现代控制理论3章.ppt

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1、1第三章 线性系统的能控性和能观性3.1 线性连续系统的能控性线性连续系统的能控性线性连续系统的能控性概念线性连续系统的能控性概念线性连续系统的能控性判据线性连续系统的能控性判据 33.1.1 3.1.1 线性连续系统能控性的概念线性连续系统能控性的概念1 1、状态能控、状态能控对于系统对于系统 A(tA(t)，B(tB(t)及某一个特定的初始状态及某一个特定的初始状态x x(t t0 0)。若。若对每一个对每一个t tf ft t0 0，总有定义在时间域，总有定义在时间域 t t0 0，t tf f 上的控制函数上的控制函数u u()，能，能把系统把系统 A(tA(t)，B(tB(t)从初始

2、状态从初始状态x x(t t0 0)，转移到状态，转移到状态x x(t tf f)=0)=0，则称，则称该系统的这一特定状态该系统的这一特定状态x x(t t0 0)在在t t0 0时刻是能控的。时刻是能控的。若若x x(t t0 0)对所有初始时刻都是能控的，则称对所有初始时刻都是能控的，则称x x(t t)为一致能控的。为一致能控的。42 2、系统状态完全能控、系统状态完全能控如果系统的每一个状态如果系统的每一个状态x x(t t0 0)都能控，则称该系都能控，则称该系统为状态完全可控，简称状态能控。统为状态完全可控，简称状态能控。物理意义是：物理意义是：不论初始状态在何处，通过控制函数不

3、论初始状态在何处，通过控制函数u(tu(t)，可以将初始状态转，可以将初始状态转移到原点位置。移到原点位置。相关概念相关概念能达性：初始状态在原点位置，可以通过控制能达性：初始状态在原点位置，可以通过控制函数函数u(tu(t)，可以将初始状态转移到状态空间中任意指定位置。，可以将初始状态转移到状态空间中任意指定位置。63.1.2 线性系统能控性的判据线性系统能控性的判据 1、线性时变连续系统可控性的格拉姆矩阵判据、线性时变连续系统可控性的格拉姆矩阵判据线性定常连续系线性定常连续系统统A（t），B（t）状态完全可控的充要条件是：存在时状态完全可控的充要条件是：存在时刻刻t10，使如下定义的可控性

4、，使如下定义的可控性格拉姆（格拉姆（Gram)矩阵为非奇异。矩阵为非奇异。证明证明:充分充分性，已知性，已知Wc(0,t1)非奇异，证明系统完全能控。非奇异，证明系统完全能控。因为因为Wc(0,t1)非奇异，那么非奇异，那么Wc 逆阵逆阵存在存在,因此对任意非零初始状态因此对任意非零初始状态x0，可构造控制，可构造控制u(t)为为结果表明，对结果表明，对于任一于任一x00，存在有限时间存在有限时间t10和控制量和控制量u(t)，使状态由使状态由x0转转移到移到t1时刻时刻x(t1)0。充分性。充分性得证。得证。8再证必要性：再证必要性：即系统能控那么即系统能控那么Wc(t0,t1)一定非奇异。

5、一定非奇异。采用采用反证法，假设系统能控反证法，假设系统能控，而，而Wc(t0,t1)是奇异，那么一定存在是奇异，那么一定存在一个非零的向量一个非零的向量 x0 使下式成立使下式成立而因为系统完全能控，对于这样一个非零向量而因为系统完全能控，对于这样一个非零向量 x0 找到一个控制找到一个控制量量u，使得，使得向量向量 x0 为零，与为零，与假设矛盾，必要性得证。假设矛盾，必要性得证。92、线性定常连续系统可控性的格拉姆矩阵判据、线性定常连续系统可控性的格拉姆矩阵判据线性定常连续系统线性定常连续系统A，B 状态完全能控的充要条件是：存在时状态完全能控的充要条件是：存在时刻刻t10，使如下定义的

6、格拉姆（，使如下定义的格拉姆（Gram)矩阵为非奇异。则系统可控。矩阵为非奇异。则系统可控。3 3、线性定常连续系统能控性的秩判据、线性定常连续系统能控性的秩判据线性定常连续系统线性定常连续系统AA，B B 状态完全能控的充要条件是：状态完全能控的充要条件是：能控性判别阵能控性判别阵S S行满秩，即行满秩，即 为能控性判别阵。为能控性判别阵。简证：简证：144、PBH秩判秩判据据 线性定常系统为完全能控的充要条件是线性定常系统为完全能控的充要条件是，对矩阵，对矩阵A的所有特征的所有特征值值 i(i=1,2,n),下式均成立。下式均成立。证明：必要性，即系统能控，则上式成立。证明：必要性，即系统

7、能控，则上式成立。采用反证法。假设对某个特征根采用反证法。假设对某个特征根 有有B 行行线性相关线性相关则表明矩阵则表明矩阵I A则可导出则可导出B 0那么一定存在一个非零的向量那么一定存在一个非零的向量 使使 T I AT B 0T(I A)0,TB 015展开展开写成矩阵形式写成矩阵形式由于由于0，与系统能控矛盾，所以假设不成立，与系统能控矛盾，所以假设不成立，rank I-A,B=n，必要性得证。，必要性得证。充分性的证明类似，略去。充分性的证明类似，略去。这个判据应用不易，多作为其他证明而用。这个判据应用不易，多作为其他证明而用。T A TTAB TB 0T A2 B T AB 0T

8、An-1 B 016例：给定线性定常系统的状态方程为例：给定线性定常系统的状态方程为解：解：16例：给定线性定常系统的状态方程，判断能控性。例：给定线性定常系统的状态方程，判断能控性。解：解：能控性与系统零极点不能对消几乎等价。能控性与系统零极点不能对消几乎等价。32线性连续系统的能观性的概念线性连续系统的能观性的概念线性连续系统的能观性判据线性连续系统的能观性判据 3.2 线性连续系统能观性线性连续系统能观性33相关概念相关概念能构性，能构性，用用t0，tf的输出估计的输出估计x(tf)1、状态能观测性性、状态能观测性性y(t)C(t)x(t)系统系统A(t)，C(t)及某一个特定的初始状态

9、及某一个特定的初始状态x(t0),可用有可用有限时间区间限时间区间t0，tf量测到的输出量测到的输出y(t)来确定，那么称状态来确定，那么称状态x(t0)是是t0时刻能观的。时刻能观的。若状态若状态x(t0)在所有时刻都是能观的，则又称该状态为在所有时刻都是能观的，则又称该状态为一一致能观的。致能观的。2、系统状态完全能观、系统状态完全能观若系统若系统A(t)，C(t)的状态空间中每一个状态都是能观测的状态空间中每一个状态都是能观测的，则称的，则称该系统是状态完全能观的，或简称状态能观的。该系统是状态完全能观的，或简称状态能观的。物理意义：物理意义：当系统状态不可测量时，可以通过测量到的系统输

10、出估当系统状态不可测量时，可以通过测量到的系统输出估计出状态值。计出状态值。能观性是状态估计的必要条件。能观性是状态估计的必要条件。x(t)A(t)x(t)3.2.1 线性连续系统的能观性的概念线性连续系统的能观性的概念343.2.2 状态能观性的判据状态能观性的判据已知系统的动态方程已知系统的动态方程x(0)x0 x(t)A(t)x(t)y C(t)x(t)1、线性定常连续系统、线性定常连续系统能观测性的格拉姆矩阵判据能观测性的格拉姆矩阵判据线性定常连续系统线性定常连续系统A，C 状态完全能观测的充要条件是：存在状态完全能观测的充要条件是：存在时刻时刻t1t0，使如下定义的能观性格拉，使如下

11、定义的能观性格拉姆（姆（Gram)矩阵为非奇异。矩阵为非奇异。线性时线性时变连续系统变连续系统A(t)，C(t)状态完全能观测的充要条件是：状态完全能观测的充要条件是：存存在时刻在时刻t1 t0，使如下定义的能观性格拉姆（，使如下定义的能观性格拉姆（Gram)矩阵为非矩阵为非奇异。奇异。2、线性定常连续系统能观测性的秩判据、线性定常连续系统能观测性的秩判据线性定常连续系统线性定常连续系统A，C 状态完全能观测的充要条件是：状态完全能观测的充要条件是：能观测性判别阵能观测性判别阵V满秩，其中满秩，其中为能观测性为能观测性判别阵。判别阵。简证：简证：353、PBH秩判秩判据据线性定常系统为完全能观

12、测的充要条件是，对矩阵线性定常系统为完全能观测的充要条件是，对矩阵A的所的所有特征值有特征值 i(i=1,2,n),下式均成立。下式均成立。证明略证明略35例例 试判断由式所描述的系统是否为能控和能观测的试判断由式所描述的系统是否为能控和能观测的。解：解：35例例 试判断由式所描述的系统是否能观。试判断由式所描述的系统是否能观。解：解：46对于线性定常系统对于线性定常系统x Ax Buy Cxw AT w CT vz BT w系统系统S1系统系统S23.3 对偶原理对偶原理即系统即系统S1S1完全完全能控，能控，则系统则系统S2S2完全完全能观测。反之能观测。反之亦然。亦然。473.4 化能控

13、和能观测规范形（标准型）化能控和能观测规范形（标准型）单输入单输出情况单输入单输出情况变换阵唯一的变换阵唯一的标准型也唯一标准型也唯一48单输入单输出情况单输入单输出情况1、化能控标准型、化能控标准型凡是凡是完全能控的系统，一定可以通过线性变换变为能控完全能控的系统，一定可以通过线性变换变为能控标准型。标准型。作线性变换作线性变换x P xcBc P-1B，Ac P-1 AP,Cc CP证：因为系统能控，所以证：因为系统能控，所以S阵满秩，那么按下式构造阵满秩，那么按下式构造变换阵变换阵例例 能控标准型。解：解：2 2、化能观测标准型、化能观测标准型凡是系统凡是系统完全可观的状态状态空间表达式，一定可以通过线完全可观的状态状态空间表达式，一定可以通过线性变换变为能观测标准型。性变换变为能观测标准型。对于可控的单输入单输出系统对于可控的单输入单输出系统作线性变换作线性变换x PxcAc P-1 AP,Bc P-1B，Cc CP证：因为系统能观，所以证：因为系统能观，所以S阵满秩，那么按下式构造阵满秩，那么按下式构造变换阵变换阵例例 能观标准型解：解：