运用同构求值-2023年高考数学核心压轴题（新高考地区专用）.pdf

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1、专题1 6 运用同构求值【方法点拨】含有指对运算的方程称之为超越方程，遇到相关的求值问题，可考虑“同构”，其关键是对已知等式进行变形，使 其“结构相同”，然后构造函数利用函数的单调性，最终利用两方程“同解”来求解.【典型题示例】例 1(2022新 高 考 I =f M和 y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐X,+,标分别为玉，龙 2，3，则 X-=-【答案】2【分析】由“等高”得力=/(%)=/(工2)=8()=8。3)，即e*-=ex-x2=x2-n x2=x3-In,这样就建立玉，马，马间的等量关系，为达到“减元”之目的，需在纷杂的关系中，梳理出e*1-玉=z-In

2、%、e*一%=&-In 尤 3两组关系，发 现“指对同现”想“同构”，从而得 到 西=也 ，刍=/2,代入求解即得解.【解析】令/。)=/一 1 =0 得 x=O所以函数/(%)在(f,O)上为减函数，在(0,4 8)上为增函数，且/。焉=0)=1令 g(x)=1_，=0 得彳=1X所以函数g(x)在(0,1)上为减函数，在(1,+00)上为增函数，且 gOOmin=g 6 =l.故函数/(x)=e*-x 和g(x)=x-ln x 有相同的最小值1如下图所示，当直线丁 =。过函数/(%)和 g(x)的交点时，满足题意，此时h,故X 0 1 工 3得 eX-x2=x2-In x2=x3-I n

3、x3即c x e ”x9x3-I n x3=eX2-x2-x2=x2-I n x2一 方 面 eX-x=x2-I n x2,而 eA,一芭二ex,-I n eX-g(e*)所以 g(X 2)=g(e )又因为0 e“i l，0 x2 xT 1 I结构特征，对右侧实施变形一!一lo g/T =9幅 产J ogjT,设g(x)=x9即可.与T【解析】由题意得：9%=-粤 上V-xo _ L -L J _ 9%(%-1)=71 0 g J T=9k g 产.lo g J T设 g(x)=x-9 在(l,+o o)上单增故 有/u l o g g M,即9 m=L.9x(x0-l)=l.例3(2022

4、 江苏七市三模)已知函数丁=%+廿的零点为西，y x +lnx的零点为2，则A.玉+%2 B.玉2。C.eX|+l nx2=0 D.xx2-xl+x2l【答案】B C D【解析】X +ex =x2+l n%2 =0,则玉+e*=l n%2 +nX2，显然 f(x)=x+ex 单增，故 =In%等价于 6为=x2,则 x+x2=xy+ex=0,故 A错误；因为/(%)=x +e x单增，且/(0)=l,故/(不)=0/(0),则玉 0故2 =0,则B正确；ex+In9=%+加 工2 =，则 C 正确；D.2%1 +%2 1 =%1(%2 1)1 -%2，因为2 +l n%2 =0 1+l nl，

5、故 1 ,则%(%2 1)1 +/1 ,则玉一1,故 D正确.例 4 已知实数再，满足x g*1=/,x2(l nx,-2)=e5,则玉龙2=.【答案】e5【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式，令1 1 1 超-2 =/,%2=/+2,得到t e =e 研究函数f(x)=x e*的单调性，求出为 关系，即可求解.【解析一】实数再，工 2 满足率*=/,x2(l nA2-2)=e5,xt 0,x2 e2,nx2-2 -1 0,x2=e+2,则 te=e3，/(x)=xex(x 0),f(x)=(x+l)e*0(x 0),所以,f(x)在(0,+8)单调递增，而/(x)=/(/)=e

6、3,X =f =In -2,xxx2=x2(l n x2-2)=e5.【解析二】对为八=/两边取自然对数得：In玉+芯=3,对X 2(l n%2-2)=e 5 两边取自然对数得：l nX j+l n(l n/-2)=5 (:)为使两式结构相同，将(X)进一步变形为：(山/一2)+1 1 1(1 1 1%-2)=3设/(x)=l n x+x,则尸(划=+1 0 x所以/(X)在(0,+8)单调递增，f(x)=3 的解只有一个.玉=In龙 2-2 ,/.xix2=(l nx,-2)-e5点评:两种解法实质相同，其关键是对己知等式进行变形，使其“结构相同，然后构造函数，利用函数的单调性，利用是同一方

7、程求解.例 5 已知实数 a,b 满足3+a =7,l og 3 V 3b+1+6=2 ,则 a+3b=.【答案】1 6【解析】令则/)=g(33。一 1),代入l og,师 斤+6=2 可化为e +-(33c-l)=2,即 33+3c =7设/(x)=3*+x-7,则 r(x)=l n3-3 +l 0,/(x)在 R上单增故/(x)=3*+x -7=0只有一个零点所以。=3c,即31 0g 34 3，+1=,3=3。+1所以 a +3 =+3 -1 =7 1 =6.例6 已知实数x,y满足x 2*=7,y(l og 2 y-2)=2 8,则 =()4.1 1 2 B.2 8 C.7 DAy【

8、答案】丁(1哈y一2)=2 8,y l og2-=2 8,即l og?叼=7设/(x)=x 2 ，则/(x)=/(l og 2 5)=7,且易知其为定义在(0,+8)上的单增函数故x =l og 2?,即 孙=y l og z?=2 8,选及例 6 已知实数的 y满足(1 1 7+2 x+si n(x-l)=3,(y 1丫+2 y+si n(x-l)=I,则x+y=()A O B2 C.4 D.6【答案】B【解析】(l-1)5 +2 x +si n(x -1)=3(x l)5+2(x l)+si n(x 1)=1(y-1 7+2 y +si n(x-1)=1 (y -咪+2(y l)+si n

9、(x-1)=-l设/(x)=元5 +2 x +si nx,则/(x-l)=l,/(y-l)=l贝|J/(x)=5 x4+2 +c osx 0,且/(-x)=(-x)5+2(-x)+si n(-x)=-/(x)，故)(x)为定义在A上的单增函数，且/(x l)+/(y 1)=0所以(x -1)+(y 1)=0,即 x +y =2,选 8.【巩 固 训 练】1.已知a、。分别是方程%5+尤+1 =0、工+6+1=0的根，则a +p的值是.2 .已知实数X、y 满足(x+J x 2+i)(y +y 2+)=的值是.则 X2-3xy-4y2-6元 一6y+2 02 03.方程 lfx+1+朗2x+3+

10、3x+4=0 的根是.,r 44.已知实数a,b e（o,2）,且满足Y 4=十一2-4，则a+b的值为2h5.设方程x+2、=4的根为m,方程x+log?=4的根为n,则加+n=6.已知/一3Q2+5Q=I,b3 3b2+5b=5,那么 o+b 的值是.7.若 满足 2x+2=5,超满足 2x+210g2（x1）=5,X X2=（）5A.-B.3272C.D.4【答案或提示】L【答案】-1【提示】设/(=/+1,则/(x)=5*+l 0,/(x)单增.由二5+a +1 =0,(川?+1 =0得0 =而代入储+。+1=0得+a+l=0,即,+。+1 =0,得a+p=-1.2.【答案】2020【

11、提示】两边取自然对数得ln(x+G 7 T)+ln(y+J 7 W)=O设/(x)=ln(x+GT l),则易得其为R上的单增奇函数所以x+y=0,故x2-3xy-4y2-6 x-6 y +2020=(x+y)(x-4y)6(x+y)+2020=2020.43【答案】一:3【分析】利 用“同构”构造函数，再利用函数的单调性.【解析】原方程可化为mi +(x+l)+42x+3+(2x+3)=0设/(x)=H +x,易得其为H上的单增奇函数4所以(x+l)+(2x+3)=0,x=即为所求.4.【答案】2【分析】将/一 廿 一4=白 2。一4。化为：/+2=(2-4+2 2 4,设/(x)=f+2,

12、则“X)在(0,2)上递增，由 a)=/(2-b),得a+b的值.【解 析】由。2一廿一4=1一2-4)，化 简 为：/+2 =2 2+3 2)2,即a2+T =(2-by+2b,设x)=f +2 则/(x)在(0,2)上递增，因为 a,b e(o,2),所以 2-be(0,2),且/(。)=/(2。)，所以a=2 从 即。+人=2.5.【答案】46.【答案】2【解析】由题意知。33。2+5。-3=-2,b33b2+5b32,设/区MG-B K+SX-B,则/=-2,f(b)=2.因为/(x)图象的对称中心为(1,0),所以a+b=2.点评：本题的难点在于发现函数的对称性，对于三次函数/(x)y=ax3+bx2+cx+d其对称中心为(xo,f(x0),其中产(x0)=0.7.【答案】C