函数的单调性与导数(教育精.ppt

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1、3.3.1函数的单调性与导数函数函数 y=f(x)在给定区间在给定区间 G 上，当上，当 x 1、x 2 G 且且 x 1 x 2 时时yxoabyxoab1）都有）都有 f(x 1)f(x 2)，则则 f(x)在在G 上是增函数上是增函数；2）都有）都有 f(x 1)f(x 2)，则则 f(x)在在G 上是减函数上是减函数；若若 f(x)在在G上是增函数或减函数，上是增函数或减函数，则则 f(x)在在G上具有严格的单调性。上具有严格的单调性。G 称为称为单调区间单调区间G=(a,b)一、复习引入一、复习引入:单调性的概念：单调性的概念：对于给定区间上的函数f(x):1.如果对于这个区间上的任

2、意两个自变量x1,x2,当x1x2时，都有 f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数增函数.2.如果对于这个区间上的任意两个自变量x1,x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数减函数对于函数yf(x)在某个区间上单调递增递增或单调递减递减的性性质质，叫做f(x)在这个区间上的单调性单调性，这个区间区间叫做f(x)的单调区间单调区间。(1)函数的单调性也叫函数的增减性；函数的单调性也叫函数的增减性；(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。念。这个区间是定义域的子集。(3)单调

3、区间：针对自变量单调区间：针对自变量x而言的。而言的。若函数在此区间上是增函数，则为单调递增若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区区间；间；若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。以前以前,我们用定义来判断函数的单调性我们用定义来判断函数的单调性.在假设在假设x1x2的的前提下前提下,比较比较f(x1)0，则，则f（x）是增函数。是增函数。如果恒有如果恒有 f(x)0，则，则f（x）是减函数。是减函数。如果恒有如果恒有 f(x)=0，则，则f（x）是常函数。是常函数。例例1 已知导函数已知导函数 的下列信息的下列信息:当当1 x 4,或或 x

4、1时时,当当 x=4,或或 x=1时时,试画出函数试画出函数 的图象的大致形状的图象的大致形状.解解:当当1 x 4,或或 x 0(或或f(x)1，即a2时，f(x)在(，1)和(a1，)上单调递增，在(1，a1)上单调递减，由题意知：(1,4)(1，a1)且(6，)(a1，)，所以4a16，即5a7.解法二：(数形结合)如图所示，f(x)(x1)x(a1)若在(1,4)内f(x)0，(6，)内f(x)0，且f(x)0有一根为1，则另一根在4,6上解法三：(转化为不等式的恒成立问题)f(x)x2axa1.因为f(x)在(1,4)内单调递减，所以 f(x)0在(1,4)上 恒 成 立 即 a(x

5、 1)x2 1在(1,4)上恒成立，所以ax1，因为2x17，所以a7时，f(x)0在(6，)上恒成立由题意知5a7.点评本题是含参数单调性问题，是高考的重点和热点，体现了数学上的数形结合与转化思想解：由已知得解：由已知得因为函数在（因为函数在（0，1上单调递增上单调递增变式变式本题用到一个重要的转化：本题用到一个重要的转化：练习练习10a4在某个区间上，在某个区间上，f（x）在这个区间上单调递增）在这个区间上单调递增（递减）；但由（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到仅得到 是不够的。还有可能导数等于是不够的。还有可能导数等于0也能使也

6、能使f（x）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证。单独验证。总结总结补例补例：方程根的问题：方程根的问题求证：方程求证：方程 只有一个根。只有一个根。已知：x0，求证：xsinx.解析设f(x)xsinx(x0)f(x)1cosx0对x(0，)恒成立函数f(x)xsinx在(0，)上是单调增函数又f(0)0f(x)0对x(0，)恒成立即：xsinx(x0)补例补例：不等式证明问题：不等式证明问题补充练习:1、判断下列函数的单调性(1)f(x)=x3+3x;(2)f(x)=sinx-x,x(0,);(3)f(x)=2x3+3x2-24x+1;(4)f(x)=ex-x;2、已知函数、已知函数f(x)=ax+3x-x+1在在R上是减函数，上是减函数，求求a的取的取值范范围。小结小结：定理：定理：一般地，函数一般地，函数yf（x）在某个在某个区间区间内可导：内可导：如果恒有如果恒有 ，则，则 f(x)在是增函数。在是增函数。如果恒有如果恒有 ，则，则 f(x)是减函数。是减函数。如果恒有如果恒有 ，则，则 f(x)是常数。是常数。步骤：步骤：（1）求函数的定义域）求函数的定义域（2）求函数的导数）求函数的导数（3）令）令f(x)0以及以及f(x)0f(x)0f(x)0