2023年数学公式和知识点总结归纳理科高中.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 公式和知识点（数学）1.数集的表示：实数集R；有理数集Q；整数集Z；自然数集N；复数集C 2.空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。3.若有限集合A有n个元素，则A的子集有n2个，真子集有12 n个，非空子集有12 n个，非空真子 集有22 n个。4.“且”用表示，“或”用表示，“全称”用表示，“存在”用表示。5.全称命题的否定是特称命题，即Mx，)(xp的否定是Mx 0，)(0 xp，反之亦可。6.原命题与逆否命题真假性一致，逆命题与否命题真假性一致。7.BA，则A是B的充分条件；AB，则A是B的必要条件。8.函数的定义域：分母不为 0，偶次方根被开方数大于等

2、于 0，对数的真数大于 0，底数大于 0 且不 为 1，零次幂的底数不为0，正切的角终边不在y轴上。9.函数的定义含有三要素，即定义域、对应关系、值域。当两个函数的三要素都分别相同时，这两个函数 才是同一个函数。10.函数奇偶性的定义：对于函数)(xf的定义域内的任意一个x，都有)()(xfxf，则为奇函数。对于函数)(xf的定义域内的任意一个x，都有)()(xfxf，则为偶函数。11.函数奇偶性的性质：奇、偶函数的定义域关于原点对称，若奇函数的定义域包括0，则0)0(f，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称，奇函数在其对称区间上的单调性相同，而偶函数相反。12.函数单调性的定义

3、：若函数)(xf在区间D内的21xx、，当21xx 时，都有)()(21xfxf时，则 )(xf是区间D上的增函数，都有)()(21xfxf时，则)(xf是区间D上的减函数。13.周期函数的定义：对于函数)(xf存在非 0 常数T，使得在其定义域内有)()(Txfxf，则)(xf 是以T为周期的周期函数。14.反函数的定义：一个函数中的x与y调换位置，即xy2的反函数为yx2，原函数的反函数图像关 于xy 对称。15.函数图像的对称性：若)()(Rbaxbfbxf、在定义域成立，则)(xf关于2bax对称。16.幂运算公式：)0(10 aa，)(1Qpaapp，*,0(Nnmaaanmnm、，

4、且)1n，nmnmaaa，mnnmaa)(，nnnbaab)(，nmnmaaa 17.对数定义：若)1,0(aaNab，那么b叫做a为底N的对数，记作bNalog，其中a称对数的 底，N叫真数。当10a时称常用对数，记为Nlg；当a无理数)7.2(ee时，记为Nln 18.对数运算公式：01loga；1logaa；NaNalog；NMMNaaaloglog)(log；NMNMaaalogloglog；MnMaNaloglog；aNNmmalogloglog（换底公式）19.指数函数)1,0(aaayx的图像总体特征：定义域为R；值域为),0(；恒过点)1,0(部分特征：当1a时，在R上是增函数

5、；当10 a时，在R上是减函数。20.对数函数)1,0(logaaxya的图象总体特征：定义域为),0(；值域为R；恒过点)0,1(部分特征：当1a时，在),0(上是增函数；当10 a时，在),0(上是减函数。学习必备 欢迎下载 21.幂函数)(Raxya 22.函数零点的定义：方程0)(xf有实根)(xf的图象与x轴有交点)(xf有零点；函数零点的判断方法：若)(xf在,ba上为单调函数，且有0)()(bfaf，则)(xf在,ba有零点。23.导数的概念：设函数)(xf在0 xx 处附近有定义，当x在0 xx 处增加x时，则y也有相应的增 量)()(00 xfxxfy，因此平均变化率为xxf

6、xxfxy)()(00，当这个数无限接近于某个 常数时，就把这个常数称为函数)(xf在0 xx 处的导数，即xxfxxfxfx)()(lim)(0000 24.函数)(xf在点0 x处的导数的几何意义是曲线)(xf在点)(,(00 xfx处的切线的斜率。25.导数公式：0C(C为常数)；)()(1Qnnxxnn；xxcos)(sin；xxsin)(cos；xxee)(；aaaxxln)(；xx1)(ln；axxaln1)(log 26.导数运算法则：)()()()(xgxfxgxf；)()()()()()(xgxfxgxfxgxf )0)()()()()()()()(2xgxgxgxfxgxf

7、xgxf；xuuyxuf)(27.当0)(xf在,ba恒成立，则)(xf在,ba上单调递增；当0)(xf在,ba恒成立，则)(xf在 ,ba上单调递减。28.极值、最值的判断：若在0 x的左侧0)(xf，右侧0)(xf，则)(0 xf是极大值；若在0 x的左 侧0)(xf，右侧0)(xf，则)(0 xf是极小值。各极值的和定义域的函数值比较，其中最大的为 最大值，最小的为最小值。29.定积分dxxfba)(的几何意义：x轴、曲线)(xf以及直线bxax、所围成的曲边梯形的面积。30.微积分定理：若)()(xfxF，且)(xf在,ba上可积，则)()()()(aFbFxFdxxfbaba 31.

8、向量的概念：既有大小又有方向；模为 0 的向量为零向量，模为 1 的向量为单位向量；零向量与 任何向量平行(共线)；方向相同或相反的向量为平行(共线)向量；长度相等且方向相同的向量为相 等向量；两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a与b的数量积为cosbaba，规定零向 量与任何非零向量的数量积等于 0；向量b在a方向上的投影为ababcos 32.平面向量的坐标运算：若),(),(),(),(22112211yxbyxayxByxA、(两个向量的是非零向量)，则),(2121yyxxba、),(1212yyxxAB、2211yxyxba；2121yxa；若ba，则01221 yxyx；若ba

9、，则02211yxyx；若a与b的夹角为，则222221212121cosyxyxyyxx 33.弧度制与角度制的转化：rad180，rad1801 用表示全称用表示存在用表示的否定是全称命题的否定是特称命题即反大于底数大于且不为零次幂的底数不为正切的角终边不在轴上函数的定的定义域内的任意一个都有则为偶函数函数奇偶性的性质奇偶函数的定学习必备 欢迎下载 34.弧长公式：(rl 为圆心角的弧度数)，扇形面积公式：lrrS21212 35.同角三角函数的关系：1cossin22；tancossin),2(Zkk 36.诱导公式：sin)2sin(k、cos)2cos(k、tan)2tan(k；si

10、n)sin(、cos)cos(、tan)tan(；sin)sin(、cos)cos(、tan)tan(；sin)sin(、cos)cos(、tan)tan(；cos)2sin(、sin)2cos(、cos)2sin(、sin)2cos(37.两角和公式：sincoscossin)sin(；sinsincoscos)cos(；tantan1tantan)tan(38.二倍角公式：cossin22sin；2222sin211cos2sincos2cos；2tan1tan22tan 39.辅助角公式：)sin(cossin22xbaba(为辅助角)40.函数)0,0)(sin(AxA可由xysin的

11、图象作如何变换得到：)sin(sinxyxy，将xysin图象上所有点向左)0(或向右)0(平移个单位；)sin()sin(xxy，将)sin(xy图象上所有横坐标伸长)10(或缩短)1(到原来的1倍；)sin()sin(xAyxy，将)sin(xy图象上所有纵坐标伸长 )1(A或缩短)10(A到原来的A倍。41.三个常用三角函数的性质：xysin xycos xytan 定义域 R R kx2 值域 1,1 1,1 R 最小正周期 2 2 对称中心)0,(k)0,2(k)0,(k 对称轴 2 kx kx 无 递增区间 kxk2222 kxk22 kxk22 递减区间 kxk22322 kxk

12、22 无 42.正弦定理：RRCcBbAa(2sinsinsin为ABC外接圆的半径)用表示全称用表示存在用表示的否定是全称命题的否定是特称命题即反大于底数大于且不为零次幂的底数不为正切的角终边不在轴上函数的定的定义域内的任意一个都有则为偶函数函数奇偶性的性质奇偶函数的定学习必备 欢迎下载 43.余弦定理：Abccbacos2222；Baccabcos2222；Cabbaccos2222 44.俯角是视线在水平线下方的角；仰角是视线在水平线上方的角。45.三角形面积公式：aahSABC(21是底、h是高)；AbcBacCabSABCsin21sin21sin21 46.等差数列有关概念 定义：

13、若数列na满足dNnndaann*,2(1为常数)通项公式：dnaan)1(1，也可以写成*)()(Nmndmnaamn、等差中项：若三数bAa、成等差，则A为ba、的等差中项，且有2baA 性质：若qpnm，则qpnmaaaa；nnnnnSSSSS232、也成等差。数列前n项和：2)1(2)(11dnnnanaaSnn 47.等比数列有关概念 定义：若数列na满足0*,2(1qNnnqaann的常数)通项公式：11nnqaa，也可以写成*)(Nmnqaamnmn、等比中项：若三数bGa、成等比，则G为ba、的等比中项，且有abG2 性质：若qpnm，则qpnmaaaa；nnnnnSSSSS2

14、32、也成等比。数列前n项和：当1q时，1naSn；当1q时，qqaaqqaSnnn11)1(11 48.na与nS关系：)2()1(11nSSnSannn(任何数列都可用)49.棱柱、棱锥、棱台的侧面积和体积公式：直棱柱侧面积cchS(为底面周长，h为高)；正棱锥侧 面积cchS(21为底面周长，h为斜高)；正棱台侧面积()(21cchccS、分别为上、下底面周 长，h为斜高)；棱柱体积SShV(为底面积，h为高)；棱锥体积SShV(31为底面积，h为 高)；棱台体积()(31SShSSSSV、为上、下底面积，h为高)50.圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式：圆棱柱侧面积rrhS(2为底面半

15、径，h为高)；圆锥侧 面积rrlS(为底面半径，l为母线长)；圆台侧面积()(rrlrrS、为上、下底面半径，l为 母线长)；圆柱体积SShV(为底面积，h为高)；圆锥体积SShV(31为底面积，h为高)；棱台体积()(31SShSSSSV、为上、下底面积，h为高)用表示全称用表示存在用表示的否定是全称命题的否定是特称命题即反大于底数大于且不为零次幂的底数不为正切的角终边不在轴上函数的定的定义域内的任意一个都有则为偶函数函数奇偶性的性质奇偶函数的定学习必备 欢迎下载 51.球的表面积和体积公式：24 RS，RRV(343为球的半径）52.平面直观图-斜二测画法特点：45yox；平行于yx、轴的

16、线段在直观图中平行于yx、轴的线段；平行于x轴的线段在直观图中保持原长度，平行于y轴的线段在直观图中为原长的一半。53.直线与平面平行判定与性质定理(nmba、为线段，A为点，、为平面)判定定理：若baba、，则a；性质定理：若baa、，则ba 54.平面与平面平行判定与性质定理：判定定理：若、baAbaba则；性质定理：若ba、，则ba 55.直线与平面垂直判定与性质定理：判定定理：若Anmnmnama、，则a；性质定理：若ba、，则ba 56.平面与平面垂直判定与性质定理：判定定理：若aa、，则；性质定理：若abab、，则a 57.空间向量的坐标运算：(可仿照 32.的公式)58.平面法向

17、量的求法：设平面的法向量),(zyxn，在平面内任意找两个不共线的向量a和b，由 n可得0 na和0 nb，由此解得zyx、的关系式，按比例设数字可得到),(zyxn 59.点到平面的距离公式：设法向量n为平面的法向量，点A是平面外的一定点，点B是平面内的 任意一点，则点A到平面的距离nnABd 60.倾斜角：直线向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，范围为,0；斜率：过两点)(,(),(212211xxyxByxA、时，倾斜角不为90，则斜率1212tanxxyyk；当 21xx 时，倾斜角为90，斜率不存在。61.直线的截距：直线与x轴的交点的横坐标为直线在x轴上的截距；直线与y轴的交点

18、的纵坐标为直线在 y轴上的截距。62.直线方程的基本形式(由于有两种形式少用，就不写了)一般式：BACByAx、(0不全为 0)；点斜式：直线过点),(00yx且斜率为k，则直线方程为)(00 xxkyy；斜截式：已知直线的斜率为k且在y轴上的截距为b，则直线方程为bkxy 63.两直线平行、垂直的充要条件：若不重合的直线21ll、的斜率分别是21kk、，则2121kkll；12121kkll 64.中点坐标公式：若),(),(2211yxByxA、两点间的中点),(yxM，则222121yyyxxx、65.两点间距离公式：若),(),(2211yxByxA、，则221221)()(yyxxA

19、B 66.点到直线距离公式：点),(00yx到直线l：0CByAx的距离2200BACByAxd 用表示全称用表示存在用表示的否定是全称命题的否定是特称命题即反大于底数大于且不为零次幂的底数不为正切的角终边不在轴上函数的定的定义域内的任意一个都有则为偶函数函数奇偶性的性质奇偶函数的定学习必备 欢迎下载 67.两平行直线间距离公式：若直线0:11CByAxl，0:22CByAxl，则1l与2l间距离为 2221BACCd 68.几种特殊的对称：点),(ba关于x轴对称的点为),(ba；点),(ba关于y轴对称的点为),(ba；点),(ba关于原点对称的点为),(ba；点),(ba关于0cyx对称

20、的点为),(bcac；点),(ba关于0cyx对称的点为),(bcac 69.圆的相关概念：定义：平面内与定点(圆心)的距离(半径)恒定不变的点的集合(轨迹)。标准方程：222)()(rbyax，其中圆心为),(ba，半径为r 一般方程：022FEyDxyx，其中圆心为)2,2(ED，半径为2422FED 70.点与圆的位置关系：若点与圆心的距离为d，半径为r，则 rd点在圆上；rd点在圆内；rd点在圆外。71.判定直线与圆的关系：几何法：直线与圆心距离为d，半径为r，则相交rd；相切rd；相离rd；代数法：由直线方程与圆的方程联立，消元得到一元二次方程，则相交0；相切0；相离0 72.圆与圆

21、之间的关系：若两圆的半径分别为21rr、，连心距为d，则21rrd外离4 条公切线；21rrd外切3 条公切线；2121rrdrr相交2 条公切线；21rrd 内切1 条公切线；210rrd内含无公切线 73.椭圆的定义：平面内与两定点21FF、的距离之和等于常数)2(221FFaa的点的轨迹，这两个定点 为椭圆的焦点，两焦点的距离为焦距；与定点的距离和它到一条定直线的距离之比是离心率(常数)10(e的点的轨迹。74.两种椭圆的相同点与不同点：不同点：当焦点在x轴时，标准方程)0(12222babyax，范围bybaxa、，两焦点 )0,()0,(cc、，顶点),0(),0()0,()0,(b

22、baa、；当焦点在y轴时，标准方程)0(12222babyax，范围ayabxb、，两焦点),0(),0(cc、，顶点)0,()0,(),0(),0(bbaa、相同点：焦距c2，长轴长a2，短轴长b2，222cba，离心率)10(eace 75.双曲线的定义：平面内与两定点21FF、的距离之差的绝对值等于常数)2(221FFaa的点的轨迹，这两个定点为双曲线的焦点，两焦点的距离为焦距；与定点的距离和它到一条定直线的距离之比是离 心率(常数)1(e的点的轨迹。76.两种双曲线的相同点与不同点：不同点：当焦点在x轴时，标准方程)0(12222babyax、，范围ax或ax，两焦点 用表示全称用表示

23、存在用表示的否定是全称命题的否定是特称命题即反大于底数大于且不为零次幂的底数不为正切的角终边不在轴上函数的定的定义域内的任意一个都有则为偶函数函数奇偶性的性质奇偶函数的定学习必备 欢迎下载 )0,()0,(cc、，顶点)0,()0,(aa、，渐近线方程xaby；当焦点在y轴时，标准方程 )0(12222babxay、，范围),0(),0(cc、，顶点),0(),0(aa、，渐近线方程xbay 相同点：焦距c2，实轴长a2，虚轴长b2，222bac，离心率)1(eace 77.抛物线的定义：平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹，定点F为抛物线的焦点，定直线为准线。78.四种不同的抛

24、物线：标准方程)0(22ppxy，焦点)0,2(p，准线方程2px，范围0 x，1e；标准方程)0(22ppxy，焦点)0,2(p，准线方程2px，范围0 x，1e；标准方程)0(22ppyx，焦点)2,0(p，准线方程2py，范围0y，1e；标准方程)0(22ppyx，焦点)2,0(p，准线方程2py，范围0y，1e；79.直线与圆锥曲线的位置关系判断方法：由直线方程与圆锥曲线的方程联立，消元得到一元二次方程，若 0，则有两个交点；0，则有一个交点；0，则无交点 80.统计图表：频率分布表：反映总体频率分布的表格，表格主要有分组、频数、频率等三个项目；频 率分布直方图：在直角坐标系中用横坐标

25、表示数据的分组区间，纵坐标表示频率与组距的比值，小矩形 的面积表示相应分组的频率。81.数字特征：众数：在一组数据中出现得最多的数据；中位数：把一组数据按大到小依次排列，处于 中间位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)；平均数：一组数据的总和与数据个数的比值；方 差：若一组数据为nxxx21、，平均数为x，则方差为nxxxxxxsn222212)()()(；方差的算术平方根为标准差。82.用样本数字特征估计总体的数字特征：反映数据的集中趋势有中位数、众数、平均数；反映数据的 离散程度有方差、标准差。83.线性回归方程bxay(ba、是回归系数），公式为niiniiiniiniiixxyyxx

26、xnxyxnyxb1211221)()(；xbya(yx、为平均数)84.计数原理：加法原理：做一件事，完成它有n类方法，在第一类办法有1m种不同方法，在第二类办 法有2m种不同方法，在第n类办法有nm种不同方法，则完成这件事有nmmmN21 种不同方法；乘法原理：做一件事，完成它要n个步骤，第一步有1m种不同方法，第二步有2m种 不同方法，第n步有nm种不同方法，则完成这件事有nmmmN21种不同方法。85.排列：从n个不同的元素中任取)(nmm个元素，按一定顺序排成一列，用mnA表示。公式：)!(!)1()2)(1(mnnmnnnnAmn(123)2)(1(!nnnn为n的阶乘)86.组合

27、:从n个不同的元素中任取)(nmm个元素合成一组，用mnC表示。用表示全称用表示存在用表示的否定是全称命题的否定是特称命题即反大于底数大于且不为零次幂的底数不为正切的角终边不在轴上函数的定的定义域内的任意一个都有则为偶函数函数奇偶性的性质奇偶函数的定学习必备 欢迎下载 公式：)!(!)1()2)(1(mnmnmmnnnnCmn 87.二项式定理：nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba222110)(通项)2,1,0(1nrbaCTrrnrnk，它展开式有1r项 88.二项式系数的性质：对称性：在展开式中，与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即 rnnrnnnnCCCC,

28、1；二项式系数先增后减，在中间取得最大值；nnnnnCCC210 1531202nnnnnnCCCCC 89.事件的关系：互斥事件：不能同时发生的两个事件；对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两 个事件；对立事件一定是互斥事件，互斥时间不一定是对立事件。90.若离散型随机变量X的分布列为：X X1 X2 Xi Xn p P1 P2 Pi Pn 则数学期望(均值)nnpxpxpxEX2211；若baXY，则)(baXEEY；若X服从两点分布，则pEX；若),(pnBX，则npEX；方差nnpEXxpEXxDX2121)()(；它的算术平方根DX为标准差，用X表示；若baXY，则DXaDY2；若

29、X服从两点分布，则)1(ppEX；若),(pnBX，则)1(pnpDX 91.正态曲线函数：2,221xe(为数学期望，为标准差)性质：曲线在x轴上方，无限靠近x轴；曲线关于x对称；当x时有最大值21；在),(x时递增，在),(x时递减；曲线与x轴的面积为 1；当一定时，当越 小，曲线越瘦高，当越大，曲线越矮肥。92.三个特殊区间的取值概率：6826.0)(XP；9544.0)22(XP；9974.0)33(XP 93.复数),(Rbabia,其中i是虚数单位，且12i，a为实部，b为虚部。94.复数的分类：当0b时，为实数；当0b时，为虚数；当00ba、时，为纯虚数；当 00ba、时，为非纯

30、虚数；bia 与bia 互为共轭复数；bia 可以写成坐标形式),(ba，复数坐标公式可参考上面的 32.95.复数的四则运算：若复数biaz1，复数dicz2，则 idbcazz)()(21；idbcazz)()(21；ibcadbdaczz)()(21；idcadbcdcbdacdicdicdicbiadicbiazz222221)()(96.极坐标为),(，和两个公式：sincosyx，222yx(yx、为直角坐标系)97.基本不等式：*)(2Rbaabba、,当且仅当ba 时取等号；运用基本不等式的三要素：一正，用表示全称用表示存在用表示的否定是全称命题的否定是特称命题即反大于底数大于且不为零次幂的底数不为正切的角终边不在轴上函数的定的定义域内的任意一个都有则为偶函数函数奇偶性的性质奇偶函数的定学习必备 欢迎下载 二定，三相等。98.绝对值不等式：bababa 99.柯西不等式：2332211332221232221)()(babababbbaaa，当且仅当11kba、22kba、33kba 时，取等号。用表示全称用表示存在用表示的否定是全称命题的否定是特称命题即反大于底数大于且不为零次幂的底数不为正切的角终边不在轴上函数的定的定义域内的任意一个都有则为偶函数函数奇偶性的性质奇偶函数的定