考研线性代数讲义铁军(零财富).pdf

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1、加斗乃当海次铁楹代教i济 铁军栽栽铁军栽栽司介：著名考研烝学辅导专家，近几耳充公囤各人敬市户名蠢翅，氏，鸟工式要、制达夫齐名的考研敖等辅 导“三驾马本”之一。铁军栽栽乂手考祈熬号辅导工作应朱，以宾龙屋也朱、大十磅礴、香臂癌软的凤第，对考点、点、卓立全面、保割、遗觥的把握，关爱考上、为点负才的态淳应及对考题的希灌翌例，令考士爱女无穷。特蒯是铁军老婶的撤考全程保蛇城，美是应无名伶比的逡犊檄、余就做和考士的裁等附债大面套龙合而殳制广火串串等各的受森/为77耳，考研竞争变嘴漱数/万学海次遨错铁军赦赧黑梅面辍，的焦考研区功保驾护就。您的理想将点您我的我同劳力下实现。这是我依I的信芯，电指是您的信芯/线性

2、代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视。线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，主要用证明题的方法技巧来解决计算题。因此，必须掌握证明题的证明技巧，并会在计算题中灵活应用。难点在于线性代数的内容比较抽象，综合性强，特别是关于向量的线性相关性、矩阵的秩与线性方程组的解的结构定理的综合题难度较大，必须突破这一难点。第一章 行列式行列式的核心考点是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。另外，用简单的递推公式求行列式的方法也应掌握。【大纲内容】行列式的概念和基本性

3、质；行列式按行（列）展开定理。【大纲要求】了解行列式的概念，掌握行列式的性质。会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。【考点分析】考研试题中关于行列式的题型主要是填空题,纯粹考行列式的题目很少，但行列式是线性代数中必不可少的工具，它在处理以下问题中都有重要应用：1.判定方阵是否可逆以及应用公式4 =二 A 求逆矩阵；2.判定个维向量的线性相关性;万学教育海文考研2011春季数学基础班一线性代数3.计算矩阵的秩；4.讨论系数矩阵为方阵的线性方程组的解的情况并利用克莱姆法则求方程组的解;5.求方阵的特征值；6.判定二次型及实对称矩阵的正定性。同时，上述内容也可与行列式知识相结合构造

4、新的关于行列式的题型。在复习过程中,请大家注意及时归纳总结。【重要考点】1.行列式按行、按列展开公式为:D =akAk+ak2Ak2+-+aknAknakAk+a2kA2k+ankA,lk(k =L 2 ”)2.两个特殊公式：设 A是历阶方阵，8 是阶方阵，则(1)3.范德蒙行列式:=M I I M ；(2)Xlx.2Xn品仆F)4.余子式和代数余子式的定义,其中勺的余子式为与 的代数余子式为A OC BA CO BOBACC AB O(-i r|A|.|B|=(-1产 。【典型例题】1.计算阶行列式D,X-10 0000X-1 00000X 000000 X-10000 0X-1a.%-2。

5、3a22.阶行列式bab0 00ab-000a-000 0 ah0 0 -0a000内部教材严禁复制2111 范德蒙行列式：D“=%2 X；%2,X“片 n(%-x -).j由于A*：。/*“中 的 元 素 为A.,可 先 求A*=|A|A T,再 求A l +4-2 +An 和 A|j +A?/+A,y 设A*的特征值为4,4,儿，则Ai+&+A”,=4+4 +4【评注】设|A|=a a j C lnai aij。in，因的代数余子式为A,则&只与旬的位%置有关，而与与的大小无关。所以若改变中阳的值而其他元素不变，则&的 值不变，因此可用元素置换法计算代数余子式线性组合的值。19.设|4|=

6、1 0 1 2-1 1 0 31 1 1 0-1 2 5 4求(1)A%-A22+A32-442；(2)A 41+A42+443+444 万学教育海文考研2011春季数学基础班一线性代数2 0.设行列式3 0 42 2 2D=0-7 05 3-20；,则第四行各元素余子式之和的值为221.设 A 是 三 阶 可 逆 矩 阵，Ai的 特 征 值 为 1,2,3,求|A|的代数余子式之和:A|+A22+4.3,计算抽象矩阵的行列式：主要利用矩阵行列式的性质。设 A为阶矩阵，则有(1)kA knA(2)|A B|=W|B|，W|=H*(3)A =|A，W+6 =|(A+B)=|A+8|(4)设 4为

7、阶可逆矩阵，则 卜 =1 1 1(5)利用行列式加法运算的性质：设 为 维 列 向 量，4为维行向量，贝 I Ja a2%|+|%ai%|=|，ai%十%|，内部教材严禁复制10IB 夕 2+夕 2=PlA A A+A2 2.设 A 为 3X 3 矩阵，|A|=-2,把 A按列分块为,&，&），其 中&（/=1,2,3）是 A的第/列，贝 平 3-24,342，4|=。2 3.设%,。2，。3,夕，均为 4 维列向量，且,“2，。3夕|=。，P+r2，ai,a=b,则|2八%,。2，。31 =_:2 4.设“阶矩阵 A=Q,a2,，5=()+a2,a2+a3,-,a+4),其中火,心，,%为维

8、列向量。已知行列式同=（。*0），求行列式冏的值。万学教育海文考研2011春季数学基础班一线性代数25.若 A 是阶方阵，S.AAT=E,|A|=-1,证明|A+E|=O.26.设A、B均为阶矩阵，同=2,|B|=-3,则 恒*8-1卜第二章 矩阵矩阵是线性代数的主要研究对象，有着广泛的应用。矩阵考试的重点是：矩阵的乘法运算，逆矩阵，伴随矩阵，初等矩阵。以计算题为主，技巧性强。【大纲内容】矩阵的概念；矩阵的线性运算；矩阵的乘法；方阵的寨；方阵乘积的行列式;矩阵的转置；逆矩阵的概念和性质；矩阵可逆的充分必要条件；伴随矩阵；矩阵的初等变换；初等矩阵；矩阵的等价；矩阵的秩；初等变换求矩阵的秩和逆矩阵

9、的方法；分块矩阵及其运算。【大纲要求】掌握矩阵的概念和矩阵的各种运算，特别是矩阵的乘法、矩阵的转置、逆矩阵、方阵的行列式等。要掌握它们的运算规律、逆矩阵的性质及矩阵可逆的充分必要条件,会用各种方法求出矩阵的逆矩阵，矩阵的初等变换是研究矩阵各种性质和应用矩阵解决各种问题的重要方法，因此必须掌握矩阵的初等变换，会用初等变换解决有关问题。【考点分析】矩阵乘法有分配律，结合律，但是没有交换律，没有消去律。1.矩阵乘法运算一般不满足交换律，即A 8 X a 4,因此要注意运算次序。2.一般地，A8=0 的 A=0 或 B=0,Ak=0 A=0；内部教材严禁复制123.A B =AC B=C ,除非A 是

10、列满秩矩阵4.(AB)，=BTAT/a5.设 A=a ,其中a,1 均为维行向量，即 A=:S则必)非零阵A 可表为arp的形式的充要条件为：A=/?o 秩 A=1。注意：与/相关的问题，是考研数学中常见题型。【典型例题】计算阶矩阵的高次第是一种重要题型，包括：(1)计算一般矩阵的高次第；(2)计算能分解为一个列向量与一个行向量乘积的矩阵的高次塞;(3)计算分块对角矩阵的高次塞：、A,设 4=2.，则 A =、4,(4)计算能相似对角化的矩阵的高次第A61 o r1.设 4=0 2 0,而“2 2为正整数，则、1 0 bA 2 A l=A=.万学教育海文考研2011春季数学基础班一线性代数2,

11、设。=j A=(o _ 1 Q=3 令A =P A。，求 1 2-1、3 .已知 4=-2 -4 2 ,贝！|42=,A*=、3 6-3,4 .已知 a =(l,2,3),=(H)，设 4=aT/，贝 U A =5 .设 维行向量a =(5,0,0,),位矩阵，则AB等 于()矩阵4 =一/。,6=后+2 7,其中E为阶单(A)O(B)-E(C)E(D)E+ara内部教材严禁复制14 2 -1 3、6.设A=a 1 b,若存在秩大于1的三阶矩阵8,使得A 8 =。，贝 卜1、4 c 6,T07.设4=000 0 0 0、-1 0 0 00 0 100 0 0 10 0 0 07求。逆矩阵与伴随

12、矩阵：1 .求逆矩阵方法：用初等变换(不能行、列变换混用)(A：E)只用行变换(加一),d 只 用 列 变 换、(_、2 .矩 阵A可逆的充要条件：(1)存在阶方阵B,使A 8 =B A =E同工0(3)秩A =(A为阶方阵)(4)A与同阶单位矩阵E等价(5)A可以表示成若干个初等矩阵的乘积(6)齐次线性方程组A X =0只有零解(7)对任意“维列向量/，非齐次线性方程组A X=8有唯一解。(8)A的行(列)向量组线性无关。(9)A的特征值均不为。(同=4%4)万学教育海文考研2011春季数学基础班一线性代数3.逆矩阵常用公式：(1)(A-)-1=A 仅 尸=(内)，(3)(4?尸=8-才|(

13、4)次=I I间(5)(kA)-=-A-la *0)4.思维定势：(1)题设条件与4*有关，则立即联想到用公式4 1*=A*A =k|E(2)若涉及到A、B 是否可交换，即A B =8 A,则立即联想到用逆矩阵的定义去分析(3)若题设”阶 方 阵 A 满足f(A)=0,要证a A+/E可逆，则先分解出因子“A+&E再说。5.伴随矩阵的主要定理和公式(1)AA*=A*A=AE(2)AT=工4*(当|4卜0时)同(3)H F =向4当|4卜仰寸)(4)(kA)*=kn-A-(A-为常数，A 为阶矩阵，n 2)卜 卜 尸(A为阶矩阵，在2)(6)(A*)*=|A|，-2A (A 为任”阶矩阵，4 2

14、)卜*),=仗)*(A 8)*=8*A*，若秩A =n(9)设A是阶矩阵(”2 2),则 秩A*=1,若秩A =n 10,若 外 n-18.设 A 为阶非零矩阵，证明当=47时，A 可逆。9 .设 维 向 量a =(a,o,，o,a),a o;E为”阶 单 位 矩 阵，矩 阵4 =E-a a，,B=E+-a aT,其 中 A 的逆矩阵为B,贝!|a=。a内部教材严禁复制1 0.设阶可逆矩阵A 中 每 行 元 素 之 和 均 为 常 数 证 明：(1)常数4*0(2)At 的每行元素之和均为-二11.设 A、B 均为阶方阵，且=证明：(1)(A+E)T=E-B；(2)AB=BA.12.已知E+A

15、B可逆，试证E+BA也可逆，并求(E+B4)T.13.设 A 是阶方阵，且人3=0,则()(A)A 不可逆，且 E-4 不可逆；(B)A 可逆，但 E+A不可逆；(C)-4+E及+A+E均可逆；(D)A 不可逆，且必有A?=0.万学教育海文考研2011春季数学基础班一线性代数1 4.已知A、B为3阶矩阵，且满足2ATB=8-4 E,其中E是3阶单位矩阵。(1)证明:1 -2 0、矩阵A-2E可逆；(2)若 8=1 2 0求矩阵A .I1 5.设矩阵A、B满足A*A 4 =2 8 A-8 E,其中4 =0、0 0、-2 0 ,E为单位矩阵，A*为 A的伴o L随矩阵，则 8=(1 1、1 6.已

16、知三阶矩阵A的逆矩阵A i =1 2 1J 3,试求(A*)T .17.I 1-1、设矩阵A=-1 1 11-11,矩阵X满足A*X=4-，2X,求矩阵X。内部教材严禁复制181 8.设矩阵A=(%)3X3满足A=A1其中A*是 A的伴随矩阵，A 7 为 A的转置矩阵.若%-为 2，%3 为三个相等的正数，则 即 为()V3 1 /T(A).(B)3.(C)(D)73.3 3 1.只要把子块或子矩阵当做通常的矩阵元素，分块矩阵的加、减、乘法、数乘与转置等运算就与通常矩阵的相应运算基本相同o2.设 A、B均为可逆方阵，则 叩平t“jo相、。可。B 0)炉 o J(A。：卜 t 小了 OY(A-1

17、 0 。0 1 J (7 8 9人 1 02 2.设 A是阶可逆矩阵，将 A的第i 行与第/行对调后得到的矩阵记为B,证明B可逆,并求A/。内部教材严禁复制2023.设A=P=为1a2a3a4aaf1 2 a32 2 a233 2 a334 2 a43I 42 4 3 44 4 B=aa1 42 43 4a3a23“3 3。4 3I 222，3 24 2“1 1、a2a34 I r000J00000100009 P?-0000000I00o00b，其中A可逆，则B-I等 于()(A)A-iPlP2(B)PA-P2(C)PP2A-(D)P2 4 T p i24.设A为n(2 2)阶可逆矩阵，交

18、换A的 第1行与第2行得矩阵B,A*,8*分别为A,B的伴随矩阵，则()(A)交换A*的第1列与第2列得8*.(B)交换A*的第1行与第2行得B*.(C)交换A”的第1列与第2列得-B*.(D)交换A”的第1行与第2行得-B*.万学教育海文考研2011春季数学基础班一线性代数第三章 向量本章是考研复习的重点，也是难点。一定要吃透线性相关、线性无关的概念、性质和判别法，并能灵活运用。熟记一些常见结论，并能将线性相关、线性无关的概念与矩阵的秩、线性方程组的解的结构定理进行转换、连接，开阔思路，提高综合能力。【大纲内容】向量的概念;向量的线性组合和线性表示；向量组的线性相关与线性无关；向量组的极大线

19、性无关组；等价向量组；向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩之间的关系。数学一还要求掌握：向量空间以及相关概念；n维向量空间的基变换和坐标变换；过渡矩阵;向量的内积；线性无关向量组的正交规范化方法；规范正交基；正交矩阵及其性质。【大纲要求】理 解n维向量的概念、向量的线性组合与线性表示；理解向量组线性相关与线性无关的概念；了解并会用向量组线性相关与线性无关的有关性质及判别法，会求向量组的极大线性无关组和向量组的秩；了解向量组的秩与矩阵的秩之间的关系，会用矩阵的秩解决有关问题。数学一还要求：了 解n维向量空间、基、维数、坐标等概念，会求基变换的过渡矩阵，并通过过渡矩阵求向量在新、旧基下的坐标；了解内积

20、的概念，掌握向量组正交规范化的施密特(S c h m i d t)方法，以及正交矩阵的概念与性质。【考点分析】判别向量组线性相关、线性无关的方法：1 .定义法：(1)若存在不全为0的数和，的，,心，使ka+k2a2+-+kmam=0 ,则 即 ，.线性相关;(2)令火a+k2a2+=0而&=七+=%”,=0，贝U%,心，二%“线性无关。定义法的关键是恒等变形。2 .思维定势：(1)若要证明向量组,a 2，,4线性无关，先考虑用定义再说；(2)若已知条件涉及线性相关的话，先用定义处理一下再说。3 .利用向量组的秩：(1)当 秩(al,a2,-,am)机时，向量组,a a,a,“线性相关；(2)当

21、 秩(al,a2,-,am)=机时,向量组4,如，,4”线性无关。4 .利用矩阵的秩：设向量组4,。2,a.t线性无关，向量组分回2,可用,4 2,线性表示。且有矩阵A,使得3，夕,)=(%,s,则应，4 2,次线性相关。简记为：多数向量能用少数向量表示，则线性相关。(4)逆否命题：若同，夕 2,4 可由明，。2,4 线性表示，且回，夕 2,四线性无关，则必有t 3a3+ax,线性无关；(D)at+a2+a3 2 a,-3 a2+3 4 a1-a2 +3 a.；线性无关。2 .设向量组i：%,a?,%可由向量组n：4,外，,人线性表示，则()。(A)当,s 时，向量组II必线性相关；(C)当

22、r s 时，向量组I必线性相关。万学教育海文考研2011春季数学基础班一线性代数3 .对任意实数“，b,c,线性无关的向量组是()。(A)(a,1,2),(2,b,3),(0,0,0)；(B)b,1,1),(1,a,3),(2,3,c),(1,0,f)；(C)(1,a,1,1),(1,b,1,0),(1,c,0,0);(D)(1,1,1,a),(2,2,2,b),(0,0,0,c).4 .设 A是阶矩阵，aLq是维列向量，4%=%,A a2=+ct2,4。3=。2+%。证明：名,&2，。3线性无关。且 a,*0 ,5.设向量组%=(1,1,2,1),a2=(1,0,0,2),a3=(-l,-4

23、,-8,外线性相关，则参数人=6.设 三 阶 矩 阵A=2、32 -2、1 2，三维向量a=(a,1,1)。已 知Aa与a线性相关，则0 4 .a=_内部教材严禁复制247 .设向量组内,。2，线性无关，若向量组klai+a2,a2+ay,k2a3+,也 线 性 无 关，则 参 数&,七 满 足 的 条 件是 o8.设在向量组,&2,a”,中，a *0，且每一个a,.(i=l,2,，都不能由四,a2,明线性表示。证明：此向量组线性无关。9.设向量组臼,02，。3线性相关，向量组4 2，。3，。4线性无关。问:(1)为能否由的,心线性表出？证明你的结论；(2)a 4能不由内,。2，。3线性表出？

24、证明你的结论。1 0 .若向量组a,/,/线性无关，a,P，5线性相关，贝！I ()(A)a必 可 由J3,/,S线性表示。(B)/必不可由a,7,b线性表示。(C)d必可由a,p,y线性表示。(D)d必 不 可 由 出 民y线性表示。万学教育海文考研2011春季数学基础班一线性代数1 1.设向量/可由向量组,a2,a,.线性表示，但不能由,&2,线性表示。证明：（1）%不能由,%_ 1 线性表示。（2）%能由,。2,%_ 1，/线性表示。1 2.设向量/可由向量组电,。2,a,“线性表示，但不能由向量组（D：%,。2，-，斯1 线性表示，记向量组（II）:0,一，则（）（A）a,“不 能 由

25、（I）线性表示，也不能由（U）线性表示。（B）%“不 能 由（I）线性表示，但 可 由（II）线性表示。（C）%“可 由（D线性表示，也 可 由（H）线性表示。（D）a,“可 由（D线性表示，但不可由（U）线性表示。1.判 别“尸是否可以由明,如，4 线性表示？表示法是否唯一？”，这就是问：向量方程占四+工 2 0 2 +.,+/%=P 9 是否有解？解是否唯一？这 个 向 量 方 程 用 分 量 写 出 来 就 是 以，为增广矩阵的线性方程组。具体解法是：作初等变换，由计算系数矩阵（4,4）的秩与增广矩阵（四,&2,巴忸）的秩是否相等来判定。当秩（）,a?,4）=秩（4,a*P）时，即秩相等

26、时，月可由4,%，4 线性表示。2.维向量夕可由4,的,4 线性表示。秩，4）二秩，4，夕）；n维向量不可由4,。2,4 线性表示。秩 Q g，秩（外,。2，,%）+1 o3.维 列 向 量 组 与 自，6 2,，月等价的充要条件为秩（A）=秩（B）=秩（A,B）,其中 A =、,七,、a）、B =邛，&，、艮）4.设 A =（4,如，%）为?x 矩阵，则n元齐次线性方程组A r =0 有内部教材严禁复制265.设 4 =%,，a“为矩阵，/为 n?维非零列向量，令 A=(A 1 ),贝 元 非 齐 次线性方程组A x=/?有：1 3 .确 定 常 数 a,使 向 量 组%=(1,1,，a 2

27、=(l，a，l)T，%=(。，1，1 尸 可由向量组A=(1,1,4)7,42=(-2,凡4)7,色=(-2 M。)7 线性表示,但向量组夕“2，四不能由向量组,。2，。3线性表示。1 4.已知向量组%=(1,2,-1,3 y,%=(2,5,a,8 尸，3=(-1,0,3,I)，及向量组用=(1,a,a2,-5,7)Z?2=(3,3+a,3,1 1/,Z?3=(0,1,6,2尸.若从可由%,如，a 3线性表示，判断这两个向量组是否等价？并说明理由。万学教育海文考研2011春季数学基础班一线性代数1 5.已知两个向量组6=(1,2,3),a2=(1,0,1)与4=(-1,2,/),&=(4,1,

28、5),问/取何值时，两个向量组等价？并写出等价时的线性表示式。1.最大线性无关组：设有向量组A,如果在A中能选出r个向量4,电,外，满足(1)4,J ，火线性无关，(2)向量组A中任意r+1 个 向 量(如 果 A中 有 r+1 个向量)都线性相关，则称向量组”,%，氏是向量组A的一个最大线性无关组，简称最大无关组。一般来说，向量组的最大线性无关组不是惟一的，但这些最大线性无关组是等价的，从而每个最大线性无关组中所含向量的个数都是r,即个数r 是由原向量组惟一确定的。2.向量组的秩：向量组的最大线性无关组中所含向量的个数称为该向量组的秩。只含零向量的向量组没有最大线性无关组，规定它的秩为0。若

29、向量组B能由向量组A线性表出，则向量组B的秩不大于向量组A的秩。因此,等价的向量组有相同的秩。3.向量组的秩与矩阵的秩的关系：矩 阵 A的行向量组的秩=矩阵A的列向量组的秩=矩阵A的秩。因此，求向量组的最大线性无关组和向量组的秩时，可把此向量组的向量作为列(行)向量构成矩阵，再由矩阵的初等行(列)变换化成行(列)阶梯形或行(列)最简形矩阵的方法解之。1 6.设向量组q=l,l,l,3r,a2=-l,-3,5,l f,%=3,2,-1,p+2r *=-2-6,1 0,pT，问：P 为何值时,该向量组线性无关？并在此时将向量a =4,1,6,1 0 用囚,。2，。，%线性表出；为何值时，该向量组线

30、性相关？并在此时求出它的秩和一个最大线性无关组。内部教材严禁复制281 7.已 知 向 量 组 4 =与向量组9 =6具有相同的秩，且 43可由由，。2，。3线性表示，求 的 值。1 8.设向量组 2,3,4 线性无关，已知分=2%+%+%，色=2%+%+即，。3=a 2 。4,4 4=。3+。4,夕5=a 2+a 3(1)试 求 秩(人阮,阮,限，阮)(2)试求向量组向,为，阮平4,阮的一个极大无关组。1.秩 A =r o A中至少存在一个，阶非零子式，且A中所有r+1 阶子式全为0。2.设 A 为?X 矩阵，贝!0 V 秩A 4 m i n w,。3.秩人=秩4，4.设A、B均为m x”矩

31、阵，贝！秩A-秩5 W秩伍土团4秩A+秩85秩(；)8 =秩(；*6.若A可逆，则 秩(A B)=秩 西 若B可逆，则 秩(A B)=秩人。万学教育海文考研2011春季数学基础班一线性代数7 .设A 为“X 矩 阵，秩 4=则 存 在 机 阶 可 逆 阵 P 及”阶 可 逆 阵 Q,使p4Q =(半*，称 为 A的等价标准形。8 .设 A为加x 矩阵，B为 x p 矩阵，若月8 =0,则秩A +秩9 .设 A为 矩 阵，B为 x p 矩阵，贝 IJ秩A +秩8 -4 秩(A B)2）,则秩*:I A 0a h b、27 .设三阶矩阵A =h a b,若 A的伴随矩阵的秩为1,则 必 有（）ob

32、%(A)a =b 或 a +2 6 =0;(B)a =/?或 a +2/7*0;(C)a*匕且。+2 6 =0；(D)a w h 且 a +2 6*0.2 8 .设 A是阶实矩阵，证明：（1）齐次线性方程组 A x =0 与 A x =0同解;(2)4T A =A A 7 =.2 9.设 A为阶实矩阵，A，是 A的转置矩阵，则对于线性方程组（I）：A x =0 和（I I ）:A7 A x=0,必 有（）（A）（I I）的 解 是 的 解，（I）的解也是（I I）的解；（B）（I I）的 解 是（D 的解，但（D 的解不是（n）的解；（C）（I）的解不是（H）的解，（U）的解也不是（D 的解;

33、（D）（I）的 解 是（U）的解，但（n）的解不是（D 的解。内部教材严禁复制32向量空间：1.维向量的全体所构成的集合暧称为维向量空间。2.设丫是维向量的非空集合，若(1)fa,/3 e V,必有+夕丫。(2)V a e V及任一实数k必有k a e V,则称，是维向量空间的子空间，简称向量空间。3.设y是向量空间,若一中，个向量力,。2,见满足:(D%,。2,a,线性无关(2)V/?e V,p =xlal+x2a2+-+xrar,即/可由,明线性表出，则称 为,。2,火 是丫的一个基，称r为V的维数，向量分的表示系数修 金，与称为夕在内,%，%下的坐标。4.设V是元齐次线性方程组Ax=0的

34、解向量的集合，根据齐次线性方程的性质，若a,6是Ax=0的解向量，则a +P根 是4 v =0的解向量，所以V是维向量空间的子空间，常称为=0的解空间，而基础解系就是解空间V的一个基，所以解空间的维数是(n 秩 A)o5.设 心,%，火 与2 1，夕2,，夕,是，,维向量空间V的两个基，且P =Cl laI+Cl 2a24-+Cr lar =C p j+C 22a2+Cr)ctrB=C i,i+C2 ra2+-+Cr rar则(尸“2,血)=(叫，。2,由)C其 中C=C2 I 22 C2 r，称C为由基、C“Cr2 Cr r)内,，,火到基4，2，,P.的过渡矩阵，且该矩阵C为可逆矩阵。6

35、.由向量组4,。2,a”,生成的向量空间为V=x=X%+x2a2+x,“a,J x X,”e R,且U 的维数等于臼,如,的秩。7.设r维 向 量 空 间 丫 有 两 组 基 由g,与及即色，且g=尤0+尤2 a 2+Xrar=y血+y2/32+yrj3r,则 坐 标 变 换 公 式 为，力=c-、y)其 中C为 由 基%M 2,见 到基P，色,，旦 的过渡矩阵。8.若维向量内,。2,巴非零且两两正交，则，叫 线性无关。9.若勺,2,%是规范正交基,设(J,%)=(3*2,e”)C ,则6,2,是标准正交基OC为正交矩阵。10.施密特正交化方法(线性无关向量组的正交规范化)设,a 2,是一组线

36、性无关的向量，则可用下述方法把,a?,a,规范正交化。令 4 =%，万学教育海文考研2011春季数学基础班一线性代数Py=a7,Pr=a r(02,/?|)3,4)M，2 i)电 邛 i)(%,2 i)(A.A)（4 2，2 2）（0 7,尸2）（2 2，6 2）则夕,夕2，两两正交且与al,a2,-,ar等价。3 0.已知向量组为=(1,1,1,1),a2=(2,3,4,4),a3=(3,2,1,k)所生成的向量空间的维数是2,k=.3 1 .设旌中的向量j在基冈=（1,-2,l）r,a2=（0,1,1 1，。3=（3,2,1），下 的 坐 标 为 但，与，X3），.而，在 基 氏 血，自

37、下的坐标为（力，力，乃）丁，且K =玉 一 一 3，2=一芯+，%=玉+2%3,贝岫基 ,6 2出 到 基 田 外 应 的 过 渡 矩 阵 尸=O 1 2 12、3 2.设A=0 1 a a,且方程组A x =0的解空间的维数为2,贝!k=J 0 内部教材严禁复制343 3.求齐次线性方程组l*3 +/=解空间的规范正交基。g x4=0第四章 线性方程组线性方程组的理论及其解法是线性代数的重要内容之一。线性方程组有三种等价形式:线性方程组形式，矩阵方程形式，向量的线性组合方程形式，在讨论相关问题时可以相互转换。本章的题型均围绕线性方程组的解的结构和性质进行命题，历年的真题灵活多变，题目众多，是

38、复习中最好的资料。【大纲内容】线性方程组的克莱姆(C r a m e r)法则；齐次线性方程组有非零解的充分必要条件；非齐次线性方程组有解的充分必要条件；线性方程组解的性质和解的结构；齐次线性方程组的基础解系和通解；非齐次线性方程组的通解。【大纲要求】理解齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的充分必要条件；理解齐次线性方程组的基础解系、通解和解空间的概念；掌握非齐次线性方程组的解集的结构；掌握用初等行变换求齐次和非齐次线性方程组的通解的方法。【考点分析】1 .根据克莱姆法则可知：(1)若线性方程组A x=b无解或有无穷多组解，则该方程组的系数行列式必为零，即 I A I=0；(2)当b

39、=0,即为齐次线性方程组A x=0时，它有非零解的充分必要条件是A的行列式I A I=0。2.齐次线性方程组A x=0 (其中A是机义矩阵)解的性质：(1)若 乙,乙是齐次线性方程组的解，则当+务也是该齐次方程组的解；(2)若J是齐次线性方程组的解，k为任意实数，则k J也是该齐次方程组的解。(3)齐次线性方程组A x=0必有解，至少x=0是它的解，称为零解。其仅有零解的充分必要条件是r(A)=n.A x=0有非零解的充分必要条件是r(A)几特别地，若能“，则A x=0必有非零解。3 .向 量 组 ”称为4 x =0的基础解系，如果：(1)小,2,2是A x =0的解(2)/,%，/线性无关(

40、3)A x =0的任一解都可由小，772,7线性表出。A x =0的基础解系中向量个数为-秩A。万学教育海文考研2011春季数学基础班一线性代数4.判定向量组/，外，%是 A x =0的基础解系的条件为:(1),%,“4 是 加=0的解(2)7，2,7线性无关(3)r =-秩 A5,非齐次线性方程组A x =%有解。秩A =秩 彳【典型例题】,1 1 丫勺(、1 .设 方 程 组 1 a 1 叼=1 有无穷多解，贝心=U 11-2J2 .已知4阶方阵4 =(四,7 2，。3，。4),a 1,a 2，a 3，a 4 均为4 维列向量，其中。2，。3,&4 线性无关，=2a2-a3如 果 夕=为+

41、%+的+&4，求线性方程组A x =的通解。3 .证 明：对 任 意 阶 实 矩 阵 A,Ax =A%一定有解，其 中.”(Xi，%,x.)T,6 =(4也4.设 A 是机X”矩阵，Ax =为一非齐次线性方程组，则 必 有()。(A)如果贝！I Ax =。有非零解(B)如果秩A=,”，贝！J Ax =0 有非零解(C)如果A 有阶子式不为0,则=有唯一解(D)如果A 有阶子式不为0,则 Ar=0 只有零解。内部教材严禁复制365.设A是阶矩阵，a是维列向量，若秩；)=秩A，则线性方程组()。(A)4 x =a必有无穷多解(B)Ax =a必有唯一解匕2;卜 仅 有 零 解(d)C北，=必有非零解

42、6 .设向量组为,。2,是齐次线性方程组Ax =o的一个基础解系，向量不是方程组Ax =0的解，即4月40。试证明：向量组/,/?+%，/+a 2,/+见 线性无关。7.设四元非齐次线性方程组Ax =方的系数矩阵A的秩为3,且它的三个解彷力2，小满足小+为=(2,0,-2,4广，/+小=(3,1,0,5)则 Ax =%的通解为。8 .已知&=(-9,1,2,1 1)72=(1，-5,1 3,0)7，Q X+a2X2+Q 3X3+a4X4=4 3=(-7,-9,2 4,1 1)7是 方 程 组3 x 1+6 2 X 2+2 x 3+8 4 X 4 =右 的三个解，求此方程9X j+4X2+X3+

43、C 4X4=内组的通解。万学教育海文考研2011春季数学基础班一线性代数X+叼+工3 =09.已 知 线 性 方 程 组axx+bx2+cx3=02 9 2 八a X|+b x2+c x3=0（1）a,b,c满足何种关系时，方程组仅有零解？（2）a,b,c满足何种关系时，方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解。10.设%=（a“，的2,。加）G=1,2,）是维实向量，且 为,的,出 线性无关，已知 =（也,西,，）7是线性方程组&iX|+ai2x2+-+aUlxn=0。2内+a22x2+-+a2nxn=0ar x+dr2x2+切=0的非零解向量，试判断向量组明,如,%4的线性相关性。X+工

44、2 +工4=11.已知齐次线性方程组（I）（6 Z X|+Q 二/=0 的解都满足方程”+/2+工3 =0，求。和方ax2+。2 工4=0程 组（I）的通解。内部教材严禁复制381 2.已知。=(0,0,1,0)Q=(-l,1,0,I)7是齐次线性方程组(I)的基础解系,=(0,1,1,0)取=(7,2,2,1)7是齐次线性方程组(U)的基础解系，求齐次线性方程组(I),(H )的公共解。1 3.已知齐次线性方程组（0 +/?）%1 +a2X2+3工3 +一 +。%=03+处+加2+%n+-=0,其中4-0,试讨论。内+。2工2 +（。3 +b）4 3 +=0 普+2工2 +。3工3 +一 +

45、（。“+6兄=0一，做,，。和方满足何种关系时(1)方程组仅有零解(2)方程组有非零解。在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。x+2X2-2X3=014.设齐次线性方程组2 x1-x2+Ar3=0的系数矩阵为A,且3阶非零矩阵B满足AB =0,3 X|+x2-x3=0试求4及忸I的值。万学教育海文考研2011春季数学基础班一线性代数1 5 .已知3阶矩阵A的第一行是（a力,c）,a,6,c不全为零，矩阵B=1232 34 66 k（k为常数），且A B=O,求线性方程组A x=0的通解.。工 +仇 丁+q=01 6 .设 由=（。,4 2，。3）。2 =（仇,，2，3），=（C ,C 2，C

46、 3）,。则 3 条直线 心工+3 2丫 +，2 =。a3x+b3y+c3=0（其中d+环片。，i=i,2,3）交于一点的充要条件是（)(A)(B)可,“2，。3线性相关,4 1,2，。3线性无关(C)秩%,0 2，%=秩%，。2 卜(D)为,“2,。3线性相关，4,。2线性无关。内部教材严禁复制40第五章 特征值与特征向量矩阵的特征值和特征向量问题是线性代数的主要研究对象之一，它不仅在理论上有重要意义，而且在工程技术的实际应用中也起着重要的作用。本章主要包括特征值与特征向量的计算及证明与相似矩阵及矩阵对角化。本章是数学一、二、三均包括的重点内容，应予以高度重视。【大纲内容】矩阵的特征值和特征

47、向量的概念、性质及求法；相似变换、相似矩阵的概念及性质；矩阵可对角化的充分必要条件及相似对角矩阵；实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵。【大纲要求】理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量;了解相似变换、相似矩阵的概念及性质，掌握矩阵可相似对角化的充分必要条件及其方法;了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，掌握用正交相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的方法。【考点分析】1.设 A 为阶方阵，若存在数义与非零的维列向量7,使 区=弘，则称4是方阵A 的特征值，4 称 为 A 的对应于特征值2 的特征向量。2.-洱及|花-川均称为方阵A 的特征多项式，而 方 程 阳-

48、4|=0 及|A-花|=0 均称为A 的特征方程。3.性质定理：设否,冬,“是阶方阵A 的特征值，贝!)(1)4 +%*2=6f|+“22+册.(2)4，毋，乙=同(3)若 4#%，则冬与冬对应的特征向量第与6 线性无关。(4)设 4 是矩阵A 的人重特征值，则矩阵A 属于4 的线性无关的特征向量的个数不超过k 个。4.设 4 是 A 的 特 征 值,/(%)是 x 的多项式,则/(是/(A)的特征值。5.设 A 和 B 为”阶方阵，若存在可逆矩阵P,使 8=P-P,则称A 与 B 相似。6.相似矩阵性质：若”阶方阵A 与 B 相似，则有：网=固；秩人=秩电4 T 与 8 T 相似;A与 B有

49、相同的特征值；与 台 7相似。7.”阶方阵A与对角矩阵相似oA有 个线性无关的特征向量=A 的每个特征值中线性无关的特征向量的个数，恰好等于该特征值的重根数。=对于特征方程|AE-A|=0 的每个3重根%,秩(4 E-A)=-3。8.若阶方阵A 有个不同的特征值，则 A 与对角矩阵相似。9.设 A 为”阶实对称矩阵，则有：(1)实对称矩阵必可对角化(2)A 的特征值全是实数，特征向量都是实向量。(3)属于不同特征值的特征向量必正交(也线性无关)。万学教育海文考研2011春季数学基础班一线性代数(4)人重特征值必有k个线性无关的特征向量，即秩(公-A)=-k。N 、(5)存在正交矩阵P,使PTA

50、P=P T A P=办.。【典型例题】1.已知阶矩阵A的特征值乙，乙，乙，且A可逆。(1)证明：A T的特征值为;“I”2 4(2)求A*+2E的特征值。2.设A,B均是 阶矩阵，且秩A+秩 8。证明：A,B有公共的特征向量。(-I3,已知7=1 是矩阵A=5 b、-”1-1。2、3 的特征向量，求力的值，并 证 明A的任一特-2,征向量均能由4线性表出。4.下列条件中，不 是“-1是A的特征值”的充分条件的是()(A)A2=E(B)秩(4 +E)(C)A中每行元素之和为-1。(D)AT=-A,且1是A的特征值。内部教材严禁复制425.3设矩阵A=2、22 2、0 1 0、3 2，p=1 0