考研线性代数讲义铁军(零财富).docx

《考研线性代数讲义铁军(零财富).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研线性代数讲义铁军(零财富).docx（46页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2。7%方学海文铁植代熬;裙铁军教梭铁军秋葡介：着名考研小学辅导专家，近几耳点小也各大姆市户名稔在，应名与K要、也也大齐名的考研账号能导三驾马车”之一。铁军数段乂*考研裁学辅导工作应束，血*本屋丈条、丈七磅礴、睿智晶欣的风珞，对考点、克、率克全而、筹制、透闻的把握，条爱母士、方盛贞才的态盛及及对考题的精淮我制，令考士麦登无穷。特别是铁军茏伸的撤等全程保购投，*是“无易伦比的由俄做、察统植和考金的小号区精丈面耙龙台而专制广大莘莘考&的爱戢/彭耳，考刊竟*变瑞激致/万考海女灌错铁军教裁未他面栽，,焦唐勒氏功保驾护赧。您的理想粉点您我的共国劣力下实猊。这是我们的信2,这带是您的信芯/线性代数在考研数

2、学中占有重要地位，必须予以高度重视。线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，主要用证明题的方法技巧来解决计算题。因此，必须掌握证明题的证明技巧，并会在计算题中灵活应用。难点在于线性代数的内容比较抽象，综合性强，特别是关于向量的线性相关性、矩阵的秩与线性方程组的解的结构定理的综合题难度较大，必须突破这一难点。第一章行列式行列式的核心考点是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。另外，用简单的递推公式求行列式的方法也应掌握。【大纲内容】行列式的概念和基本性质；行列式按行

3、（列）展开定理。【大纲要求】了解行列式的概念，掌握行列式的性质。会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。【考点分析】考研试题中关于行列式的题型主要是填空题,纯粹考行列式的题目很少，但行列式是线性代数中必不可少的工具，它在处理以下问题中都有重要应用：1 .判定方阵是否可逆以及应用公式4-1=工4*求逆矩阵；阊2 .判定个维向量的线性相关性;3 .计算矩阵的秩；4 .讨论系数矩阵为方阵的线性方程组的解的情况并利用克莱姆法则求方程组的解；5 .求方阵的特征值；6 .判定二次型及实对称矩阵的正定性。同时，上述内容也可与行列式知识相结合构造新的关于行列式的题型。在复习过程中,请大家注意及

4、时归纳总结。【重要考点】1 .行列式按行、按列展开公式为:D = akAk+ak2Ak2+-+ ah,Ah.=auAk +a2kA2k +，-+ ankAnk (k =,2-n)2.两个特殊公式：设A是团阶方阵，8是”阶方阵，则A OAC.,.,OACA.DR = C rTW|；(2)=(-irA.BCoU DDCDUX x23.范德蒙行列式：X： x24.余子式和代数余子式的定义，其中%的余子式为旬的代数余子式为&=(-1产.【典型例题】1.计算阶行列式X-100000X-100000X000000 X-100000X-1,%Tan-2生a2“1Dab0-000ab00阶行列式00a -00

5、000 abb000a111再赴七范德蒙行列式：Dn =X： X2,一 Xnn (%-x -)14 jinJ*T . XnX阶范德蒙行列式。，的结构特点是每列元素,按X,的升嘉排列，构成一个等比数列。1I13.计算四阶行列式。=2439-416827-644 .计算四阶行列式（其中8,。2M3，。4均不为0）5 .计算四阶行列式11 + sinsin。 +sin2 5sin2 (px 4-sin3(px11 + sin(p2 2sin2 +sin (p2.2 3sin (p 4-sin (p211 +sin 仍sin / +sin2(pysin2(P、+sin3(p311 + sin % 2s

6、in 外 + sin (pAsin2(p4 +sin3(p4形如,.的行列式称为三对角型（三斜线形）行列式。三对角型行列式的特点是沿主对角线方向三列元素不为零，其余元素均为零。对于这类三对角型行列式通常可用递推法。6 .计算+1阶行列式417.五阶行列式2 = 0003 0 0 04 3 0 01430的值为0 14 30 0 141由0000-1“20000-1120000000000000-11一人8.五阶行列式1- aa000-1a00D =0-1-aa000-1-aa000-11-形如：.的行列式称为箭形、爪形或扇形行列式，其特点是行列式中主对角线上的元素和第一行、第一列上的元素不为零

7、，其余元素均为零。对于箭形、爪形或扇形行列式，可用主对角线上的元素化其为上（下）三角型行列式进行计算。9 .计算+1阶行列式11140=1。2100 an10 .计算阶行列式011-112000Dn =10300:00,.01000/711 .计算阶行列式qbbbhba2bbDr -bba3h(工4i = l,2,)hbb*(计算含子块的四分块的分块矩阵的行列式：掌握简化行列式运算的两个重要公式:设A是，阶方阵，8是阶方阵，则(2)(1)120300104012.计算00050711657-1818113.计算五阶行列式0 00 0D= 1 20 1 20-3 43 7 63A14.设48均是

8、阶矩阵，同则|C卜.000 b?15.四阶行列式八 。年% 0 0(A) bb2b3b4(C) (aa2 -bb2)(a3a4 -b的值等于( )(B) a。？。3a4 +。卜23b4(D) (%。3 -b2b3)(。1。4 -姑4)5x 1_2 116.设行列式。4 = x x1 2若行列式中含有变量X,则该行列式展开后成为关于X的多项式，可考查该多项式的次数、零点等问题。23X 3?3 ，则。4的展开式中，一的系数是.13x/的系数是17.设行列式x 2X 1x 2x 32x 22x -12x 22x-33x 33x 24x-53x 54x4x-35x-74x 30的根的个数为()(B)2

9、(C)3(I幻=4则方程/(x)=(A)118.设多项式P(x) =q I + X a2l +x a3l +x a4l +x6Z12 + XCl-yy Ia32 +x。42 + X。13 +无23 + 工 a33 4-x a43 + xal4 + x 。24 + X 6+X a44+x则p(x)的次数至多是().(A)1(B)2(C)3(D)4计算代数余子式线性组合的值：1 .余子式和代数余子式在n阶行列式。.中，划去元素%所在的第i行和第j列，余下的元素按原有顺序构成的-1阶行列式，称为元素a0的余子式，记作”,广余子式M0之前加上符号，称为元素%的代数余子式，记作&=(-1产加2 .代数余

10、子式的性质:(1) &和甸的大小无关；(2) a(1 A,+ ai2Ai2+=A,qjA j +%+ anjAnj =A(i, j =1,2) ailAjl + ai2Aj2+ ainAjn =0(z * j)Ai A?1A.、(4) A 的伴随矩阵 A*=(4，)“=?,贝1j2)(5)卜*卜间a (A为阶矩阵，22)(6)(4*)*=同(A 为任阶矩阵，2)(7)(a*)=()*(8)(48)*=B*f ，若秩A = n(9)设A是阶矩阵(”22),则秩A*=1,若秩A = n -10,若彻11-18 .设A为阶非零矩阵，证明当4= A，时，A可逆。9 .设维向量a =(a, o,，o,

11、a), a ,0000000)尸1-010000109 P?-00011000其中A可逆，则小等于(J000,000b)(A)(一%尸2(B) PAP2(C)的P24T (D) PA-1 P24.设A为n (之2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, A*,分别为A,B的伴随矩阵，贝IJ ()(A)交换A*的第1列与第2列得B*.(B)交换A的第1行与第2行得8*.(C)交换A*的第1列与第2列得-B*.(D)交换A的第1行与第2行得- B*.第三章向量本章是考研复习的重点，也是难点.一定要吃透线性相关、线性无关的概念、性质和判别法，并能灵活运用。熟记一些常见结论，并能将线性相关、线性

12、无关的概念与矩阵的秩、线性方程组的解的结构定理进行转换、连接，开阔思路，提高综合能力。【大纲内容】向量的概念;向量的线性组合和线性表示；向量组的线性相关与线性无关；向量组的极大线性无关组；等价向量组；向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩之间的关系。数学一还要求掌握：向量空间以及相关概念；n维向量空间的基变换和坐标变换；过渡矩阵；向量的内积；线性无关向量组的正交规范化方法；规范正交基；正交矩阵及其性质。【大纲要求】理解n维向量的概念、向量的线性组合与线性表示；理解向量组线性相关与线性无关的概念；了解并会用向量组线性相关与线性无关的有关性质及判别法，会求向量组的极大线性无关组和向量组的秩；了解向量组的

13、秩与矩阵的秩之间的关系，会用矩阵的秩解决有关问题。数学一还要求：了解n维向量空间、基、维数、坐标等概念，会求基变换的过渡矩阵，并通过过渡矩阵求向量在新、旧基下的坐标；了解内积的概念，掌握向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法，以及正交矩阵的概念与性质。【考点分析】判别向量组线性相关、线性无关的方法：1 .定义法：(1)若存在不全为0的数的血，,心，使klai +k2a2+kmam =0,则%,见，线性相关；(2)令即q+k2a2+&,0,=0而&=2+=”,=。，贝U %,a2，二见.线性无关.定义法的关键是恒等变形。2 .思维定势：(1)若要证明向量组名,a2,a,线性无关，先考虑用

14、定义再说；(2)若已知条件涉及线性相关的话，先用定义处理一下再说。3 .利用向量组的秩：(1)当秩(a,a2,-,am )小时，向量组,a2,a,“线性相关；(2)当秩(aL，,a,)=m时，向量组,a2,%”线性无关。4 .利用矩阵的秩：设向量组a2,线性无关，向量组,夕2,4可用。2,线性表不。且有矩阵A,使得(四,色，四)=3,如,4)4则(D秩(自,2,月)=秩A(2)向量组一，P2,，月线性无关。秩A =，。5 .利用行列式：设A =(%,a2,a.)为阶方阵。当间=0时，”维向量组%,。2,a”线性相关；当时，维向量组臼,?2,0线性无关。6 .利用线性表示：(1)向量组由,组，a

15、,“线性相关O至少存在一个向量可以用其余向量线性表示；(2)若向量组为,a2，”线性无关，而向量组夕，名,区“线性相关，贝”能由,a,”线性表示，且表示式是唯一的。(3)若4I，夕2,月可由为，。2,4线性表示且，s,则夕夕2,6,线性相关。简记为：多数向量能用少数向量表示，则线性相关。(4)逆否命题：若夕|,尸2,，月可由由，。2,出线性表示，且夕I，夕2,夕线性无关，则必有t%+。3，%+勿2+%线性无关；(C) ax +2a292a2+34，3a3+%，线性无关；(D)。+。2+。3，2。一2+。3，4q-a2+%3线性无关。2.设向量组I： a1,。2,a,可由向量组H ：4,/?2,

16、反线性表不，则()(A)当,s时，向量组n必线性相关；(C)当rs时，向量组I必线性相关。3.对任意实数，b,(A)(a,1,2(B)(41,1)(C) (1, a,1,(D) (1,1,1,C,线性无关的向量组是()o),(2, b,3)，(0,0,0)；,(1, a,3),(2,3, c)9(1,0, c)；1),(1, b, I,0),(1, c,0,0)； a)9(2,2,2, b)9(0,0,0, c).阶矩阵，a22,由是维列向量，且4工0,+ a24。3=。2+。3。证明：线性无关。5.设向量组%=(L3=(-l,-4.1,2,1), a2=(1,0,0,2),-8, k)线性相

17、关，则参数A =6.设三阶矩阵A=2、3Q =o2-212，三维向量a =(a,1,1)，。已知4a与a线性相关，则04,7 .设向量组a1，a2,%线性无关，若向量组kxa+a2, a?+。3，2。3+%也线性无关，则参数1,2满足的条件是。8 .设在向量组,a“,中，a #0,且每一=1,2,，m)都不能由 al,a2,-,ai,i 线性表示。证明：此向量组线性无关。9 .设向量组电,a2,。3线性相关，向量组线性无关。问:(1) 名能否由的，S线性表出？证明你的结论；(2)能不由四,。2,由线性表出？证明你的结论。10 .若向量组d P，7线性无关，a,d0,线性相关，贝I().(A)

18、a必可由p, y,6线性表示。(B)夕必不可由a,7,3线性表示。(C) 5必可由a,1y线性表示。(D) 6必不可由a,4，y线性表示。11 .设向量夕可由向量组为,a2,明线性表示，但不能由4,a2,a-线性表示。证明：（1）%不能由功1,。2,线性表示。（2） %能由4卬2,a.i，4线性表示。12.设向量Q可由向量组电,。2,a,“线性表示，但不能由向量组（D:%,。2,a,“T线性表示，记向量组（H）：%,。2，-0“一1，则（）（A） a,“不能由（D线性表示，也不能由（U）线性表示。（B） a,“不能由（D线性表示，但可由（II）线性表示。（C） a,“可由（D线性表示，也可由（

19、U）线性表示。（D） a,“可由（D线性表示，但不可由（II）线性表示。1.判别“用是否可以由,。2,4线性表示？表示法是否唯一？”，这就是问：向量方程占4+ x2a2+= P 9是否有解？解是否唯一？这个向量方程用分量写出来就是以（4,。2,4忸）为增广矩阵的线性方程组。具体解法是：作初等变换，由计算系数矩阵（外,。2,4）的秩与增广矩阵（a,a2,忸）的秩是否相等来判定。当秩（%,42,。*）=秩（,。2,44）时，即秩相等时，夕可由力,。2,4线性表示。2 .”维向量分可由%,。2,，氏线性表示o 秩（q,。2,，a$）二秩，a$，乃）；n维向量fi不可由a1,如,出线性表示。秩（a,外

20、,4,夕）二秩（a,如，4）+103 .维列向量组、与川，河，,力等价的充要条件为秩（A）=秩（B）二秩（A,B）,其中 A =a）,B .用）4 .设4=（4,。2,M”）为小矩阵，则元齐次线性方程组Ax =0有5 .设4=。,，a 为mx 矩阵，/为m维非零列向量，令A=(A/),贝！J元非齐次线性方程组Ar =夕有：一无解 LJ讣川_一一不能由A的列向量组线性表出有唯一解Ax =一秩八=秩入=n =夕可由A的列向量组唯一表出有无穷多解秩人=秩彳口夕可由A的列向量组线性表出，但表示法不唯一13 .确定常数a,使向量组%=(1,1,。，a2=(1，。，1)7,=3，1，1)7可由向量组A =

21、(1,1,a)r, p2=(-2,a,4)T,生=(-2,a,a)T 线性表示,但向量组一,人血不能由向量组四。2，出线性表示.14 .已知向量组卬=(1,2,-1,3尸0=(2,5, a,8)r,a3=(-1,0,3, I)，及向量组4=(1, a, a2,-5,7尸,22=(3,3+ a,3,11尸，自=(。，1，6,2尸.若从可由4，。2。3线性表示，判断这两个向量组是否等价？并说明理由。15 .已知两个向量组%=(1,2,3)4=(1,0,1)与A =(-1,2, r),4=(4,1,5),问/取何值时，两个向量组等价？并写出等价时的线性表示式。1.最大线性无关组：设有向量组A,如果在

22、A中能选出r个向量4,勺,见，满足(1)外,。2,线性无关，(2)向量组A中任意r+1个向量(如果A中有r+1个向量)都线性相关，则称向量组,%，见是向量组A的一个最大线性无关组，简称最大无关组。一般来说，向量组的最大线性无关组不是惟一的，但这些最大线性无关组是等价的，从而每个最大线性无关组中所含向量的个数都是r,即个数r是由原向量组惟一确定的。2 .向量组的秩：向量组的最大线性无关组中所含向量的个数称为该向量组的秩。只含零向量的向量组没有最大线性无关组，规定它的秩为。若向量组B能由向量组A线性表出，则向量组B的秩不大于向量组A的秩。因此,等价的向量组有相同的秩。3 .向量组的秩与矩阵的秩的关

23、系：矩阵A的行向量组的秩=矩阵A的列向量组的秩=矩阵A的秩。因此，求向量组的最大线性无关组和向量组的秩时，可把此向量组的向量作为列(行)向量构成矩阵，再由矩阵的初等行(列)变换化成行(列)阶梯形或行(列)最简形矩阵的方法解之。16 .设向量组%=-l,-3,5,lr,a3=3,2,-l,p4-27 a4=-2,-6,10,pr Jn：p为何值时,该向量组线性无关？并在此时将向量a =4,1,6,10用a”a2，a ,4线性表出；p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个最大线性无关组。17 .已知向量组4=1 ，夕2=2,夕3=1与向量组四12-39、。3=6具有相同的秩，且夕3可

24、由线性表示， c7;求出的值。18.设向量组 Of,6?2，。3，。4线性无关，已知回=2%+ a3+ a49 Pi =2|+a2+(x39夕3= a1 B4=。3+。4，夕5= a+03(1)试求秩(氏邛2邛3邛4邛5、(2)试求向量组夕|,62，63，夕4，65的一个极大无关组。1.秩A = r 04中至少存在一个r阶非零子式，且A中所有r+1阶子式全为0。2 .设 A 为 nix”矩阵，蛆J04秩A 4 minm,。3 .秩人=秩4 .设A、B均为mx矩阵，贝！秩A -秩5 W秩(A 土切(秩A +秩85 .喘:网+秩”秩(；*6 .若A可逆，则秩(AB)=秩诙若B可逆，则秩(AB)=秩

25、人。7 .设A为mx矩阵，秩,4=一则存在机阶可逆阵P及阶可逆阵Q,使川。=(彳胃，称为A的等价标准形。8 .设A为?x 矩阵，B为 xp矩阵，若A3=0,贝!秩A +秩34”。9 .设A为7x矩阵，B为xp矩阵，贝IJ秩?1+秩8-4秩仍8) W min秩A，秩瓦。19 .若矩阵A-E和8-E的秩分别为/和则矩阵4B-E的秩不大于+ g,其中 E是单位阵。(Xi +2x2-2x3=02X|-X2+右3=0的系数矩阵为A,3阶矩阵8*0,且A8=0,试3X+22 Xy 0求力的值。12321 .已知。=24f, p为3阶非零矩阵，且满足是PQ =0,贝IJ ()、369,(A) 1=6时，尸的

26、秩必为1;(B) f =6时，P的秩必为2；(C)时，P的秩必为1;(D)”6时，户的秩必为2。12-222 .设A=4 r 3, B为3阶非零矩阵，且A8=0,贝h =23 .设A、B、C分别是nix”,“xp和pxs矩阵，且秩A = n ,秩C = P。证明：当ABC =0时，必有8=0。24 .设A、B都是“阶非零矩阵，且AB = O,则A和B的秩()。(B)都小于(D)都等于”.(A)必有一个等于零(C)一个小于，一个等于25.设A、B是阶矩阵，且4抬=/。证明:秩(E + AB)+ 秩(E-48) = n26 .已知阶方阵A的秩为-1（22）,则秩人IA 0a h b、27 .设三阶

27、矩阵4= b a b ,若A的伴随矩阵的秩为1,则必有（）o、b b a.(A)或a +2b =0；(B) a=/或a +28w0；(C) ab S.a +2b =0i(D) a*。且 a +2bw0.28 .设A是阶实矩阵，证明：（1）齐次线性方程组Ax =0与Ax =0同解;（2） 4 A =AA1=.29.设A为阶实矩阵，川是A的转置矩阵，则对于线性方程组（D：Ax =0和（II）: A7 Ax =0,必有（）（A） （H）的解是（1）的解，（D的解也是（H）的解；（B） （U）的解是（I）的解，但（D的解不是（II）的解；（C） （I）的解不是（II）的解，（U）的解也不是（D的解；（D）（1）的解是（II）的解，但（U）的解不是（I）的解。向量空间：1 .”维向量的全体所构成的集合R”称为维向量空间。2 .设丫是维向量的非空集合，若（1） Va,gV ,必有a +夕eV。（2） VaeV及任一实数人必有&aeV,则称V是“维向量空间的子空间，简称向量空间。3 .设V是向量空间，若丫中，个向量4,a2，。，满足：（1） a,。2,巴线性无关（2） ,均有P=XjtZj +工2。2+,+工。，即夕可由