直线与圆的位置关系(解析版).pdf

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1、2021年八年级数学 暑假作业翎课程无忧衔接(苏科版)考点15直线与圆的位置关系【知识点梳理】直线与圆的位置关系1、直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交。(d r)直线与圆的位置关系可以用它们的交点的个数来区分，也可以用圆心到直线的距离与半径的大小关系来区分，它们的结果是一致的。直线与圆的位置关系的判定和性质.因圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系.图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半如果00的半径为r,圆心0到直线的距离为d,那么(1)直缆和。讨目交Q d r

2、.要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判【新 课 程 预 习 练 无 定 一、单选题1.如图是两个同心圆，大圆的直径A C固定不动，小圆的直径8。绕着圆心0旋转，与A C不在同一条直线上，在8。旋转过程中，下面说法正确的是()DA.NAOC的大小始终不变 B.四边形45。存在是矩形的情形C.四边形A8CZ)的最大面积等于言AC8D D.AD的最大值等于彳(AC+BD)2 2【答案】C【分析】利用圆周角的性质和矩形的性质和判定来判断.【详解】解：A.利用圆周角不变，而NA及C并不是圆周角，所以4是错误的；B.若四边形A3。是矩

3、形，则N 40090。，则。在大圆上，出现矛盾，所以5是错误的;C,过。作。J_AC 于，8G_L4c 于 G,S 四边形 A8CD二Sa ACD+5A ABC=xACxDH+xACxBG2 21=xACx(DH+BG)xACxBD.一 2，四边形A B C D的最大面积等于-AC*BD.2c符合题意.D3Q.：8。与 AC不在同一条直线上.AD的最大值不可能是 x（AC+BD）,故。错误.故选：C.【点睛】考查的圆周角的性质、矩形的判定和性质、以及三角形的三边关系等知识，关键是理解三角形的三边关系是解决最值问题常用的手段.2.如图，尸为（DO外一点，PA.P B 是 0的切线，A,3 为切点

4、，点 C 为 A 8左侧。上一点，若/尸=50。，则/A C B 的度数为（）【答案】D【分析】根据切线的性质和四边形的内角和定理可求出/A O B,再由圆周角定理可求出答案.【详解】解：如图，连接。4、OB,%、P 8 是。的切线，A、8 为切点，：.OA1PA,OBLPB,：.ZPAO=ZPBO=90,V Z P=5 0 ,，Z A O B=3 6 0 -90 -90 -5 0 =1 3 0,A ZC=ZAOB=65,2故选：I).B【点睛】考查切线性质、四边形的内角和是3 60。、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理是解答的关键.3.如 图，点。为AABC的内心，NB=5 8,B C

5、 /52-32=4 ,设 IH=x，I为 ASC的内心，IG=IJ=IH=x，q=q+s LADE ADI 1 AAEI 6x4 5x,6x二-=+,2 2 2解得k 器，即/点 到8 c的距离是打，故选：A.【点睛】考查了三角形的内切圆与内心、角平分线的性质，勾股定理，知道三角形的内心是角平分线的交点是解题的关键.5.如图，点A,B，C在OO上，ZABC=2 8,过点。作。0的切线交OA的延长线于点。，则/)=()A.30 B.56 C.28D.34【答案】D【分析】分别求出NAOC和/O C Z),利用三角形内角和为180。，即可求出N D【详解】解：因为CQ是。的切线，ZOCD=90,N

6、A8c=28,二 ZAOC=56,Z D-1800-ZAO C-ZOCD=34,故选D.【点睛】考查了切线的性质、圆周角定理、三角形内角和定义等内容，要求学生掌握利用圆的切线垂直于过切点的半径和一条弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半分别求出NOCO和N A O C,再利用三角形的内角和公式求出/。的方法，本题较基础，思路也很明显，因此着重对学生基本功的考查.6.如图，A B 与。相切于点A，交 O O 于点。，点。在。上，连接A。、C O,O A,若 NABO=4()。,则Z AD C的度数为()A.20 B.25 C.40 D.50【答案】B【分析】先根据切线的性质得到/。48=90。，则

7、利用互余可计算出NO=50。，然后根据圆周角定理得到/A D C 的度数.【详解】解：是O。的切线,：.OA A BfNO48=90。，ZABO=40 /0=90。-40。=50。，NADC=N 0=x50=25.2 2故选：B.【点睛】考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理.7.在如图所示的正方形网格中，点A,B，C,D，。均在格点上，则点。是（）A.AACD的外心B.AACD的内心C.A BC的外心D.AABC的内心【答案】A【分析】根据网格利用勾股定理得出Q4=O D=O C=件后=石，进而判断即可.【详解】解：由勾股定理可知:O A =O）=O C =4+2

8、?=也，所以点。是zM CD的外心，故选：A.【点睛】考查二角形的外接圆与外心问题，关键是根据勾股定理得出CM=OZ）=OC.8.如图，在中，AG平分NC4B,使用尺规作射线C O,与4 G交于点E，下列判断正确的是（）A.A G 平分 C D B.Z A E D Z A D EC.点E是AAbC的内心 D.点E到点A,B,。的距离相等【答案】C【分析】利用基本作图得到C/）平分ZA C 8,则根据三角形内心的定义可判断E点为 A 8c的内心，从而得到正确的选项.【详解】解：由作法得CO平分NAC8,平分NCA8,点为 A8C的内心故选：C.【点睛】考查了作图-基本作图:熟练掌握5种基本作图（

9、作一条线段等于已知线段：作一个角等于己知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线）.也考查了三角形的内心.9.如图，AB是O。的直径，过点A作O。的切线A C,连接6 C,与O。交于点。，点E是O。上一点，连接A E，D E.若NC=40。，则NAE。的度数为（）A.30 B.40 C.50 D.60【答案】C【分析】根据切线与过切点的直径，可得可得AABC为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余可求N8=50。，利用圆周角性质/8=NAE=50。.【详解】解：A 3 是。的直径，过点4 作 O。的切线A C,.BALAC,X A B C为直角三角形，.,.ZB+Z

10、C=90,二 Z B=90-Z C=90-40=50,，N A E D=/B =50。.故选择C.【点睛】考查切线的性质，直角三角形性质，圆周角性质，掌握切线的性质，直角三角形性质，圆周角性质.1 0.如图，A B C 中，Z A =60,BC=6,它的周长为1 6,若圆。与 BC,AC,A 8三边分别切于E,F,。点，则。尸的 长 为（)0B-JR -CA.2 B.3 C.4 D.6【答案】A【分析】根 据 切 线 长 定 理 求 出 BE=BD,CE=CFf得出等边三角形A Q F,推出。尸=AD=A F,根据B C=6,求出8D+CF=6,求出AD+A/=4,即可求出答案.【详解】解：:

11、。与 8C,AC,A 8三边分别切于E,F,。点，：.AD=AFf BE=BD,CE=CF,；BC=BE+CE=6,：.BIHCF=6,9：AD=AFf ZA=60,.AO尸是等边三角形，.AD=AF=DF,VABMC+BC=16,BC=6,：.AB+AC=Of：BD+CF=6,：.AD+AF=4f：AD=AF=DF,：.DF=AF=AD=-x4=2,2故选：A.【点睛】考查了对切线长定理的应用，关键是求出AD+”的值，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力.1 1.如图，AABC是等腰三角形，且=与 A C 相切于点。，与B C交于点E,连接O E.若ZAB C =110。，则 ZED C

12、 的度数是（）A.30 B.27.5 C.27 D.26.5【答案】B【分析】连接8。，由题意易得NBDC=90。，ZDBC=55,NBED=NBDE=62.5,进而可得/C=35。，然后根据三角形外角可求解.【详解】解：连接8 Q,如图所示：,/。3 与 A C 相切于点。，ZBDC=90,AB=BC,ZABC =110,：.NDBC=-ZABC=55,Z C=35,2,:BD=BE,：.NBED=NBDE=625,：-ZEDC=A B E D-ZC=62.5-35=27.5；故选B.【点睛】考查切线的性质定理及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质定理及等腰三角形的性质是解题的关键.1 2.

13、如图，PA，P8与。分别相切于点 A,B,PA=2,NP=6 0 ,则 A B=()AA.#B.2 C.2/3 D.3【答案】B【分析】先判断出Q4=PB，进而判断出尸AB是等边三角形，即可得出结论.【详解】解：/%，P8与 分 别 相 切 于 点A,B,PA=P B，ZAPB=60.PAB是等边三角形,A B=A P =2.故选：B.【点睛】考查了切线长定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握切线长定理是解题的关键.二、填空题1 3.如图，平面直角坐标系x O），中，点A的坐标为（8,5）,OA与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与。A相切于点B.若/A P8=3 0。，则点P的坐标为 .【答

14、案】（0,1 1）或（0,1）.【分析】连接A 8,作轴，A C L y轴，根据题意和3 0。直角三角形的性质求出A P的长度，然后由圆和矩形的性质，根据勾股定理求 出。C的长度，即可求出点P的坐标.【详解】如下图所示，连接A 8,作A Z）_ L x轴，A C _ L y轴，与。A相切于点8：.ABA.PB,V ZAPB=30,AB1PB,.%=2 A B=2 x 5 =1 0.V ZO =90,Z OCA=9 0 ,Z AD O=9 0 ,四边形A C。是矩形,点4的坐标为(8,5),所以 A C=0 A 8,C8A D=5,在 RtZXPAC 中，PC=dP笛-AC?=7102-82=6

15、-如图，当点尸在C点上方时，OP=OC+CP=5+6=11，二点尸的坐标为(0,11).如图，当点P在C点下方时,OP=CP-CO=6-5=1.点P的坐标为（0,-1）.综上所述，点户的坐标为(0,11)或(0,-1).故答案为：（0,11）或（0,-1）.【点睛】考查了勾股定理，30。角直角三角形的性质和矩形等的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线.1 4.如图，在三角形ABC中，N8AC=90。，AC=12,A 8=1 0,。是 AC上一动点，以AQ为直径的（DO交8。于点E,则线段C E的最小值是一.【答案】8【分析】连接A E,可得/AE=N8EA=90。，从而知点E 在以4 8 为直

16、径的G）Q 上，继而知点Q、E、C三点共线时CE最小，根据勾股定理求得Q C的长，即可得线段CE的最小值.【详解】解：如图，连接 4 E,则NAE）=/B E A=90。，.点E 在以A 8为直径的。匕：.QA=QB=5,当点Q、E、。三点共线时，Q E+C E=C Q（最短），而。石长度不变，故此时CE最小，VAC=12,-Q C=y/A Q2+A C2=13,：.CE=Q C-Q E=13-5=8,故答案为：8.【点睛】考查了圆周角定理和勾股定理的综合应用，解决本题的关键是确定E 点运动的轨迹，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题.15.如 图，以等边三角形A 5 C 的 边

17、为 直 径 画 半 圆，分别交A 8，A C 于点E,D,O E 是圆的切线,过点尸作8 c 的垂线交8 c 于点G.若 A E 的长为2,则 F G 的长为.【答案】373【分析】连接OD,B D,作D H L F G 于 H,于M,根据等边三角形的性质得/A=NC=/ABC=60。，AC=BC,根据切线的性质得0。，。尸，再证明0。4 8,则D F L A B,在/?/A D F中根据含30度的直角三角形三边的关系得。尸=2 6,由8 c 为。的直径，根据圆周角定理得/8 )C=90。，则AD=CD=4,。=4,所以。M=；OD=2,在 RtA D F H 中可计算出 F H=6,D H=

18、石/=3,则 GM=3,于是 OG=GM-OA/=1,BG=OB-OG=3,在RtA B G F中可计算FG=3G.【详 解】解：连接o。，B D,作DHLFG于H,OM_L8C于例，如图,VAABC为等边三角形，/.ZA=ZC=ZABC=60f AC=BC,:OD=OC OOC为等边三角形，N 0 0 0 6 0。，ZA=ZODC,：.OD/AB,。/是圆的切线，ODA.DF,：.DF1AB,在心ADF 中，A尸 =2,ZA=60,J ZADF=30 AD=4,DF=ylAD2-A F2=2V3，8C为。的直径，J ZBDC=90,:.BD1AC,:AD=CD=4,.0。二4,：.OM=OD

19、=292V ZABC=60,ZFGB=90：.ZBFG=30：.ZDFH=60：.ZFDH=30在 RfA DFH 中,DF=2y/j:F H=6，:DH=dDF?_FH2=3,AGM=3,J OG=GM-OM=f:.BG=0B-0G=3,在a aBG尸中，ZFBG=60,BG=3,：.FB=6FG=1 FB-BG?=373 故答案为：3后.【点睛】考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.也考查了圆周角定理、等边三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系.1 6.如图，等边三角形ABC的边长为4,O C 的半

20、径为6,P 为 AB边上一动点，过点尸作O C 的切线P Q,切点为Q,则 PQ 的最小值为.【答案】3【分析】连接OC和 P C,利用切线的性质得到CQ_LPQ,可得当C P最小时，尸。最小，此 时 CPJ_AB,再求出C P,利用勾股定理求出P Q即可.【详解】解：连接QC和 PC，PQ和圆C 相切，：.C Q L P Q,即 CPQ始终为宜角三角形，C。为定值，.当C P最小时，最小，,/ABC是等边三角形，.当CP_LA8时，C P最小，此时“JU 8,：AB=BC=AC=4,:.AP=BP=2,C P E A C iP?=26,.圆C 的半径C Q=J,C=JC P 2 _ C Q

21、2 =3,故答案为：3.【点睛】考查了切线的性质，等边三角形的性质，以及勾股定理.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PCLAB时;线段PQ最短是关键.三、解答题1 7.如图，四边形ABC。内接于。，AD是直径，4 c 平分NBA。，过点C 作。的切线，与 AB的延长线交于点E.(1)求证：ZE=90；(2)若。的半径长为4,AC长为7,求 BC的长；【答案】(1)见解析；(2)B C=A【分析】(1)连接。，根据切线的性质可得/OCE=90。.然后根据AC平分NBA。，即可得结论;(2)根据4。是。的直径，可得/4 C D是直角.根据勾股定理即可求出8 c的长.【详解】(1)证明：

22、如图，连接0C,：EC是。的切线,二 OCLEC,：.NOCE=90。.,/OA=OC,：.NOAC=/OCA.：AC 平分 NBA。，ZOAC=ZBAC.：.ZOCAZBAC,：.AE/OC,：.ZE=90；(2)解：是。的直径,，Z A C D是直角.在mA A C D 中，A C=7,A A 2 x 4=8,C D=V1 5 .；ZBAC=ZOAC,B C=C D，/.BCCD=y/15.【点睛】考查切线的性质，圆周角定理，掌握切线性质是解题的关键.1 8.如图，A B为。的直径，弦C C交4 B于点E,且力E=OE(1)求证：Z B A C=3 Z A C D；(2)点尸在弧8。上，且

23、/A E C,连接C F交AB于点G,求证：C F=C D；2(3)在(2)的条件下，若0 G=4,F G=1 1,求(D O的半径.【答案】(1)见解析；(2)见解析：(3)3 /1 3【分析】(1)如 图1中，连接OO,O C,设N C=x.求出/A,Z A C D,可得结论.(2)连接C O,延长C O交力产于T.想办法证明C T L O F,可得结论.(3)连接 CO,延长 C O 交。产于 T,过点。作。M _ L C 于 M,OA L L C F 于 M 设 O E=O E=，OA=OB=2 凡 构建方程求出a,R,可得结论.【详解】解：(1)证明：如 图 1 中，连接OD,0 3

24、设N O=x.图1,:ED=EO,：ND=NEOD=x,:OD=OC,:/D=/O C D=x,：.N CEO=ND+N EOD=2x,ZCOB=Z O E C+Z O C D=3 x,：OA=OC,：.ZA=ZACOfZA+ZACO=ZCOB=3xf3ZA=ZA C O=-xf2NACD=x,2：.ZBAC=3ZACD.(2)证明：连接CO,延长CO 交。尸于7.由（1）可知，ZAEC=180-2x,?NAEC=2NCDF,：.N CO产=90。-x,：.ZCDF+ZDCO=90t：.CTDF,：,DT=TF,：.CD=CF.（3）解：连接C O,延长CO交。尸于T,过点。作 OM_LCO于

25、 M,ON工CF于N.由（2）可知，CD=CF,CT-LDF:/DCO=NFCO=x,：ON1CF,OMCDf；.OM=ON,设 OE=OE=m OA=OB=2R,:NGEC=NGCE=2x,：.GE=GC=a+4f：.CD=CF=CG+FG=15+a,：.EC=CD-D E=l5fe-CEOM cu.3AoeE=2_=0ESC O G LCGON 0G215 a -=一,a+4 4：.a2+4a-60=0,；.a=6 或-10(舍弃)，ACG=10,YCG，FG=AG，GB,A 110=(R+4)(R-4),*-R=3 714 或-3 7 1 4，二。的半径为3 j1 i.【点睛】考查了圆周

26、角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型.19.如图，点。是以A 8 为直径的半圆上一点，连接A C，点 P 是 A C 上一个动点，连接3 P，作PDLBP交 A B 于点。，交半圆于点E.已知：AC=8 c m,设 P C 的长度为xcm,的长度为y e m,庄;的长度为y2cm(当点p 与点。重合时，弘=8,y2=0,当点p 与点A 重合时，X=0,%=)小锐同学根据学习函数的经验，分别对函数必，为 随自变量X 变化而变化的规律进行了探究下面是小锐同学的探究过程，请补充完整:（1）按照下表中自变量X的

27、值进行取点、画图、测量，分别得到了 M ,%与X的几组对应值，请补全表格:尤/c m012345678%/c m8.0 05.814.3 83.3 52.5 51.851.2 10.6 00.0 0y c m0.0 00.90a2.2 42.6 72.892.832.3 40.0 0上表中.（精确到0.1）（2）在同一平面直角坐标系x Q y 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x,y）,（x,%），并画出函数 y,%的 图 象（弘已经画出）；（3）结合函数图象解决问题:当P D，P E 的长都大于2c7篦时，P C 长 度 的 取 值 范 围 约 是；（精确至I 0.1）继续在同一坐标系

28、中画出所需的函数图象，判断点C,D，E 能否在以P 为圆心的同一个圆上？（填“能”或“否”）【答案】（1）1.6；（2）见解析；（3）2.6PC 2且方 2时，2.6x4.8,故答案是：2.6 P C 4.8：画函数N =x的图象，如上图，函数X，为以及直线丁=工，不可能交于一点，二不存在满足尸C =P D =P E的点尸，故点C，D，E不可能在以尸为圆心的同一个圆上.故答案是：否.【点睛】考查圆综合题，函数图象问题，解题的关键是理解题意，学会利用测量法解决问题，学会利用函数图象解决问题，属于中考压轴题.2 0.如图，在。中，A 3是直径，ABL C D,垂足为P,过点。的。的切线与A 8的延

29、长线交于点E,连接CE.（1）求证：C E为。的切线：（2）若。半径为 3,C E =4,求s i n N O E C.【答案】（1）证明见解析；（2）2 5【分析】（1）连接OC、0 D,由 题 意 可 以 得 到 丝?虚,再利用即可得出Z O C E =N O D E=90 即可；D F（2）过点。作。尸，C E于点/，在R t A D E F中,s i nZ D E C =，由（1）得O E =C E =4,在D ER t A D E F和R f A D E F中,设上尸=x,根 据 勾 股 定 理 建 立 方 程 求 出,再求出。尸即可.【详解】解：(1)证：连接OC、0DD E为 的

30、 切 线，NODE=90。是直径，ABLCD:.CP=DP,/CPE=NDPE=90。义 :PE=PE：.PCEdPDE(SAS):./CEP=/DEP,CE=DE又,:OE=OE：.40C E必ODE(SAS)：.ZOCE=ZODE=90/.C 为。的切线；(2)过点。作D F L C E于点尸，如下图:由(1)得 O E=CE =4在 H/AOCE 中，O C =3，CE=4,/.OE=y/oc2+CE1=5，“二誓卷（等面积法）2 4二 CD=2CP=5设 F =x,则B=4 x在 Rtt.DCF 和 Rt/DEF 中,DF2=CD2-C尸=(彳产 _ (4 -4,DE=DE2-EF2=42-x2 (y)2-(4-x)2=42-X292解得=二sin ZDEC=DE2 42 5【点睛】考查了圆的切线证明、勾股定理的应用、三角函数的概念，解题的关键是熟练掌握圆的有关性质、勾股定理的应用和三角函数的有关概念.