沈阳农业大学学报.pdf

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1、沈阳农业大学学报，2 0 0 5-0 4,3 6(2):2 1 0-2 1 3J o u rna l o f S h e n y a n g A g r i c u l t u r a l U n i v e r s i t y,2 0 0 5-0 4,3 6(2):2 1 0-2 1 3高等数学解题中典型错误剖析 吕振环(沈阳农业大学 基础部，沈阳1 1 0 1 6 1)摘要:在高等数学解题中，使用一些定义、定理及方法时，如果不注重严格的检验，很容易导致严重的错误。从定义、定理等方面人手，以具体实例来分析高等数学解题中出现的典型错误及产生的原因，并给出正确的解法。关键词:高等数学;典型错误;

2、解题方法中图分类号:0 1 3文献标识码:A文章编号:1 0 0 0-1 7 0 0(2 0 0 5)0 2-0 2 1 0-0 4A n A n a l y s i s o f T y p i c a l E r r o r s i n Ma t h e ma t i c a l P r o b l e ms (D e p a r t m e n ta p p l i c a t i o n o f L a Z h e n-h u a no f B a s i c S c i e n c e,S h e n y a n g A g r i c u t u r a l U n i v e r

3、s i t y,S h e n y a n g 1 1 0 1 6 1,C h i n a)Ab s t r a c t:B e f o r e t h ec a r e f u l l y c o n s i d e r a t i o no n t h e e x a mi n a t i o nt h e o r i e so f t h et o s o l v i n g s o m e p r o b l e m s i n m a t h e m a t i c a l c a l c u l a t i o n w o u l e b e g a i n e d w i t h

4、 o u tt h e o r i e s.T h i s p a p e r c i t e d s o m e e x a m p l e s t o a n a l y z e t h er e a s o n s o f t h o s e e r r o r sa n d p u t f o r w a r d t h e r i g h t m e t h o d o l o g y.K e y w o r d s:a d v a n c e d m a t h e m a t i c s;t y p i c a l e r r o r s;c a l c u l a t i n

5、g m e t h o d o l o g y 随着计算机技术的飞速发展，数学在各个领域的应用越来越广，其重要作用也日 益突现出来。因此，学习数学不再仅仅是学习数学知识，更重要的是领悟数学思想、提高数学素质、掌握应用数学的能力，而这些通常以数学的解题为基本训练手段。笔者在长期的教学及研究中发现，绝大多数高等数学题目的设计均很好地满足所要应用的定义、定理及方法的条件要求。但是很多学生甚至缺乏经验的一些老师容易产生一种思维定势，即在使用一些定义、定理及方法时，不注重严格的检验，想当然地拿来就用，导致严重的错误。本研究以具体实例分析高等数学解题中出现的典型错误及产生的原因，并给出正确的解法。1.1对

6、定义理解不透彻初等函数的判定方面例:9(x)二1,x a判断不是初等函数，函数f(x)=I X 是有理数O,x 是无理数是初等函数。-os 曰.工C1布浊 )了1.ee眯m 9卜IJ盯解:不正确。错误原因:虽然g(x)二1，x a是一个分段函数，但可以用一个式子表示，即V(二 一。)2显然9!、IJIJ(x)是初等函数。而.f(x)=1,x A h 纂虽”也 可 以 用 一 个 式 子 表 示，即 f(x)=n(7Tm!x，但 所 涉及的运算不是有限次的四则运算及复合，而是极限运算，因此用初等函数的定义来衡量，,f i x)不是初等函数。初等函数是以常数和基本初等函数为研究对象，涉及的运算只有

7、有限次的四则运算及有限次的复合，表现形式是一个式子。只有对该定义从这三方面全面透彻的理解，才能做出准确的判断。1.2 一元函数的极限方面例:设x 1=1 X n+I解:令l i m x,=a,=1+2 x n,n=1,2-,，求l i m x n o对等式 x,=1+2 x n 两边取极限，得a=1+2 a，则a=-1，故有l i n t x a-l o错误原因:一般在求极限的运算中，极限绝大多数是存在的。因此，见到求l i m x n，若极限的确存在，就可以设l i m x n a。但事实上，该数列并不收敛。故设l i m x 二 a 就导致了错误的发生。收稿日期:2 0 0 4-1 0-2

8、 9作者简介:吕 振环(1 9 7 0-)女，沈阳农业大学讲师，硕士，从事数学教学与研究。万方数据第 2期吕振环:高等数学解题中典型错误剖析-2 1 1 正确解法:由x,=1,x,=1+2 x,n=1,2,.，可得x n 2 -l,n=1,2-二，显然，当n-oo时，该数列不收敛。在求解极限问题之前，要验证极限是否存在，切忌盲目 计算。Z 对定理、公式要求满足的条件不检验2.1 定积分方面例，:求!一1 d xI,z I 十x。:、x=1 At 元，得 厂;dx z=一 一 1十xl+t 11 d t_ z，故 j i 贵=。矛几-1-1一2一+错误原因:t在应用换元积分法计算积分时，法则要求

9、所选择的变换x=O(t)应在t 的所属区间上连续、可导。而 这 里 的 变 换 x=令 在 卜,1 上是不连续的，因此导致错误的发生。正 确 的”法:厂;价=arctan xl决一(一%)=晋例 2:求!d x_-l+c o s x ，一一!12!一2 d x_-l+c o s xI-c o s x+-1!.解si n x错误原因:在使用牛顿一莱布尼兹公式前，必须验证被积函数在积分区间上是否连续，当连续时方可使用。而1-c o s x 在.一 冬，粤 上 是 不 连 续 的，即 不 满 足 牛 顿 一 莱 布 尼 兹 公 式 的 条 件，因 此 导 致 错 误 的 出 现。I乙乙si n x

10、今一 一一!12盯一2正 确 解 法:)d x.l+c o s xz L _X I=La n 百2.2 二元函数的求导方面例:设:f(x,Y-2,(x,Y)(0,0)二 x十 y D C求 零I卜 n dt 一“0，(x,y)=(0,0了十哎leslk 一-解:f x(0,0)=O=f (0,0)，则由 链 导 法 则，得f x(0,0 嚎，二。+f Y(0,0)毒，!=。=0 1+0 1=0错误原因:在使用多元复合函数链导法则时，要求函数的偏导连续，而这里偏导数.f,(x,Y)lf,(x,Y)在(0,0)处并不连续，即在不满足链导法则条件时却使用了该法则，最终导致错误的发生。正 确 解 法:

11、把二 二 t,y=t 代 人:-.f(x,Y)中，得:f(t,t)=V 2则 应 l _一 d tV厄-2.3 封闭曲线积分方面2(2 _,_,，).j，其 中:取 圆 周(二 一 1)矿=2,:的 方 向 为 逆 时 针 方 向。求例解:1 y d x-x d y=归 Iv-一 )d x d y=0(Q 一 牵仁a P 4 2(w l v )xn、o x 0 y i“六2O x(犷、扩)办 .四 J J错误原因正确解法因为p,Q在(0,0)点不连续，即不满足格林公式的条件，所以不能直接利用格林公式。先在L 所包围的区域内以(0,0)为圆心，:为半径作一充分小的圆l “挖掉”(0,0)点 o

12、f 方向为顺万方数据-2 1 2-沈阳农业大时针方向，则在L与2 为边界的正向区域内可用格林公式:学学才 民第3 6卷y d x-x d y=09,2(，一 二 护)“l 刀名.月.爪Wll.+L:=一!，=!，_:=!:;s i n g(一:s i n g)-r c o s O:c o s o 2 2 rd B 二 一 4 r定积分的换元法、牛顿一莱布尼兹公式、链导法则、格林公式都是高等数学中的重要理论，又常常使用，但在使用时一定要符合理论所需要满足的条件，否则必然会导致严重的错误。3.1在变换过程中丢解空间解析几何方面x=2 tx=1+t例 1:设直线L;与L:的参数方程分别为L,:y-3

13、+3 t，L 2:-2+t，求两直线的交点。z=4 tz=2+2 t 解无交点:由交点在两直线上，得2 t=1+t 或一 3+3 t=-2+t 或4 t=2+2 t，而解这三个方程的参数值不一样，所以L:与几错误原因:事实上可以证明此两直线是共面的且不平行，因此有交点。该错误解法忽略了两直线不平行或重合时，两直线对应的参数值是不一样的。正确解法:由两个参数方程知，当t,=0,t 2 二 一 1 时，两直线的交点为(0,-3,0)0例:求 通 过 直 线:Ix-2 y-z 士 3 护 且 与 平 面 二:x-即 一=0 垂 直 的 平 面 方 程。x+y-z-1=U 解:设所求的平面方程为:(x

14、-2 y-z+3)+A(x+y-z-1)=0，即:(1+.1)x+(A-2)y-(1 十 入)z+(3-.t)=0 由 所求平面与已知平面垂直，则:(1+.t)+2 林-2 卜(1+幻=0，即6=0，出现矛盾，即A 无解，则所求平面不存在。错误原因:在过直线L的平面中一定存在一个平面与已知平面垂直，这是无庸置疑的，这里无解是因为所设平面束方程遗漏了一个平面x+y 二 一 1=0，而此平面恰为所求平面。正确解法:设所求平面为:A,(x-2 y-z+3)+A 2(x+y 二一 1)=0 即:(A,+A 2)x+(-2 A,+A 2)y+(-A,-A 2)z+(3 A,-A 2)=0 由于所求平面与

15、已知平面垂直，即得:(人 1十 A 公-2 卜 2 A,+人 公+(入，+A 力=0 即:6 A,=0,A,=O 将A,=o 代人所设平面方程得:x+y 二 一 1=0，即为所求。3.2 微分方程方面 例1:求解微分方程:x d y-y d x=0 解:假设X Y O 0，用x 丫去除方程的两端，并分离变量得:立-d x 2一2y x两 边同 时 积 分 得:一 1 y=一 土+。(。为 常 数)错误原因正确解法:由 原方程不难看出x=0,y=0 是原方程的解，为了计算而假设的X Y O 0 导致丢掉了该解。:在 原 有 解 法 得 出 的 一 土=一 土+。基 础 上 补 充 二=o,y=o

16、 oy x例2:求解厂=2 x y解:分离变量海=2 x d x积 分 得:1 n y=x 2+c，即:y 二。xy=e e(。，为常数)错 误 原 因:由 于。飞。，通 解 y=e(。，为常数)只表达了一部分解，原因在于对数的真数未加绝对值。万方数据第 2期吕振环:高等数学解题中典型错误剖析2 1 3正确解法:积分过程为:1 n ly l=x 2+cy 二 土 ee取。=1 e，则 通 解 为y=c e x。为 常 数)。平面束方程在变换过程中 往往要满足一定的条件，忽略了成立的条件，变换后极易产生丢解的现象;微分方程的变换及常数的处理上也是容易丢解的地方，因此要时刻注意。4.1错误地使用对

17、称性二重积分方面例 :求 x d Q,感R2 了 一，吓，一，(，。f R 2x a v=,+x a u=,+。a u 。r c o sO d r=李 丫(D,为D 的 第 一 象 限 部 分)j解错误原因:二重积分所表示的立体顶面为:=x，底面为犷+犷 招，该立体并非既关于x 轴又关于y 轴对称所以不能用对称性求解。正 确 解 法:X d =2 d。Rr 2f x d o,=10 d O J 0 r cosOd r=O4.2 曲面积分方面例“:设 二 是 半 球 面 x 2+y 2+z 2 R 2(y?0)的 夕 卜，。，由 对 称，得 z d s=0，同 理 z d x d y=0 o解:

18、z d s=。正 确，但 z d x d y=。错 误。正 确 解 法:平 z d x 海=+=2 V 不 牙 了d x 方 二 粤 7T R 2,7rR JI u.L 2 二 沁 .V(艺，为半球面在x 外 面上面部分取上侧，L,2 为半球面在X O y 面下面部分取下侧)另 一 解 法:求 z d x、还 可 以 利 用 高 斯 公 式，只 须 增，卜 平 面，=。取 左 狈。，使 之 封 闭。在积分的解题中，运用对称性会使运算变得非常简便，但运用不当就会出现致命的错误。通过以上举出的典型例子及综合剖析，不难看出在高等数学的解题中，一定要注意面对的问题是否满足所采用的理论要求的条件，而不能盲目 的、草率的照搬、硬套一些方法，避免出现不该出现的错误。参考文献:1 1 梅顺治，刘富贵.高等数学方法与应用 M .北京:科学出 版社，2 0 0 0.2 1 同济大学数学教研室.高等数学(上、下)第四版【M l 北京:高等教育出版社，1 9 9 6.【责任编辑开 国 万方数据