概念（2）经历探索 30，45，60角的三角函数值的过程，锻炼学生观察、分析，解决问题的能力 三、知识点梳理 知识点 1 正弦：如图所示，在 RtABC 中，C=90，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦，记作 sinA，即 ；可得 a=；c=余弦：如图所示，在 RtABC 中，C=90，我们把锐角A 的邻边与斜边的比 叫做A 的

3、余弦，记作 cosA，即 ，可得 b=；c=正切：如图所示，在 RtABC 中，C=90，我们把A 的对边与邻边的比叫做A 的正切，记作 tanA，课题 锐角三角函数 学生姓名 年级 初三 日期 优秀教案 欢迎下载 即 ，可得 a=；b=特殊角的锐角三角函数 角度 函数 0 30 37 45 53 60 90 sin cos tan 锐角三角函数值的变化情况:（1）锐角三角函数值都是正值 （2）正弦、余弦的增减性：当 090时，sin ，cos 0A90间变化时，0sin 1,0cosA1 （3）正切、余切的增减性：当 090时，tan随的增大而增大，cot随的增大而减小。当角度在 0A0 任

4、意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。A90B90得由BA 知识点 2解直角三角形 方向角（或方位角）：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）。)90cos(sinAA)90sin(cosAA BAcossinBAsincos对边 邻边 斜边 A C B b a c 它的三角函数值由已知三角函数值会求它的对应的锐角理解直角三角形简单的实际问题通过综合运用勾股定理直角三角形的两个锐角互余及锐函数的概念和直角三

5、角形的解法特殊角的三角函数值也很重要应该牢牢优秀教案 欢迎下载 指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于 90的水平角，叫做方向角 仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角。坡角与坡度：坡面的垂直高度 和水平宽度 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为 ，坡面与水平面的夹角记作，叫做坡角，则坡度越大，坡面就越陡。坡度一般写成1:m的形式，如1:5i 等。四、锐角三角函数考点 考点一：锐角三角函数的定义 一选择题（共 6 小题）1（2012 乐山）如图，在 RtABC 中，C=90，AB=2BC，则 sinB 的值为（）A B C D1 2（20

6、17 奉贤区一模）如果把一个锐角ABC 的三边的长都扩大为原来的 3 倍，那么锐角 A 的余切值（）A扩大为原来的 3 倍 B缩小为原来的 C没有变化 D不能确定 3（2016 广陵区二模）在正方形网格中，BAC 如图所示放置，则 cosBAC 等于（）A3 B C D 4（2015 蚌埠二模）如图，直径为 10 的A 经过点 C（0，5）和点 O（0，0），B 是 y 轴右侧A 优弧上一点，则 tanOBC 的值为（）:ihlhl它的三角函数值由已知三角函数值会求它的对应的锐角理解直角三角形简单的实际问题通过综合运用勾股定理直角三角形的两个锐角互余及锐函数的概念和直角三角形的解法特殊角的三角

7、函数值也很重要应该牢牢优秀教案 欢迎下载 A B C D 5（2016 市中区三模）如图，ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则 cosABC 等于（）A B C D 6（2016 安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 都在格点上，则ABC 的正切值是（）A2 B C D 二填空题（共 4 小题）7（2014 番禺区一模）已知圆锥的底面半径为 10cm，侧面积为 260cm2，设圆锥的母线与高的夹角为 ，则 cos 的值为 8（2016 天河区一模）如图，已知点 A（0，1），B（0，1），以点 A 为圆心，AB 为半径作圆，交 x 轴的正半轴于点 C，则 tanBA

8、C=9（2016 越秀区一模）如图，ABC 中，DE 是 BC 的垂直平分线，DE 交 AC 于点 E，连接 BE，若 BE=5，BC=6，则 sinC=10（2016 新化县一模）如图，ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则 cosC=三解答题（共 4 小题）11（2015 萝岗区一模）如图，在 ABC 中，A=30，B=45，BC=，求 AB 的长 它的三角函数值由已知三角函数值会求它的对应的锐角理解直角三角形简单的实际问题通过综合运用勾股定理直角三角形的两个锐角互余及锐函数的概念和直角三角形的解法特殊角的三角函数值也很重要应该牢牢优秀教案 欢迎下载 12（2016 连云港）如图，在AB

9、C 中，C=150，AC=4，tanB=（1）求 BC 的长；（2）利用此图形求 tan15 的值（精确到 0.1，参考数据：=1.4，=1.7，=2.2）13（2011 广州）已知 RtABC 的斜边 AB 在平面直角坐标系的 x 轴上，点 C（1，3）在反比例函数 y=的图象上，且 sinBAC=（1）求 k 的值和边 AC 的长；（2）求点 B 的坐标 考点二：特殊角的三角函数值 一选择题（共 7 小题）1（2016 天水校级自主招生）计算cos30 的值为（）A B C1 D3 2（2016 洪泽县一模）在 RtABC 中，C=90，sinA=，则A 等于（）A30 B45 C60 D

10、不能确定 3（2016 雅安校级自主招生）已知A 为锐角，且 tanA=，那么下列判断正确的是（）A0A30 B30 A45 C45 A60 D60 A90 4（2017 宝山区一模）已知A=30，下列判断正确的是（）AsinA=BcosA=CtanA=DcotA=5（2016 长宁区一模）若23tan32sin30AB，则以A、B为内角的ABC一定是（）.A等腰三角形 B 等边三角形 C直角三角形 D锐角三角形 6（2016 安徽四模）在ABC 中，若|sinA|+（tanB）2=0，则C 的度数为（）A30 B60 C90 D120 7（2016 罗定市一模）已知 为锐角，sin（20）=

11、，则=（）A20 B40 C60 D80 它的三角函数值由已知三角函数值会求它的对应的锐角理解直角三角形简单的实际问题通过综合运用勾股定理直角三角形的两个锐角互余及锐函数的概念和直角三角形的解法特殊角的三角函数值也很重要应该牢牢优秀教案 欢迎下载 二填空题（共 1 小题）8（2016 株洲模拟）在将 RtABC 中，A=90，C：B=1：2，则 sinB=三解答题（共 3 小题）9（2017 普陀区一模）计算：cos245+tan30 10（2016 秋 大连期末）如图，已知ABC 中，C=90，且 sinA=，BC=1.5，求 AC 考点三：解直角三角形 一选择题（共 3 小题）1（2013

12、 越秀区校级二模）在ABC 中，C=90，BC=2，sinA=，则边 AC 的长是（）A3 B C D 2（2016 深圳模拟）如图，在ABC 中，C=90，sinA=，BC=12，则 AC=（）A3 B9 C10 D15 3（2006 烟台）如图，在矩形 ABCD 中，DEAC 于 E，设ADE=，且 cos=，AB=4，则AD 的长为（）A3 B C D 二解答题（共 9 小题）4在 RtABC 中，C=90，根据下列条件解直角三角形（1）B=60，b=；（2）a=2，c=4；（3）A=30，c=25；（4）a=8，b=8 它的三角函数值由已知三角函数值会求它的对应的锐角理解直角三角形简单

13、的实际问题通过综合运用勾股定理直角三角形的两个锐角互余及锐函数的概念和直角三角形的解法特殊角的三角函数值也很重要应该牢牢优秀教案 欢迎下载 5（2016 上海）如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=BC=3，点 D 在边 AC 上，且 AD=2CD，DEAB，垂足为点 E，联结 CE，求：（1）线段 BE 的长；（2）ECB 的余切值 6（2014 番禺区校级二模）如图，为了测量不能到达对岸的河宽，在河的岸边选两点 A、B，测得AB=100 米，分别在 A 点和 B 点看对岸一点 C，测得A=43，B=65，求河宽（河宽可看成是点 C 到直线 AB 的距离）7（2016 厦门）如图，在

14、四边形 ABCD 中，BCD 是钝角，AB=AD，BD 平分ABC，若 CD=3，BD=，sinDBC=，求对角线 AC 的长 8（2016 梧州）如图，四边形 ABCD 是一片水田，某村民小组需计算其面积，测得如下数据：A=90，ABD=60，CBD=54，AB=200m，BC=300m 请你计算出这片水田的面积（参考数据：sin54 0.809，cos54 0.588，tan54 1.376，1.732）它的三角函数值由已知三角函数值会求它的对应的锐角理解直角三角形简单的实际问题通过综合运用勾股定理直角三角形的两个锐角互余及锐函数的概念和直角三角形的解法特殊角的三角函数值也很重要应该牢牢优

15、秀教案 欢迎下载 9（2016 包头）如图，已知四边形 ABCD 中，ABC=90，ADC=90，AB=6，CD=4，BC 的延长线与 AD 的延长线交于点 E（1）若A=60，求 BC 的长；（2）若 sinA=，求 AD 的长（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）考点四：解直角三角形的实际应用 方位角类 1（2016 白云区校级二模）海滨城市某校九（2）班张华（图 5 中的 A 处）与李力（图中的 B 处）两同学在东西方向的沿海路上，分别测得海中灯塔P 的方位角为北偏东 60、北偏东 30，此时他们相距 800 米（1）PBC=（2）求灯塔 P 到沿海路的距离（结果用根号表示）2（20

16、14 番禺区校级模拟）马航事件牵动了全国甚至全世界人们的心，当得知 MH370 客机最后失 踪地点是在印度洋南部某海域 C 处，“雪龙”号科考船立即从 B 处出发以 60km/h 的速度前往搜救 已知出发时在 B 测得搜救指挥基地 A 的方位角为北偏东 80，测得失踪地点 C 的方位角为南偏东25 航行 10 小时后到达 C 处，在 C 处测得 A 的方位角为北偏东 20 求 C 到 A 的距离 它的三角函数值由已知三角函数值会求它的对应的锐角理解直角三角形简单的实际问题通过综合运用勾股定理直角三角形的两个锐角互余及锐函数的概念和直角三角形的解法特殊角的三角函数值也很重要应该牢牢优秀教案 欢迎

17、下载 3（2013 苏州）如图，在一笔直的海岸线 l 上有 AB 两个观测站，A 在 B 的正东方向，AB=2（单位：km）有一艘小船在点 P 处，从 A 测得小船在北偏西 60 的方向，从 B 测得小船在北偏东 45的方向（1）求点 P 到海岸线 l 的距离；（2）小船从点 P 处沿射线 AP 的方向航行一段时间后，到点 C 处，此时，从 B 测得小船在北偏西15 的方向求点 C 与点 B 之间的距离（上述两小题的结果都保留根号）4（2016 广州校级一模）两个城镇 A、B 与两条公路 ME，MF 位置如图所示，其中 ME 是东西方向的公路现电信部门需在 C 处修建一座信号发射塔，要求发射塔

18、到两个城镇 A、B 的距离必须相等，到两条公路 ME，MF 的距离也必须相等，且在FME 的内部（1）点 C 应选在何处？请在图中，用尺规作图找出符合条件的点 C（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）（2）点 C 到公路 ME 的距离为 2km，设 AB 的垂直平分线交 ME 于点 N，点 M 处测得点 C 位于点 M 的北偏东 60 方向，在 N 处没得点 C 位于点 N 的北偏西 45 方向，求 MN 的长（结果保留根号）俯角仰角类 1（2016 广州）如图，某无人机于空中A 处探测到目标 B，D，从无人机 A 上看目标 B，D 的俯角分别为 30，60，此时无人机的飞行高度 AC 为

19、60m，随后无人机从 A 处继续飞行 30m 到达A 处，（1）求 A，B 之间的距离；（2）求从无人机 A 上看目标 D 的俯角的正切值 它的三角函数值由已知三角函数值会求它的对应的锐角理解直角三角形简单的实际问题通过综合运用勾股定理直角三角形的两个锐角互余及锐函数的概念和直角三角形的解法特殊角的三角函数值也很重要应该牢牢优秀教案 欢迎下载 2（2014 哈尔滨）如图，AB、CD 为两个建筑物，建筑物 AB 的高度为 60 米，从建筑物 AB 的顶点 A 点测得建筑物 CD 的顶点 C 点的俯角EAC 为 30，测得建筑物 CD 的底部 D 点的俯角EAD为 45 （1）求两建筑物底部之间水

20、平距离 BD 的长度；（2）求建筑物 CD 的高度（结果保留根号）3（2014 番禺区校级模拟）如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔 CD 的高度，他们先在 A 处测得古塔顶端点 C 的仰角为 45，再往古塔方向前进至点 B 处，再测得古塔顶端点 D 的仰角为 54，AB=112m 求该古塔 CD 的高度（结果保留一位小数）坡度坡比类 1（2015 番禺区校级模拟）如图，某人在 D 处测得山顶 C 的仰角为 30，向前走 300 米来到山脚A 处，测得山坡 AC 的坡度为 i=1：1，求山的高度（不计测角仪的高度，1.73，结果保留整数）3（2014 山西）如图，点 A、B、

21、C 表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段 AB、BC 表示连接缆车站的钢缆，已知 A、B、C 三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度 AA，BB，CC 分别为 110米、310 米、710 米，钢缆 AB 的坡度 i1=1：2，钢缆 BC 的坡度 i2=1：1，景区因改造缆车线路，需要从 A 到 C 直线架设一条钢缆，那么钢缆 AC 的长度是多少米？（注：坡度 i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）它的三角函数值由已知三角函数值会求它的对应的锐角理解直角三角形简单的实际问题通过综合运用勾股定理直角三角形的两个锐角互余及锐函数的概念和直角三角形的解法特殊角的三角函数值也很重要应该牢牢优秀教案 欢迎

22、下载 考点五：锐角三角函数的综合应用 1（2016 南沙区一模）如图，AB 是O 的一条弦，ODAB，垂足为点 C，交O 于点 D，点 E在O 上（1）若AOD=52，求DEB 的度数；（2）若 OC=3，OA=6，求 tanDEB 的值 3（2015 越秀区一模）如图，ABC 是直角三角形，ACB=90 （1）动手操作：利用尺规作ABC 的平分线，交 AC 于点 O，再以 O 为圆心，OC 的长为半径作O（保留作图痕迹，不写作法）；（2）综合运用：在你所作的图中，判断 AB 与O 的位置关系，并证明你的结论；若 AC=12，tanOBC=，求O 的半径 4（2015 番禺区一模）如图，ABC

23、 中，AB=AC=4，cosC=（1）动手操作：利用尺规作以 AC 为直径的O，并标出O 与 AB 的交点 D，与 BC 的交点 E（保留作图痕迹，不写作法）（2）综合应用：在你所作的圆中，求证：；（3）求BDE 的周长 5（2016 花都区一模）在ABF 中，C 为 AF 上一点且 AB=AC 它的三角函数值由已知三角函数值会求它的对应的锐角理解直角三角形简单的实际问题通过综合运用勾股定理直角三角形的两个锐角互余及锐函数的概念和直角三角形的解法特殊角的三角函数值也很重要应该牢牢优秀教案 欢迎下载（1）尺规作图：作出以 AB 为直径的O，O 分别交 AC、BC 于点 D、E，在图上标出 D、E

24、，在图上标出 D、E（保留作图痕迹，不写作法）（2）若BAF=2CBF，求证：直线 BF 是O 的切线；（3）在（2）中，若 AB=5，sinCBF=，求 BC 和 BF 的长 6（2014 越秀区校级一模）如图所示，直线 y=2x+b 与反比例函数 y=交于点 A、B，与 x 轴交于点 C（1）若 A（3，m）、B（1，n）直接写出不等式2x+b的解（2）求 sinOCB 的值（3）若 CBCA=5，求直线 AB 的解析式 7（2016 广东校级一模）已知如图，ABC 中 AB=AC，AE 是角平分线，BM 平分ABC 交 AE于点 M，经过 B、M 两点的O 交 BC 于 G，交 AB 于

25、点 F，FB 恰为O 的直径（1）求证：AE 与O 相切；（2）当 BC=6，cosC=，求O 的直径 8（2016 黄埔区模拟）如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点 E，连接 AE（1）若 D 为 AC 的中点，连接 DE，证明：DE 是O 的切线；它的三角函数值由已知三角函数值会求它的对应的锐角理解直角三角形简单的实际问题通过综合运用勾股定理直角三角形的两个锐角互余及锐函数的概念和直角三角形的解法特殊角的三角函数值也很重要应该牢牢优秀教案 欢迎下载（2）若 BE=3EC，求 tanABC 10（2014 番禺区校级模拟）已知：如图，在 RtABC 中，C=90，C

26、D 为斜边 AB 上的高（1）求证：ABCADC；（2）若关于 x 的一元二次方程 mx2（m2）x+（m1）=0 有两个不相等的实数根，试求 m的取值范围；（3）若（2）中方程的两根恰好是 RtABC 两个锐角的正弦值，求 RtABC 的斜边与斜边上的高的比 11（2012 成都）如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于 H，过 CD 延长线上一点 E 作O 的切线交 AB 的延长线于 F切点为 G，连接 AG 交 CD 于 K（1）求证：KE=GE；（2）若 KG2=KDGE，试判断 AC 与 EF 的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若 sinE=，AK=2，求 FG 的长 它的三角函数值由已知三角函数值会求它的对应的锐角理解直角三角形简单的实际问题通过综合运用勾股定理直角三角形的两个锐角互余及锐函数的概念和直角三角形的解法特殊角的三角函数值也很重要应该牢牢