中考数学专题训练——相似三角形的判定和性质.pdf

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1、中考专题训练相似三角形的判定和性质1.如图，E 是菱形N8C。对角线/C 上一点，四边形8GFE是 矩 形.点 凡 G 分别在OC,BC上.(1)求证：N C F G=N A B E.(2)若BE=4,ta n/A B E 萼，求之的长.2.如图，在团4 8 8 中，8 c 于点E,点尸在8 c 的延长线上，且 C F=8 E,连接ZC,D F.(1)求证：四边形NEED是矩形；s(2)若N/CD=90,AE=4,C F=2,求AEQ.2ACFD3.如图，已知正方形A B CD的边长为a,正方形C E F G的边长为h (b 0).(1)若4 B=2,A=l,求线段C厂的长.(2)连接E G,

2、若G点为C D的中点，求证：E G L A F.求人的值.1 6.如 图，已知/8 C,点。，E分别在B C,C A,且满足E B=E C.(1)用直尺和圆规确定点D,E；(保留作图痕迹，不写作法)(2)连接Z。，E B,A D与EB交于点、F.求证：B D F s C B A；若/A 4 c=9 0 ,N 8=3,N C=4,则 Z)F 的长为.1 7 .如图，/8 C是等腰直角三角形，A B=A C,点、D,E,产分别在4 8,BC,Z C边上,D E D F,N D E F=4 5 ,。尸的延长线与8 c的延长线相交于点G.(1)求证：BDESM E F；(2)若力。=1,A F=2,求

3、E C的长；(3)若tan/B D E】,求 器 的 值N I L D1 8.如图，在正方形/B C D中，点E是边/。上的一点(不与力、O重 合)，点F在边。C延长线上，C F=A E,连接8、BF、E F,EF交B C于点、M,交对角线8。于N.(1)求证：N BE F=4 5 ；(2)若 BE 平分/A B D,求证：B E?=MAB，BM；(3)若 D E：4=3：2,则 E N：NM：MF=(直接写答案).1 9.如 图1,在四边形Z 8C。中，NA B C=/B CD,过点Z作Z E OC交8 c边于点E,过点、E作E F 4 B交CD边于点、F,连接力9，过点C作C H/尸交4

4、E于点“，连接8”.(1)求证：A A B F W 4 E A F；(2)如图2,若2的延长线经过 尸的中点，求些的值.EC2 0.如 图1,在矩形/8CZ)中，AB=5,A D=S,点E在 边 8上，t a n Z BAE=2,点尸是线改Z E上一点，连接CF.(1)连 接 请 用 尺 规 作 图 法 作 尸G,4 8,垂足为G点(保留作图痕迹，不要求写出作 法).若t a nN/8尸=匹，求线段/尸的长.3(2)如图2,若C F=LC,/E的延长线与8 c的延长线交于点”，求CE尸的面积.参考答案与试题解析1.如图，E是菱形/8CO对角线/C上一点，四边形8G也 是 矩 形.点、F,G分别

5、在。C,8 c上.(1)求证：N C F G=N A B E.(2)若 BE=4,t a n/AB E屈，求尸朋1的长.4【分析】(1)根据菱形的性质可得4 8 CD,从而可得NC/8=NO C 4根据矩形的性质可得BE F G,从而可得/B EM=NFM E,然 后 利 用 三 角 形 的 外 角 可 得N A4 E+Z ABE,ZF M E=Z A C D+Z C F G,即可解答：(2)根据矩形的性质可得E 8=F G=4,N E F G=N F GB=90 ,E F/BG,再 利 用(1)的 结 论 在RtZFGC中，利 用 锐 角 三 角 函 数 的 定 义 和 勾 股 定 理 求

6、出CG,C尸 的长，根据菱形 的 性 质 可 得4D 8C,A D=D C,从 而 可 得 力。跖，N D A C=N D C A,进 而 可 得/F E C=/D C A,然 后 利 用 等 角 对 等 边 可 得F E=R=5,最 后 证 明8字 模 型 相 似 三 角 形 E F M sR C G M,利 用 相 似 三 角 形 的 性 质 进 行 计 算 即 可 解 答.【解 答】(1)证 明：,四边形力BC。是 菱 形，J.AB/CD,：.ZC AB=ZD C Af;四 边 形8GFE是 矩 形，:.BEFG,：.NBEM=/FM E,*.*/B E M=NBAE+/ABE,NFME

7、=/ACD+NCFG,；.NCFG=/A B E；(2)解：:四 边 形8GFE是 矩 形，:EB=FG=4,/EFG=/FGB=9Q0,EF/BG,：.ZFGC=180-ZFGB=90Q,t a n/NCFG=N4BE,4tan/CG=,4.CG=FG,tanNC尸G=4X3=3,4FC=VFG2+CG2=V 42+32=5，；四 边 形/B C D是 菱 形，J.AD/BC,AD=DC,J.AD/EF,:.NDAC=NFEC,；AD=DC,：.ZD AC=ZD CA,:./F E C=ZDCA,：.FE=FC=5,V Z FG=Z FG C=90,ZEM F=ZCMG,:*XEFMsCGM

8、.E F =F M*CG GM.5 _ F M,京 4-FM 2.F/W的长为22.如图，在四48co中，4ELBC于点E,点尸在8 c的延长线上，K CF=BE,连接NC,DF.(1)求证：四边形ZERO是矩形；s(2)若NZCD=90。，AE=4,C F=2,求.舞G.CFD【分析】(1)先证明四边形/E E D是平行四边形，再证明/月 尸=9 0 即可;(2)根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可.【解答】(1)证明：:C F=3E,：.CF+EC=BE+EC.即 EF=BC.在 团48CD 中，ZD8c 且/O=8C,：.AD/EF B.AD=EF.四边形ZEFD是平行四边形.

9、：AELBC,：.ZAEF=90.四边形NEED是矩形；(2)解：；四边形是矩形，:.NAEC=NDFC=90,AE=DF=4,：.ZEAC+ZECA90Q,V Z A CD=90,A ZECA+ZDCF=90,/.NEAC=NDCF,：./AECsACFD,.AE=CF=2 1而 DF 1而，：.EC=2AE=8,e 4-X AE X E C-X 4 X 8解法一：.区 区=-=：-=4.SACF D yXC FXDF yX2X4解法二：S a a e c=(胆)2=(-4)2=4.S/k CF D CF 23.如图，已知正方形N8 C D的边长为a,正方形C E F G的边长为Z (b/（

10、2）根据（1）中的相似得到对应边成比例，可以得到关于。和/）的等式即可得解.【解答】（1）证明：.四边形M C D,C E F G都是正方形，:.NHCD=90,ZCEF=ZDEF=90,:./DEF=NHCD=90,:HDC+NDHC=90,又，：DH IDF,：.NHDF=90,：.NHDC+NEDF=90,:./EDF=/D H C,：.ADEFsAHCD.（2）解：I点，为5c的中点，：.H C=a,2：CD=a,CE=EF=b,：.DE=a-b,由（1）可知 ADEFsAHCD,.D E E F 9HC CD.a-b b-r-v2 aa而 b，即。与6满足的关系式为24.已知：如图，

11、在四边形月8c。中，A D/B C,点、E、尸分别在边4 8、AD ,D E与CF相交于点 G.CD1=CGCF,ZAED=ZCFD.(1)求证：AB=CD；(2)延长工。至点A/,联结CA/,当C F=C M时，求证：EA*AB=AD-MD.【分析】(1)根据已知可得型=受，从而可得 CD GS C F D,然后利用相似三角形CG CD的性质可得N C G=N仃D,从而可得N C D G=N 4E D,进而可得A B/C D,最后证明四边形N 8 C D是平行四边形，从而利用平行四边形的性质即可解答；(2)根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 可 得 从 而 可 得 然 后 利 用 平 行

12、线 的 性 质 可 得=从 而 可 证 进 而 利 用 相 似 三 角 形 的 性 质 即可解答.【解答】证明：(1),:B=C G-C F,.CD =CF*CG CD )NDCG=NDCF,：./C D G/C F D,：.ZC D G ZC F D,：NAED=NCFD,:.NCDG=NAED,：.AB/CD,:AD/BC,四边形ABCD是平行四边形，：.AB=CD；(2)如图：CF=CM,：.ZCFD=ZM,：NAED=NCFD,：.Z A E D=Z M,：AB/C D,：.A A =A C D M,：.AEDSXDMC,_ _=AD D M D C,：.AE D C AD D M,:

13、AB=D C,：.E AAB=AD,MD.5.北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，该图被誉为“中国数学界的图腾”，它是由四个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图为“弦图”的一部分，在正方形/8 C O中，D E L AF,BF A.AF.(1)求证：E F=D E -BF-,(2)连接 8 E,若 B F?=E F,D E,求证：Z 1 =Z 2.【分析】(1)利 用 正 方 形 的 性 质 可 得Z B A D=9 0Q,从而可得N A4 F+N D 4 E=90 ,根据垂直定义可得,从而可得/A4尸+乙4 8尸=90,然后利用同角的余角相等可得从而

14、可证。进而可得。E=AF,A E=B F,即可解答；(2)利 用(1)的结论可得。E=/R NB A F=NA DE=N2,从 而 可 得 此=更，进而E F B F可得在8 E s见儿 然后利用相似三角形的性质可得/1 =/氏4尸，即可解答.【解答】证明：(1).四边形/8C。是正方形，：.AB=AD,Z BAD=90 ,：.NBAF+NDAE=90,：DEYAF,BFLAF,；.NAED=/F=90,:./BAF+NABF=90,:.NDAE=NABF,：./ABF/DAE(AAS),：.DE=AF,AE=BF,：EF=AF-AE,：.EF=DE-BF；(2);A4BF ADAE,：.DE

15、=AF,NBAF=NADE=Z2,：BF1=EFDE,.B F =D E*E F 丽，.B F =AF,丽 BF)NF=ZF,：./FBE/FAB,Z 1 =ZBAF,.Z1=Z2.6.如图，已知：48C和/O E都是等边三角形，其中点。在边8 c上，点尸是4 8边上一点，且 BF=CD(1)求证：DE/CF；(2)联结。尸，设b 的交点为M,如果。/2=尸 加 尸C,求证：DF/AC.【分析】（1）由等边三角形的性质证明ZC）ZC8凡 得出/。=/8。尺由等边三角形的性质及三角形外角的性质得出N8QE=NC4。，进而得出N 8D E=N 8C F,即可证明。ECF；（2）先证明DEWC FD

16、,得出NFDW=NPC,由/C/=N 8C F,得出NF0M=NCAD,即可证明。尸ZC.【解答】证明：（1）如 图1,A图 1：/ABC是等边三角形，:.AC=BC,/ACB=NB=60,在和CB尸中，AC=CBCD=BF:AACD会/CBF(SA S),:./CAD=4BCF,/ADE是等边三角形，；.NADE=NACB=60,ZADE+ZBDE=NACB+NCAD,ZBDEZCAD,：.NBDE=NBCF,.DE/CF；(2)如图2,图2：DF1=FMFC,.DF,=FC,FM DF*：ZDFM=/CFD,ADFM s丛CFD,：.ZFDM=NFCD,:/CAD=/BCF,ZFDM=AC

17、 AD,J.D F/AC.7.如图，N B C 中，AB=AC.（1）尺规作图：作 的 垂 直 平 分 线O E,分别交/8、N C于点E和点D痕迹，不写作法）；（2）连接B D,若 B D=B C=2,求Z C的长.（3）在（2）的条件下，co s C=返.一 4 一（保留作图【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）求出证明/=3 6 ,再利用相似三角形的性质证明即可;（3）过点B 作 B H LCD于点H.求出C H,可得结论.【解答】解：（1）如图，直线。即为所求；,点。在4 8的垂直平分线上，:.DA=DB,，NA=NDBA,:BD=BC,:/B D C=/C,/ZBDC=ZA+ZD

18、BA=2ZA,AZ C=2 Z J,*：AB=AC,.N ABC=/C=2/A,/+/8 C+NC=1 8 0 ,5 N4=1 8 0 ,A ZA=36,：/CBD=/ABD=NA=36,V Z C=Z C,:.丛 CBDsCAB,:.CB?=CDCA,A 22=C Z)*(CD+2),C O=-1(负 值 已 经 舍 去)，:AC=CD+AD=a+1；(3)过点、B作BHLCD于点H.:BC=BD,BHLCD,:.CH=DH=二1,2.胡 C=扈BC 4故答案为：近 二1.48.如图，在矩形中，AB=4,AD=10.直角尺的直角顶点P在力。上滑动时(点尸与 人。不 重 合)，一直角边经过点C

19、,另一直角边与N 8交于点(1)求证：RtA/4E PRtA )PC；(2)当NCPD=30时，求NE的长.DA【分析】(1)利 用“一线三直角”模型，即可证明RtZNEPsRt。尸 c；(2)由矩形的性质结合已知条件得出8=/3=4,利用含30度角的直角三角形的性质得出P C=8,利 用 勾 股 定 理 求 出 的 长 度，进而求出ZP的长度，再利用相似三角形的性质即可求出/的长.【解答】(1)证明：；四边形/8C D 是矩形，A ZD=Z/4=9O,:.N P C D+N D P C=90 ,：Z C P E=90 ,：.Z E R4+Z D P C 90 ,Z P C D=Z E P A

20、,.RtZUEPsRgopc；(2)解：.,四边形/B C D 是矩形，AB=4,：.C D=AB=4,在 RtZPCD 中，N C P D=3 0 ,C D=4,：.P C=S,APD=7PC2-CD2=4V3.A P=A D-PD=1 0-4 V 3.VRtA/lEPRtAOPC,.PD CD 0 n 4 7 3 4A E A P A E IO-4 V 3,.A E=1 0 V 3-1 2.9.如图，在矩形/8C O 中，点 E 是边C上任意一点(点E 与点C、。不重 合)，过点/作交边C 8的延长线于点F,联结ER交边N 8于点G,连接4C.(I)求证：4EFS/DAC；(2)如 果 在

21、 平 分 ZZ尸 8,联 结 C G,求证：四边形/G CE为菱形.FBC【分析】（1）根据矩形的性质可得AB/CD,AB=DC,ZBCD=ZDAB=ZABC=ZD=90,根据垂直定义可得/E4E=90,从而可得N B 4 F=N D 4 E,进而可得ZB尸s A D E,然后利用相似三角形的性质可得匹=迪，再利用两边成比例且夹角相等的A D A E两个三角形相似证明，即可解答；（2）根 据 角 平 分 线 的 定 义 可 得从而证明4FE名C F E,进而可得/F=CF,A E=E C,然后再证/人?丝C F G,从而可得/应 G=N F C G,再 结 合（1）的结论可得N D 4E=N

22、R 2G,最后利用等角的余角相等可得N C C G=N/E。，从而可得A E/C G,进而利用菱形的判定方法即可解答.【解答】证明：（1）；四边形/BC。是矩形，：.AB/CD,AB=DC,NBCD=NDAB=NABC=ND=90,二/8尸=180-NN8C=90,：AEVAF,：.ZFAE=90,ZFAE-NBAE=ZDAB-ZBAE,：.NBAF=ZDAE,:ND=NABF=90,/ABFAD E,.A B=A F*A D A E,.D C=A F*A D A E：ZD=ZFAE=90a,4EFS4D4C；（2）如图：平分 N4F8,NAFE=ZCFE,；NE4E=NBCD=90,EF=E

23、F,.AFE空/CFE（AAS）,：.AF=CF,AE=EC,:FG=FG,:.XAFGq MCFG（SAS）,：.ZE4G=ZFCG,/NBAF=NDAE,/.ZDAE=ZFCG,；NDAE+N4ED=90,NBCG+NDCG=90,ZDCG=ZAED,J.AE/CG,:A B CD,四边形AGCE是平行四边形,:AE=EC,二四边形Z G C E为菱形.1 0.已知：如图，四边形488中，NBAD=NBCD=90,E为对角线8。的中点，点尸在边/。上，CF 交 BD 于 点、G,CF/AE,CF=、BD.2(1)求证：四边形NE CF为菱形；(2)如果N D C G=N D E C,求证：

24、AE2ADDC.A【分析】(1)根 据 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 可 得 C E=1 B D,再结合已2 2知 CFB D,从而可得A E=C F,进而可得四边形AECF是平行四边形，然后再根据2A E=C E,即可解答；(2)利 用(1)的结论可得Z E=CF=D E,A D/C E,从而可得乙4DE=N D E C,进而可得N 4D E=N D C G,再 利 用 平 行 线 的 性 质 可 得N C尸。，然后证明 Z OE s 4F C D,利用相似三角形的性质即可解答.【解答】证明：(1)：ZBAD=90Q,E为5。的中点，：.AE=DE=BD,2；CF=LBD,2:

25、.AE=CF=DE,JCF/AE,，四边形AECF是平行四边形，V Z BCD=90,E 为 的中点，:.CE=LBD,2：.AE=CE,四边形A E CF为菱形；(2).四边形/E C/为菱形，：.AD/CE,：.NADE=NDEC,：4DCG=/D EC,：.N4DE=/D CG,JAE/CF,：.NEAD=NCFD,：.AADESMCD,.A D =D E*CF CD：.CFDE=AD-CD,:AE=CF=DE,：.AE2=AD-DC.1 1.如图，在矩形/8 C 中，AB=3,BC=5,BE平分NABC交4 D于点、E.连 接C E,点F是BE上一动点、,过点尸作尸G CE交8 c于点

26、G.将8 FG绕点8旋转得到4 5 9 Gl(1)连接 CG,E F,求证：BEFs/XBCG；(2)当点G”恰好落在直线/E上时，若8尸=3,求E G的值.【分析】(1)可证得N F BE=NCBG备用图至 一=凶 二，从而证明了结论;BEBC（2）先求得8G的长，进而求得8 G ,然后解直角三角形/8 G 求得结果.【解答】（1）证明：尸6。,/BFGs/BEC,.BF=BG*BE BC BFy _ BG7BE BC:NF BG=NEBC,：.ZFBG+AEBG=ZEBC+ZEBG,即/F BE=NCBG,：./BEF s/B C G；./D=/Z =N/8 C=90 ,:BE 平分/AB

27、C,ZABE=-ZABC=45Q,2ZAEB=90a-ZABE=45,NAEB=NABE,.AE=AB=3,:.B E=3由（1）知：型=幽，BE BC.3 _BG,37TT,2:.BG=B G=,2在Rl Z BG中，由勾股定理得,AG，=V BGy 2-A B2=(-)2-32=-：.EG=AE-AG=3 6-V1 4,2 2EG”6-V 1 4-2 ，综上所述：EG=6 后.21 2.如图，正方形4BCD,E、尸分别是边力氏8 c 的中点，4F与DE,分别交于点M,N.(1)求证：AF=DE,AFLDE.(2)求4 环 MN：液 的值.【分析】（I）根据S/S证明/丝/X B/斤，即可得

28、AF=DE,NADE=NBAF,故NADE+NAED=NBAF+NAED=90,AF1DE；(2)设正方形ABCD的边长为2 x,则 AE=BF=x,由勾股定理和面积法可得AMA E A D=WL x,证明A M iD sA N F B,可得N F=LF=X,即可得到答案.D E 5 3 3【解答】(1)证明：.正方形：.AB=DA,/ABC=NBAD=9Q,:E、F为边AB、8 c的中点，：.BF=AE,在A4DE与BqF中,，A D=A B 1,直接写出现的值.BED【分析】问题背景：由 2 NE Z)8+N8 )C=1 8 0 ,N4D8+/8 Z)C=1 8 0 ,得出=N E D B

29、,由 ND 8=9 0 ,得出/胡=NC 8=9 0 ,即可得出畛/XOE B,进而证明AEBEi变式迁移：延 长 C T),BE交于点、M,则 M E=8,由DFB E,得出CDGs/XCNE,C F G sC B E,进 而 得 出 段 里，即可证明。G=FG；ME BE拓展应用：在 C8 的延长线上截取8 P=8 E,连接。P,由 问题背景 可知：NDBP=Z D B E,进而得出D8 E出Z5 8 P,得出 N E D B=N P D B,由 N E D B=N D C B,得出 NP D B=N D C B,继而证明DP8 s ZCP。，得 出 坦=况=里=工，设BP=1,则DC P

30、D PC n=n,得出尸C=2,求出8 C=2-,继而得出些_=2 -i.BE【解答】问题背景：证明：如 图 1,V2 Z DS+Z5 DC=1 8 0 ,ZADB+ZBDC=S00,二 ZADB=2ZEDB,：.NADE+NEDB=2 ZEDB,，NADE=NEDB,V Z DEB=90,A ZDEA=ZDEB=90Q,在AD EA和D E2 中，Z A D E=Z BD E D E=D E ，Z D E A=Z D E B:AD EA沿/XDEB(A SA),：.AE=BE；变式迁移：证明：如图2,延长 8,BE交于点、M,则图2：DF/BE,:.乙CDG=4M,ZCGDZCEM,NCGF

31、=NCEB,NCFG=/CBE,:.XCDGsMCME,CFGA CSf,.D G CG GF _ CG HE CE BE CE.D G _ FGHE BE,:ME=BE,：.DG=FG；拓展应用：解：如图3,在C 8 的延长线上截取2 P=8 E,连接。尸，图3由“问题背景 可知：NDBP=NDBE,在O8 E 和/)8 P 中，BE=BP：.E F=yf5：.C F=E F-E C=4S-1；(2)证明：点 G 为 CO的中点，：.D G=C G,在NOG和FCG 中2D=NG C F ：4 =3：2,.NE=2/l O=2 a，5 5 5CF=AE=a，5：CD=AD=a,：.CF：)F

32、=2：7,:CM/DE,：.IXFMClXFED,FM _ CM _ FC _ 2FE D E FD 7：.CM=-DE=-ri,7 35：.BM=BC-CM=a-旦 产 生 ，35 35：DE/BM,：.EDNsMMBN,_3_.EN=DE=可a=21而 T2 9 /，获a设 EN=21k,贝！J M V=2 9丸.MF 2-=-，EF 7o o M芳 EF 十(21k+29k+HF)，:.MF=20k,：.EN：NM-.MF=21k：29k：2 0 Ar=2 1：2 9：2 0.故答案为：2 1：2 9：2 0.1 9.如图1,在四边形/B C D中，ZABC=ZB C D,过点工作4 E

33、 D C交8C边于点R 过点E作EF4B交CD边于点F,连接N R 过点C作C”尸 交 于 点，连接8，.(1)求证：A B gA E A F；(2)如图2,若8的延长线经过/尸 的 中 点 求 些 的 值.ECAA图1图2【分 析】(1)由N N 2C=/8CD和可得月由EF/8可 得NA4=NA E F,由4EZ)C,CH/尸 可 得 四 边 形/C户 为 平 行 四 边 形，从 而 可 得4 H=C F,再由EFA B可 得NABC=N C E F,从 而 可 得E F=C F,即 可 得 出EF=Z，即 可 证 明；(2)延长E F交于点、G,由EbaZB可 得/4台后二/在 匕，由Z

34、EC尸 可 得/ZE8=Z F C E,从 而 可 得A B E s F E C,设 EF=CF=a,A B=A E=ax,由点 A/为 ZF 中点可得 ZM=FM,由 尸48 可得 N/8A/=/FG M,可证四FGA/(44S),则尸G=A B=a x,则EG nE/+RJua+ox,由(1)可 知 四 边 形/“C5为 平 行 四 边 形，可得=C F=a,则 EH=AE-AH=ax-a,由 AB/EG 可 得/ABHSAEG H,从 而 可 得 理=EH3立，即-=ax_,解得 x=l J 5，由 x0 可得 x=l+J5，即至互=x=l+J5.EG ax-a a+ax EC【解 答】

35、(1)证 明：1 EOC,NAEB=/BCD,/ZABC=/BC D,：.NAEB=/ABC,：AB=AE,*：EFAB,：./B A H=NAEF,*：AE/DC,CH/AF,.四 边 形 为 平 行 四 边 形，：.AH=CF,:EFAB,：./ABC=N CEF,:AEHCF、：.ZECF=/A E B=/ABC,：.ZECF=/C EF,:.EF=CF,:.EF=AH,：./ABH/EAF(SA S)；(2)如图，延长EF交于点G,:EFH AB、：./ABE=/FEC,：AE/CF,NAEB=/FCE,：.AABESAFEC,设后尸二3二。，AB=AE=ax,点M为4/中点：.AM=

36、FM,*：EF/AB：.ZABM=ZFGM,：.AABM/FGM(A AS),FG=AB=ax,.,*EG=EF+FG=a+a x,由(1)可 知 四 边 形 为平行四边形,：.AH=CF=a,：.EH=AE-AH=ax-a,9：AB/EG.AABHsAEGH,.AH=AB*E H 前即aaxax-a a+ax解得X=1 土M，Vx 0,.x=1+V2即里_=x=I+-J 2.EC2 0.如 图1,在矩形/8 C )中，AB=5,4)=8,点E在 边CO上，t a n Z BAE=2,点尸是线改N E上一点，连接C F.(1)连接8兄 请用尺规作图法作尸GJ _4 8,垂足为G点(保留作图痕迹

37、，不要求写出作 法).若t a n NZ 8 F=4,求线段4 F的长.3(2)如图2,若C F=LBC,Z E的延长线与8 c的延长线交于点“，求A C斯的面积.【分析】(1)根据垂线的画法画图即可；设/G=x,则8 G=5-x,在Rt Z 4/G中，t a n电 三g=2,可得 F G=2 r,在 Rt z X BF G 中，求得AG x BG 5-x 3x=2,由勾股定理可得力/=A G2+FG2,即可得出答案.(2)过点 C作 C M L 4 于点，在 Rt Z/5 H 中，t a n/A4 =g4 S4=2,可得 B H=AB 51 0,CH=B H-B C=2,根据Z 8 C。，可

38、得NCEH=NR 4E,则 t a n/C 7/=？-=C E C E2,可得 C E=1,在 Rt a C E A/中，t a n/C =2=2,设屈W=a,则 C A/=2 m 由勾股E M定理可得C ：2=E序+a t/2,即可求得a=1_,则CA/=R 1,在Rt z X C尸M中，C F=5 58 c=2,由勾股定理可得月0=而反耳 工=生 叵，进 而 可 得E尸=_F A/-45司 应，则根据SC E F二EA CN可得出答案.52【解答】解：(1)如图，尸G即为所求.在 RtZFG 中,tan 但会邛=2*FG=2.x，在 Rt/BFG 中,解得x=2,：.AG=2,FG=4,y47?=VAG2+FG2=2遥.(2)过点C 作于点M,图2在Rt”BH中,，皿会但黑喈=2:.BH=TO,则 CH=BH-BC=2,；四 边 形 为 矩 形,：.AB/CD,：.ZCEH=ZBAE,则 tan/C 7/=里-=2,CE CE：.CE=,在 RtZXCEM 中，tanZ C EA f=-=2EM设 A 1=a,则 CM=2a,由勾股定理可得C区=E+Chfi,即 a2+(2a)2=I2,解得“=近 _,55在 RtZsCFM 中，CF=AC=2,4由勾股定理可得FM=JCp2_C H2=生 叵,5EF=FM-E M=.5SAC E F4 F，CM=5-