近五年2018—2022年数学高考真题分类汇编11：立体几何（含答案+解析）.pdf

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1、:立体几何一：选择题1.（2022全国甲（文、理）T4）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为（）2.（2022全国甲（文）T9）在长方体A B C D-A B C Q 中，已知与。与平面ABCD和 平 面 所 成 的 角 均 为 30。,则（）A.AB=2AD B.AB与平面4 耳C Q 所成的角为30C.AC =CBD.与平面6 8 C C 所成的角为45。3.（2022全国甲（文）T10）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为S甲和S|c Kis 乙，体 积 分 别 为%和 v乙.若 于=2,则 台=（）3乙

2、V 乙A.75 B.2V2 C.回 D.44.（2022全国甲（理）T7）在长方体ABC。-A 4 C Q 中，已知8 Q 与平面4 5 c o 和 平 面 所 成 的 角 均 为 30。，则（）A.AB=2AD B.AB与平面4 瓦C Q 所成的角为30C.AC =CBt D.与平面B B C C 所成的角为455.（2022全国甲（理）T8）沈 括 的 梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，A 8 是以。为圆心，OA为半径的圆弧，C 是的A 8中点，。在 4 3 上，C。，A 8.“会圆术”给出ABCD2的弧长的近似值s 的计算公式：s=A8+当。4=

3、2,NAO5=60。时，s=（）OAAA.-1-1-3-V-3-DD.-1-1-4-V-3-2 2C 9-3。0 9-4 62 26.（2 0 2 2 全国甲（理）T 9）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2 兀，侧面积分别为S 甲和S 乙，体 积 分 别 为 和 吃.若 含=2,则 瞿=（）3 乙 V 乙7.（2 0 2 2 全国乙（文）T 9）在正方体A B C。-ABCR 中，E,尸分别为A B,的中点，则（）A.y/5 B.2/2c.Vio D.4该四棱锥的体积最大时，其 高 为（）A.平面BE F 平面B D DB.平面平面48。C.平面目E F/平面4 ACD.平

4、面gEF/平面AC。8.（2 0 2 2 全国乙（文）T 1 2）已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点均在球。的球面上，则当9.（2 0 2 2 全国乙（理）T 7）在正方体A8CO-AgGR 中，E,尸分别为A B,B C 的中点，则（）A.-B.y3 27 D4该四棱锥的体积最大时，其 高 为（）A.平面与EEL 平面BO RB.平面平面4BOC.平面AEF/平面4ACD.平面4E F/平面AC。1 0.（2 0 2 2 全国乙（理）T 9）已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为0,底面的四个顶点均在球。的球面上，则当A.1 B 13 21 1.（2 0 2 2 新高考I卷 T

5、 4）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1 4 8.5 m 时，相应水面的面积为1 4 0.0 5 2；水位为海拔1 5 7.5 m 时，相应水面的面积为I g O.Okn?,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1 4 8.5 m 上升到1 5 7.5 m 时，增加的水量约为（V 7 2.6 5）（）A.1.0 x l 09m3B.1.2 x l 09m3C.1.4 x l 09m3D.1.6 x l O9m31 2.（2 0 2 2 新高考 I 卷 T 8）已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球

6、的体积为3 6 乃，且3 4/4 3 石，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A.1 8,y4B.2 7 8 1C.2 7 6 47彳D.1 8,2 7 1 3.（2 0 2 2 新高考I卷 T 9）已知正方体ABCO-48CQ ,则（）A.直 线 与 D 4,所成的角为90。B.直线8G与 CR 所成的角为90 C.直线8G与平面88Q Q 所成的角为4 5 D.直线8a与平面A 8 C。所成的角为4 5 1 4.（2 0 2 2 新高考I I 卷 T 7）正三棱台高为1,上下底边长分别为3 百 和 4 百，所有顶点在同一球面上，则球的表面积 是（）A.l（X）r tB.128KC.1 4 4

7、兀D.1 92 兀1 5.（2 0 2 2 新高考I 卷 T 1 1）如图，四边形A3CO 为正方形，即，平面A B C。，FB/ED.AB=E D =2 F B,记三棱锥EA C D,F A B C,/一 ACE的体积分别为匕,匕,匕，则（）A.匕=2%B.匕=2 匕C.%=K+%D.2 匕=3 匕1 6.（2 0 2 2 北京 卷 T 9）已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6,S是AAB。及其内部的点构成的集合.设集合T =Q c S|P 0 词，则 T 表示的区域的面积为（）3 7 1.A.B.71 C.2 乃 D.3 万417.（2 02 2 浙江卷T 8）如图，已知正三棱柱A 3

8、C -A4G，AC =AA，E,尸分别是棱B C,4G上 的 点.记 与A 4所成的角为a,斯与平面A B C所成的角为6，二面角尸一3。一A的平面角为/，则（）A.a P y B,(3 a y c,f3 y a D,a y /5 1 A/5+1 /5 +1A.-D.-L.-U.-4 2 4 232.（2020全国高考真题（理）己知M 8C是面积为型的等边三角形，且其顶点都在球。的球面上.若球。的表面4积 为 16口 则。到平面4 8 c 的距离为（）A.J 3 B.-C.1 D.2 233.（2020全国高考真题（理）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M

9、，在俯视图中对应的点为N,则该端点在侧视图中对应的点为（）NA.E B.F C.G D.H34.（2019浙江高考真题）祖眶是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的事势既同，则积不容异”称为祖唯原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式匕上体=5 6,其中S 是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所 示（单位：cm）,则该柱体的体积（单位：cn?）是 2+2*2 刊 K3 +3 HA.158B.162C.182D.32435.（2019全国高考真题（理）如图，点 N 为正方形A8C的中心，A E C D 为正三角形，平面E C。_L平面A 8 C O,M 是线段 的中点，则A.BM =E

10、 N,且直线5 M,E N 是相交直线B.B M于E N ,且 直 线 是 相 交 直 线C.BM =E N,且 直 线 是 异 面 直 线D.B M力E N,且 直 线 是 异 面 直 线36（2019浙江高考真题）祖随是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的 基势既同，则积不容易”称为祖晒原理，利用该原理可以得到柱体体积公式；体=5。，其中S是柱体的底面积，。是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是俯视图A.158C.182B.162D.3237.（2019浙江高考真题）设 三 棱 锥 的 底 面 是 正 三 角 形，侧棱长均相等，P 是棱忆4 上的点（不含端点）,记直线P B

11、 与直线A C 所成角为a,直 线 依 与 平 面 4 8 C 所成角为,二面角P A C 8 的平面角为/,则A.（3 y,a y B.（3 a,f3 yC.P a,y a D.a P38.（2019全国高考真题（理）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,M 8C是边长为2的正三角形，E,F分别是心,A 8的中点，QCEF=90,则球。的体积为39.（2019全国高考真题（文）设a,6为两个平面，则a!36的充要条件是A.a内有无数条直线与6平行B.a内有两条相交直线与6平行C.a,6平行于同一条直线D.a,6垂直于同一平面40.（2019 上海高考真题）已知平面a

12、、B、/两两垂直，直线a、b、c 满足：a=则直线a、b、c不可能满足以下哪种关系A.两两垂直 B.两两平行 C.两两相交 D.两两异面41.（2018浙江高考真题）已知直线牡和平面a,u a,贝 是 加a 的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件42.（2018上海高考真题）九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设A 4是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）43.（2018浙江高考真题）已知四棱锥S-的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段A3上 的 点（不含端点

13、），设SE与BC所成的角为4，SE与平面ABCD所成的角为打，二面角S AB-C的平面角为名，则A.4 4。2 4 a B.O2 0 x C.0 03 O2 D.a w a a44.（2018全国高考真题（文）在长方体ABC。A旦G A中，A5=BC=2,A 6与 平 面 所 成 的 角 为30）则该长方体的体积为A.8 B.6夜 C.872 D.8645.（2018北京高考真题（理）某四楂锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A.1B.2C.3D.446.（2018全国高考真题（文）某圆柱的高为2,底面周长为1 6,其三视图如图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为

14、A,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为8,则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为A.2717 B.2V5 c.3 D.247.（2018全国高考真题（理）设A,8,C,。是同一个半径为4的球的球面上四点，AA6 c为等边三角形且其面积为9百，则三棱锥O-A 3 C体积的最大值为A.12V3 B.1873 c.24石 D.547348.（2018全国高考真题（理）中国古建筑借助梯卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫桦头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是梯头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是49.（2018

15、浙江高考真题）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：c m D是（）c.6D.850.（2018全国高考真题（文）在正方体A 3 C O-4&中，E为棱C G的中点，则异面直线A E与CE）所成角的正切值为.V2A -277B有2C.为2D.251.（2018全国高考真题（文）己知圆柱的上、下 底 面 的 中 心 分 别 为。2,过直线。2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8 的正方形，则该圆柱的表面积为A.127271 B.1271 C.87271 D.107152.（2018全国高考真题（理）在长方体ABC。4 4 G 2 中，A B =B C =1,A4,=6 ,

16、则 异 面 直 线 与。片所成角的余弦值为A1 B亚 C石 D加5 6 5 253.（2018全国高考真题（理）己知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面a 所成的角都相等，则 a 截此正方体所得截面面积的最大值为.373 a 2 6 .3V2 c 64 3 4 2二：填空题54.（2021,全国高考真题（理）以图为正视图，在图 中 选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则 所 选 侧 视 图 和 俯 视 图 的 编 号 依 次 为 （写出符合要求的一组答案即可）.图55.（2021全国高考真题（文）己知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30万则该圆锥的侧面积为.56.（2020海

17、南高考真题）己知正方体ABCD-4B1GD1的棱长为2,M,N 分别为881、A 8 的中点，则三棱锥A-NMDi的体积为.57.（2020海南高考真题）已知直四棱柱A8CD-481GD1的棱长均为2,（2BAD=60。.以。为球心，石为半径的球面与侧面BCCiBi的交线长为.58.（2020江苏高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2 c m,高 为 2 c m,内孔半径为0.5 c m,则此六角螺帽毛坯的体积是 cm.59.（2 0 2 0 全国高考真题（文）已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为60.（2

18、 0 2 0 全国高考真题（理）设有下列四个命题：p i：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.P 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.P 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.P 4：若直线/_LC D,A =C ,NA 8 =ZBOC,E为 AC的中点.（1）证明：平面B E D _ L 平面4 C 5（2）设 A 3 =BO=2,N A C 3 =6 0。，点尸在8。上，当 A F C 的面积最小时，求三棱锥尸-ABC的体积.7 5.(2 0 2 2 全国乙(理)T 18)如图，四面体 ABCO中，A D CD,A D =C D,Z A D B =ZB D C,E为 AC

19、 的中（1）证明：平面BED_L平面AC。；（2）设 A 3 =30=2,N A C 3 =6 0。，点尸在BO上，当 A F C 的面积最小时，求 CF与平面曲所成的角的正弦值.7 6.（2 0 2 2 新高考I卷 T1 9）如图，直三棱柱ABC-A4 G的体积为4,AABC的面积为2 近.（1）求 A到平面RBC的距离;（2）设。为 AC的中点，A A,=A B,平面A B C _ L 平面ABB/,求二面角A 比）一。的正弦值.7 7.（2 0 2 2 新高考I I 卷 T2 0）如图，PO是三棱锥PABC的高，P A=P B ,A B A.A C,E是 P 3 的中点.(1)求证：0

20、/平面P4 C；(2)若 N A6O=N CBO=3 0,PO=3,P A =5,求二面角C4 一3的正弦值.7 8.（2 0 2 2,北京卷T1 7）如图，在三棱柱从 台。一4 4 G中，侧面片为正方形，平面B C C g J 平 面 与4 ,AB=BC=2,M,N 分别为4 4，A C的中点.（1）求证：肱 V 平面8CGA；（2）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求直线4 8与平面BM N 所成角的正弦值.条件：A B 上M N；条件：B M=M N.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.7 9.（2 0 2 2 浙江卷 T1 9）如图，已知 A B C。和 C O

21、 E F 都是直角梯形，A B/D C，D C/E F,A B =5,D C =3,E F =1,4 4 =N CDE=6 0。，二面角产一DC 8的平面角为6 0.设 M,N 分别为AE,5 c 的中点.（1）证明：F N AD-.（2）求 直 线 与 平 面 ADE所成角的正弦值.8 0.（2 0 2 1 全国高考真题）如图，在三棱锥A 18 c。中，平面A 3。平面B C D,A B =A D，。为 BO的中点.A（1）证明：0 A 1 C D；（2）若AOCD是边长为1的等边三角形，点 E在棱AO上，D E =2 E A，且二面角的大小为45,求三棱锥A-BC。的体积.8 1.（2 0

22、 2 1 全国高考真题（文）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，底面A B C。，M 为 BC的中点,且 依，AM.（1）证明：平面R 4 M _L平面7W；（2）若尸。=OC=1,求四棱锥PABCD的体积.8 2.（2 0 2 1 浙江高考真题）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A 6 C。是平行四边形，Z A B C=1 2 0 ,A B =,BC=4,P Ay/15，M,/V 分别为8 C,P C 的中点，P D D C,P M M D.（1）证明：A8J_ PM；（2）求直线AN 与 平 面 所 成 角 的 正 弦 值.8 3.（2 0 2 1 全国高考真题（文）已知直三棱柱ABC

23、A g q中，侧 面 为 正 方 形，A B =B C =2,E,F 分别为AC和CG的中点，B F AiB.（1）求三棱锥产一 EBC的体积；（2）已知。为棱4片 上的点，证明：B F D E.8 4.（2 0 2 1 全国高考真题（理）已知直三棱柱ABC-4 4 G中，侧 面 为 正 方 形，A3=3C=2,E,F 分别为AC和CG的中点，。为棱A 4上 的 点.B F IA（1）证明：B F D E；（2）当耳。为何值时，面84G C与面。EE所成的二面角的正弦值最小?8 5.（2 0 2 1 全国高考真题（理）如图，四棱锥尸一ABCD的底面是矩形，包），底面ABC。，P D=D C =

24、T,M为8C的中点，且 依 _LA.（1）求 BC；（2）求二面角A-PM B的正弦值.8 6 .（2 0 2 0 海南高考真题）如图，四棱锥P-A B C D 的底面为正方形，P D J _底面A 8 C D.设平面以。与平面P B C 的交线为/.（1）证明：I J _平面PDC；（2）己知P D=A D=1,Q为/上的点，QB=丘,求 P B 与平面Q C D 所成角的正弦值.8 7 .（2 0 2。天津高考真题）如图，在三棱柱4 8。一4 月弓中，。弓上平面4 3。,/1。_1 8。,4。=8。=2,。1=3,点。，E分别在棱AA和棱CG上，且 4。=1 C E =2,M为棱4 月的中

25、点.（回）求证：C.M 1 B.D；(0)求二面角8 的正弦值;(0)求直线A B与平面。与E所成角的正弦值.88.(2020北京高考真题)如图，在正方体ABC D-4 4 a A中，E为 的 中 点.(回)求证：3。1/平面4，号(0)求直线A 4与平面A R E所成角的正弦值.89.(2020浙江高考真题)如图，三棱台ABC DEF中，平面ACF。0平面ABC,EWCe=EMCD=45,DC=2BC.(I)证明：E用D8；(ID求。F与面。8 c所成角的正弦值.90.(2020海南高考真题)如图，四棱锥P-A8c。的底面为正方形，PDEI底面A8CD.设平面以。与平面PBC的交线为/.p.

26、c(l)证明：色平面P D C；(2)已知P D=AD=1,Q为/上的点，求P B与平面Q C D所成角的正弦值的最大值.9 1.(2 0 2 0 江苏高考真题)在三棱锥A-8 C D 中，已知C B=C D=逐,8。=2,。为 B D 的中点，A O 0 平面B C D,A0=2,E为 A C 的中点.(1)求直线A B 与。E 所成角的余弦值；(2)若点F 在 B C 上，满足8 F=1 8 C,设二面角F-0 E-C 的大小为9,求 si n B 的值.49 2.(2 0 2 0 江苏高考真题)在三棱柱A 8 C-4B 1 G 中，ABS AC,&C 0 平面A 8 C,E,F 分别是A

27、 C,的中点.(1)求证：E F H 平面A B i Q；(2)求证：平面A B i C S平面A B B i.9 3.(2 0 2 0 全国高考真题(理)如图，在长方体A B C D 4 瓦G R 中，点 E,尸分别在棱D R,8 月上，且2DE=EDt,BF=2FB.（1）证明：点G 在平面A E 尸内；（2）若 AB=2,A D =,A4=3,求二面角A -EQ 一4 的正弦值.9 4.（2 0 2 0 全国高考真题（文）如图，在长方体A3CD-A向中，点E,F分别在棱。上，且 2 O E =E R ,BF=2FB一证明：BF凡（1）当A B =3C时，E F L A C-,（2）点 G

28、 在平面A E 77内.9 5.（2 0 2 0 全国高考真题（文）如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，ABC1 是底面的内接正三角形,P 为。上一点，E MP C=9 0。.D（1）证明：平面以加平面以C；（2）设。=0,圆锥的侧面积为百兀，求三棱锥P-A B C 的体积.9 6.（2 0 2 0 全国高考真题（理）如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，A E =A D.A B C是底面的内接正三角形，P为。上一点，PO=D O.（1）证明：平面BBC；（2）求二面角3PCE的余弦值.9 7.（2 0 2。全国高考真题（文）如图，已知三棱柱A B C-4B 1 G

29、的底面是正三角形，侧面BBC是矩形，M,N 分别为B C,B i G 的中点，P为 AM 上 一 点.过 8 1 G 和 P的平面交A 8 于 E,交 A C 于 F.（1）证明：A A J/M N,且平面 4 A M W E）平面 E B i Q F；(2)设。为0 41 8 1 G 的中心，若 A O=4B=6,A。平面E B i G F,且0 MP N,求四棱锥B-E B i G F 的体积.39 8.(2 0 2 0 全国高考真题(理)如图，已知三棱柱A 8 C-4B 1 Q 的底面是正三角形，侧面8 B 1 Q C 是矩形，M,N 分别为B C,B i G 的中点，P为 4 M 上一

30、点，过 8 1 G 和 P的平面交A B 于 E,交 AC于F.(1)证明：AAi J S M N,且平面 4 A M W 0 E B G F；(2)设。为Mi B i C i 的中心，若平面E&G F,且 A O=A 8,求直线&E与平面4 A/W N 所成角的正弦值.9 9.(2 0 1 9 江苏高考真题)如图，在直三棱柱A B C-A i B i G 中，D,E 分别为B C,A C 的中点，AB=BC.求证：(1)4 8回平面DEC、；(3)BES Ci E.1 0 0.(2 0 1 9 天津高考真题(理)如图，A E _L平面 A B C。，C F /AE,A D/B C ,ADAB

31、,AB=AD=i,AE=BC=2.E(E)求证：BF平面AOE；(0)求直线CE与平面BOE所成角的正弦值；(0)若二面角EB。尸的余弦值为g，求线段CE的长.1 0 1.(2 0 1 9 全国高考真题(理)图 1 是由矩形A D E B,R tH A B C 和菱形8 F G C 组成的一个平面图形，其中A 8=l,8 E=B F=2,0 F B C=6 O,将其沿A B,B C 折起使得8 E 与 8 F 重合，连结D G,如图2.(1)证明：图 2中的A,C,G,。四点共面，且平面A B C 0 平面B C G E；(2)求图2中的二面角8-C G-A 的大小.图1图21 0 2.(2

32、0 1 9 全国高考真题(文)如图，直四棱柱A B C D-A i B i Q D i 的底面是菱形，A 4=4,AB=2,I 3 8 A D=6 O,E,M,N 分别是8 C,BBi,4 D的中点.OiG(2)求点C到平面G D E 的距离.1 0 3.（2 0 1 9 全国高考真题（理）如图，长方体A 8 C D-4B 1 G D 1 的底面4 88是正方形，点 E在棱A4 上，BES ECi.(1)(2)证明：B E 0 平面E&G；若 A E=4 E,求二面角8-E C-G 的正弦值.1 0 4.（2 0 1 9 上海高考真题）如图，在正三棱锥P-ABC中，P A=P B=P C =2

33、,AB=BC=AC=4?,（1）若 P8的中点为M，BC的中点为N,求 AC与 M N 的夹角；（2）求 P ABC的体积.1 05.（2 01 8 上海高考真题）已知圆锥的顶点为P,底面圆心为。，半径为2.（1）设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积；（2）设 P O =4,O A、O B是底面半径，且 NAO B=9 0,M 为线段AB的中点，如图.求异面直线尸M 与 O B所成的角的大小.1 06.（2 01 8 江苏高考真题）在平行六面体A B C。-4 6 1 G 2 中，AA-A B ,AB V BC.求证：（1）A B/平面AB。；（2）平面ABgA，平面A B C.1 07.（2 0

34、1 8 江苏高考真题）如图，在正三棱柱A B C-4&Q 中，A B=A 4=2,点 P,Q 分别为4B i,8 c 的中点.(1)求异面直线8P与 4cl所成角的余弦值；(2)求直线C G 与平面A Q G 所成角的正弦值.108.(2018全国高考真题(文)如图，矩形A 8 C D 所 在 平 面 与 半 圆 弧 所 在 平 面 垂 直，M是C。上异于C,D的点.(1)证明：平面A M D,平面6 M C；(2)在线段A M 上是否存在点P,使得M C 平面P必？说明理由.109.(2018北京高考真题(理)如图，在三棱柱A8C-A81cl中，C C|L 平面A8C,D,E,F,G 分别为

35、A A-AC,4 G，的中点，AB=BC=V5,AC=A d =2.(2)求二面角8-CD-G的余弦值;（3）证明：直线F G 与平面B C D相交.1 1 0.（2 01 8 北京高考真题（文）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面A8CD 为矩形，平面平面A B C D,PAPD PA=PD，E、F分别为A。、的中点.（回）求证：PE上BC；（回）求证：平面B 43 _ L平面P CO；（0）求证：EF平面PC D.1 1 1.（2 01 8 全国高考真题（理）如图，四边形A8CD 为正方形，分别为AD,BC的中点，以。F为折痕把 O F C 折起，使点C到达点P 的位置，且PF_LBF.（

36、1）证明：平面P E 尸，平面ABFD；（2）求。P 与平面A3P D 所成角的正弦值.1 1 2.（2 01 8 全国高考真题（理）如图，边长为2的正方形ABCO 所在的平面与半圆弧c o所在平面垂直，M 是 CO上异于C,的点.（1）证明：平面A A 5_ L平面8MC；（2）当三棱锥M-ABC体积最大时，求面M4 8与面MC。所成二面角的正弦值.113.（2018浙江高考真题）如图，已知多面体ABC-AiBiCi,AiA,BiB,CiC均垂直于平面ABC,0ABe=120,AiA=4,CiC=l,AB=BC=BiB=2.（0）证明：AB平面AiBiCi；（0）求直线A J 与平面ABBi

37、所成的角的正弦值.114.（2018全国高考真题（文）如图，在三棱锥产一ABC中，A B =B C =2&/%=PC=AC=4,0为 A C 的中点.（1）证明：P O,平面A B C；（2）若点M 在 棱 上，且M C =2 M B,求点C 到平面P O M 的距离.BM1 1 5.（2 01 8 全国高考真题（文）如图，在平行四边形A8O W 中，A B =AC=3,ZA C M=90,以AC为折痕将回ACM折起，使点M 到达点。的位置，且（1）证明：平面ACD L 平面ABC；2（2）。为线段AO 上一点，P 为线段BC上一点，且=求三棱锥。一A3P 的体积.参考答案1.B【解析】由三视

38、图还原几何体，如图,则该直四棱柱的体积V=X 2 X 2 =1 2 .2故选：B.2.D【解析】如图所示:不妨设48 =4,4。=4 4 4=。，依题以及长方体的结构特征可知，与平面A B C。所成角为N B Q B,BQ与c h I _平面 A 4 4 B 所成角为N D gA,所以 s i n 3 0=K =K 4|%=c,旦。=2。=解得 a=0 c .DyL)DyL)1对于 A,AB=a ,AD=b,AB=，A 错误；对于B,过4作6 E J _ A 4于E,易知平面A B C。，所以A3与平面A4 G。所成角为4 4 E,因为，/?t an ZB A =-=,所以/R 4 EH3 0

39、，B错误；a 2对于 C，A C =d a1+b?=6 c CB=lb2+c2=0 c，A C w C B ，c 错误；对 于D,go与平面BqGC所成角为N Z)4C,si n N DB C =篇=.=与,而0/。4。9 0,所以ND4=45.D 正确.故选：D.3.C【解析】解：设母线长为/,甲圆锥底面半径为弓，乙圆锥底面圆半径为与，则萍鸟=2,S乙和/r2所以（=2，又一 +=2 兀,则包=1所以【,所以甲圆锥的高4=乙圆锥的高=浮,y L x 9/r-所 以 粤=?-=-3 9 3故选：C.【解析】如图所示:不妨设43=a,A。=AA=c,依题以及长方体的结构特征可知，与。与平面A3C

40、O所成角为N8Q8,B Q与Q b _ _平面44隹B所成角为/。耳A,所以sin30。=方=诉，即b=c,耳。=2c=y/a2+h2+c2，解得a=y2c-）U O j LJ 1对于 A,AB=a,AD=b,AB=6 A D A 错误；对于B,过8作6石，4月于E，易知平面A C Q,所以A8与平面AgG。所成角为4 4石，因为ctanZBAE=-=，所以N84Ew300，B错误；a 2对于 C，AC=ci2+b=yfic9 CB=Vh2 4-c=V2c,ACwC4，C 错误；对于D,BD与平面BBCC所成角为NDBC,sin乙DB、C=谎=充=与,而0 /。耳。=。4=。8=2,又 NAQ

41、?=60。，所以 AB=O4=Q3=2,则0C=6，故CD=2-B所以 S=A 8 +变=2+（2 -G）;11Z 0A 2 2故选：B.6.C【解析】解：设母线长为/,甲圆锥底面半径为彳，乙圆锥底面圆半径为与，则2%S乙 兀q r2所以4=2，27rA 八又一L+=2%,则牛=1,所以4=：/,弓=；/,所以甲圆锥的高4=乙圆锥的高刈=2忆-1，31 2,4/2 V5.所 以 粤=-=回 乙a喈h 1金巨i3 9 3故选：C.7.A【解析】解：在正方体ABCO-AAGR中,A C,3D且。2 平面 ABCD,又E F u平面A 8 C O,所以理工。，因为E,尸分别为4 5,5。的中点，所以

42、|A C,所以 所，3。，又 BD CD D yD,所 以 所_L平面8。2 ,又EFu平面BEF,所 以 平 面 耳 平 面8。，故A正确；如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设4 3 =2,则 4(2,2,2),E(2,l,0)*(1,2,0)1(2,2,0),4(2,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),C,(O,2,2),则 乔=(-1,1,0),函=(0,1,2),丽=(2,2,0),编=(2,0,2),羽=(0,0,2),衣=(_2,2,0),对=(-2,2,0),设平面旦E F的法向量为五=a,X,ZJ,则有 s i n a W，A C B )w L 2 r-2 r

43、=2/ABCD 2 2 2(当且仅当四边形A B C。为正方形时等号成立)即当四棱锥的顶点O到底面A B C。所在小圆距离一定时，底面A B C C面积最大值为2/又 r2+h2=1则V 公炉三考J户守卜券当且仅当r2=2/z2即仁当时等号成立，故选：C9.A【解析】【详解】解：在正方体ABCD-A B C Q中,A C J _ 8。且 DD,平面 A B C D,又F u平面ABC。，所以E F LOn，因为E,尸分别为A B,BC的中点，所以E F|AC,所以又 Bo n。=。，所以E E _ L平面，又E F u平面片 尸,所以平面g E F _ L平面B D R,故A正确；如图，以点。

44、原点，建立空间直角坐标系，设A3=2，则 4（2,2,2）,E（2,l,0）,E（L 2,0）,6（2,2,0），A（2,0,2）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,G（0,2,2）,则 而=（-1,1,0）,函=（0,1,2）,丽=（2,2,0）,B=（2,0,2）,羽=（0,0,2）,/=（-2,2,0）,宿=（-2,2,0）,设平面B,E F的法向量为m =（x y z1）,则有，i n -E F=_%+y=0i n -E B=x +2 Z =0,可取政=（2,2,-1）,同理可得平面AB。的法向量为点=（L1,一1）,平面AAC的法向量为0=（1,0）,平面AGO的 法 向 量 为=

45、（1,1,-!）,则 m-n=2 2 +1 =1。0,所以平面用E F与平面A3。不垂直，故B错误;UU因 为 与n2不平行，所以平面用E尸与平面4 AC不平行，故C错误;因为病与3不平行，所 以 平 面 用 与 平 面A C。不平行，故D错误,故选：A.10.C【解析】设该四棱锥底面为四边形A B C Z),四边形A 8C。所在小圆半径为r,设四边形A B C D对角线夹角为a ,1 1 1 ,则 Sm m Mi AC B O-sina W-ACBOK Z rtrM Z/A B C D 2 2 2(当且仅当四边形A B C。为正方形时等号成立)即当四棱锥的顶点。到底面A 8C C所在小圆距离

46、一定时，底面A 8C C面积最大值为2/又/+/=/则 收 2/=在而乌叵互=逋-A B C D 3 3 3 3 J 27当且仅当r2=2 A2即邛时等号成立，故选：C11.C【解析】依题意可知棱台的高为MN =1 57.5-1 48.5=9(m),所以增加的水量即为棱台的体积V .棱台上底面积S=1 40.0 k m2=1 40 x l06m2，下底面积 S =1 80.0 k m2=1 80 x 1 06m2，V =1/Z(5+S,+V 557)=X9X(1 40X1 06+1 80X1 06+V 1 40X1 80X1 01 2)=3 x(3 2 0 +6 0 V 7)x l06(9 6

47、+1 8x 2.6 5)x l07=1.43 7x l09 1.4x l09(m3).故选：c.12.C【解析】：球的体积为3 6万，所以球的半径R =3,设正四棱锥的底面边长为2“，高为，则尸=2/+力2,32=2a2+(3-h)2,所以6 =尸，2a2=l2-h21 1 2 广 尸 1 (6、所以正四棱锥的体积V =-S/2 =-x 4a 2 x/?=-X(-)x =-/4-3 3 3 3 6 691 3 6)所以V 9 1 6)9(6)当 3 W/V 2#时，V 0,当 2指 /3 g 时，V /=36时，V =4 42 7所以正四棱锥的体积V的最小值为一，42 7 6 4所以该正四棱锥

48、体积的取值范围是y-y故选：C.13.ABD【解析】如图，连接用C、BCt,因为D 4 /B C，所以直线B G与 所 成 的 角 即 为 直 线B G与0A所成的角,因为四边形B B C C为正方形，则B C J.8G，故直线B G与0A所成的角为9 0。，A正确;连接AC,因为A 4 _ L平面BBCC，8。1 则 S.EFM=半。2，AC=2，则 匕=5 _EFM+%-EFM=g ACS“E FM=2/，则 2匕=3匕，匕=3匕，%=+%，故 A、B 错误；C、D 正确.故选：C D.16.B设顶点尸在底面上的投影为。，连接3。，则。为三角形A B C的中心,且5 O =2 x6 x走=

49、26，故 =：3 6 12 =2几.3 2因为尸Q =5,故。=1,故S的轨迹为以。为圆心，1为半径的圆，2*X36而三角形A 8 C内切圆的圆心为。，半径为z 彳 J。：5.广3 x6 故S的轨迹圆在三角形A B C内部，故其面积为万故选：B17.A【解析】如图所示，过点尸作F P L A C于P,过P作P M J.3 C于M,连接P E，则 a-/E F P，P=/FEP,y=FMP,t a naPE PE 八-=-K 1FP ABPP AD pp FPt a n/?=1,t a n/=t a n/7,PE PE PM PE所以故选：A.18.BD【解析】易知，点尸在矩形BCG g内部(含

50、边界).对于A,当X=1时，丽=前+函=配+，即此时Pe线段CC，44尸周长不是定值，故A错误；对于B,当=1时，丽=X B C+国=函+4M，故此时P点轨迹为线段4 G ,而B C /B C ,BCi 平面A,BC,则有P到平面ARC的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确.对于C,当义=；时，B P =-B C+B B1,取BC，中点分别为Q,”，则8户=皿+厅，所以P点轨22迹为线段Q H,不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，A与Q 1，尸(0,0,)，3(o,g,o),则V=_g，0，一 1，丽=(0，一；，帝 丽=/，(1)=0,所以=0或=1.故”,Q均满足，故、2 )2 JC错