数学中考专题训练——圆的综合.pdf

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1、中考专题训练圆的综合1 .如图，。为。上一点，点 C 在直径BA的延长线上，且NCD4=NCB D.(1)求证：CD是0 0 的切线；(2)求证：C2=C4C3；(3)若 CO=4,C B=8,求 ta n/CDA 的值.。人2.如图，。是 ABC的外接圆，4 B=A C,点。是会上一动点，连接B O,AD,CD,延长CD至点E.(1)求证：DA 平分N B D E；(2)若 A E=A Q,求证：E C=B D；(3)在(2)的条件下，从以下两题任选一个填空(若两者都选，只以第题 计 分)：若AE是0 0 的切线，则四边形AB CE 的形状是；若4 8=2,四边形0ADC是菱形，则。的半径是

2、.(S一3.如图，。上有4,B,C三点，AC是直径，点。是 AB 的中点，连接CD交AB 于点E,点尸在A 8 延长线上且F C=F E.(1)证明：N B C E=N A C E；(2)求证：CF 是。的切线；(3)若sinp=9,B E=2,求。E E C 的值.5D4.如图，是圆。的直径，AB=AC,AD交 于 点 区 延长QB 到 F,使 B F=B0,连接项.(1)求证：A B2=A DM E；(2)若 4 E=4,D=8,求 A B 的长;(3)在(2)的条件下，直 线 阳 为。相切吗？为什么？5 .如图，A B 是O。的直径，点 C,。在。上，且AO 平分N C 4 B,过点。作

3、AC的垂线,与 AC的延长线相交于点E,与 A8的延长线相交于点尸.(1)求证：EP 与。相切；(2)连结 BD,求证：ADDP=BDAP(3)若 A B=6,AQ=4&,求 D P 的长.B P6.如 图 1 所示，直角 OA B 中，Z O A B=9 0Q,。4=1 5,A B=a,以。为圆心，0A为半径的圆交。8于点C,连接A C.(1)证明：Z A 0 B=2 Z B A C；(2)当 a=2 0 时，求 AC的长；(3)将 A B C 绕点A顺时针旋转，点 C的对应点为。，点 8的对应点为E.当点。、E都在。上 时(如 图 2所 示)，证明：OA/DE.7 .如图，在 平 面 直

4、角 坐 标 系 中，已知点A (0,8)，点 B是 x轴正半轴上一点，连接A B,过点A作 A C _LA 8,交 x轴于点C,点。是点C关于点A的对称点，连接BQ,以AO 为直径作。交 8。于点E,连接并延长AE交 x 轴于点F,连接。F.(1)求线段AE的长；(2)若N A B E=N F D E,求 E/的值.(3)若 A 8-BO=4,求 ta n/AF C 的值.8.如图，在平面直角坐标系中，OC 与 y 轴相切，且点C 的坐标为(1,0),直线/过点A(-1,0),与。C 相切于点。.解答下列问题：(1)求点。的坐标；(2)求直线/的解析式；(3)是否存在O P,使圆心P在 x 轴

5、上，且与直线/相切，与OC 外切吗？如果存在请求出圆心P的坐标，如果不存在，请说明理由.9.如图，AB 是半圆。的直径，AB=Q.C是弧4B上一点，连接AC,BC,N4C8的平分线交A 8于点P,过点尸分别作P E LAC,P F LB C,垂足分别为E、F.(1)求证：四边形CE P F 是正方形；(2)当 sin4=匡时，求 CP 的长；5(3)设 4 P的长为x,图中阴影部分的面积为y,求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出y的最大值.1 0.如图，。是AABC的外接圆，AC是。的直径，过圆心。的直线尸FL A 8 于。，交0 0 于 E,F,尸 8 是。的切线，B为切点，连接AP,A

6、F.(1)求证：直 线 以 为。的切线；(2)求证：AC2=4ODOP；(3)若 BC=6,tan ZF=y 求 AC 的长.1 1 .如图，在 Rt Z X A B C 中，Z C=9 0 ,N ABC的平分线8。交AC于点。，DE1DB交AB于点E,设。是 B OE 的外接圆.(1)求证：AC是 的 切 线；(2)求证：A A D E /X A B D；(3)若 OE=2,BD=4,求 A E 的长.1 2 .在 阿基米德全集中 的 引理集中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图，已知 第，C是弦4B上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程.(1)尺规作图(保留作图痕

7、迹，不写作法)；作线段AC的垂直平分线O E,交源于点。，交 AC于点E,连接A O,C D；以点。为圆心，D4长为半径作弧，交俞于点A两点不重合)，连接OF,B D,B F.(2)猜想线段B C,BF的数量关系，并证明.1 3 .己知：如图，Z X A B C 内接于AB为直径，/C8A的平分线交AC于 点 凡 交于点D,CEL 43于点E,且交AC于点P,连接A O.(1)求证：ZDA C ZDBA；(2)求证：P 是线段AF的中点；(3)连接C。，若 C D=3,80=4,求。的半径和O E的长.D14.如图，。经过aABC的顶点4、C,并与AB边相交于点。，过点。作。尸B C,交AC于

8、点E,交。于点F,连接。C,点 C 为弧。尸的中点.(1)求证：BC为0 0 的切线；(2)若。的半径为3,D F=4&,求 CE CA的值；(3)在(2)的条件下，连接A F,若 B D=A F,求 A D 的长.15.如图，在 RtABC中，NBAC=90,以A 8为直径的。交 BC于点E,点、D为A C的中点，连接 (1)求证：QE是。的切线.(2)若 CE=T,0 A=g求BE的长；求由劣弧AE、直径AB和弦BE所围图形的面积.16.如图，在 Rt/XABC中，NACB=90,。的圆心。在 BC上，分别与AC、A8切于C、。两点，与 BC交于另一点E,连力E,A。交。于点(1)求证：D

9、E/AO；(2)若 AC=6,BC=8.求旭的值；CE求OE的长.|ABEVOJc1 7.已知。0是A B C的外接圆,C E为。的直径，交A B于点F,连接A。并延长交B C于点。，AD L B C.(1)如图 1,求证：N B F C=3 N B A D；(2)如图2,连接A E、B E,过点A作A G L C E,垂足为G.(3)如图3,在(2)的条件下，连接。G交4 B于点，若t求，C D G的面积.匚图1图2求证：C E=B E+2E G；an/A C E V，A G=4 遍,Ag)图31 8.(1)如 图1,已知团A 8 C 和O。，在 图1中，画一条直线分别平分团A B C D和

10、。的面积;(2)如图2,已知A B、A C是。的两条弦，Z AC D=4 0 ,画一个含4 0 的直角三角形;(3)如图3,是由小正方形组成的6 X 6的网格，A、。都是格点，。0的半径是OA,B是。与网格线的交点.在图3中，将半径OB绕点。顺时针旋转9 0 得到半径O C,画半径OC；图3在图3中，画A B的中点1 9.如图，4 B是00的直径，点C在。上，。为。外一点，且N A O C=9 0 ,2N B+Z D A B=1 8 0 .(1)求证：直线C D为00的切线.(2)若/B=3 0 ,A D=,求。的半径.(3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积.2 0 .如 图1,点。为的外接

11、圆上的一 动 点(点。在A C上，且不与点A,C重合)，Z A D B=Z B A C=60 .图1图2(I)求证：A B C是等边三角形；(2)连接C C,探究A O,BD,C D三者之间的数量关系，并说明理由；(3)如图2,记B D与A C交于点E,过点E分别作于点M,E N L B C于点N,连接MM 若A B=6,求MN的最小值.21 .如图，在 A B C中，A B=A C,以A 8为直径的。交A C于点E,交B C于点。，。的切线B P与A C的延长线交于点P,连接力E,BE.(1)求证：BD=DE.(2)求证：N A E D=N B C P.(3)己知：s i n/8A O=逅，

12、A 8=1 0,求 A P 的长.22.如图，已知。0上依次有A、B、C、C四个点，A D=B C，连接A B、AD,B D,弦4 8不经过圆心O,延长A B到E,使连接E C,F是E C的中点，连接B F.(1)若。的半径为3,Z D A B=1 20 ,则弦B D的长=；(2)求证：BF=ZBD；2(3)设G是B O的中点，探索：在。上是否存在点尸(不同于点B),使得P G=P F?并说明P B与A E的位置关系.23.如图：已知。M经过。点，并且与x轴，y轴分别交于A,8两点，线段O A,OB(O A O B)的长是方程7-1 7 x+6 0=0的两根.(1)求线段O A,0 B的长；(

13、2)已知点C是劣弧0 A的中点，连结8 c交0 A于。.求证：0 d=C D，CB；求点C的坐标.24 .定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美(1)如 图1,若四边形A B C O是圆美四边形，求美角NA的度数.(2)在(1)的条件下，若 的 半 径 为4.求B O的长；如图2,在四边形A B C。中，若C A平分N B C Q,求证：BC+CD=AC.(3)在(1)的条件下，如图3,若A C是。的直径，请用等式表示线段A B、B C、CD之间的数量关系(直接写答案).参考答案与试题解析1.如图，。为O O 上一点，点 C 在直径BA的延长线上，且NCD4

14、=NCBD.(1)求证：CQ是。的切线；(2)求证：C IC AC B-.(3)若 C=4,C B=8,求 tan/CD 4 的值.【分析】(1)连 接 O Z),先判断出/D4B+NZ53A=90,再判断出/D 4 B=NA。，进而得出NCD4+/A)O=90,即可得出结论；(2)先判断出 NCD4+NA0=90,再判断出 N)BA+/D4B=90,再判断出 NCD4=ZDBA,进而得出即可得出结论；(3)用锐角三角函数，即可求出答案.【解答】(1)证明：如图，连接0。，；AB是。的直径，：.Z AD B=90 ,：.Z D A B+Z D B A=9 0c,Z C D A Z C B D,

15、.NOAB+NCO4=90,O D=O A,：.Z D A B=Z A D O,：.Z C D A+Z AD O=90 ,8 0=9 0 ,；O)是0 0 的半径，.co是。的切线；(2)证明：CD是O O 的切线，8 0=9 0 ,：.Z C D A+Z AD O=90 ,；AB是。的直径，:.N AD B=90 ,：.Z D B A+Z D A B=W 0 ,又：0A=。，：.ZDAB=ZODA,：.ZCDAZDBA,又,：NDCA=/BCD,：./CAD/CDB,.C A C D C D C B：.CD2CACB；(3)：ZCDAZDBA,在 R t/X A B O 中，t an/C A

16、=也,B Dv A D C D乂 ，B D C BVC D=4,C B=8,.t an/C Z M=.22.如图，。是a A B C的外接圆，AB=AC,点力是A C上一动点，连接B O,AD,C D,延长C Q至点(1)求证：D 4平分/B )E；(2)若 A E=A。，求证：EC=BD；(3)在(2)的条件下，从以下两题任选一个填空(若两者都选，只以第题 计 分)：若A E是。0的切线，则四边形A 8C E的形状是 平 行 四 边 形：若A B=2,四边形O A O C是菱形，则OO的半径是 2叵 .3【分析】(1)由圆内接四边形的性质得出/A O E=/A B C,由等腰三角形的性质得出

17、/ABC=ZACB,则可得出结论；(2)证明E4C丝D48(SAS),由全等三角形的性质可得出EC=BD；(3)延长A。交BC于F,证出A8C,A B/C E,由平行四边形的判定可得出结论;由菱形的性质及等边三角形的性质可得出答案.【解答】(1)证明：是ABC的外接圆，点。是同上一动点，./A8C+NAOC=180,V ZADE+ZADC=180,NADE=ZABC,ZABC=ZACB,又 NACB=NADB,NADE=ZADB,即D 4平分N8)E；(2)证明：由(I)知，ZABC=/LADE,；AB=AC,ZACB=ZABC,.NA4C=180-2 A ABC,同理/E4D=180-2ZA

18、DE,：.ZEAD=ZBAC,：.ZEAD+ZDAC ZBAC+ZDAC,即 ZEAC=ZDAB,又；AE=AD,AC=AB,.,.E4C丝ZWAB(SAS),:.EC=BD；(3)解：四边形A8CE是平行四边形.证明：延长AO交BC于凡 如图，V OB=OC,AB=AC,垂直平分8C,为切线，：.AEOA,J.AE/B C,NA8C+NBAE=18(r ,9：A E=A Df：.ZE=Z AD E,*/N A D E=NA8C,Z E=Z AB C,：.Z E+Z B AE=SO ,J.AB/C E,四边形A B C E是平行四边形;故答案为：平行四边形；如图，连接O。，。4,OC,四边形。

19、4O C 是菱形，：.AO=O D,：O A=O D,.*/AO D是等边三角形，NAQO=60,同理/。=60,A Z AD C=20 ,NABC=180-120=60,AB=AC,ABC是等边三角形，：AB=2,：0 A=-.3故答案为：乙 .33.如图，。0 上有A,B,C三点，AC是直径，点O 是篇的中点，连接CQ交A8于点E,点 在 A 8延长线上且F C=F E.(1)证明：Z B C E=Z A C E；(2)求证：C F是。的切线;【分析】(1)由圆周角定理可得出结论；(2)证出/0 C尸=9 0 ,由切线的判定可得出结论：(3)设 8c=4 x,C F=5 x,由勾股定理得出

20、(4 x)2+(5 x-2)2=(5%)2证明 F B C s尸C 4,由相似三角形 的 性 质 得 出 型 卫，求 出AF,AEF C C AA E D s A C E B,得 出 比 例 线 段 岖 则 可 得 出 答 案.C E B E【解答】(1)证明：点 是虚的中点，A A D =B D.：.N B C E=N A C E；(2)证明：；A C是 的 直 径，.N A B C=9 0 ,：.ZBEC+ZBCE=90 ,:FC=FE,：.N F C E=NFEC,由(I)可知N B C E=N A C E,/.Z F C E+Z A C E=9 0 ,.*.Z O C F=9 0 ,：

21、O C是。的半径，；.C/是。的切线；(3)解：在 R t Z F B C 中，BE=2,s i n F=4,5 .B C 4 ,C F 5设 B C=4 x,CF=5x,：BC2+BF2CF2,求出x=l,的长，证明(4x)2+(5x-2)2=(5x)2,*.x=1或 x=(舍 去)，4.8C=4,CF=5,BF=3,：ZCBF=ZACF=90,Z F=Z F,.FBCSFCA,.F B B C-F C =C A).-3-二-4-，5 C A.CA=空，320.V 4 =,A F 5：.AF=,3D,/4DAE=/B C E,4AED=A CEB,：./XAED sCEB,.A-E =D E

22、 ，C E B E：.AEBE=DECE,，Q E.C E=X 2=.4.如图，BD是圆。的直径，AB=AC,AD交BC于点、E,延长到尸，使 8尸=8 0,连接雨.(1)求证：AB2=AD9AE；(2)若 A E=4,ED=8,求 A B 的长；(3)在(2)的条件下，直 线 阳 为。相切吗？为什么？【分析】(1)先 由A B=A C得到/A B C=N C,再根据圆周角定理得NC=N。，然后根据相似三角形的判定方法得到ABES/V IO B,再利用相似比和比例的性质即可得到结论；(2)利 用(1)的结论计算；(3)先在R t AABD中利用勾股定理计算出BD=8 M，则0 8=0 4=4于

23、是可判断 0A8为等边三角形，得到乙4 8。=/区4 0=6 0 ,再 计 算 出 广=3 0 ,由此得到N O AF=/5 4 O+/BAF=9 0 ,然后根据切线的判定定理得直线项与。0相切.【解答】(1)证明：ZABC=ZC,而/C=N。，:.N D=ZABC,而.AB=AEAD 而:.AB2=AD-AE,Z M B2=4 X (4+8),：AB 0,；.AB=4 料；(3)解：直 线 吊 与。相切，理由如下:在 R t aABO 中，AB=4 y，4 0=12,1 B=VAB2+AD2=8 a，/.0B=0A=4 代，O B=O A=A B,：./O AB为等边三角形，N ABO=N

24、BAO=6 0 ,:B O=B F,：.B F=AB,；.N F=N B A F,V Z A B D Z F+Z B AF=f Oa,A Z B AF=30,/.Z O AF=Z BAO+Z BAF=6 00+3 0 =9 0,：.O AAF,V O A是。的半径，.直线用与OO相切.5.如图，A8是。的直径，点C,。在。上，且A。平分N C 4 B,过点。作A C的垂线,与A C的延长线相交于点E,与4 B的延长线相交于点P.(I)求证：E P与。相切；(2)连结 B O,求证：AD D P=B D AP(3)若 A8=6,A O=4&,求。P 的长.【分析】(1)连接O。，利用角平分线和等

25、腰三角形可得0O AE,则/O O P=N E=9 0 ,即可证明结论；(2)根据圆周角定理知N AO B=9 0,则/AQ O=N P 8,利用等量代换可知N P Q B=Z P A D,从而得出 P D B s 4%。，得 匝 典 即 可 得 出 结 论；P A AD(3)首先由勾股定理得，8 0=2,由(2)知，=即=近,设PB=&X,则尸D=4 x,P A=s/2 x,根据A P的长列方程，从而解决问题.【解答】(1)证明：连 接。，平分 N C AB,：.ZOAD=ZEADf：OD=OA,：.ZODA=ZOADf：.ZODA=ZEADf：.OD/AE,：.ZODP=ZE=90,。是半

26、径，EP与。相切；(2)证明：如图，AB是直径,Z.ZADB=90,NADO=NPDB,ZADO=ZOADf:/PDB=/PAD,:N P=/P,:APDBSAPAD,-P-D-二 BD一，P A AD：.ADDP=BDAP；(3)解：.A8=6,AD=4近,由勾股定理得，B D=UB2_M)2=2,由(2)知，P D.J B D=2 =V2；P A AD 4 V 2 4设 P B=&x,则尸。=4x,PA=842X,：.8弧犬=6+五x,解得x=22巨，7:.DP=l2.76.如 图 1所示，直角OAB中，NOAB=90,。4=15,A B=a,以。为圆心，。4 为半径的圆交。8 于点C,连

27、接AC.(1)证明：ZA0B=2ZBAC；(2)当a=20时，求AC的长；(3)将aABC绕点A顺时针旋转，点C的对应点为。，点B的对应点为E.当点。、E都在0 0上 时(如 图2所 示)，证明：OA/DE.【分析】(1)作O”_LAC,证明N8AC=/AOH即可.(2)求出 80、BC 的长度，CG1.AB,根据O4Bs/CGB 即可求出 CG,BG,AG,进而通过勾股定理求出AC.(2)连 接O D,要证平行只需证NAOZ)=/O D E,由于NACB=N4)E,进而只需证/CAO=ZADO,通过全等或者推导角度关系即可得出.【解答】(1)证明：如图，过点。作O”_LAC于点H,；NOAB

28、=90,：.ZOAC+ZBAC=90,：OHAC,：.ZOAC+ZAOH=90Q,，NAOH=ABAC,：AO=CO,0H1AC,：.NAOH=NCOH,ZAOB=2ZAOH=2ZBAC,(2)解：如图，过点C作CGLAB于点G,：0A=15,AB=20,：.BO=25,ABC=10,:CGLAB,NQ4B=90,:.AOABSACGB,.B C B G CG 画 京 而.1 0 B G.CG*2 2 0 15 解得：BG=8,CG=6,：.AG=12,C=VAG2-K：G2=(3)解：如图，连接OO,/A B 8X A E D,：.ZACB=ZADE,AC=AO,ZAOC=ZAOD,:AO=

29、DO=CO,.N G 4O=.L8 0-NA 0 C,ZO D A=1 80：-Z AOD2 2：.ZCAO=ZADO,/ZACB=ZCAO+ZAOC,：.ZCAO+ZAOC=NADO+NODE,：.ZAOC=ZODE9Z A O D=Z O D E,J.AO/DE.7.如图，在平面直角坐标系x。)，中，已知点A(0,8),点B是x轴正半轴上一点，连接A B,过点A作4 C L 4 8,交x轴于点C,点。是 点C关于点A的对称点，连接B D,以A D为直径作。交8。于点E,连接并延长A E交x轴于点尺 连接。尸.(1)求线段A E的长；(2)若N A B E=N F D E,求E尸的值.(3)

30、若 A B-B O=4,求 t an/AFC 的值.由全等三角形的性质得出A E=A O=8；(2)证明 C ABs aC。凡由 相 似 三 角 形 的 性 质 得 出 笆 证 明D E尸S48E4,D F C D 2由相似三角形的性质可得出妪也,则可得出结论；E F D F 2(3)设B O=x,则A8=x+4,由勾股定理求出。2=6,证明BEASAFC,得出更型_/，设E F=m,则AF=8+m,B F=3(8+z),由勾股定理可求出m,则可AF A0 4 4得出答案.【解答】解：(1)；点4 (0,8),：.AO=S,；A O是。的直径，ZAEB=ZAED=9Q ,.N AE B=/AO

31、 B=9 0,：8 A垂直平分C D,：.BC=BD,：.N A B O=N A B E在ABE和A3。中,，Z AE B=Z AO BAB=AB.AB E/AB O(A 4S),.AE=AO=8；(2)V ZABE=ZFDE,：.AB/DF,:.XCABsXCDF,.A-B 二 C A z?1,D F C D 2又 NABE=NFDE,NAEB=A FED:.DEFsXBEA,.A-E =-A-B-z:-1,E F D F 2AE F=2AE=1 6；设 8 0=x,则 A8=x+4,在 R tZ X AB O 中，由 AO2+O32=A32得：82+?=(x+4)2解得：x=6,：OB=B

32、E=6,AB=1 0,：ZEAB+ZABE=90 ,ZACB+ZABC=90 ,N E 4B=N ACB,VZ BM=Z AF C,.BF BE 3=；AF AO 4设 E F=?，则 AF=8+机，B F=S(8+m),4*/在 RtABEF 中，BE2+EF2=BF2,62+/n2=(8+m)J2,4解得：即7 778.如图，在平面直角坐标系中，OC 与 y 轴相切，且点C 的坐标为(1,0),直线/过点A(-1,0),与OC 相切于点D.解答下列问题:(1)求点D的坐标；(2)求直线/的解析式；(3)是否存在0 P,使圆心P在 x轴上，且与直线/相切，与。C外切吗？如果存在请求出圆心P的

33、坐标，如果不存在，请说明理由.【分析】(1)连 接 CD,过。作。E _L AC 于 E,利用三角函数关系可得D E、0 E的长，由此可得答案；(2)利用待定系数法可得解析式；(3)存在两种情况，如图，过 P作于尸；如图，过 P作于E,分别利用相似三角形的判定与性质可得答案.则 AD=AC s in3 0=F，O E=AZ)s in3 0=返,C E=C D s in3 0=2/.0E=1 -CE=,2。容;(2)设直线/为y=fc x+b,O=-k+b则，M 1而k+b解得：k=，T哼(3)存在两种情况，讨论如下：如图，过尸作P F _ L/于F,设。P的半径为厂,J.CD/PE,：.A C

34、 D s A P E,.史答，PE AP r r+3解得r=3,：.P(5,0)；如图，过P作P EJ J于E,设。尸的半径为r，.,.CD/PE,二 A A C D A A P E,.C D A C P E AP即 三 月,1 2解得=，3:.p（-A,o）.3由此得P的坐标为（-1，0）或（5,0）.39.如图，A B是半圆。的直径，A B=1 0.C是弧A 3上一点，连接A C,BC,/A C B的平分线交A B于点P,过点P分别作P F L B C,垂足分别为E、F.（1）求证：四边形C EP F是正方形；（2）当s i n A=2时，求C P的长；5（3）设A P的长为x,图中阴影部

35、分的面积为y,求y与x之间的函数关系式，并写出y的最大值.【分析】（1）证明四边形P E C F是矩形，由角平分线的性质得出P E=P F,则可得出结论；（2）求出8 c=8,A C=6,设P E=C E=m,则A E=6-加，由锐角三角函数的定义可得出P E的长，则可得出答案；（3）将绕点 P 顺时针旋转 90 ,得到 PF,PA=%,E t 3 SPAE+SPBFS 必,B得出y=以 P B=LX（1 0-x）,由二次函数的性质可得出答案.2 2【解答】（1）证明：N A C B=90 ,PELAC,PFLBC,四边形P EC F是矩形，：C P 平分/A C B,P E L AC,PFA

36、.BC,：.PE=PF,四边形C EP F是正方形;(2)解：V s i n A=A B=1 0,5.B C 4 ,A B 5A B C=8,AAC=VAB2-B C2=V 102-82=6,设 PE=CE=，n,则 A E=6-?,taaA=PE m 4AE 6-m 3.m=24(3)解：.四边形CEP尸是正方形,：.PE=PF,NAPE+NBPF=90,NPEA=NPFB=9Q,.将APE绕点2顺时针旋转90,得到A PF,PA=P A,如图所示:则 A、F、B 三点共线，N4PE=NA PF,.NA PF+NBPF=90,即NA PB=90,.,.SA/M+SAPBF=SABA B=PA

37、 P B=X(10-X),2 2与x之间的函数关系式为y=-yX2+5x,v=_ 1 2+5X=-1/t 、2 25y x(x-5)；.x=5时，y有最大值为学.1 0.如图，。是aABC的外接圆，AC是。的直径，过圆心。的直线于力，交。于E,F,PB是。的切线，B为切点，连接AP,AF.(1)求证：直 线 附 为。的切线；(2)求证：AC2=4ODOP；(3)若 8c=6,ta n Z F=y-求 AC 的长.【分析】(1)连接0A，由 O P垂直于A B,利用垂径定理得到。为 AB的中点，即 O P垂直平分A B,可 得 出 A P=B P,再 由 0A=。8,N A O P=/B O P

38、,利 用 SA S得出三角形4 0 尸与三角形BOP全等，由以为圆的切线，得到。4 垂直于A P,利用全等三角形的对应角相等及垂直的定义得到0 B 垂直于B P,即 PB为圆0 的切线；(2)由一对直角相等，一对公共角，得出O A O sao 雨，由相似得比例，列出关系式,由 0A 为 E F 的一半，等量代换即可得证.(3)根 据。4=0C,AD=BD,B C=6,得到 0 0=3.设 表示出尸=2x,0A=O F=2 x-3.在 RtzXA。中，由勾股定理求得x 后即可求得半径，从而求得直径.【解答】(1)证明：连接08,是。的切线，：.ZP B O=90,：OA=OB,&41,尸。于。，

39、：.AD=BD,ZPOA=ZPOB,又,：PO=PO,以。g/XPB。(SA S),以。=/尸 80=90,为圆的半径，直 线 为 O O 的切线；(2)证明：ZPAO=ZPDA=90,：.ZOAD+ZAOD=90,ZOPA+ZAOP=90,：.ZO AD ZO PA,.OAQs。讯 .-O-D=O AO A O P：.OA2=ODOP,又：A C=2 0 A,：.AC2 4 O D O P；(3)解：,：O A=O C,A D=B D,B C=6,O O=2 B C=3,2设 A)=x,V t a n Z F=2:.F D=2x,O A=O F=2x-,3,在R t Z A。中，由勾股定理，

40、得，(2 x -3)2=X2+32,解之得，x i=4,X 2=O (不合题意，舍 去)，；.4。=4,O A=2 r-3=5,是OO的直径，；.A C=2 O A=1 0.；.A C的长为1 0.1 1.如图，在R t/X A B C中，Z C=90 ,N A B C的 平 分 线 交A C于点。，DELDB交AB于点E,设。是 B O E的外接圆.(1)求证：A C是 的 切 线；(2)求证：A A DS A A f i Z)；(3)若 D E=2,BD=4,求 A E 的长.【分析】(1)连接。，根据O E_ L B,得B E是直径,再利用角平分线的定义和等腰三角形可证/O DC=90

41、,从而证明结论；(2)利 用 同 角 的 余 角 相 等 可 得N A O E,从而证明结论；(3)由(2)知AOES/VIB。，得幽 上，则 A O=2 A E,在 R t Z X 4。中，利用A D DB 4勾股定理可得方程.【解答】(1)证明：连接0 ,0,D:DELDB,：.B E 是直径，点0 是B E 的中点，VZC=90 ,:.NDBC+NBDC=90,又:BD为NABC的平分线，NABD=ZDBC,；0B=0D,NABD=N0DB,：.ZODB+ZBDC=90Q,即 N O O C=90 ,又；。是OO的半径，；.A C 是OO的切线；（2）证明：8。为N A B C 的平分线

42、，NABD=NCBD,：ZCBD+ZBDC=90,NBDC+NADE=90,：.NABD=NADE,又：N A=N A,：./XADE ABD；（3）解：DEDB,DE=2,BD=4,:.BE=2 娓,OE=娓,由（2）知：A DES/X A B。，.A E ED 2 -二 -,A D DB 4：.AD=2AE,在R t Z A O Z）中，由勾股定理得，（遍+A E）2=（本 产+篦肥产,解得A E=Z Y 或A E=0 （舍去），3.A E=2 _.31 2.在 阿基米德全集中 的 引理集中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图，已知第，C是弦A 8上一点，请你根据以下步骤

43、完成这个引理的作图过程.（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；作线段A C的垂直平分线O E,交 会 于 点 交A C于点E,连接A D,C D；以点。为圆心，长为半径作弧，交定于点尸（尸，A两点不重合），连接D F,B D,B F.（2）猜想线段B C,8尸的数量关系，并证明.【分析】（1）根据要求作出图形即可.根据要求作出图形即可.（2）证明OF B丝 D C B可得结论.【解答】解：（1）如图，直线O E,线段A。，线段C。即为所求.如图，点 尸，线段C O,B D,B尸即为所求作.(2)结论：B F=B C.理由：垂直平分线段A C,：.D A=D C,：.Z D AC=Z D C

44、 A,：AD=D F,：.D F=D C,A D=D F)Z D B C=A D B F,：Z D F B+Z D AC=SO .N OC B+N OC 4=1 8 0 ,:.N D F B=N D C B,在和 C 8 中,，Z D F B=Z D C BD F=D C：./D F B/D C B(A 4S),：.B F=B C.1 3.已知：如图，AA B C内接于O。，A B为直径，N C S A的平分线交AC于 点 尸，交。于点。，O E L 4 8于点E,且交A C于点P,连接A D(1)求证：NDA C=NDBA；(2)求证：P是线段A F的中点；(3)连接C O,若C D=3,B

45、D=4,求 的 半 径 和。E的长.【分析】(1)利用角平分线的性质得出N C 8 =N B A,进而得出N Z M C=/O B A；(2)利用圆周角定理得出N A B=9 0 ,进而求出/P C F=N P F ,则P D=P F,求出P A=P F,即可得出答案；(3)利用勾股定理得出A 8的长，再利用三角形面积求出。E即可.【解答】(1)证明：平分/C 8 A,:.N C B D=N D B A,4c与N C 8 O都是弧C O所对的圆周角，：.Z D A C=Z C B D,：.Z D A C Z D B Ai(2)证明：.F B为直径，A Z A D B=9 0Q,D E L A

46、B 于 E,；.N D E B=90 ,.,.Z l+Z 3=Z 5+Z 3=9 0 ,/.Z 1 =Z 5=Z 2,：.P D=P A,：Z 4+Z 2=Z 1+Z 3=9 O ,且/A D B=9 0 ,；./3=N 4,：.P D=P F,J.P AP F,即P是线段A F的中点;(3)解：连接C ,:N C B D=4 D B A,：.C D=AD,；8=3,：.AD=3,V Z AD B=90,：.AB=5,故。的半径为2.5,:D E XAB=AD XB D,.*.5D E=3X 4,：.D E=2A.1 4.如图，。经过 A B C的顶点A、C,并与A B边相交于点。，过点。作。

47、尸B C,交A C于点E,交。0于点F,连接。C,点C为弧。F的中点.(1)求证：8 c为。的切线；(2)若。的半径为3,。尸=4&,求C E-C 4的值；(3)在(2)的条件下，连接A H 若B O=A F,求A。的长.【分析】(1)连接C。并延长交。于G,连接O G,由圆周角定理及直角三角形的性质证出/)C G+N Z)C 3=9 0 ,则。C L B C,由切线的判定可得出结论；(2)连接0 C交及产于M,由勾股定理求出。2=1 2,证明)C E s Z A C Z),由相似三角形的性质得出生二也，证出C =C EC A,则可得答案；A C C D(3)连 接 C F,证明a B OC之

48、 A F C(SAS),由全等三角形的性质得出B C=AC,NBCD=NA C F,证 出 AC=B C=O凡A F=C F=B D,证明O8 C s/C BA,由相似三角形的性 质 得 出 呢，求出A 8的长，则可得出答案.B D B C【解答】(1)证明：连接CO并延长交。于 G,连接。G,如图:：CG为直径，.N GOC=90,:.NDCG+NDGC=90 ,：N)GC=N8AC,点 C 为弧。F的中点,：.ZCDF=ZBACf：/DGC=NCDF,.NDCG+/CO尸=90,:DFBC,:NCDF=NDCB,：.ZDCG+ZDCB=9Q,:.OCLBC,又OC是O。的半径，B C 为。

49、的切线；(2)解：连接OC交。尸于M,:.OCtDF,。为弧。歹的中：.DM=MF=DF=2A/2，:。的半径为3,0M=1 2=S 2 _(2&)2 =1：.CM=OC-OM=3-1=2,/.DC2=DM2+CM2=(2 V 2 )2+22=1 2,翁，：.ZD AC=ZC AFf*：ZCDF=ZCAF,：.ZC D F=ZD ACfV ZDCE=ZACDt:DCESRACD,C D C E ，A C C D：.CD1=C E A,.CECA=12；(3)解：连接CR 四边形ADC尸内接于。，A ZADC+ZAFC=SO0,又.N8OC+NCZM=180,/AFC=NBDC,V C D=S)

50、:CD=CF=2 心又.8O=AR：./B D C/A F C (SA S),：.BC=ACf NBCD=/ACF,ZACF=NAD尸,：.ZBCD=ZADF,*：DFBC,：.ZCDF=ZBCD,ZCDF=ZADF,：.AF=CF,A F =C F.BD=CF=2 M，A C =D F，A C=O F=4&=B C,N B C D=N C D F=N C A F=AD AC,N D B C=N AB C,:./XD B C sAC B A,.B C A BB D B C:.BC2=BD-AB,(4加)2=2立”8,1 5.如图，在R t Z X A B C中，/B A C=9 0 ,以A 8