复数的加、减运算及其几何意义同步练习-高一下学期数学人教A版必修第二册.docx

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1、第二节复数的四则运算同步练习（课时1复数的加、减运算及其几何意义）一、基础巩固知识点1复数的加、减运算1.若z-3+5i=8-2i,则z=()A.8-7iB.5-3iC.11-7iD.8+7i2.2022安徽马鞍山高一期末设复数z1=2-i,z2=-3+5i,则z1+z2在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设z1=-1+i,z2=4-3i,则|z1+z2|=()A.25B.5C.13D.134.(多选)2022湖南长沙月考已知i为虚数单位,复数z1=5+12i,z2=-12+5i,则()A.|z1|=|z2|B.z1与z2互为共轭复数C.z1+z2+7

2、为纯虚数D.z1-7-7i+z2=6i5.设z1=x+2i,z2=3-yi(x,yR),且z1+z2=5-6i,则z1-z2=.6.计算:(1)(1+2i)+(7-11i)-(5+6i);(2)5i-(6+8i)-(-1+3i);(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,bR).知识点2复数加、减运算的几何意义7.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是OA,OB,则复数z1-z2=()A.-1+2iB.-2-2iC.1+2iD.1-2i8.(多选)2022安徽合肥六校联盟高一下期中在复平面内有一个平行四边形OABC,点O为坐标原点,点A对应的复数为z1=1+i,点B对应的复数为

3、z2=1+2i,点C对应的复数为z3,则下列结论正确的是()A.z1-z2=-iB.点C位于第二象限C. z1+z3=z2D.|z1-z3|=|AC|9.已知M,N分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O为坐标原点,若|z1-z2|-|z1+z2|=0,则MON是三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”).10.已知四边形OACB是复平面内的平行四边形,O是原点,点A,B分别表示复数3+i,2+4i,M是OC,AB的交点,如图所示,求点C,M表示的复数,及点C,M间的距离|CM|.二、能力提升1.设f(z)=z,且z1=1+5i,z2=-3+2i,则f(z1-z2)=()A.-2+3iB.-2-

4、3iC.4-3iD.4+3i2.2022广东广州二中高二上期中若z1,z2为复数,则“z1+z2是实数”是“z1,z2互为共轭复数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.2022广东潮州松昌中学高一期中已知zC,且|z-2-2i|=1(i为虚数单位),则|z+2-i|的最大值为()A.17+1B.17C.17-1D.214.设复数z满足|z|=|z-i|=1,且z的实部大于虚部,则z=()A.3212iB.32+12iC.1232iD.12+32i5.2022江苏南京高二下联考著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马于1643年提出的平面几何极值问题:

5、“已知一个三角形,求作一点,使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中所求的点称为费马点.已知对于每个给定的三角形,都存在唯一的费马点,当ABC的三个内角均小于120时,使得APB=BPC=CPA=120的点P即费马点.根据以上材料,若zC,则|z-2|+|z+2|+|z+2i|的最小值为()A.23-2B.23+2C.3-1D.3+16.2022福建厦门高三模考若复数z=a+bi(a,bR,i为虚数单位)满足|z-2i|=|z|,写出一个满足条件的复数z=.7.在z1+z2=12+32i;z1+z2=i;z1+z2=1+3i这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答该问题.

6、设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=1.(1)若,求z1,z2;(2)若|z1+z2|=1,求|z1-z2|.8.已知复数z满足|z+3+i|1,求:(1)|z|的最大值和最小值;(2)|z-1|2+|z+1|2的最大值和最小值.参考答案一、基础巩固1.Cz=(8-2i)-(-3+5i)=11-7i.故选C.2.B因为z1+z2=(2-i)+(-3+5i)=-1+4i,所以z1+z2在复平面内对应的点的坐标为(-1,4),位于第二象限.3.B由题知z2=4+3i,所以z1+z2=3+4i,所以|z1+z2|=32+42=5.故选B.4.ACA|z1|=52+122=13,|z2|=(-12

7、)2+52=13.B复数z1=5+12i的共轭复数为z1=5-12i.Cz1+z2+7=5+12i-12+5i+7=17i,为纯虚数.Dz1-7-7i+z2=5+12i-7-7i-12+5i=-14+10i.5.-1+10i解析因为z1+z2=5-6i,所以(x+2i)+(3-yi)=5-6i,所以x+3=5,2-y=-6,即x=2,y=8,所以z1=2+2i,z2=3-8i,所以z1-z2=(2+2i)-(3-8i)=-1+10i.6.解析(1)(1+2i)+(7-11i)-(5+6i)=(1+7-5)+(2-11-6)i=3-15i.(2)5i-(6+8i)-(-1+3i)=5i-(7+5

8、i)=-7.(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+b-(-3b)-3i=-a+(4b-3)i(a,bR).7.B方法一z1-z2对应的向量为OAOB,由题图知OAOB=(-2,-2),所以z1-z2=-2-2i.方法二由题意,知z1=-2-i,z2=i,所以z1-z2=-2-2i,故选B.8.ACD9.直角解析因为|z1-z2|-|z1+z2|=0,所以|z1-z2|=|z1+z2|,故以OM,ON为邻边的平行四边形的对角线的长度相等,即该平行四边形为矩形,所以MON是直角三角形.10.解析因为OA,OB分别表示复数3+i,2+4i,所以OC=OA+OB表示的复数为(3+i

9、)+(2+4i)=5+5i,即点C表示的复数为5+5i.又OM=12OC,所以OM表示的复数为52+52i,即点M表示的复数为52+52i.所以|CM|=(5-52)2+(5-52)2=522.二、能力提升1.D因为z1-z2=1+5i-(-3+2i)=4+3i,所以z1-z2=4-3i.因为f(z)=z,所以f(4-3i)=4+3i.故选D.2.B由题意,不妨设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则z1+z2=a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i.若z1+z2是实数,则b+d=0,即b=-d.由于a,c不一定相等,故z1,z2不一定互为共轭复数,故充分性不成立.若z1

10、,z2互为共轭复数,则z2=a-bi,故z1+z2=2aR,必要性成立.因此“z1+z2是实数”是“z1,z2互为共轭复数”的必要不充分条件.3.A设z在复平面内对应的点为Z.由|z-2-2i|=1可得点Z在以C(2,2)为圆心,1为半径的圆上.又|z+2-i|表示点Z与点M(-2,1)间的距离,且C(2,2)与点M(-2,1)间的距离为42+12=17,则|z+2-i|的最大值为17+1.4.B设z=x+yi(x,yR),则z-i=x+(y-1)i,因为|z|=|z-i|=1,所以x2+y2=1,x2+(y-1)2=1,解得x=32,y=12,又z的实部大于虚部,所以x=32,即z=32+1

11、2i.5.B设z=x+yi(x,yR),则|z-2|+|z+2|+|z+2i|表示点Z(x,y)到ABC三个顶点A(2,0),B(-2,0),C(0,-2)的距离之和.依题意结合对称性可知ABC的费马点P位于虚轴的负半轴上,且APB=120,则PAO=PBO=30,如图,此时|PA|+|PB|+|PC|=2cos302+(2-2tan 30)=23+2.故选B.6.1+i(答案不唯一)解析z=a+bi,故z-2i=a+(b-2)i.由|z-2i|=|z|知,a2+(b-2)2=a2+b2,化简得b=1,故只要b=1,即z=a+i(a可为任意实数)均满足题意,可取z=1+i. (注:其他满足题意

12、的答案均可.)7.解析(1)方案一选择条件.设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则a+c=12,b+d=32,a2+b2=c2+d2=1,得a=-12,b=32,c=1,d=0或a=1,b=0,c=-12,d=32,所以z1=-12+32i,z2=1,或z1=1,z2=-12+32i.方案二选择条件.设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR).则a+c=0,b+d=1,a2+b2=c2+d2=1,得a=-32,c=32,b=d=12或a=32,c=-32,b=d=12,所以z1=-32+12i,z2=32+12i,或z1=32+12i,z2=-32+12i.方案三选

13、择条件.设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则a+c=1,b+d=3,a2+b2=c2+d2=1,得a=12,b=32,c=12,d=32,所以z1=12+32i,z2=12+32i.(2)设复数z1,z2,z1+z2对应的向量分别为OA,OB,OC,则由|z1|=|z2|=|z1+z2|=1,可知以OA,OB为邻边的平行四边形为菱形,且AOB=120,所以|z1-z2|=|AB|=3.8.解析(1)满足|z+3+i|1的复数z的几何意义:圆心为M(-3,-1),半径为1的圆内区域(包括边界).|z|则表示圆内区域(包括边界)上一点到原点的距离.如图所示,OA对应的复数的模为|z|的最大值,OB对应的复数的模为|z|的最小值.因为|OM|=(-3)2+(-1)2=2,所以|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1.即|z|的最大值为3,最小值为1.(2)设z=a+bi(a,bR),则|z|2=a2+b2,|z-1|2+|z+1|2=|a-1+bi|2+|a+1+bi|2=(a-1)2+b2+(a+1)2+b2=2(a2+b2)+2=2|z|2+2,由(1)知1|z|3,所以|z-1|2+|z+1|2的最大值为232+2=20,最小值为212+2=4.学科网（北京）股份有限公司