跨阶同构-2023年高考数学核心压轴题（新高考地区专用）.pdf

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1、专题1 7 跨阶同构【方法点拨】1.指对形式同时出现，可能需要利用指对同构来解决问题2.跨阶同构的几个关键环节：(1)指对各一边，参数是关键，凑形是难点.(2)凑形的常用方法：为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面“，常用的方法有：x=*、庇*=6*、1*=网*、=lnx+lna=lnov、Xln x-l=l n-,有时也需要对两边同时加、乘某式等.3.常见同构式：(1)xln x 与 xex 型：xlnx=In xnx,xex=nxex;(2)x+lnx 与 x+e 型：x+lnx=lnx4-eln r,x+ex=elnx+ex.【典 型 题 示 例】例 1(20

2、22 江苏天一中学期末 1 6)已知函数/(x)=ae”nx(a w O),若对于任意X G(0,1),恒成立，则实数a的取值范围是.A.1 ,+ooeB.1一,4-00eC.-,1eD.【答案】A【解析】/(x)x2+xlna,B P aexnxx In V两边同时除以x 得 x+nax立m in x x+lna _n Inx x+lna In ex+In a In ae两边同时除以ae*得-,即-=-=-x aex x ae ae aeIn Y设函数g(x)=,易得g(x)在(0,1)单增X1 ex所以易知0,故一 eX X所以一G e,故a 2 一,选 4a e例 2(2022 江苏省G

3、4(扬州中学、苏州中学、盐城中学、常州中学)高三上学期12月阶段检测)若不等式2e2 aln(x+l)+(a+2)x对 x(0,+8)恒成立，其中e 为 自然对数的底数，则实数。的取值范围为A.(co,2)B.(oo,2 C.(2,+oo)D.2,+oo)【答案】B【分析】运用同构对不等式进行变形，使得两边“结构相同”，由于式子中含有e In(rH)及关于戈的次式，故应考虑“跨阶同构”，即对不等式变形时，应使得不等式两边一边含e 另一边含 In(x+1).【解析】对2e“一2 aln(x+l)+(a+2)x变形得：2cvax2(x+1)aln(x+1)一方面，2evax=2ev6 7 In e

4、v,所以问题转化为 2cAa In e*2(x+1)an(x+1)对 x(0,+oo)恒成立又因为已”工+1,设/(x)=2e*a t,则/(x)在(0,+s)为增函数故/(x)=2e“一恒成立，故 W2.例 3 已知函数/(x)=aeT-Inx+lna,若/(x)N 1,则 a 的取值范围是.【答案】a【解析】由 f(x)=a e*T-I n x +l n a N 1 移项得：aexl+l n a l n x+l(说明：将变量移至一边的原则进行变形)即+n q z i n x +l ,两边同时加(x-l)ena+x 4-x +l n a-l l n x +x(说明：系数升指数、按左右结构相同

5、的原则进行变形)即 e S-x T +(x+i n a-l)l n x +e r设 g(x)=x +e*,则 g (x)=l +e*0 ,所以 g(x)单增所以 l n a+x l l n x，即 x l n x+l n-l 0设/j(x)=x-l n x+l n a-l,贝I j(x)=l-L 所以 (x)在(0,1)单减，在(l,+o o)单增，X所以/(乂 口 加=/?=l n a-1 0,所以a 2 1.点评：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根 据“相同结构”构造辅助函数.例4 设a,b都是正数，若a e a+i +

6、bei B.be+；C.a b e；D.be+.【答案】B【解析】由已知a e a+i +b b l n b移项整理得a e a+i 2,e为了实现“一边一个变量”，两边同时除以e得a e a l n 2,e e为了实现“两边结构相同”，对左边“降阶 得a4=l n ea故e。-l n ea-l n-(#)e e设/(x)=x-l n x,(#)即为e a)0,：.ea lV/?(l n h-l)0,b0,：.nbl,故b e,-1e当%1.时，/z(x)=1 4-l n x 0,/(%)单增：.ea0),若/(x)0恒成立，则实数a的取值x +2范围是.【答案】(e,+s)【解析】V /(x

7、)=e +ln-20 x+2：.ex+lna+n a ln(x+2)+2两边加上 x 得 e*1+(x+lna)ln(x+2)+(x+2)=ln(x+2)+eln|+2)设g(x)=x+e 则其单增x+lntz In(x+2)，即 Ina ln(x+2)-x1 r-4-1令 kQc)=ln(x+2)x,则 kr(x)=-1 =-x+2 x+2V/(x)的定义域是(2,+8).,.当 x e(2,1)时，kx)0,(x)单增；当 x e(1,+co)时，k(x)k(x)m M=(1)=1,；.a e 即为所求.例6 设实数；I 0,若对任意的 6(0,+co),不等式e -0恒成立，则;I的取值

8、范围是【答案】+8)【解析】由 一 竽2 0得 之 等，即尢住及Nm不,en”对任意的x W (0,+8)恒成立.设/()=e 1则/(萩)/(m%)对任意的 6(0,+8)恒成立，又尸(t)=+。=(t+l)ef,当 一1时，/(t)0,/()单调递增.画出图象为当 N，时，1=0,亡2=Inx -1,此时函数f(t)单调递增，/(4)/(12)，即/(&)/(/n x),所 以 /n x对任意的久e (0,+8)恒成立，,2 q对任意的x e (0,+8)恒成立.设 g(x)=等，x 0,贝!|g，(x)=3 3，则当0%0，g(x)单调递增；当x e 时，g (x)(当0 x 0,t2=

9、I n x 0 f(t 2)，BP/(A x)f(lnx)对任意的x 6(0,+8)恒成立.综上可得4 2%.实数入的取值范围是E，+0 0).【解析二】由e x W 2 0 得e x W，即A xe&Inx 对任意的 e (0,+8)恒成立.A A当 E(0,1 时，总有A xe&0,xlnx 1 的情形，亦即A xe.Inx-elnx.设f(t)=tet(t0)9 则/(t)=te1+e =(t +l)e，0,f()在C E(0,+8)上为增函数.由f(A x)之 f()得，A x Inx,艮|U N 故A N(?)、r ，、I n x,1 I n x设 g(x)=,x 0,则g (x)=

10、,g(%)ma x=g(e)=%A A i.【解析三】由 W Z 0 得N W，XeAx Inx,即(A x)N%仇%对任意的x (0,+8)恒成立.当 E(0,1 时，总有A xe&0,xlnx 1 的情形，亦 即 伍 e xlnx.设/()=tlnt(tl),则广(t)=1 4-Zn t 0,/(t)在t(l,+8)上为增函数.由f(e&)岂/(x)得,eA x x,即4 之 空 j ft A ()x *max,r,、I n x ，、1 I n x设 g(x)=,x 0,则g (x)=,g Wm a x=g(e)=i,：,X /【解析四】由e x 等 2 0 得e x 2竽，XeAx In

11、x,即(A x)e&2 x，n x对任意的x e (0,+8)恒成立.当x6(0,1 时，总有A xe *0,xlnx 1 的情形，得(A x)+I n (A x)I n x+ln(/n x).设/(t)=t +/n t(t l),则/(I)=1 +1 0,f(t)在t e(l,+8)上为增函数.由/(&)2/()%)得，Ax Inx,BPA ,故 心”)x、max、，I n x“、1 -I n x&g(x)=,x 0,则g (x)=,g M m a x=g(e)=%2 1-例 7 对于任意实数x 0,不等式2 a e 2，-ln x+ln N0 恒成立，则a的取值范围是.【答案】a 2 e【

12、解析一】将2 e2 x-n-(说明：将参数移至一a a a边)两边同时乘x 得 2 xe 2 w3 n土(说明：目的是凑右边的结构)a a即2 xe 2*N2 ln =e g ln 2 (说明：目的是凑左右两边的结构相同)(#)a a a设 g(x)=x e则 g (x)=(l+x)e”0 ,g(x)单增故 山(#)得 2 xNln 二，nanx2 xa再令/z(x)=ln x-2 x,则 (x)=1 2,易知当 (x)1 r a x=(3=-山2-1x 2所以 ln ln 2-l,BP i z .2 e解析二)将 2 a/、n x+ln a N0 变形为,n 2 a+2 x-ln x+l n

13、 a 0,即,n 2 fl+2 j f+I n 2 a NI n2 xeln2 a+2 x+2 x+n2 a2 x+I n 2 x=en2 x+I n 2 x设g(x)=e*+x,易知g(x)单增故2x+ln2aNln2x(以下同解法一，从 略).点评：(1)为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的恒等变形的方法有：x=eln x(x 0),x=lnex(x G R).1.xex=ex+lnx；x+Inx=lnxex.2.=elnxx-,x Inx=Inex x3.x2ex=ex+2lnx；x+2lnx=lnx2ex.4.=ex2 ln x；x 2lnx=l

14、n.X2 X2有时也需要对两边同时加I、乘某式等.(2)xlnx与 xe”为常见同构式：xnx=nxent,xex=el,Aet；x+ln与 x+e*为常见同构式：x+nx=nx+einx,x+ex=enx+ex.【巩 固 训 练】1.设实数加()，若对任意的X G(o,+8),不 等 式 一一20成立，则实数用的取值范m围 是()r lr 1 A r 、I 1 )A.1,+c o)B.,+C.e,+8)D.,+c oL2 J _e)m2 .设实数机 0,若对任意的x N e,不等式V l n x-m e；20恒成立，则加的最大值是().A.-B.-C.e D.2 ee 33.若e i N l

15、 n x +a对一切正实数x 恒成立，则实数。的取值范围是A(-o o,-B.(-,l C.(-8,2 D.(-0,e e4.已知函数/。)=已(其中。为参数)，若对任意xw(0,+o o),不等式/(x)a ln a成立，则正实数。的取值范围是.5对于任意实数x 0,不等式-与 n x 0 恒成立，则4 的 最 大 值 是.6.关于x 的不等式泥m 2。1 1 1+%(元+1)对任意x0 (其中Z 0)恒成立，则 A的取值范围是.7 .关于x 的不等式f e”n(4+3)x+2 1 n x+l对任意x 0 恒成立，则 女 的 取 值 范 围 是.8 .已知函数/(%)=(%+；)Inx,g(

16、%)=?7 1?加+TH若对任意的 E(0,+o o),不等式2/(%)-g(x)0时，.危)|,则a的取值范围是.1 0 .(2 0 2 2 江苏天一中学)已知关于的 不 等 式 付 上 1 1 色 n x 在(0，叱)上恒成立，龙+1则实数义的取值范围为.【答 案 与 提 示】I.【答案】D(分析】把不等式e”-N0成立，转化为mxen,x xlnx=eln-lnx恒成立，设函数mg(x)=W,进而转化为gOnx)Ng(lnx)恒成立，得出/nxNlnx恒成立，构造函数力(力=In十 JC，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.In x In x【解析】因为m 0,不等式e小-2 0成

17、立，即6叩2 成立，即meNlnx，m m进而转化为mxem xln x-enx-In x恒成立，构造函数g(x)=A*,可得g(x)=e*+旄*=(x+l)e2,当x0,g(x)0,g(x)单调递增,In x则 不 等 式-2 0恒成立等价于g(mx)g(ln%)恒成立，即 如2 In x恒成立，mIn Y进而转化为加之 一 恒成立，X设。(力=曲 二，可得/(%)=l.,当0 x 0,(x)单调递增；当x e时，/(%)O ln x-e,nA r -e7,构造函数g(x)=x/(x 0),等价X转化为InxN,即m W xlnx,只需机W(xlnx).=e,答案为C.%/nun3.【答案】

18、B【解析】(利 用 同 构)由 N lnx+a 得，一 一 N lnx,两边同时加6“一+%-。2lnx+x即 ex-a+(x-a)enx+nx设 f(x)=e +x,则/(x)=e”+l0,/(幻=d+不单增ex-f l+(x-6 z)n A+lnx,B P/(x-tz)/(lnx),故x-aN lnx恒成立a x lnx恒成立设 g(x)=x-lnx，易得 g(x)max=g(D =l，所以。a I n。得 I n I n x,即 exm-I n c z I n x a两边同时加 x 得 ex-,na+x I n a eln v+lnx令g(f)=d +1，则 g(x-ln)g Q nx)

19、,g(f)为 单 调 增 函 数 x-lna I n x.即lna x-lnx,令 (x)=x-I n x，则/?()=-x.M x)在(0,1)匕单调递减，在(1,+C Q)上单调递增，.。),而1 1=/瑁)=0，,l n a l,解得0 a e.5 .【答案】e【提示】变形为e j zxlnx.6 .【答案】(0,e【提示】变形为*如”“(1 门+X+1).7 .【答案】(7,0【提示】变形为e 2 s*+3，-(3x+2 1 nx)N 丘+1,利用e N x+1.8 .【答案】尼，+8)【解 析】2/(%)g(x)4 0 转 化 为(/4-1)Inx2 mxem x+m x ,即 x2

20、lnx2+Inx2 m x e +m x,设f(t)=tet+t,则/(m/)0,/(t)单调递增所以工2 工 小 ,7nz 也竺，易求得m N 2x e.实数m 的取值范围是日，+o o).9.【答案】o,*,4-o o1 0.【答案】(，+8 )e【分 析】由 题 可 得(e2+1)A%(x+1)I n x-(eln+1)I n x,可 构 造 函 数/(x)=(ev+l)x,x 0则彳/，再求函数g(x)=邛的最大值即可.【解 析】关 于 的 不 等 式(匕+川x+1l n x 在(0，+8)上 恒 成立,则(e +(x+1)I n%=(e,nx 4-1)I nx,设f(x)=(e +1)苍x 。,/(Z x)/(lnx)/(x)=e (x+l)+l0,./(X)在(0,+8)上单调递增,Z x I n x H P 2 ,X,h/、I nx 设 g(x)=,x0 ,xg(x)=t,令 g(x)=0,得=6,X当0 x 0 函数g(x)单调递增,当e时，g(x)o 函数g(x)单调递减,gO O max=g(e)=，e故答案为：（一，+