2023年最新人教版高中数学知识点归纳总结全面汇总归纳.pdf

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1、 最新人教版高中数学知识点总结 Sets and Concepts 高中数学知识点总结 第一章 集合与函数概念 一：集合的含义与表示 1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 3、集合的表示：（1）用大写字母表示集合：A=我

2、校的篮球队员,B=1,2,3,4,5（2）集合的表示方法：列举法与描述法。a、列举法：将集合中的元素一一列举出来 a,b,c b、描述法：区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。x R|x-32,x|x-32 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合 5、元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a A （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：aA 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然

3、数集）记作：N 正整数集 N*或 N+整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 6、集合间的基本关系（1）.“包含”关系（1）子集 定义：如果集合 A的任何一个元素都是集合 B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合 A是集合 B 的子集。记作：BA（或 B）注意：BA有两种可能（1）A是 B的一部分；（2）A与 B是同一集合。反之:集合 A不包含于集合 B,或集合 B不包含集合 A,记作 AB或 BA（2）.“包含”关系（2）真子集 如果集合BA，但存在元素 x B且 xA，则集合 A是集合 B的真子集 如果 A B,且 A B那就说集合 A是集合 B的真子集，记作 A B(或BA)读作 A真

4、含与 B（3）“相等”关系：A=B “元素相同则两集合相等”如果 A B 同时 B A 那么 A=B（4）.不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。（5）集合的性质 任何一个集合是它本身的子集。A A 如果 A B,B C,那么 A C 如果 A B且 BC，那么 A C 有 n 个元素的集合，含有 2n个子集，2n-1个真子集 7、集合的运算 运算类型 交 集 并 集 补 集 定 义 由所有属于 A且属于B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集记作 AB（读作A交 B），即AB=x|xA，且 xB 由所有属于集合 A或属于集合 B的元素所

5、组成的集合，叫做A,B 的并集记作：AB（读 作 A 并B），即 AB=x|xA，或 xB)全集：一般，若一个集合汉语我们所研究问题中这几道的所有元素，我们就称这个集合为全集，记作：U 设 S 是一个集合，A是 S 的一个子集，由 S 中所有不属于 A的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A的补集（或余集）记作ACS，CSA=,|AxSxx 且 韦恩图示 性 质 A A=A A=A B=BA A BA A BB A U A=A A U=A A U B=B U A A U B A U BB(CuA)(CuB)=Cu(AUB)(CuA)U(CuB)=Cu(AB)AU(CuA)=U A(CuA)=二、

6、函数的概念 1 函数的概念：设 A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB为从集合AB图1AB图 2S A A到集合 B的一个函数记作：y=f(x)，xA（1）其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A叫做函数的定义域；（2）与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA 叫做函数的值域 2 函数的三要素：定义域、值域、对应法则 3 函数的表示方法：（1）解析法：明确函数的定义域（2）图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等

7、。（3）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。4、函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x),(xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点 P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在 C上.(2)画法 A、描点法：B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换，即平移。（3）函数图像平移变换的特点：1）加左减右只对 x 2）上减下加只对 y 3）函数 y=f(x)关于 X轴对称得函数 y=-f(x)4）函数

8、 y=f(x)关于 Y轴对称得函数 y=f(-x)5）函数 y=f(x)关于原点对称得函数 y=-f(-x)6）函数 y=f(x)将 x 轴下面图像翻到 x 轴上面去，x 轴上面图像不动得 函数 y=|f(x)|7）函数 y=f(x)先作 x0 的图像，然后作关于 y 轴对称的图像得函数 f(|x|)三、函数的基本性质 1、函数解析式子的求法（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）、求函数的解析式的主要方法有：1）代入法：2）待定系数法：3）换元法：4)拼凑法：2 定义域：能使函数式有意义的实数x的集合

9、称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.3、相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一致(两点必须同时具备)4、区间的概念：（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示 5、值域（先考虑

10、其定义域）（1）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域；（2）反表示法：针对分式的类型，把 Y关于 X的函数关系式化成 X关于 Y的函数关系式，由 X的范围类似求 Y的范围。(3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值域，注意定义域的范围。(4)代换法（换元法）：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类型。6.分段函数 （1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。（2）各部分的自变量的取值情况（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集 （4）常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数 7映射 一般地，设 A、B

11、是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A中的任意一个元素 x，在集合 B中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A到集合 B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”对于映射f：AB来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。所以函数是映射，而映射不一定的函数 8、函数的单调性(局部性质)及最值（1）、增减函数（1）设

12、函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D上是增函数.区间 D称为 y=f(x)的单调增区间.（2）如果对于区间 D上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间 D称为 y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种（2）、图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单

13、调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.（3）、函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：1 任取 x1，x2D，且x11，且nN*当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数。此时，a 的 n 次方根用符号 表示。当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，这两个数互为相反数。此时正数 a 的正的 n 次方根用符号 表示，负的 n 的次方根用符号 表示。正的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并成 （a0）。注意：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作00 n。当n是 奇 数 时，aann，当n是 偶 数 时，

14、)0()0(|aaaaaann 式子na 叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数。3、分数指数幂 正数的分数指数幂的)1,0(*nNnmaaanmnm，)1,0(11*nNnmaaaanmnmnm 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义 4、有理数指数米的运算性质（1）rasrraa ),0(Rsra；（2）rssraa)(),0(Rsra；（3）srraaab)(),0(Rsra 5、无理数指数幂 一般的，无理数指数幂 aa（a0,a 是无理数）是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。（二）、指数函数的性质及其特点 1、指数函数的概念：一般地

15、，函数)1,0(aaayx且叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1为什么？2、指数函数的图象和性质 a1 0a1 时，若 X1X2,则有 f(X1)1 0a1 定义域 x0 定义域 x0 值域为 R 值域为 R 在 R上递增 在 R上递减 函数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0）三、幂函数 1、幂函数定义：一般地，形如xy)(Ra 的函数称为幂函数，其中为常数 2、幂函数性质归纳 011011（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1）；（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0上是增

16、函数特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当10时，幂函数的图象上凸；（3）0时，幂函数的图象在区间),0(上是减函数 在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴 第三章 函数的应用 方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点 3、函数零点的求法：（1）（代数法）求方程 的实数根；（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点 4、二次函数的零点：（1）0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点（2）0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3）0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点