湖南省长沙市四校联考2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题（解析版）.pdf

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1、湖南省长沙市四校联考2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、单项选择题(共8小题，每小题5 分，共 40分。每小题只有一个选项符合题意)1.已知复数z =-(3-i),其中i 是虚数单位，则复数|z|等于()A.3 B.2 0 C.10 D.7 10R 解 析2.z =-3(3-i)=-l-3i,|z|=7(-l)2+(-3)2=V10.K 答 案 U D2.已知 A(?,0),8(0,1),C(3,-l),且 A,B,C 三点共线，则，*=()3 2 3 2A.-B.-C.-D.-2 3 2 3K 解 析 D 由 A(,”,0),8(0,1),C(3,-l),可 得 血=(-肛

2、1),BC =(3,-2),因为A,B,C三点共线，所以通 B。，即(TW)X(-2)-1X3=0,解得m =.2R 答 案 W A3.在 A A f i C 中，若 A B=3,8 c=3 0,N B =45。，则 A A BC 的面积为()A.2&B.4 C.-D.-2 2K 解 析 U 在 A A f i C 中，若 A B=3,8 c =3 夜，Z f i =45。，S.w r=-A B B C s i n Z B=-x 3x 3/2x =-.M B C 2 2 2 2K 答 案 2 D4.某校有高一年级学生990人，高二年级学生920人，高三年级学生8 47 人，教职工243人，学校

3、根据疫情形势和所在地疫情防控政策要求，全校师生按比例分层抽样的方法抽取容量为300的样本进行核酸抽测，则应抽取高一年级学生的人数为()A.99 B.100 C.90 D.8 0K 解 析 H全校师生的总人数为990+920+8 47 +243=3000人，设应抽取高一年级学生的人数为”，则由分层抽样的定义可知，幽=，-,解得=99.3000 990故应抽取高一年级学生的人数为99 人.R答 案 2 A5.设a,是两个不同的平面，/,1是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A.若a-L?,Iu a，m e/3,贝B.若/J_ a,/J_尸，allfJC.若 in 工 0 ,a，/3,则加aD

4、.若a/，且/与a 所成的角和?与力所成的角相等，贝！/加R解 析D A 选项，若a_L,l u a ,m u /3,/与机可能相交、平行、异面，所以A 错误；B 选项，垂直于同一条直线的两个平面平行，所以B 正确；C 选项，若根J_尸，a L p,则 m u a 或机/夕，所以C 错误；D 选项，若a/?,且/与。所成的角和m 与6 所成的角相等，/与机可能相交、异面、平行，所以D 错误.工答案B6.已知某圆锥的侧面积为行乃，该圆锥侧面的展开图是圆心角为2 等 的 扇 形，则该圆锥的体积为（）2 4 8A.n B.一 冗 C.2兀 D.）3 3 3工解析某圆锥的侧面积为石乃，该圆锥侧面的展开

5、图是圆心角为2 部 的 扇 形，设该圆锥的母线长为/,底面圆的半径为r,由 拽 三 厂=石 ，得 石.因 为 2夕=舅 包 x 石，所以r=l,2 5 5所以该圆锥的体积为k/x 叼=空.33K答 案 U A7.如图，在正方体A8C/）-4 8 C。中，E、F 分别为棱C C、4 3 的中点，则异面直线A77与 E尸所成角的余弦值是（）irF RK 解 析 取 CD的中点，连结M E,F M ,因为F,M 分别为A B,C 的中点，所以R W/A Z),又 A Z/A D,所以 A 。尸M,则Z E F M即为异面直线A D 与E F所成角，不妨设正方体的棱长为2,则 RW=2,屈 M=jm

6、=夜，所 以EF=庐不屈=6,在 R t A E F M 中，cosZEFM=,所 以 异 面 直 线 与 所 所 成 角 的 余 弦 值 喈1/A F BK 答 案 A8.对于函数 f(x)和 g(x),设 ae x(x)=O ,6 e x|g(x)=0,若存在 a,0 ,使得a-/3,则称/(x)和 g(x)互 为“零点相邻函数”，若函数/(x)=/(x-l)+x-2 与g(x)=x 2-ax-a+8 互 为“零点相邻函数”，则实数。的取值范围是()A.j,1 B.4,|C.1,3 D.2,4 K 解 析 2 f(x)的定义域为/,(x)=+1 =0,x-1 x-1f(x)在(1,+8)上

7、单调递增，又/(2)=0,，/(x)只有一个零点x =2.若/(x)和 g(x)互 为“零点相邻函数”，则 g(x)在 1,3 上存在零点.4 =4(8 ci).0 ,解得 u.4 或 q,8.(1)若 4=0,即a=4 或。=一8 时，g(x)只有一个零点x=,显然当a=4 时，-=2 e l,3,当a=8 时，-g1,3,不符合题意；2 2 若 4 0,即。4 或。-8,若g(x)在口,3上存在1个零点，则 g(1)g(3)0,即(9 一加)(17-4a),0,解得 U17 釉9 1U7 融 Q4 2 4 2g17若g(x)在1,3上存在2 个零点，贝(1 g (3).0,.-.44.41

8、 -B,则 sin A sin BB.若 A=(，则 3 的取值范围是(0,、)C.sin A+sin 8 cos A+cos 3D.tanBtanC 1K解 析H 因锐角AABC,若 A 5,即正弦函数丁=$后元在(),)上单调递增，/.sin A sin B，故选项A 正确;若 4=工，B+C=,而B,C 均为锐角，故工 3 2，故选项B 错误；3 3 6 2由工 A+3 ;r,.0-A sin(-A)=cos A,2 2 2 2同理 sin A cos 8,/.siinA+sinB cos A+cos B.故项 C 正确；,/B+C T T,/.cos(B+C)0,即 cosBcosC0

9、,tanB tanC l.故选项 D 正确.K答 案 2 ACD10.一个袋子中装有除颜色外完全相同的5 个球，其中有3 个红球，2 个白球，每次从中随机摸出1个球，则下列结论中正确的是（）A.若不放回的摸球3 次，则恰有2 次摸到红球的概率为之5B.若不放回的摸球2 次，则第一次摸到红球的概率为310C.若不放回的摸球2 次，则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为！2D.若有放回的摸球3 次，仅有前2 次摸到红球的概率为生125K解 析 X对于A,若不放回的摸球3 次，则恰有2 次摸到红球的概率为享=2,故 A 正确；对 于 B,若不放回的摸球2 次，则第一次摸到红球的概率为，故

10、B 错误；5对于C,若不放回的摸球2 次,则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为2=,4 2故 C 正确；对于D,若有放回的摸球3 次，仅有前2 次摸到红球的概率为3 x 3 x 2 =生，故 D 正确.5 5 5 125K答 案 U ACDI I.在正方体A 8 8-A B C A 中，棱长为1,点 P 为 线 段 上的 动 点（包含线段端点），则下列结论正确的是（）A.当/=3 邛 时，R P/平面80GB.当 P 为 中 点 时，四棱锥尸-例 2 ）的外接球表面为g 万C.A P+P。的 最 小 值 为 手D.当=?时，点 p 是 A B Q 的重心K解 析 员对于A,连接B

11、R,则匕=4 x，x l=，S=-X 5/2xxsin600=,AC=V3,历 必 3 2 6 2 2 1设点A 到平面A g R 的距离为，则解得=且，所以力=1A C,3 2 6 3 3则当户时，尸为A C 与平面A8Q1的交点，又 A D、H BC、,AR G，对于B,当点尸为A 0 的中点时，四棱锥尸-刈。为正四棱锥，设平面A4Q1。的中心为O，四棱锥尸-想 。的外接球半径为R,则（/?-景+（亭2 =夫2 ,解得R=1,所以四棱锥P-的外接球表面积为当，对于 C,连接AC,DtC,则 RfZ A A C n R rZ sA Q C,所以 AP=R 尸，由等面积法可得，可的最小值为.,

12、A C =所以AP+P。的最小值为2 匹，对于D,由以上分析可得，当AP=当 时，A P 即三棱锥的高，所以AP_L平面R A g,又三棱锥A-。丹为正三棱锥，所以点尸是 A片R 的重心.K答 案 2 ACD1 2.钻石是金刚石精加工而成的产品，是世界上最坚硬的、成分最简单的宝石，它是由碳元素组成的、具有立方结构的天然晶体.如图，己知某钻石形状的几何体由上、下两部分组成，上面为一个正六棱台A B S E F-A B iG R E/（上、下底面均为正六边形,侧面为等腰梯形），下面为一个正六棱锥P-ABCAEb，其中正六棱台的上底面边长为且P到平面AM G的距离为3。，则下列说法正确的是（）a,下

13、底面边长为2”,(台体的体积计算公式：V=-(Sl+S2+)h,其 中 邑 分 别 为 台 体 的 上、下底面面积，人 为台体的高)A.若平面以 FJL平面AM A,则正六棱锥P-A B C D E F的 高 为 三 普.B.若 PA=2 同,则该几何体的表面积为3后+2 1 6“22C.该几何体存在外接球，且外接球的体积为 出；rd81D.若该几何体的上、下两部分体积之比为7:8,则该几何体的体积为巨叵“32K解 析 设，N 分别为正六棱台上、下底面的中心，对于选项A,如 图 1,分别取A F,其耳，C,D,CD的中点。，R,S,T,连接 RS,RQ,TS,TQ,则 RS=6 a,QT=2岛

14、，可得Q,R,S,T 四点共面，且点P,M ,N 均在该平面上，连接P M,则 N 在 RW上，得如图2 所示的截面PQ R ST,四边形QRST为等腰梯形,且 NPQR为二面角尸-4 F-A 的平面角，即NPQR=90。，过点R 作&_1_。7 交QT于点L,则 NRQL=/Q P N,可 得 法=染，即 N P -RL=LQ-Q N =-a-百a=a2,而 N P+RL=M P =3a,故N P Q a-N P X?,解得可 尸=也 叵”，故 A 正确；2 2对于选项B,如图3 为截面PAA.D.D,依题意得AR=2 a,AD=4a,连接 P A f,则 PM=3 a,又 PA=2 0 a

15、,所以 PN=2a,M N =3a-2 a=a,如图4为截面PORST,从而RQ=/片+(*幻2 =。，PQ=+(2“尸=币a,故该几何体的表面积 S=6x a2+6x (+2a)-a+6x 2a-77=+a2,故4 2 2 2 2B正确；图3图4对于选项C,如图5所示的截面PA4tA),连接P M,依题意可知AR=2a,AD=4a,PM=3a,若该几何体存在外接球，则外接球球 心.在上，设外接球半径为A,连接。4,出，OD,OD、,得。4=OA=OP=R,3a-R=MO=ylR2-a2,解得 R=3y.OA+OD2RJPB2-PO2=1 的圆，落在ABCD内部的长为圆周长的一半，所以长度为1

16、 x 2%xl=).2K答 案 正，n21 6.三棱锥P-A 3 C 中，顶点P 在底面A8C的射影恰好是AA8C内切圆的圆心，若三个侧面的面积分别为12,16,20,底面ABC的最长边长为10,则点A 到平面PBC的距离为；三棱锥P-/W C 外接球的直径是.K解 析 不妨设5“跳、=1 2,，*=16，S/=20,设 P 在底面ABC的射影为“，分别作 L 8 C 于点O,HE L A S于点E,_LAC于点F,则 P_L8C,PE A.AB,PF LA C .依题意，为 AABC 的内心，则 RtAPDH=RtAPFH 三 RtA PEH,故 PD=PF=PE,又 SBC=、2 BC A

17、 CP D2，8 =-AACrn o PF2,S.P A B=-A B PE,所以 SBC：5AP4C:SAP4fi=BC:AC:AB=12:16:20=3:4:5,所以 ZACB=90,令 3 c =3x,AC=4x,AB=5 x.底面ABC的最长边长为1 0,可得AS=5x=10,解得 x=2,所以 BC=6,AC=8,AB=10.设 AABC 内切圆半径为 r,则 g(8C +AC+AB)，=SA/W，因为S；wc=JA C.3 C=2 4，即 gx(6+8+10)r=24，解得 r=2，故 HD=2,由 54raC=2BC-FO =12,BC =6,得 P D =4,所以 P H =y

18、/P-=2 后,所以-诙=g s c P =1 x 2 4 x 2 =16百.设点A 到平面尸3 c 的距离为4,由K1yBc=%“pc，S”PC=12，所以匕-we=；Snc-d=1673,所以 d=4/5；.,NACB=90。，.,.点C 在以A 3为直径的圆上，取 A 3 中点为G,则以AB为直径的圆的圆心为点G ,设三棱锥P-A B C 的外接球球心为点O,连接O G,易知O G L平面 C,又 P”_L 平面 A B C,则 O G/P”,过点。作O N/G H交P H于点N ,r r.P4_L 平面 ABC,Gu 平面 ABC,:.PH GH,即 NG”P=-,2.四边形GHVO为

19、矩形，则 OG=NH,G H =ON,在平面ABC上建立如图所示直角坐标系，则 3(6,0),A(0,8),77(2,2),G(3,4),ON=GH=-Jl+22=yf5,设GO=x,若点N 在线段P”上,贝|JPN=2 G-X,OA=OBOP=sjGB2+OG2=V25+J?,在直角 AONP 中，ON2+NP-=OP2 即(6)2+(2/3-x)2=25+*,解得x=一 亚 0,所以 G sinC +cosC=2sin(C+*=2,即 sin(C+g =l.因为工 C+工万，所以c+二=工，即。=工.6 6 6 6 2 3若选，因为(2sin A-sin B)a=2csin C+(sin

20、A-2sin B)b，所以?-a b =2d2+a b-2bn,B P a2+b2-c2=ab,所以cosC=4+-L=L 0 C 1 0补全后的直方图如图所示：|领率/组跑0.035-0.030卜-I-r-0.025-J-0.020-0.015-!-。41m-rO 90 100 110 120 130 140 ISO 教(2)90,1 20)的频率为(0.0 1 0 +0.0 为+0.0 1 5)x 1 0 =0.4,1 20,1 30)的频率为：0.0 30 x 1 0 =0.3,.第 50 百分位数为：120+0-5-0-4X10=；（3）用分层抽样的方法在分数段为 1 1 0,1 30

21、）的学生中抽取一个容量为6 的样本，则分数段为 1 1 0，1 20）中抽取的学生数为：一 竺”一x 6=2 人，设为A,B,0.0 1 5+0.0 30分数段为 1 20,1 30）中抽取的学生数为：一”型一x 6=4 人，设为a,b,c,d,0.0 1 5+0.0 30从中任取 2 个，有 AB ,Aa,A b,Ac,Ad Ba,Bb,Be,Bd,ab,ac,ad,bebd,cd 共 1 5 种，其中符合题意得有他，Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,B b,B e,及/共9 种，o a所以至多有I 人在分数段 120,130)内的概率为2 =(.19.(12分)如图所示，已知在四棱锥尸-A B

22、 8 中，底面ABC。是边长为2 的菱形，Z B A D =60,侧棱P l=PC=3,P B=P D,过点A 的平面与侧棱尸3,P D,PC 相交于点E,F,M ,且满足：P E=P F,P M =l.(1)求证：直线B C/平面B4Z);(2)求证：直线尸C_L平面ABWF；(3)求 平 面 与 平 面 所 成 二 面 角 的 正 弦 值.(1)证明：因为底面/W 8 是菱形，所以 8 C/A 0,A D u 平面 B4T),8CU 平面 Q 4Q,所以直线3 C/平面B4Q；(2)证明：联结 AM,A C ,AC(DB=O ,因为 PB=P D,所以 POJ_8),又因为ABC。是菱形，

23、所以8D_LAC,所以3D_L平面B 4 C,所以3_LPC,又 P E=P F,所以 E F/B D,所以 EFJLPC,由己知条件得，皮)=2,A C =2 ,P42+PC2 AC2由余弦定理得cos Z A P C =-2 PA-PC32+32-(2 )2 _ 12x3x3-3AM-=P/+P M2-2PA PM cosZAPC=9+l-2 x 3 x 1x1=8,3所以 R42=P M2+A 2,所以 P C L 4 0,因为直线A M,互 相交，且 A A Z,石厂都在平面A EM F内，所以直线P C _L平面.(3)解：取 N 为历C的中点，联结ON,BN,D N ,则O N/A

24、M,又E F M B D,所以平面A E M F/平面B N),因 为 直 线 平 面 丛 C,联结M O,所以 MO_L3Z),N O L B D ,所以A M O N等于平面M D B与平面A E M F所成二面角的平面角，由己知可得，O N =yjo。-C M =五,O M =yON2+M N2=75,.A所以5布/用0 =t.G 3所以平面MZ 汨 与 曲/所成二面角的正弦值是走.320.(1 2分)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.如图，该摩天轮轮盘直径为1 20 米，设置有36个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱

25、，当到达最高点时距离地面1 40 米，匀速转动一周大约需要30 分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.(1)经过f分钟后游客甲距离地面的高度为 米，已 知 关 于 f的函数关系式满足H(r)=As i n(6y r +(p)+B(其中A 0,y 0,l el,自 求摩天轮转动一周的K解 析U式”；(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到50 米？(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5 个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为/I米，求 6的最大值.解：(1)因为“关于/的函数关系式为HQ)=A sin(&+0)+3,且摩天轮的最高点距离地面为

26、1 4 0 米，最低点距离地面为1 4 0-1 20 =20 米，4+3=1 4 0 4i所以u平面尸8,平面P 5 E C 平面PC=/,所以/CO.(2)当平面平面时，四棱锥P-3 C D E 的体积最大.平面PEC平面8 a 汨=)E,P E u 平面PDE,PE工D E,可得PE_L平面BCDE,B C u 平面B C Q E,可得P E L B C,作 EO_LBC交 BC于点 O,连接PO,E O P E=E ,可得8C_L平面P O E,而 PO在平面PEO中，故 3C_LPO,NPOE即为二面角P-3 C-O的平面角，在 RtAPOE 中，PE=-,EO=-xsin60=,ta

27、nZPO=,2 2 4 3G 9丁所以二面角P B C-。的正切值为域.9(3)由展开图可知，8 关于8 的对称点为8,DE=,BB=62由勾股定理可得AB=夕，PB=巫，当A、G、H、B共线时，周长最短，2此时(PG+G”+”8+PB)min=AB+PB=J1+萼.22.(12分)已知区间),若两个函数y=/(x)和 y=g(x)对任意都有(其g(x)中A 0,g(x)w O),则称函数y=/(x)是 y=g(x)在区间。上的超左倍函数.(1)已知命题“区间。=(1,5 ,函数x)=2x2-4x+3 是g(x)=x 1在区间。上的超2倍函数”，试判断该命题的真假.若该命题为真命题，请予以证明

28、；若为假命题，请举反例；(2)若函数f(x)=e2*+e3 是g(x)=，+e-*在 R 上的超上倍函数，求实数%的取值范围；(3)已知区间。=1,2,常数c l,若函数F(X)=C2:是 G(x)=c-c T 在区间。上的超4 倍函数，求实数c 的取值范围.解：(1)命题为真命题.证明如下：由题意，可得 x-l(O,5,则 四=2-4x+3=2口 _ 1)+.2 0 2,g(x)x-1 x-所以命题“区间0 =(1,5,函数/(x)=2/_ 4 x +3是 g(x)=x-l 在区间。上的超2 倍函数”为真命题；(2)令，=g(x)=e+eT.2,则 地=三 丫 二=匕 二 2=/一2 女恒成立，g(x)ex+ex t t又 y=f-2 在区间 2,+oo)上单调递增，t所以当f=2 时，.,=1,所以故实数的取值范围为(0,1):(3)根据题意可得，尬 4 在 1,2 上恒成立，G(x)即c*+cT 4在 1,2 上恒成立，令 H(x)=c*+cx,取 B!k(l,1M,x2 2,所以炉小 0,则”(百)4,解得c 2+6,又c l,故实数c 的取值范围为(2+6,十功.