2023年不等式的应用例题.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 不等式的应用例题 例 5-4-1 求下列函数的定义域：解 (1)所求定义域是下列不等式组的解：(2)所求定义域确定于不等式组：由上图可知，当且仅当 k=0，1 时，不等式组有解，其解集为(-5，-)(1，此即所给函数的定义域。例 5-4-2 求下列函数的值域：学习必备 欢迎下载 解 (1)原式两边乘以 x2+1，再移项、整理，得(y-1)x2-2x+(y+1)=0 当 y1 时，因 xR，故上式作为 x 的二次方程，其判别式非负，即 等号成立)。当 y=1 时，相应地有 x=1，故 y=1 也属于定义域。所给函数的值域为2，+)。也可利用判别式求解。读者不妨试试。注 利用判

2、别式求值域要注意两点：载解原式两边乘以再移项整理得当时因故上式作为的二次方程其判别式系数不得为零如果有可能为零则对于使系数为零的值应检验它是否属于求下列函数的值域解法一原式两边平方并整理得所以又所以当时取等号学习必备 欢迎下载(i)二次项的系数不得为零。如果有可能为零，则对于使系数为零的 y 值，应检验它是否属于函数值域，即是否存在相应的 x 值与之对应。如果不存在，则函数的值域不包括此 y 值。(ii)不等式“0”中的等号是否可取，可取则此法有效，不可取 +)，而用判别式法，则由=y2-40(y 0)得2，+)，值域扩大了。例 5-4-3 求下列函数的值域：解 (1)法一 原式两边平方并整理

3、，得 所以 y21；又 y0，所以 y1(当 x=0，1 时取等号)。另一方面，两边再次平方并整理，得 4x2-4x+(y2-1)2=0 载解原式两边乘以再移项整理得当时因故上式作为的二次方程其判别式系数不得为零如果有可能为零则对于使系数为零的值应检验它是否属于求下列函数的值域解法一原式两边平方并整理得所以又所以当时取等号学习必备 欢迎下载 法二 函数的定义域为 0 x1。由幂平均不等式，有 法三 两边平方并整理，得 是，1-x=cos2，所给函数可化为 y=sin+cos，即 载解原式两边乘以再移项整理得当时因故上式作为的二次方程其判别式系数不得为零如果有可能为零则对于使系数为零的值应检验它

4、是否属于求下列函数的值域解法一原式两边平方并整理得所以又所以当时取等号学习必备 欢迎下载(2)所给函数可表示为 此函数在0，+)内递减，故有 y1。注 对于(2)，采用平方法易导至错误结果：x2-(2y-1)x+(y2-1)=0 a 的取值范围。解 法一 f(x)有意义等价于 a0，且 1+2x+1a-4x0(x-1)。二次方程 t2-2at-1=0 的判别式=4a2+40，因此它有两个相异的 载解原式两边乘以再移项整理得当时因故上式作为的二次方程其判别式系数不得为零如果有可能为零则对于使系数为零的值应检验它是否属于求下列函数的值域解法一原式两边平方并整理得所以又所以当时取等号学习必备 欢迎下

5、载 法二 由 1+2x+1a-4x0 得 含义，这是容易出错的疑难点 R，使得不等式 载解原式两边乘以再移项整理得当时因故上式作为的二次方程其判别式系数不得为零如果有可能为零则对于使系数为零的值应检验它是否属于求下列函数的值域解法一原式两边平方并整理得所以又所以当时取等号学习必备 欢迎下载 对一切实数 x 都成立？证明你的结论 由(i)，(ii)得 由(i)，(iii)得 故 a1，且 载解原式两边乘以再移项整理得当时因故上式作为的二次方程其判别式系数不得为零如果有可能为零则对于使系数为零的值应检验它是否属于求下列函数的值域解法一原式两边平方并整理得所以又所以当时取等号学习必备 欢迎下载 容易

6、验证，这时 f(x)的确使得 对一切 xR都成立，故命题得证 注 以上证明中两次用到命题“若 xa 且 xa，则 x=a”这种由双向不等式得出等式的方法，是数学的基本证题技巧之一 例 5-4-6 已知圆锥的高为 h，母线与轴的夹解为 在此圆锥内作一个内切球 O1，再作一个与圆锥侧面相切并与球 O1外切的小球 O2 若使球 O2的体积最大，求出这时的 sin 分析 欲得球的体积最大，须使其半径最大 解 圆锥的轴截面如图所示 设球 O1的半径为 x，球 O1与母线 OA切于 T，则 O1T=x，OO1=h-x因O1OA=，故 载解原式两边乘以再移项整理得当时因故上式作为的二次方程其判别式系数不得为

7、零如果有可能为零则对于使系数为零的值应检验它是否属于求下列函数的值域解法一原式两边平方并整理得所以又所以当时取等号学习必备 欢迎下载 设球 O2的半径为 y，球 O2与球 O1相切于 P类似地，有 t 的方程，得(z+1)t2+(2z-1)t+z=0 时，载解原式两边乘以再移项整理得当时因故上式作为的二次方程其判别式系数不得为零如果有可能为零则对于使系数为零的值应检验它是否属于求下列函数的值域解法一原式两边平方并整理得所以又所以当时取等号学习必备 欢迎下载 例 5-4-7 设 x，y，zR在实数集内解下列方程和方程组：(1)(x2+1)(y2+2)(z2+8)=32xyz 解 (1)由平均值不

8、等式知 两处“”中等号同时成立的条件是 x2=1，y2=2，z2=8，且 x，y，z 或者三者都为正，或者两负一正故原方程有 4 解 (2)由 x2+y22|xy|，y2+z22|yz|，z2+x22|zx|可得 x2+y2+z2|xy|+|yz|+|zx|xy+yz+zx 两处等号同时成立的条件是：|x|=|y|=|z|，且 x，y，z 三者或同时为零，或同时为正数，或同时为负数在此条件下，第二个方程化为 2x2-注 以上利用不等式中等号成立的条件解方程或方程组，具有出奇制胜的效果 例 5-4-8 民用住宅设计，规定窗户面积必须小于地面面积但按采光标准，窗户面积与地面面积的比值应不小于 110，比值越大，采光条件越载解原式两边乘以再移项整理得当时因故上式作为的二次方程其判别式系数不得为零如果有可能为零则对于使系数为零的值应检验它是否属于求下列函数的值域解法一原式两边平方并整理得所以又所以当时取等号学习必备 欢迎下载 好 如果同时增加相等的窗户面积和地面面积，问采光条件会变好还是变坏？说明理由 解 设窗户面积为 a，地面面积为 b，增加的面积为 m，则有 0 故采光条件会变好 载解原式两边乘以再移项整理得当时因故上式作为的二次方程其判别式系数不得为零如果有可能为零则对于使系数为零的值应检验它是否属于求下列函数的值域解法一原式两边平方并整理得所以又所以当时取等号