《概率论与数理统计(本科)》期末考试复习题答案.pdf

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1、 概率论与数理统计(本科)期末考试复习题一、选择题1、以A表示甲种产品畅销，乙种产品滞销，则印为(A).(A)甲种产品滞销，乙种产品畅销(B)甲、乙产品均畅销(0甲种产品滞销(D)甲产品滞销或乙产品畅销2、假设事件4,8 满足P(5|A)=1,则(C).(A)A是必然事件(B)P(B|A)=0(C)(D)Au 63、设 P(A B)=0,则有(D).(A)A 和 B 不相容(B)A 和 B 独立(C)P(A)=0 或 P(B)=0 (D)P(A-B)=P(A)4、设 A和 B是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是(D)(A)才与耳不相容(B)彳与豆相容(C)P(AB)=P

2、(A)P(B)(D)P(A 3)=P(A)5、设A,8 为两个随机事件，且 O P(A)0,则下式成立的为(B )(A)P(A)P(A|B)(D)P(A)P(A|B)8、设 A和 8相互独立，P(A)=0.6,尸(8)=0.4,则 P(A|B)=(B )(A)0.4 (B)0.6(C)0.2 4 (D)0.59、设P(A)=a,P(B)=b,P(A u B)=c,则 P(A耳)为(B ).(A)a-b(B)c-b(C)(D)b-a10、袋中有5 0个乒乓球，其 中2 0个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球，则第二人在第一次就取到黄球的概率是(B )(A)1/5 (B)2

3、/5 (C)3/5 (D)4/511、一部五卷的选集，按任意顺序放到书架上，则第一卷及第五卷分别在两端的概率是(A ).O1-81-612、甲袋中有4只红球，6只白球；乙袋中有6只红球,10只白球.现从两袋中各取1球,则2球颜色相同的概率是(D).6(A)4 0(B)154 0(019而(D)2 14 013、设在10个同一型号的元件中有7个一等品，从这些元件中不放回地连续取2次，每次取1个元件.若第1次取得一等品时，第2次取得一等品的概率是(C).(A)569(B)610(0(D)7914、在编号为1,2,，的张赠券中采用不放回方式抽签，则 在 第 上 次 抽 至 口 号赠券的概率是(B )

4、.(A)n +k(B)n-k+(B)n(D)1 +%+115、随机扔二颗骰子,己知点数之和为8,则二颗骰子的点数都是偶数的概率为(A )。(A)I(B)-2(D)-3316、某人花钱买了 A、B、C三种不同的奖券各一张.已知各种奖券中奖是相互独立的，中奖的概率分别为P(A)=0.0 3,P(B)=0.0 1,P(C)=0.0 2,如果只要有一种奖券中奖此人就一定赚钱，则此人赚钱的概率约为(P 2 9 )(A)0.0 5 (B)0.0 6(C)0.0 7(D)0.0 817、设N件产品中有件是不合格品，从这N件产品中任取2件，已知其中有1件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是(A )(A)n

5、-2 N-n-l(B)n(n-l)N(N 1)n(n-l)N2、n-1(D)-2(N )18、设每次试验成功的概率为p(O p l),重复进行试验直到第次才取得r(l W r W )次成功的概率为(C).(A)crpr(y-py-r(B)crnpr(i-py-r(o d一2 尸(D)Pr(y-Py-r19、设离散随机变量X 的分布函数为E(尤)，且4TZX+,则 P(X=X*)=(D).(A)P xk_x X xt)(B)F(xk+i)-F xk_)(C)P(x*_ X 0(B)A =l-/l 且041(C)A =；T 1 且 4 0且 0212 2、设 p x=-i =p y=i =p x

6、=i =p y =i =3，两个随机变量x,y是相互独立且同分布，则下列各式中成立的是(D )(A)p x =y =g (B)p x =y =i(0 PX+Y=O(D)p x y =i 4 42 3、设随机变量X在区间(2,5)上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，则至少有两次观测值大于3的概率为(A ).24、设 两 个 随 机 设 离 散 型 随 机 变 量(x,y)的 联 合 分 布 律 为(X,y)|(l,l)(L 2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)pk|1/6 1/9 1/1 8 1/3 a 百且 x,y 相互独立，则(A)(A)a =2/9,=l/9(B)a =l/9,

7、=2/9(C)a =l/6,=l/6(D)a =8/1 5,=l/1 8co sx,x e D,2 5、若函数/(尤)二彳 是随机变量X 的分布函数，则区间。为(A )U,匕(A)咚(B)(C)0,J t(/D、)3 万,7万2 42 6、下列函数为随机变量的密度函数的为(co sX,X G 0,1D)忖 0(A)f(x)=0(B)/(X)=2,0,e-*,(C)2 7、f(x)=下列函数J yl27 T f(x)=0,x 0中，可以作为随机变量分布函数的是(C0,)x 02 8、设随机变量X 的概率密度为/(x),则/(x)一定 满 足(D )。(A)F(x)=11 +x2(B)3 1F(x

8、)=H-arct an x4 2(C)F(x)=Q x 0n(A)0 /(A:)x)=J(C)j x f(x)d x-1(D)P(X x)=J f (t)d t2 9、8设随机变量X 的密度函数为/(x),且/(-x)=/(x),尸。)为 X 的分布函数，则对任意实数a,(C)成立(A)/(。)=1 一1f(x)d x ,(B)F(-)=F(a),JO(0 F(-a)=!ra万一Jo f(x)d x,(D)F(-a)=2 F(a)-l3 0、设连续型随机变量X的分布函数为尸(x),密度函数为/(x),而且X与-X有相同的分布函数，则(D )(A)F(x)=F(-x)(B)F(x)=-F(-x)

9、(D)/(x)=-A x)3 1、设随机变量X的概率密度为/(x)=x,2 x,0,0 xllx2,则 P(X1.5)=(A )其他(A)0.8 75(B)fl.5(2 -x)d xJO(C)rl.5J(2-x)d x(D)jrl.5(2-x)d x(C)/(x)=/(-x)3 2、设随机变量X的概率密度为/(x)=，4犬3 0 x 4 =P X x =aw(0,l),则尤=(C).(A)T(a)(0 T(l-a)(B)(1-万)ry(D)3 4、设随机变量x,y相互独立,XN(0,l),y N(l ,1),则(B ).(A)P(X +y 0)=1/2(B)P(X +y l)=l/2(0 p(

10、x-yo)=i/2(D)P(X-y l)=l/23 5、设X NQ,。?)且p(ox 4)=0.6,则 P(X0)=(C)(A)0.3(B)0.4 (C)0.2(D)0.53 6、设随机变量X 口 N(l,4),则下列变量必服从N(0,l)分 布 的 是(C)(A)(B)三 匚 (C)工 二 (D)2 X+14 3 23 7、设 X N(O,1),3 N(l,2),X,Y 相互独立,令Z =Y-2XMJZ(C)(A)N(2,5)(B)N(l,5)(C)N(l,6)(D)N(2,9)3 8、设随机变量X 与 y相互独立，且 XU N(M，o f),y 口刈 出，6),则 2 =乂 +丫仍具有正态

11、分布，且有(D ).(A)Z口 +6)(B)Z口 N(+2Mb 2)(C)Z口 ZD N(M+2，b；+。；)3 9、设随机变量X服从正态分布N(6,则随着O 的增大,概率尸|X -T (C).(A)单调增大(B)单调减小(C)保持不变(D)增减不定4 0、设随机变量X N(1,2 2),(1)=0.8 4 1 3,则事件的概率为(D )。(A)0.1 3 8 5 (B)0.2 4 1 3 (C)0,2 93 4 (D)0.3 4 1 34 1、设随机变量X N(0,l),对给定的a(0a z)=a.若P(X c)=a,则c=(C).(A)Zg(B)Z 谭(C)Z亨(D)Z.a4 2、设 X

12、的分布函数为尸(x),则丫=gxl 的分布函数G(y)为(C)(A)F(-y-l(B)F(2 y-1)(C)F(2 y+2)(D)2 F(y)-l1 2 /4 3、设随机变量X 的概率密度为Q(x)=，则Y =2X的概率密度为(D ).万(1 +X )(A)7-乃(l +4 y )(B)M +y )(C)arct an7t4 4、设二维随机变量(X,y)的概率密度函数为、a(x+y),0 x l ,0y/(x，y)=甘林0 ,其他2,则常数。=(A)(A)3(B)3(0 2(D)24 5、设二维连续型随机向量（X,Y）的概率密度为于（x,y）=0,00,其他则 P o x w i,o y w

13、2 =(c).(A)(l-eX l-e-8)(B)e3(l-es)(0 (l-e-3)(l-e-8)(D)1(1-e*6 x?v 0X10V14 6、设(X,Y)的 概 率 密 度 函 数 为/(x,y)=无所围，则（x,y）的联合概率密度函数为（A）.6(A)/(九,y)=j o(x,y)e G其 他1/6,o,(x,y)e G其 他(x,y)e G其 他(D)/(x,y)=(x,y)e G其 他2(C)f(x,y)=f(x,y)=,4 8、设 随 机 变 量 X 与 y相 互 独 立，且 X,y的 分 布 函 数 各 为&（x）,/；（y）.令Z =mi n(X,F),则 Z 的分布函数

14、B(z)=(D).(A)G W)(B)1 4(z)5(0 (1-Fx(z)(l-Fr(z)(D)1 (1 F x(z)(l 弓)0,4 9、随机变量X 的分布函数为b（幻=丁,1,x 00%15 0、设 X 与y为两个随机变量，则下列给出的四个式子那个是正确的（A ）.(A)E(X+y)=E(X)+E(Y)(B)D(X +Y)=D(X)+D(Y)(C)E(XY)=E(X)E(Y)(D)D(XY)=D(X)D(r)5 1、如果X,Y 满足O(X+Y)=(X-丫)，则 必 有(B )(A)x 与 y独立(B)x 与 丫 不相关(C)0y=0 (D)DX=Q5 2、若随机变量X,y相互独立，则(C)

15、(A)o(x y)=o(x D(y)(B)o(2 x +y)=2 o(x)+o(y)(C)(3 X +2 y)=9 D(X)+4 D(y)(D)Z)(X-K)=D(X)-(7)5 3、若随机变量X和 Y 相互独立，则下列结论正确的是(A ).(A)E X-(x)y-(r)=o (B)E X-E(x)y-E(C)相关系数P x y=l (D)相关系数P x y 声05 4、对于任意两个随机变量x 和 y,若 E(x y)=E(x),E(y),贝 u (B)(A)D(XY)=D(X)-D(Y)(B)D(X +Y)=(%)+D(Y)(C)x 和 丫独立(D)x和 y不独立5 5、已 知 随 机 变

16、量 X 和 y的 方 差 (X)=9,(y)=1 6 ,相 关 系 数 P x y=0-5，则o(x-y)=(B )(A)1 9(B)1 3 (C)3 7(D)2 55 6、设随机变量 X 的期望 E(X)2 0,E(2 X 2-1)=2,O(2 X-1)=L 则 E(X)=(C )2 2 2(A)2 V 2 (B)1 (C)2 (D)05 7、已知随机变量X 和 丫相互独立，且它们分别在区间11,3 和 2,4 上服从均匀分布，则 E(X Y)=(A )。(A)3 (B)6(C)1 0 (D)1 25 8、设随机变量X,丫相互独立,且乂口仅1 0,0.3),丫口仅1 0,0.4),则 42乂

17、一丫)2 =(B)(A)1 2.6(B)1 4.8(C)1 5.2 (D)1 8.95 9、将一枚硬币重复掷n次，以X 和 丫分别表示正面向上和向下的次数，则 X 和 丫的相关系数。等 于(A )2(A)-1.(B)0.(C)1/2.(D)1.60、已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布,即P(X =A)=2 7%(左=0,1,2,)，则随机变量Y=3 X-2 的数学期望为(B ).(A)2 (B)4 (C)6(D)861、设 X 1,X 2，X s 都服从 0,2 上的均匀分布，则 E(3 X X 2 +2 X 3)=(C ).(A)1 (B)3 (0 4 (D)62、设桃树的直径X

18、的概率密度为.4-,0 x(X)=1.4 4 ,则二项分布的参数n,pI n 817 1的值为(B ).(A)=4,p =0.6(C)=8,p =0.3(B)n =6,p=0.4(D)n=2 4,p =0.1-r，X 064、设 连 续 型 随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 函 数 为/(x)=(x +4)3 ，随机变量.0,其他y =X+4,则 E(Y)=(A ).(A)8(B)6(0 4(D)1 065、某商店经销商品的利润率X 的概率密度为f(x)=2(1-x),0,0 x 0=85 5/6 4.27、随 机 变 量 x,y相 互 独立 且服 从同 一分 布，p(x =z)=p(y

19、 =A)=(女+1)/3,%=0,1,则 p(x =y)=128、设随机变量X 服从正态分布N(-2,3),则概率密度函数为 129、设随机变量X 的概率密度函数为/(x)=8 ，则 P(X 2)=_3/4.0,其他-ex,x 033 0、已知函F(x)=是某随机变量X 的分布函数,则 A=1A .f,其它A3 1、设随机变量X 的概率密度为/(x)=-,-oo%-H o,则 J =1/pil+x3 2、已 知 函 数-x)=4 是某随机变量X 的概率密度，则 A的值为_ _ _ _ _ _ _ _.0,x 0 3 1 1,33 3、设随机变量X 的概率密度为/(x)=2 2 2-2,则变量Y

20、 =2 X 1的概率0,其它密度为.J)-3x34、连 续 型 随 机 变 量 X的 概 率 密 度 为f(x)=,则0,x 0PX 0.1=_-(l-e-3)A/3.3 5、设随机变量 X E N(l,9),则若 P(X攵)=L,k=123 6、设 随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 函 数 为/(x)=；e T H,8x8,则 X 的分布函数 幻=ex/2 _x=0-x 03 7、设随机变量X具有分布函数F(x)=1 +x -，则 PX 4=/5。0,x 00,x 03 8、设随机变量X 的分布函数为尸(%)=A x?,o 13 9、设随机变量X 服从(-2,2)上的均匀分布，则随机变

21、量y =X2 的概率密度函数万(y)=sqrt(y)/2 0=y v=4.4 0、设连续随机 变 量 的 密 度 函 数 为/(x),则 随 机 变 量 Y =3 e、的概率密度函数为3fIln(y/3)/y y0.4 1、设随机变量x 和 y均服从N D(o,i)分布，且 x 与 y相互独立，则(x,y)的联合概率密度函数为一n(0,0,1,1,0)的密度4 2、x 与 丫相 互 独 立 且 都 服 从 泊 松 分 布 亚 ，则 x+y服 从 的 泊 松 分 布 为P(2A ).4 3 、X,y 独立且服从相同分布，则2 X-Y +3-N(+3,5cr)2e(2x+y)x 0 v 04 4、

22、设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为/(x,y)=一二二一，则0,其他P x 1,y 0 v 0R(x,y)=，则二维随机变量(X J)的联合概率密度为0,其他 0,04 6、设X与y是两个相互独立的随机变量，且X在(0,3)上服从均匀分布，y服从参数为2的指数分布，则数学期望E(X Y)=3 .4 7、设随机变量X服从参数为5的泊松分布，Y =3 X 2,则E(Y)=_ 13一.4 8、设随机变量X服从均匀分布U(-3,4),则数学期望E(2 X+1)=_8.4 9、设X 8(20,0.3),则方差。(1 2X)=16.85 0、设 X N(10,0.3),丫 N(l,4),且 X

23、与 丫 相互独立,则 D(2X+Y)=5.2.5 1、设随机变量x,y相互独立，其中x服 从。一1分 布(p=o.6),丫服从泊松分布且E(y)=0.6,则 0(X +丫)=0.84.5 2、若 随 机 变 量X,丫 是 相 互 独 立，且(X)=0.5 ,。(丫)=1 ,则D(3X-y)=5.5.5 3、已知 E(X)=1,E(y)=2,D(X)=l,D(y)=4/x y =0 6 设 Z =(2X 丫 +,则其数学期望(Z)=4.2.5 4、设随机变量乂，乂2，乂3相互独立，其中天 服从 0,6 上的均匀分布，X?服从正态分布M 0,22),X 3 服从参数为 2=3 的泊松，令 Y =X

24、/2 X 2+3 X 3,则 E(X)=12.5 5、如果随机变量X的期望(X)=2,E(X2)=9,那么0(1 3 X)=4 5 .56、X,Y 服 从 相 同 分 布 也用,则 E aX+bY aX-bY(a 1b)(0.2+/2).5 7、设随机变量X 3(3,0.1),则 丫 =2乂 1的数学期望为 0.3 3 1.f 8.58,设x,y相 互 独 立，x和 丫 的 概 率 密 度 分 别 为 九 )=甘3 ，.0,其他A(y)=n 二 由，则 E(X Y)=8/3_ 0,其他5 9、某 商 店 经 销 商 品 的 利 润 率X的 概 率 密 度 为 了(幻=好 ，则0,其他D(X)=

25、_ 1/18 _ _ _.6 0、随机变量(X,y)N(0,l;0,4;p),已知 O(2X -y)=l,则0 =7/8.6 1、设随机变量(x,y)的联合分布律为(x,r)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)P 0.4 0.2 a b若(x r)=0.8,则 c ov(x,y)=1/3 .6 2、已知连续型随机变量X的概率密度函数为/(x)=1-x2+2x-1 ,“1 j=e,x P(A)尸(与瓦|A)=-x一 +-x一 +-x一 =-.3 金、w-21 3 10 3 30 3 30 9股&=0=-=故所求事件的概率为：电)6 1/90 6 19、玻璃杯成箱出售，每箱2只，假设各箱含，2

26、只残次品的概率相应为8 8,0.1,01，一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时售货员随意取一箱，而顾客开箱随机查看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回.试求：(1)顾客买下该箱的概率；(2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率.解：令A表示顾客买下所查看的一箱玻璃杯，4表示箱中恰有i件残次品，=/，2.由题意可得:p(4)=0.8,尸(与)=P(B2)=O.I.P(A|线)=1,P(A|4)=冬=P(A|3,)=冬C20,C2O1219(1)由全概率公式可知，顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为:2 4 12p(A)=Z 0(A|g)P(4)=0.8 x 1+0.1X +0.1X =0.

27、94.i=o 5 19(2)由贝叶斯公式知，在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率为:P(综|A)=P(A|B0)P(g()_ 1x 0.8P(A)-0.94-0.8 5.10、设有两箱同类零件，第一箱内装5 0件，其中1。件是一等品；第二箱内装30件，其中18件是一等品.现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件(取出的零件均不放回)，试求(1)现取出的零件是一等品的概率：(2)在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍是一等品的概率.解：(1)记4表示在第i次中取到一等品，=1，2；片表示挑到第i箱.则有 P(4)=P(4IB J X P(4)+P(4|8 2)X

28、P)1-X 218 1+一x30 2=0.4.2 4 4）=尸（4 4 1 4）*尸（4）+“4 4 1 不）义&4）1 1 9=-x-x2 5 491 18 17 -X x =0.194232 30叱=瞎=。48 5 6.11、有朋友自远方来，他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机来的概率分别是。3，2,0.1,0.411 若坐火车来迟到的概率是a ；坐船来迟到的概率是5；坐汽车来迟到的概率是12；坐飞机来，则不会迟到.实际上他迟到了，推测他坐火车来的可能性的大小？解：设 A表示朋友坐火车来，&表示朋友坐船来，&表示朋友坐汽车来，4表示朋友坐飞机来；8表示朋友迟到了.4.=如竺=P（AJPGBIA）

29、3 i产（A I 力）_ _ 4=-j-j-j-=7-P（4）P（B|4）o.3x +0.2x +0.1X +0,4x 1 2M 4 3 122朋友坐飞机迟到的可能性为5.12、甲乙两队比赛，若有一队先胜三场，则比赛结束.假定在每场比赛中甲队获胜的概率为0.6,乙队为0.4,求比赛场数的数学期望.解：设 X表示比赛结束时的比赛场数，则 X 的可能取值为3,4,5.其分布律为p(X=3)=(O B)，+(0 4)3=0.28p(X =4)=C；(0.6)2X0.4X0.6 +C；(0.4)2 x 0.6 x 0.4=0.37 44P(X =5)=C：(0.6)2X(0.4)2X0.6 +C；(0

30、.6)2 x(0.4)2 x 0.4=0.345 6E(X)=3x 0.28 +4x 0.37 44+5 x 0.345 6 =4.06 5 6故，.13、一箱中装有6个产品,其中有2 个是二等品,现从中随机地取出3 个,试求取出二等品个数 X 的分布律.解：X的可能取值为，1，21 cC2 3 C2C 1PX=O=W=,P X=1=E =,PX=2=上%=.C；5 烧 5 Cl 5从而x的分布律为：X012P15351514、甲、乙两个独立地各进行两次射击，假设甲的命中率为0 2,乙的命中率为0 5,以X和 丫分别表示甲和乙的命中次数，试求x和y的联合概率分布.解：由题意知：5,2 因为X和

31、丫相互独立，则PX=i,Y=j=PX=ixPY=j,i,j=Q,1,2.=产C（；）2,i,/=0,l,2.从而随机变量x和y的联合分布律为：15、袋中有2只白球，3只黑球，现进行无放回摸球，且定义随机变量x和 丫：f i,第 一 次 摸 出 白 球，1,I=P X=0,Y=2=Cf（|）（1）3 0V17、设随机变量X的概率密度为f（光）=0，“试 求（1）系数A；（2）方差O（X）A,、,f /(x)d x=1 Ax exd x =A=l解：(1)因 为JF八 ,所以J。,、(%)=+V =2,(X2)=6(2)J。Jo即A=1因而，Z)(X)=E(X2)-E(X)2=6-4 =20,x-

32、a/（尤）=yl +Ba r c s i n ,a-a x a求：（1）确定常数A和8；（2）X的概率密度函数r（rl i m F（x）=F（-a）解：（1）因 是 连 续 函 数，故l i m F(x)=F(a)A6F-A+Ba r c s i n(-l)=O i i八=B =i即 A+8a r c s i n l=。，解得 一了 一12-XT a x a（2）由 F（x）=x）可知,0,其它/(x)=兀正19、f（x,y）=Q,y 00,其他求(1)A 的值；(2)P X ,Y2解：匚 匚/(D)公力A e8 dy=A e7e r|；+00,x 0工厂规定，设备在售出一年之内损坏可以调换，

33、若售出一台可获利100元，调换一台设备需花费300远，试求厂方售出一台设备净获利的数学期望。解：设丫=厂方售出一台设备净获利,则 Y 的可能取值为100,-200op(y=100)=P(XP（Y=-200）=P（X 1000/（x）=j 尤 2-0,其 匕。现有一大批此种器件（设各器件损坏与否相互独立），任 取4只，问其中至少有一只寿命大于2000小时的概率是多少？解：设 4 只器件中寿命大于1000小时的器件个数为丫,则 丫 U仇4 P）,f2（）00 1000 1p=P X 2000 =1-P X i =i-p y 0f M I n苴仔、22、设随机变量X 的概率密度为 1 0,只他 求

34、Y =X?的概率密度.解：y =x 2 的分布函数玛(y)为:/V(y)=P F y =P X2y 当y 0 时，FY(y)=P X2y=0当 y 2 0 时，FY(y)=P X2y=P-X yfy=P X y y -P X -4 y=exd x-0 =1-e Jo4(y)=4(y)=y0故y=x2的概率密度函数为：1，y一23、设随机变量K服从(0,5)上的均匀分布，求方程4/+4 K x+K +2=0有实根的概率./=解：依题意可知，K U (7(0,5),则K的概率密度为：1，其他若要使得方程4 1 +4依+K+2=有实根，则有：=(4K)2 4X4(K+2)2 0,即 K2 _ K _

35、 2 N 0；解得 K N2 或 K V1.故方程有实根的概率为：P(K2 2D KW-1)=P K 2 2 +P K W 1 =1 P K2 +024、设一物体是圆截面，测量其直径，设其直径X服从1 ，引上的均匀分布，则求横截面积v X)Y=7T-丫的数学期望和方差，其中 4，/、匕 0 x 3人。)=0 f/x_ f=ey2 yc./y(y)-j j y 4(y)-j J2%y.0，ywo 即 I 0,y0/(%)=(x+100)3,0,x0求：（1）X的分布函数；（2）至少有200天有效期的概率.解：当x 0时,FQx)=10000(x+100)2x0则o,x200=l-PX200=l-

36、F(200)=l-(l-)=l.9 927、设随机变量X服 从 均 匀 分 布 求y=-21nX的概率密度.dx_解：y=e 的反函数为x=ln y,且y yye(l,e)y0,其他dx Iin u m n（/y）=/x（ln y）l丁l=.当 In yw（0,1）,即 yw（l,e）时，dy y故丫=*的概率密度为：fx（x）=-.,（-o o x oo）,28、设随机变量X的概率密度为 （1 +广）求随机变量丫=1一 荻的概率密度人（力.解：函数y=i一也严格单调，反函数为x=（y）=（i-y）:则4（y）=/、（/O）my）=前言少oo y 4oo.s/、-(6-x -y),0 x 2,

37、2 y 4/(x，y)=）*的 区 域H：0 Wx 2,2 WyW4上 作 直 线x+y =4,并 记G:0 x 2,2 y 4-x 则P X+y 4 4 =P (X,y)G xL=J MZ6*y aI d,1 ,4-y 1 ,1 4 2(6 y)x x (4 y (4 y)3 8Jz 2 0 _ 8 6 2 330、设随机变量（x，y）的联合概率密度函数为.、X 2+-1x y,0 x l,0 y 2f（x,y）=2时，3 2 2a/历=E X%，Mud”=征+u v）d ud v=rr+ir-当 x 2 1,”2 时，F 历=U L/（，vM u d v=（/+；u vyiu d v=1.

38、人甘用山口大 f（u,v）d u d v=0.在其他情况下，JFJF从而（x,y）的分布函数为 o,其他2 2 2F（x,y）=3 ，0 x 1,0 y l,y 2 当。金 时，加 小 匚 八2曲=1。2+；肛 协=|x+2 S在其他情况下，加 幻=匚8 9=.x+2x ,人（幻=30 x l从而X的边缘密度函数为:0,其他31、设随机变量（x，y）的联合概率密度函数为f(x,y)=6xe3y,0,0 x 0其他试求 x和 丫的边缘密度函数；Ex os丫 1.解:当O X ，必=fx（x）=从而x的边缘密度函数为：2 x,0 x 其他 P X0.5：1=t f 7（x,加 小=J：JJ6 Mz

39、 My =）.,、依 +），x o,y o3 2、设二维连续型随机变量（XJ）的概率密度为 I 0 具匕（1）确定常数人；（2）讨论x，y的独立性.1=1*f f(x,y)dxdy=ki f+eix+4ydxdy=解：(1)因为 JJf J。JO 12 ,所以4=12.一（%）=匚7（无，y）dy=（2）因为12 由+箝小办，龙 00,其它3e3jc x00,其它fy（y）=同理可得4e-4x y 00,其它显然对任意的My eR,恒有/（x，y）=F x（x）4（y）,故随机变量*,丫 相互独立.f（x,y）=0,y 0其 他求：（i）（x，y）的分布函数；（2）关于x的边缘分布函数.,yx

40、F(x,y)=解：/(x,y)阿y=I；2-d d y,J-8 J O O0,x 0,y 0其他F(x,y)=即有(l-e-2x)(l-e-),0,x 0,y 0其他 当“。时，人（幻=匚7。，汕=2 0-2，-9=2产当 x 00,其他当x、0n时，Fxx(x)，=JX2e-2td t=-e2xo当xWO时，4（*）=。,尸X（x）=*X的边缘分布函数I-1，0,x 0其他3 4、设二维连续型随机向量（X，y）的概率密度为6于(x,y)=万 2(4+3 2)(9+y 2)，8 X 8,8 y OO求：（i）（x，y）的分布函数；（2）关于y的边缘概率密度.解：（1严2）=匚 7（，加“小=1

41、 1了（4 +?）（9+丫24小67r-1-d,uc y-1-d,v=-1-(zar c t an xH 兀、),(ar c t an yI兀、)./J y(4 +2)JF(9+/)2、2 2 3 2(2)(y)a，J _ 8 乃2 (4+*2)(9+),2)公 乃(9+y2 ),3 5、设二维随机变量（XI）的联合概率密度为f(x,y)=A(x +,|J C|1,|10,其他p x 3,r-求(1)A的值；(2)2解：因J J f(x,y)dxdy=j Ax+y)1 dxdy=A dx x1+2xy+y2)dy=A-=A=-故 8(2)PX 3,r|=y g d y =J：J：|(尤2 +2

42、孙+y2)dxdy=dx(x2+Ixy+y2)dy=(x2 x+)dx=8J-JT -8J-2 4 8 3 23 6、设（X,Y）的联合分布律为X -12IP2IP0.2/0.I*30.IP20.3Q0.2。0.IP解：（1）边缘分布Y的分布律为:试求：（1）边缘分布Y的分布律;（2）凤丫）；（3）。（丫2）0.5 0.3 0.2(2)(r)=-1x 0.5+1x 0.3 +2 x 0.2 =0.2(3)P(Y2=1=尸 丫 =_ 1+P Y =1=0.8 P(Y2=4 =P Y =2 =0.2因 E(y4)=l x 0.8 +16x 0.2 =4 E(y2)=l x 0.8 +4 x 0.2

43、 =1.6故。（产）=E（y2）2 _ E（y 2）2 =玖丫4）_ E（y 2）2 =4-2.56=1.443 7、从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互2独立的，并且概率都是二，设X为途中遇到红灯的次数，求(1)X 的分布律：(2)X 的期望.X 0 B(3,1),PX=i=C；4Y)3T,i=0,l,2,3.解：(1)由题意可知I：5 5 5P X=0 =2，PX=l=,P X=2 =M，PX=3=2.则 125 125 125 125从而X的分布律为:X0123P2712554125361258125EXc 27,54 c 36 c 8Ox+lx-

44、+2x+3x125 125 125 125653 8、设盒中放有五个球，其中两个白球，三个黑球。现从盒中一次抽取三个球，记随机变量X.Y 分别表示取到的三个球中的白球数与黑球数，试分别计算X和 Y的分布律和数学期望.解：X的可能取值为0,1,2,p（X=0）=T=0/尸（X=1）=，=0.6 P（X=2）=y =0.3C5,C5,C5x的分布列为X012P0.10.60.3类似可求Y的分布列为Y321P0.10.60.3所以 E(X)=0 x 0.1+1 x 0.6+2 x 0.3=1.2又因为 y=3-X ，(r)=3-(X)=1.839、一 台 设 备 由 三 大 部 件 构 成，在 设

45、备 运 转 中 各 部 件 需 要 调 整 的 概 率 分 别 为0.10,0.20,0.30.假设各部件的状态相互独立，以 X表示同时需要调整的部件数,试求X 的数学期望和方差.解：设 4 =部件i需要调整(i=1,2,3)尸(A )=0.1,P(A2)=0.2,P(A3)=0.3易见x 有四个可能值o,i,2,3。由于4，4,4 独立，可见p(x =0)=P(A 4 A)=0.9x0.8x0.7=0.504p(x =1)=P(A&A)+P(A,A2A3)+P(4 4 A3)=0.398P(X=2)=P(A A2A3)+P(A 4 4)+P(A A2 A3)=0.092p(X=3)=P(4

46、A2 4)=0.1 x 0.2 x0.3=0.006所以 E(X)=1 x 0.398+2 x 0.092+3x 0.006=0.60(X)=E(X2)-(E(X)2=1 x 0.398+4 x 0.092+9 x 0.006-(0.6)2=0.463 G/(x)=-J 0%-1概率I 2J；数 学 期 望 E(X)。41、设随机变量X 的概率密度为/(x)=a x2+b x +c,0,0 x l其他已知仇X)=0.5,(X)=0.1 5,求系数a,0,c解：由概率密度的性质匚/(X心=1,f(x)d x=(a j c2+b x +c)d x =a +b +c,a+b+c-X.而L J o 3

47、 2 所以有3 2 (i)fi 1 1 1E(X)=厂+x +c心=+/7 +c.又因 4 3 2-a+-+-c =0.5.所以有4 3 2 因。X =EX?-(EX)2,故 E X2=D X +(EX)2.2 pl 2 2 1 1 1EX-=x (a x +b x +c)d x =a +b +c.而 J。5 4 3-a+-/?+-c =0.1 5 +0.2 5 =0.4所以5 4 3 解由(1),(2),(3)所组成的方程组，得“=1 2,=-1 2,c =3./(x)=,4 2、设X的概率密度为3 ,x ,0 x 2,80,其 他.试 求:(1)X的分布函数;(2)数学期望E(X-)。解：

48、当时，/(幻=0；当0 x2时,当x22时,F(x)=1综上，X的分布函数0,当x W O时无3二，当 0 x 2时81,当X 2 2 0寸尸(幻=E(X2)=f?x2x d r=2.4 84 3、设 随 机 变 量X代表某生物的一项生理指标，根据统计资料可认为其数学期望E(X)=7 3,标准差。=7.试用切比雪夫不等式估计概率P(5 2 X 9 4).解：因为 P(5 2 X 9 4)=P(|X-7 3|2 1),而 E(X)=7 3,D(X)=7由切比雪夫不等式，P(5 2 X(X)=/,样本方差s2=-y(x,.-x)2,”1白 ，试求E(S).又，支 X.解：因X|，X2,，X”是 总

49、 体X的 一 个 样 本，且 n,=1，则 由 题 意 可 知E(X)=;/,(%)=n _ 一2成 2)=E-(X,.-X)2 =E-(X；-X)故 一】i=I 九 一 1 /=1=，7 E(X；)-E(N)-1 ,二i因 E(X：)=D(Xj)+E(X,)2=(T 2+2 ,j =l,2,，E(X2)=D(X)+(X)2=+/Z2nE S)=+/z2)-t t(+/2)=(y-故 一1h 4 5、已知总体X服从仇LP)(二点分布)，Xi，x?,X”为总体x的样本，试求未知参数P的最大似然估计.解：X 的分布律 P(X=x)=/(1 -p)i,x =O,l力 演 -却j似然函数 L(P)=，

50、T(1-P)II n L(p)=(Z w)l n，+(一 匕)1 1 1(1 p)i=l i=lA i 一2七g in L(p)=令 dpP 1-P且二0A i _n A i/_p=_ x j p=-X j=x解得 I,故最大似然估计量 4 6、设总体X 服从正态分布N（，），其 中 是 末 知 参 数，,X”是来自总体x的一个容量为的简单随机样本，试求0的极大似然估计量。1-工f（x）=e 2 T,o o X +o o解：由题意，X 的概率密度函数为：42兀。样本XI,X”，X“的似然函数为：/=I弋2工。(V CT)%r=le /I n (r2)=-l n 2 -l n c r2-所以对数