数学中考专题训练——全等三角形的判定和性质.pdf

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1、中考专题训练全等三角形的判定和性质1.如图，点 E,尸在 BC上，BE=CF,/A=/。，N B=N C,求证：AB=DC.2.如图，点 E,F 在 BC 上，BE=CF,N A=N。,Z B=Z C,AF 与 交于点 O.(1)求证：A B=D C；3.如图，ABC是等边三角形，AE=CD,BQ_LAO于 Q,BE交 AD于 P.(1)求证：ABE之C4；(2)求N P8Q 的度数.4.如图，ZiABC 中，AB=BC,BE_LAC 于点 E,AQ_L8C 于点 Q,ZBAD=45 ,AO 与BE交于点F,连接CF.(1)求证：B F=2 A E；(2)若 C )=&,求 4 力的长.5.如

2、图，OE_L4B 于 E,。尸 _LAC 于 凡若 B D=CD,BE=CF,(1)求证：AO平分/8 A C；(2)直接写出A B+A C与A E之间的等量关系.6.如图，A B C和A D E都是等腰三角形，且NB A C=9 0,Z D A E=90,B,C,。在同一条直线上.(1)求证：BD=CE.(2)BD,C E有什么位置关系？请证明.7 .如图，在A A B C 和4 D E 中，AB=AC,AD=AE,Z B A C=ZDAE=90 .(1)当点。在A C上时，如图，线段83,C E有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；(2)将图中的 A D E绕点A顺时针旋转a(0 a

3、,0 C=0 ),点。的坐标为(?，)，且满足(胆-2)2+|-2|=0.(1)求点D的坐标；(2)求N A K。的度数；(3)如图2,点 P,。分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且 O P=O。，直 线 ON_ L B P交A B 于点、N,交B P 的延长线于点M,判断ON,MN,的数量关系并证明.18.在 A B C中，A B=AC,点。是直线B C上的一点(不与点8、C重 合)，以AQ为一边在 的右侧作?!：,使 4 =4 E,N D AE=/BAC,连接 C E.(1)如图，点力在线段B C上，若N B A C=9 0 ,则N B C E等于 度；(2)设/M C=a,Z B C E=

4、p.如图，若点。在线段B C上移动，则a与0之间有怎样的数量关系？请说明理由；若点 在直线8 c上移动，则a与B之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.19 .如 图(1)四边形 A B C Q 中，已知NA 8C+NA OC=180,A B=A D,D A A B,点 E在C D的延长线上，Z B A C Z D A E.(1)试说明：(2)试说明C A平分/8C ；(3)如 图(2),过点A作4 M J _ C E,垂足为例，试说明：Z ACE=Z CAM=Z M A E=Z =4 5 .2 0.如 图(1),直线A B与x轴负半轴、y轴的正半轴分别交于4、B、。4、。8的长分别为 a、

5、b,且满足 a2-2ab+b20.(1)判断 A OB的形状；(2)如 图(2)过坐标原点作直线O Q交直线A 8于第二象限于点Q,过A、8两点分别作 A M _ L OQ、B N 1.O Q,若 A M=7,B N=4,求 M N 的长；(3)如 图(3),E为A 8上一动点，以A E为斜边作等腰直角三角形A C E,P为B E的中点，延长O P至凡 使 P F=D P,连接P O,B F,试问。尸、尸0是否存在确定的位置关系和数量关系？写出你的结论并证明.参考答案：1.如图，点、E,F 在 B C 上，BE=CF,N A=N D,N B=N C,求证：AB=DC.【分析】利用全等三角形的判

6、定定理AAS证得aA B F丝 )(?然后由全等三角形的对应边相等证得4B=C.【解答】证明：点 E,F 在 3 c 上，BE=CF,：.BE+EF=CF+EF,艮 J B F=C E；在A A B F和 O CE中，rZA=ZD ZB=ZCBF=CE:.ABFXDCE CAAS),J.ABCD(全等三角形的对应边相等).2.如图，点 E,F 在 B C上，BE=CF,N A=/。，NB=NC,AF与 QE交于点 O.(1)求证：AB=DC；(2)试判断尸的形状，并说明理由.【分析X I)根据 B E=C尸得到 8 F=CE,X Z A=ZD,N B=N C,所以A B F丝QC,根据全等三角

7、形对应边相等即可得证；(2)根据三角形全等得NAFB=N CEC,所以是等腰三角形.【解答】(1)证明：)BE=CF,：.BE+EF=CF+EF,即 BF=CE.在A A B 尸与OCE中，BF=CEZB=ZC:.ABF9/DCE(A4 5),：.AB=DC.(2)O EF为等腰三角形理由如下：V二 ZAFB=ZDEC,：.OE=OF,.OEF为等腰三角形.3.如图，A8 C 是等边三角形，A E=CZ),8 Q_LA Q于 Q,BE交 AD于 P.(1)求证：(2)求/P BQ 的度数.EB D C【分析】(1)根据等边三角形的性质可得A8=AC,ZBAC=ZC=60,然后利用“边角边”即可

8、证明两三角形全等；(2)根据全等三角 形 对 应 角 相 等 可 得 再 根 据 三 角 形 的 一 个 外 角 等 于 与它不相邻的两个内角的和得到NBPQ=60,再根据8QJ_A得到/B Q P=90,根据三角形的内角和定理求出NPBQ=30.【解答】(1)证明：:ABC是等边三角形，：.AB=AC,NBAC=NC=60,在ABE与CAQ中，AB=AC，ZBAC=ZC=60 AE=CD.ABEg 04。(SA S)；(2)解：V/A B E C A D (已 证)，NABE=ADAC,：.NBPQ=NABE+NBAP=NDAC+NBAP=ZBAC=60,V BQ-LAD,，N80P=9O,

9、.NP8Q=180-90-60=30.4.如图，AABC 中，AB=BC,BEJ_AC 于点 E,AOJ_BC 于点 O,ZBAD=45,4 0 与BE交于点、F,连接CF.(1)求证：BF=2AE；(2)若C D=,求 A。的长.【分析】(1)先判定出A8Q是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=B D,再根据同角的余角相等求出/C 4 O=/C B E,然后利用“角边角”证明AOC和BCF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC,再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AF,从而得证；(2)根据全等三角形对应边相等可得DF=CD,然后利用勾股定理列式求出C F,再根据线段

10、垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得A F=C F,然后根据代入数据即可得解.【解答】(1)证明：,：ADLBC,ZBAD=45,.AB。是等腰直角三角形，：.AD=BD,BE1AC,ADBC,.,.ZCAD+ZACD=90,ZCB+ZAC=90,:.NCAD=NCBE,在ADC 和中，ZCAD=ZCBEZADC=ZBDF=90A/ADC/BDF(ASA),：.BF=AC,：AB=BC,BEVAC,：.AC=2AE,：.BF=2AE；解：V ADC/XBDF,:.DF=CD=M，在 RtZiCOF 中，CF=DF2 y口2=2,BEAC,AE=EC,：.AF=CF2,：.AD=AF+DF

11、=y/2+2.A5.如图，DEI AB T E,DFLAC F,若 BD=CD,BE=CF,(1)求证：AO平分N8AC；(2)直接写出AB+AC与AE之间的等量关系.【分析】(1)根 据“HL”定理得出BOE丝,IBE=CF:./BDE冬ACDF(H L),：.DE=DF,二4力平分/BAC；(2)AB+AC2AE.理由：ZE=ZAFD=90,在 RtAAED 与 RtAAFD 中，DE=DF,IA D=AD.AE丝AFC(H L),：.AE=AF,：.AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE+AE=2AE.6.如图，ZVIB C和 都 是 等 腰 三 角 形，且/B A C=9 0 ,/D

12、4 E=9 0 ,B,C,力在同一条直线上.(1)求证：BD=CE.(2)BD,CE有什么位置关系？请证明.【分析】(1)根据等腰三角形的性质可得出A 3=AC、A D=A E,由/B4C=/D4 E=9 0 可得出/BAO=/C 4E,由此即可证出B A O丝C4 E(SAS),根据全等三角形的性质即可得出B D=C E；(2)根据等腰直角三角形的性质可得出/A8 C=/AC B=4 5 ,根据全等三角形的性质可得出 NA CE=NA B C=4 5 ,进而即可得出 NB CE=NA CB+NA CE=9 0 ,即 B D VCE.【解答】证明：:ABC 和ADE都是等腰三角形，.AB=AC

13、,AD=AE.；NB A C=9 0 ,ZDAE=90 ,Z B A C+Z C A D Z CAD+Z CAE,即/&4 =/C4 E.A B=A C在B A O 和CA E 中，NB A D=NCA E，A D=A E.B A。之 CA E(SAS),：.BD=CE.(2)BDLCE.A B C是等腰三角形，/BAC=9 0 ,A ZABC=ZACB=45 .:BA。丝CAE,.*.N4CE=/ABC=45,N B C E=NACB+NACE=90,:.B DLC E.7.如图，在ABC和AOE 中，A B=A C,A D=A E,NBAC=Z)4E=90.(1)当点。在 AC上时，如图，

14、线段8D,CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；(2)将图中的4DE绕点A 顺时针旋转a(0 a+/AEC=90,即可解题；(2)延长BZ)交 CE于 F,易证N 2A=/E A C,即可证明EAC丝D 4 3,可得8=C E,N ABD=N ACE,根据NABC+/ACB=90,可以求得N C 8N 8C F=90,即可解题.【解答】证明：(1)延长B力交CE于凡在 4 c 和D4B中,，A E=A DA C=A B：./EAC/DAB(SAS),：.BD=CE,NABD=NACE,V ZAEC+ZACE=90,.NABZ)+/AEC=90,:.NBFE=90,B P EC.LBD

15、；(2)延长BD交CE于F,E：ZBAD+ZCAD=9,ZCAD+ZEAC=90a,：.ZBAD=ZEAC,.,在4c 和D48 中，A D=A EA B=A C.EAC丝QAB(SA S),：.BD=CE,/ABD=NACE,.NA8C+NACB=90,NCBF+NBCF=ZABC-AABD+AACB+AACE=90：.ZB FC=90,B P EC1BD.8.已知：如图，AD/BC,E F垂直平分8。，与A。，BC,BD分别交于点E,F,O.求证：(1)/BOF/DOE；(2)DE=DF.【分析】（1）由线段垂直平分线的定义可知OB=OD,且NBOF=NE。，利用平行可得 N B F O=

16、N D E O,利用 AAS 可证明BOFgQOE；(2)由(1)中的全等可得OE=O凡 可知8。是 EF的垂直平分线，可得。E=F.【解答】证明：(1)：AD/BC,:.N B F O=N D E O,垂直平分BD,：.O B=O D,Z B O F=Z D O E=9 0a,在B。尸和OOE中NBOF=/DOE-ZBF0=ZD E0OB=OD.BO尸丝OOE(A 4 5)；(2)由(1)可知BO尸乡QOE,A OE=OF,S.BD1EF,：.B D为线段E F的垂直平分线，：.DE=DF.9.如 图，点 C 是线段AB上除点A、B 外的任意一点，分别以4C、8C为边在线段A 8的同旁作等边

17、ACC和等边B C E,连接AE交。C 于例，连接BQ交 CE于 N,连接MN.(1)求证：A E=B D；(2)判 断 的 形 状 并 说 明 理 由.【分析】(1)由等边三角形的性质，结合条件可证明ACE丝D C B,则可证得AE=B D；(2)利 用(1)的结论，结合等边三角形的性质可证明4CM也(7%,可 证 得M C=N C,则可判定CMN为等边三角形.【解答】(1)证明：4C)和BCE是等边三角形，：.AC=DC,CE=CB,ZDCA=60,ZECB=60,*./C4=/EC8=60,N D C A+N D C E=Z E CB+ZDCE,Z A C E=NDCB,在ACE与DCB

18、中，A C=D C=DC,A ED=EF+FD=BF+-FC=(.BF+FC)=BC=3,2 2 2 2ED为定值，1 1.如图，在AABC中，A8=8,AC=4,G为8C的中点，OG_L8C交NBAC的平分线A。于。，DEJ_AB于E,。凡L4C于尸交4 c的延长线于尸.(1)求证：BE=CF；(2)求AE的长.【分析】(1)连接DB、D C,先由角平分线的性质就可以得出DE=DF,再证明后丝OCF就可以得出结论；(2)由条件可以得出AOE丝力F,就可以得出A E=A F,进而就可以求出结论.DG_LBC 且平分 BC,：.DB=DC.为NA4c 的平分线，DEAB,DFLAC,：.DE=D

19、F.NAED=NBED=ZACD=Z DCF=90在 RtADBE 和 RtADCF 中f D B=D Cl D E=D FRtADCF(H L),：.BE=CF.(2)在木A D E 和 Rt/ADF 中f A D=A DID E=D F.,.RtAADERtAADF(H L).：.AE=AF.：AC+CF=AF,：.AE=AC+CF.：AE=AB-BE,：.AC+CF=AB-BE：AB=8,AC=4,：.4+BE=S-BE,；.BE=2,，AE=8-2=6.12.(1)问题发现如 图 1,ZVICB和 (“均为等边三角形，点 A,D,E 在同一直线上，连接B E,求NAEB的度数.(2)拓

20、展探究如图2,ACB和OCE 均 为等腰直角三角形，NAC8=N)CE=90,点A、D、E在同一直线上，CM为OCE中 DE边上的高，连接B E.请求N4EB的度数及线段CM,【分析】(1)先证出/A C Z)=N B C E,那么ACD之B C E,根据全等三角形证出NAOC=N B E C,求出/A D C=120,得出/B E C=120,从而证出/AE8=60；(2)证明ACD四B C E,得出/A O C=N 8 E C,最后证出。M=M E=CM 即可.【解答】解：(1).4C8和OCE均为等边三角形，：.CA=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE=60,ZACD=6QQ-NCDB

21、=A BCE.在4C)和BCE 中，rAC=BC(7均为等腰直角三角形，：.CA=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE=90.：.NAC=A BCE.在 A C Q和 B C E中，CA=CBCD=CEA A C D A B C E (S A S).：.A D=B E,NA DC=NB EC.O C E为等腰直角三角形，：.ZC DE=ZC ED=45Q.点A,D,E在同一直线上，A Z A D C=1 3 5 ,.N B EC=1 3 5 .NA EB=NB EC -NC ED=9(T.,:C D=C E,C M IDE,:.DM=ME.V ZDC E=90,:.DM=ME=C M.：.A

22、E=A D+DE=B E+2C M.1 3.如图，在 R t Z A 8 C 中，N 8 A C=9 0 ,A B A C,。是 B C 的中点，A E=B F.求证:(1)D E=D F；(2)O EF为等腰直角三角形.【分析】（1）连接A Q,证明B FZ）四 A EQ即可得出。E=F；（2）根据三线合一性质可知A。_ L B C,由也A E 可知根据等量代换可知N EQ F=9 0 ,可证 Q EF为等腰直角三角形.【解答】证明：（1）连接A D；R t Z A 8 C 中，N B A C=9 0 ,A B=A C,；.N B=N C=45 .：A B=A C,DB=C D,：.ZDA

23、E=ZB A D=45 ./B 4O=/8=45 .：.AD=BD,NAB=90.在?!和AOB尸中，A E=B F Z D A E=Z B=45 ，A D=B D:.丛DAE9ADBF(S A S).:.DE=DF；(2)：D AE/XD BF：.ZAD EZBD F,DE=DF,V ZBDF+ZADF=ZADB=90,A ZADE+ZADF=90.：./D E F 为等腰直角三角形.,B D A C,垂足为。点，AE平分/BAC,交BD于F,交 BC于 E,点 G 为 AB的中点，连接。G,交 AE于点”,(1)求NACB的度数;(2)求证：HE=LAF.【分析】(1)根据等腰三角形性质和

24、三角形内角和定理求出即可:(2)证A D F g/iB D C,推出A F=B C,求出H E=B E=C E,即可得出答案.【解答】解：A8=AC,ZAC BZABC,V ZBAC=45 ,：.ZACB=ZABC=(180-N B A C)=工(180-45)=67.5.2 2(2)连接H8,AB=AC,AE 平分/BAC,：.AEBC,BE=CE,：.ZCAE+ZC=90a,VBD1AC,；.NCBO+NC=90,：.ZCAE=ZCBD,：BD AC,。为垂足，：.ZDAB+ZDBA=90,ZDAB=45,A ZDBA=45 ,：.ZDBAZDAB,:.DA=DB,在 RtABDC 和 R

25、t/XADF 中，NBDC=/ADF,A B=5,【分析】(1)根据平行线的性质得到NB A M+NA 8 N=1 8 0 ,根据角平分线的定义得到A B A E=/B A M,N A B E=N A B N,于是得到结论；2 2(2)在 AB上截取AF=AC,连接E F,根据全等三角形的性质得到NA EC=NA EF,BF=B D,等量代换即可得到结论；(3)延长AE交 8。于尸，根据等腰三角形的性质得到A B=B/=5,A E=E F,根据全等三角形的性质得到。F=AC=3,设 SABEF=SAABE=5X,S&DEF=S&ACE=3X,根据 SAABE-SACE2,即可得到结论.【解答】

26、解：(I),：AM BN,：.ZBAM+ZABN=SO0,平分NB A M,BE 平分/ABN,:.N B A E=L/B A M,N A B E=LN A B N,2 2/.Z B A E+Z A B E -(N B A M+N A B N)=9 0 ,2，/AEB=9 0 ；(2)在 AB上截取AF=AC,连接EF,在ACE与AFE中，A C=A F ZCAE=ZFAE.A E=A E ACE&XAFE,：.NA EC=NAEF,V ZAEB=90,NAEF+NBEF=ZAEC+ZBED=90Q,：/FEB=NDEB,在ABF E与A B D E中,rZ FB E=Z D B E B E二

27、B E，Z FEB=Z D EB:.XBFE 空 XBDE,；BF=BD,；AB=AF+BF,：.AC+BD=AB；(3)延 长A 交8。于产，V ZAEB=90Q,：.BELAFfBE 平分/ABN,：.AB=BF=5,AE=EF,:AM BN,:/C=/E D F,在 人(?与中，Z C=Z ED FABE=5 x,SDEF=SACE=3%,:S&ABE S/ACE=2,/.5x-3 x=2,x=1,B O E的 面 积=8.1 6.在等边三角形ABC中，点E在AB上，点。在CB的延长线上，且AE=BO.试探索以下问题：(1)当点E为A8的中点时，如 图1,求证：EC=ED.(2)如图2,

28、当点E不是4B的中点时，过点E作E尸8 C,交AC于点尸，求证：/XAEF是等边三角形.(3)在(2)的条件下，EC与ED还相等吗？请说明理由.【分析】(1)根据等边三角形的性质得出A8=AC=BC,ZABC=ZACB=ZA=60,再由 E 是 A8 的中点，AE=BE=BD,证出/EZ)B=N E C 8,得出 EC=E；(2)在AAE尸中，只要证明有两个内角是6 0 即可；(3)只要证明QBE0AEFC,即可推出结论：【解答】证明：(1);ABC是等边三角形，：.AB=AC=BC,/ABC=NACB=NA=60,是A8的中点，:.AE=BE,ZECB=ZACB=30,2：AE=BD,：.B

29、E=BD,：.ZEDB=ZDEB=ZABC=30Q,2:.NEDB=NECB,：.EC=ED.(2)过E点作EF8C交AC于 尸 点.如图2所示:：EF/BC,：.ZAEF=ZABC=60Q,ZAFE=ZACB=60,.AEF是等边三角形.(3)E D=E C.理由如下：ZiAEF是等边三角形.NAFE=ZABC=60：.ZEFC=ZDB E=120 ,5L：A E=B D,A B=4 C,：.B D=EF,B E=FC,在 OB E和 E F C中，BD=EF,0 C=0 ),点。的坐标为(机，)，且满足(山-2”)2+|-2|=0.(1)求点。的坐标；(2)求/A K O的度数；(3)如图

30、2,点P,。分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且O P=O。，直 线ONJ _ B P交A 8于点N,M N L A Q交B P的延长线于点M,判断ON,MN,的数量关系并证明.【分析】(I)利用非负数的性质即可解决问题；(2)如 图1中，作OE _ L2 于E,OFA,A C F.只要证明B O。空 A OC,推 出E O=。尸(全等三角形对应边上的高相等)，推 出O K平分N B K C,再证明N A K 8=N 8 0 A=9 0 ,即可解决问题：(3)结论：B M=M N+O N.只要证明以及即可解决问题；【解答】解：(1)V(m-2n)2+n-2=Q,又（/n-2n）220,-2|20

31、,/i=2,m=4,.点。坐 标 为（4,2）.(2)如 图1中，作0E_L8。于E,。尸_LAC于凡：OA=OB,OD=OC,ZAOB=ZCOD=90a,ZBOD=ZAOC,：./BOD/AOC,：,EO=OF（全等三角形对应边上的高相等），OK-ZBKC,.ZOBD=ZOAC,易证NAKB=NBOA=90,：.ZOKE=45a,：.ZAKO=35.(3)结论：BM=MN+ON.理由：如图2中，过点B作轴交MN的延长线于图2：OQ=OP,OA=OB,ZAOQ=ZBOP=90,/XAOQ/XBOP,：.ZOBP=ZOAQ,：N OBA=N 0 A 8=45 ,NABP=NBAQ,：NMAQ,B

32、MLON,：.ZANM+ZBAQ=90,ZBNO+ZABP=90,：.ZANM=NBNO=ZHNB,：4HBN=NOBN=45,BN=BN,：.HN=NO,ZH=ZBO N,:NHBM+NMBO=90,NBON+NMBO=90,：.NHBM=4BON=NH,：.BM=MN+NH=MN+ON.1 8.在ABC中，A B=A C,点。是直线BC上的一点(不与点8、C 重 合)，以A。为一边在A。的右侧作A O E,使 AO=AE,Z D A E=Z B A C,连接CE.(1)如图，点。在线段BC上，若NBAC=90,则N 2 等于 90 度;(2)设/B 4 C=a,ZBCE=p.如图，若点。在

33、线段BC上移动，则 a 与 0 之间有怎样的数量关系？请说明理由；若点力在直线BC上移动，则 a 与。之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论.【分析】(1)可以证明BAD岭C 4 E,得到N B=N A C E,证明NACB=45,即可解决问题.(2)证明54。丝C 4 E,得到NB=NACE,(3=N ABC+/A CB,即可解决问题.(3)证明%!丝C 4 E,得到/A B O=N A C E,借助三角形外角性质即可解决问题.【解答】解：(1)如 图 1,：ZBAC=ZDAE,：.ZBAD=ZCAEt A B=A C在8 4。与C 4 E 中，,NB A D=NC A E，A D=A E

34、.,.BADACAE(SA S),：.ZB=ZA C E,：.ZB C E ZACB+ZACE=90,故答案为90.(2)如图2,a+p=180；理由如下：,?N BAC=A DAE,：.NBAD=4CA E；在84。与 C4E中，AB=AC ZBAD=ZCAE-AD=AE：./BAD/CAE(S A S),.Z B=Z A C E,=ZA B C+ZA CB,.a+0=18O.(3)：/D 4 E=/a 4 C,.,.N D 4B=N EA C；在54。与 CAE中，AB=AC-ZBAD=ZCAE-AD=AE.BA。g CAE(S A S),，/B=ZACE,：.ZA B D=ZA CE；而

35、 NABD=NACB+a,=Z A C E-ZACB,，B=/A CB+a-ZACB,/.a=p.当。在 C 8 的延长线时，a=p.当。在 B C 的延长线上或线段B C 上时，a+B=180.1 9.如 图(1)四边形 A8CZ)中，已知NABC+N4OC=180,AB=AD,O A _LA 8,点 E 在C O 的延长线上，ZB A C=ZDAE.(1)试说明：ABC丝4DE；(2)试说明C 4 平分/B CD；(3)如 图(2),过点A 作 A M _LC E,垂足为M,试说明：Z A C E=Z C A M=ZM AE=NE=45.【分析】(1)根据三角形的判定定理ASA即可证得；(

36、2)通过三角形全等得AC=AE,N B C A=N E,进而根据等边对等角求得N A C D=/E,从而求得/8 C 4 =/E=ZAC D 即可证得：(3)通过三角形全等得AC=AE,ZCA=90,即AACE是等腰直角三角形，根据三线合一可得ACM和AAEM都是等腰直角三角形，进而得出结论.【解答】解：(1)证明：如图，：ZABC+ZADC=SOa,ZADE+ZADC=SOa,：.N A 8C=4 ADE,在ABC 与中，ZB A C=ZD A E,根据全等得出 B F=ED,N F B P=/D E P,求出 B 尸=4 0,NF8 O=ND4 O=9 0 ,根据 SA S 推出尸8 0

37、名/。40,求出 NF0 B=ZDOA,O D=O F,求出O OF是等腰直角三角形，即可得出答案.【解答】（1）解：AOB是等腰直角三角形，理由是：（?-2ab+b2=0（a-b）2=0,=/?,：.OA =OBX V ZA OB=9Q ,.AOB 是等腰直角三角形:(2)解：A M L O Q,B NLOQ,./AM O=NO N8=90,又：乙408=90,NAOM+NBON=90,又./M 4O+/M OA=90,：.ZM AO=ZBON,在AM。和ONB中fZMA0=ZB0N,ZAM0=Z0NBA0=B0:.X A M g X O N B (A A S),.ON=AM=1,OM=BN

38、=4,MN ON-OM=1-4=3；证明：连接。),OF,为 BE的中点，：.BP=EP,在ABP F和A E P D 中fBP=EP ZBPF=ZEPDPF=PD:.BPF/AEPD (SAS):.BF=ED,NFBP=NDEP,又/!)是等腰直角三角形，：.AD=ED,ZDEA=ZDAE=45,；.BF=AD,；.NFBP=NDEP=180-45=135,又AAOB和AOE是等腰直角三角形，A OB=OA,ZDEA=ZDAE=45,：.BF=AD,：.ZFBO=ZFBP-ZABO=135-45=90,ZDAO ZDAE+ZBAO=45a+45=90,：.ZFBO=ZDAO=90,在F3O和D4O中B 0=A 0-ZFBO=ZD A OB F=A D：./FBO/DAO(SAS)：.ZFOB=ZDOA,OD=OF,：./DOF=N DOB+NBOF=NDOB+/DOA=NAOB=90,./DOF是等腰直角三角形，又,；PF=DP,：.OPDF,OP IDF.2