现代控制理论第3章.ppt

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1、现代控制理论现代控制理论宁波大学信息科学与工程学院 蓝艇Office:曹光彪信息楼109室Tel: 0574-87600949E-mail：相平面法相平面法描述函数法描述函数法逆系统法逆系统法非线性系统分析非线性系统分析非线性控制系统分析非线性控制系统概述非线性控制系统概述Contents非线性控制系统概述非线性控制系统概述 在实际物理系统中，完全的线性系统是不存在的，因为系统的元件其输入输出之间往往存在不同程度的非线性。 在非线性程度不太严重时，可以将系统在一定范围内近似成线性系统，从而利用线性系统理论方法来处理。如：非线性特性线性化，作某种近似，或者缩小一些研究问题的范围；小偏差线性化方法

2、。 利用非线性也可以改善系统的性能，例如:继电控制；变增益控制。非线性控制系统概述非线性控制系统概述 非线性系统与线性系统的根本区别：非线非线性系统不满足叠加原理性系统不满足叠加原理对于方程：对于方程：若若 是方程的解，有是方程的解，有也是方程的解也是方程的解, , 则方程为线性系统，例如：则方程为线性系统，例如：否则为非线性系统。否则为非线性系统。),(txfdtdx)(),(tx tx21)()(txtx21baxtxf),(非线性控制系统概述非线性控制系统概述 所谓非线性系统，是指用非线性代数方程和（或）非线性微分（差分）方程描述的系统。非线性控制系统概述非线性控制系统概述 非线性产生的

3、缘由 一种是系统中原有元件固有的非线性特性，如死区、饱和、间隙等。这些非线性特性的存在很大程度上影响着系统的动静态品质，直接导致系统模型成为非线性模型。 另外一种是为了改善系统性能而加入的元件带来的非线性特性，如继电器特性、变增益放大器等，这类非线性特性往往能改善系统的品质，使系统具有比线性系统更好的动态性能。非线性系统的特点非线性系统的特点 稳定性 系统的稳定性和输出响应不仅与系统的结构和参数有关（与线性系统相同），还与系统的初始条件及输入信号的形式和大小有关。非线性系统的系统稳定性必须针对系统的具体的非线性系统的系统稳定性必须针对系统的具体的运动状态来讨论。运动状态来讨论。非线性系统的特点

4、非线性系统的特点例：设一阶非线性系统 ，) 1(2xxxxdtdxdtxxdx ) 1(0)0(xx当初始条件10 x10 x一阶非线性系统响应)(txt010 x10 x10 x1ln00 xx（1） ，输出是发散的。（2） ，输出是收敛的。解：ttexxextx0001)(非线性系统的特点非线性系统的特点在本例：0) 1(2xxxxdtdx一般称满足0dtdx的系统状态为平衡状态。1,0 xx有两个平衡状态：0 x是稳定的平衡状态，1x是不稳定的平衡状态。由此可见，非线性系统有多个平衡状态，有些是稳定的，由此可见，非线性系统有多个平衡状态，有些是稳定的，有些是不稳定的。有些是不稳定的。非线

5、性系统的稳定性：非线性系统的稳定性：与系统的参数与结构、运动的初始状态、输入信号有直接关系。0dtdx令非线性系统的特点非线性系统的特点 自激振荡 非线性系统在没有外界周期信号的激励下，能以固有的振幅和固有的频率产生稳定的振荡，即自激振荡。 控制系统中，自激振荡会造成机械磨损、能量消耗、并带来控制误差等，自激振荡是要设法抑制的。 为此，自激振荡是非线性系统分析中的重要的内容之一。非线性系统的特点非线性系统的特点 频率响应发生畸变cA线性系统频率响应曲线cA非线性弹簧输出的幅频特性123456非线性系统的频率响应：跳跃谐振和多值响应。非线性系统的特点非线性系统的特点分频振荡和倍频振荡 非线性系统

6、在正弦信号作用下，其稳态分量除产生同频率振荡外，还可能产生倍频振荡和分频振荡。输入信号倍频信号分频信号ttt常见非线性特性常见非线性特性饱和特性饱和特性 死区特性死区特性 间隙特性间隙特性 继电特性继电特性常见非线性因素对系统的影响常见非线性因素对系统的影响 等效增益设非线性特性表示为：定义非线性环节输出y与输入x的比值为等效增益k)(xfy xxfxyk)(kyx等效增益表示的非线性系统常见非线性因素对系统的影响常见非线性因素对系统的影响 继电特性 继电特性可能会产生自激振荡 可利用继电控制实现快速跟踪00 xMxMy常见非线性因素对系统的影响常见非线性因素对系统的影响 死区特性对系统的影响

7、：（1）使系统产生稳态误差尤其是测量元件。（2）可能会提高系统的抗干扰能力或减少振荡性。xsignxxkxy)(0常见非线性因素对系统的影响常见非线性因素对系统的影响 饱和特性 对系统的影响：(1)在大信号作用下，等效传递系数下降跟踪误差，响应时间，稳态误差。(2)可能使振荡减弱。(3)可利用饱和特性来保护系统或元件的安全运行。axkaaxkxaxkay相平面法相平面法 相平面法：是一种求解一阶、二阶常微分方程的图解方法。将一阶、二阶系统的解（运动过程）表示为在x-y 平面上点的变化，研究这些点的变化轨迹，得到系统的运动规律。 相平面法用于分析一阶、二阶线性系统或非线性系统的稳定性、平衡位置、

8、时间响应、稳态精度以及初始条件和参数对系统运动的影响。相平面法的基本概念相平面法的基本概念设二阶系统的常微分方程如下：式中, 是 的线性或非线性函数.由微分方程的理论可知，只要 是解析的，那么在给定的初始条件下，方程的解是唯一的。这个唯一的解可以写成时间解的形式x(t), 也可以写成以t为参变量的形式，用 来表示。),(xxfx ),(xxf)(),(txtx)(xfx tx(t)xx ),(xxf相平面法的基本概念相平面法的基本概念)(),(,txtxt对应于相平面上的一个点。（1）相轨迹：当 t 变化时， 在相平面上将绘出一条相应的轨迹。（2）相平面图：相平面及其上的相轨迹族组成的图形称为

9、系统的相平面图。1t2t1t4t3txx 2t3t4txt2t1ttx 3t4t),(xx 相平面的绘制相平面的绘制解析法、图解法、实验法（1）解析法）解析法通过求解微分方程的办法找出)()(txtx 在相平面上绘制相轨迹。方法：(1) 消去参变量 t；（2）直接积分法例1：弹簧-质量运动系统的自由运动的相轨迹1m1kx0)0(xx0)0(x 解：0 xxkxxm 相平面的绘制相平面的绘制0 xx 运动方程的解txtxtxtxsin)(,cos)(00消去时间变量2022)()(xtxtx 直接积分法：xxxxdxxdxxdxxdxxdxxdxdxxdxdtdxdxxdxxx00,0 2022

10、)()(xtxtx 相平面的绘制相平面的绘制（2）图解法）图解法不求微分方程的解，而通过作图的办法，直接在相平面上绘制相轨迹。等倾线法是主要的作图方法之一等倾线法是主要的作图方法之一2、相轨迹绘制的等倾线法：、相轨迹绘制的等倾线法：（1）先画相轨迹的切线方向；）先画相轨迹的切线方向；（2）从初始条件出发，沿切线方向场绘制相轨迹。）从初始条件出发，沿切线方向场绘制相轨迹。),(xxfdxxdxx xxxfdxxd),(相轨迹方程相轨迹方程设二阶非线性系统相平面的绘制相平面的绘制dxxd相轨迹在相平面 上任一点 的切线的斜率),(xx xx令axxfxxxxfadxxda),(),(axxfx),

11、( 等倾线方程：根据上述代数方程，可以在相平面上绘制一条线，在这条线上的各个点具有如下性质：相轨迹通过这些点时，其切线的斜率都相同，均为 。a具有等斜率点的连线称为等倾线：（1）线性系统的等倾线为直线；（2）非线性系统的等倾线为曲线或折线。相平面的绘制相平面的绘制上述代数方程：等倾线方程。对于不同的常数,21aaa 在相平面上可以绘制若干条相应的等倾线。P395 图8-13所示用等倾线绘制的相轨迹。Txx)0(),0(当初始条件（初始状态）给定则可沿着切线方向，逐步绘制连接短直线，然后将其光滑地连接。x x相平面的绘制相平面的绘制用等倾线法绘制相轨迹的若干说明：（1）相平面的 轴与 轴的比例要

12、求一致。xx （2）在相平面的上半部，速度 ，所以相轨迹的走向应当沿着 增加的方向，从左向右；在下半部，速度 ，所以相轨迹是从右到左。x0 x 0 x （3）除平衡点之外，通过 轴是的相轨迹斜率为 或 a（4）作图精度与等倾线的条数有关，但等倾线太多，使得人工作图引起的累积误差就增加。为了提高作图精度，可以采用平均斜率法xx xa线性系统的相轨迹线性系统的相轨迹3、线性系统的相轨迹、线性系统的相轨迹（1）一阶系统相轨迹）一阶系统相轨迹0 xxT xTx1设初始条件：0)0(xx01)0(xTx0Tx xx0Tx 00线性系统的相轨迹线性系统的相轨迹（2）线性二阶系统的相轨迹）线性二阶系统的相轨

13、迹自由运动的系统微分方程：0bccac 0b当 时022cccnn 2422, 1baas特征根：相轨迹方程：cbccadccdcbcca )(tkcabcc等倾线方程：线性系统的相轨迹线性系统的相轨迹若042 ba0b两条特殊的等倾线，其斜率124222, 12, 12, 1nnbaask上述结果表明：k等倾线的斜率等倾线的斜率=位于该等倾线上相轨迹任一点的切线斜率位于该等倾线上相轨迹任一点的切线斜率当相轨迹运动到这样的等倾线上，将沿着等倾线收敛或发散。考虑0,0,0bbb线性系统的相轨迹线性系统的相轨迹（1）b00bccac ba222, 11nnjs自由运动的系统微分方程：022cccn

14、n )2(2nnss)(tc0)(trcccdccdnn22相轨迹微分方程dccd 令cccnn22nnnnccc2,222等倾线是一条过坐标原点的直线线性系统的相轨迹线性系统的相轨迹设不同的 值，不同的 值，绘制对应的直线相轨迹的切线方向场从不同的初始条件出发绘制相轨迹求出系统的过渡过程)(tc对于线性二阶系统，根据不同的其特征值S平面的分布不同系统运动规律不同线性系统的相轨迹线性系统的相轨迹10（1）设1,5.0n2/35 .02, 1js特征根分布如图所示，相轨迹见P397 图 8-17 1s2s05 .0866.0j866.0jc10c 0线性系统的相轨迹线性系统的相轨迹（2）122,

15、 1nns特征根：两个不相同的负实根两条特殊的等倾线，其斜率分别为：122110ksksk系统相平面见P398 图 8-18，图 8-191c1c 0csc1csc2A区C区B区1211nnsk1222nnsk12211,0ksksk线性系统的相轨迹线性系统的相轨迹（3）1, 0 . 1n121 ss0（4）njs2, 102ccn cdccdcn212022022202202ccccccnnnc1c 0ccc0c 0线性系统的相轨迹线性系统的相轨迹012/35.02,1js系统的自由运动是发散振荡型系统的自由运动是发散振荡型系统相轨迹见：P399 图 8-221,5 .0n（5）22, 11

16、nnjsc01c 0线性系统的相轨迹线性系统的相轨迹1（6）1,2n27.073.321ss系统自由运动是非周期发散系统自由运动是非周期发散1|22, 1nns两条特殊的等倾线，其斜率分别为：022211skkskc1c 0csc1csc2c1c 0cscsc21线性系统的相轨迹线性系统的相轨迹4、奇点与奇线、奇点与奇线（1）奇点）奇点),(xxfdxxdxx 00),(xxxfdxxd相轨迹的斜率不定而且在奇点处0),(xxfx 0 x 系统不再运动，处于平衡状态，奇点也称为平衡点。而且奇点只能出现在 轴上x)0(x 在该点，相轨迹的斜率不定，则称该点为相平面的奇点。在该点，相轨迹的斜率不定

17、，则称该点为相平面的奇点。线性系统的相轨迹线性系统的相轨迹不同时出现 的点称为普通点0),(xxfx 0 x 线性二阶系统的6种特征根分布，对应有六类奇点：（1）稳定焦点稳定焦点 ：特征根为一对具有负实部的共轭复根特征根为一对具有负实部的共轭复根（2）不稳定焦点：不稳定焦点：特征根为一对具有正实部的共轭复根特征根为一对具有正实部的共轭复根（3）稳定的节点：稳定的节点：特征根为一对负实数根特征根为一对负实数根（4）不稳定节点：不稳定节点：特征根为一对正实数根特征根为一对正实数根（5）中心点：中心点：特征根为一对纯虚根特征根为一对纯虚根（6）鞍点：鞍点：一个特征根为正实数根，一个特征根为负实数根，

18、一个特征根为正实数根，一个特征根为负实数根，线性系统的相轨迹线性系统的相轨迹 线性系统只有一个平衡状态，因此，只有一个奇点。线性系统只有一个平衡状态，因此，只有一个奇点。对零输入的线性二阶系统而言，奇点位于相平面的坐标原点。只要知道奇点的位置和类型，奇点附近的相轨迹的形状也就确定了，运动规律也就知道了。 非线性二阶系统可能具有多个平衡状态，也就有多个奇点。非线性二阶系统可能具有多个平衡状态，也就有多个奇点。知道了多个奇点的位置，如何确定奇点附近的相轨迹的形状？知道了多个奇点的位置，如何确定奇点附近的相轨迹的形状？基本思路：在奇点附近的领域，进行线性化线性化方程线性化方程的特征根，确定奇点附近的

19、运动规律，相轨迹的形状。),(xxfx （要求 解析）),(xxf1）线性系统的相轨迹线性系统的相轨迹2）有些非线性系统的微分方程不满足解析，根据非线性的特点，将相平面划分为若干个区域，在各区域内，系统是线性的，在该区域内线性微分方程是解析的。（2）奇线）奇线奇线是一种特殊的相轨迹，将相平面划分为具有不同运动特点的各个区域。一种典型的奇线一种典型的奇线极限环极限环（三种极限环的类型）线性系统的相轨迹线性系统的相轨迹 极限环是非线性系统的特有的现象，只发生在非守恒系统中，这种运动是由非线性特性，导致系统的能量交替变化。它与无阻尼线性二阶系统的等幅振荡是不同的。极限环的三种类型：1. 稳定的极限环

20、(a)2. 不稳定的极限环 (b)3. 半稳定的极限环 (c) 和(d)(b)(a)(c)(d)线性系统的相轨迹线性系统的相轨迹例1：已知非线性系统的微分方程式为025 .02xxxx 求：（1）系统的奇点；（2）绘制相平面图解：xxxxdxxd225.0（1）奇点025,02xxxx2,0;0,02211xxxx225 .0 xxxx （2）奇点附近的相轨迹形状线性系统的相轨迹线性系统的相轨迹2,022xx 225 .0),(xxxxxf;0,011xx 在附近的线性化方程025 .0 xxx 在附近的线性化方程025 .0 xxx 39.125.02,1js特征根69.1,19.121ss

21、奇点：稳定的焦点稳定的焦点奇点：鞍点鞍点P.403 图8-27x-2稳定区线性系统的相轨迹线性系统的相轨迹 例2（习题8.2） 3xxdtdx求平衡点，分析平衡点的稳定性，作出系统的相轨迹解：求平衡点)(3xfxxdtdx0)1(0)(0/23xxxxxfdtdx)0, 1()0, 1()0,0(110321xxx考虑平衡状态领域的稳定性，对 在平衡点邻域台劳展开，略去二次以上的高阶项)(xfxxxxfxfxxxfxfoo)31()()()31()()(2020线性系统的相轨迹线性系统的相轨迹0)31(20 xxx 特征方程解2031xp)0, 1()0, 1()0,0(平衡点 代入2,2,1

22、321ppp)0,0(稳定平衡点)1,0()1 ,0(不稳定平衡点110非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析 “分段线性化分段线性化”研究方法：研究方法： 根据非线性特性的分段情况 相平面划分为若干线性区域 列写各区域的线性微分方程绘制各区域的相轨迹 由相轨迹的连续性，在各区域分界线上将相轨迹衔接成连续曲线 分区绘制相轨迹，要确定奇点的位置和类型分区绘制相轨迹，要确定奇点的位置和类型 每个区域内有一个奇点 实奇点：实奇点：该奇点是在本区域内，该区域的相轨迹可以汇集于实奇点 虚奇点：虚奇点：奇点在本区域之外，该区域的相轨迹不可能汇集于虚奇点非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析具有

23、饱和特性的非线性控制系统具有饱和特性的非线性控制系统) 1(TssK)(tcme)(tr0M0e2 .0, 2 .0, 4, 100MeKT列写系统微分方程组)()()(tKmtctcT 00000)()(eeMeeMeetetm)()()(tctrte非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析若系统没有外部输入作用，0)(tr相平面可取cc 若系统有外部输入作用，0)(tr相平面可取ee 在本例取：)()()(tetrtc代入微分方程ee )1 ()()()()()(0eetrtrTtKeteteT )2()()()()(00eetrtrTKMteteT )3()()()()(00eetr

24、trTKMteteT 开关线方程00,eeee非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析1、输入作用、输入作用)( 1)(tRtr)1 (0)()()(0eetKeteteT )2(0)()(00eeKMteteT )3(0)()(00eeKMteteT （1）线性区域）线性区域0ee )1 (0)()()(0eetKeteteT eTKeedeedKeedeedeT参见ch8_1.mdl非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析求奇点：0,000eeeTKeedeed02KsTs特征方程94.15.024112, 1jKTs该区域的奇点是稳定焦点，实奇点aTKeeeTKeeaadeed1

25、等倾线方程等倾线是一蔟通过坐标原点的直线（2）正饱和区域）正饱和区域0ee )2(0)()(00eeKMteteT aTKMeeTKMedeed100没有奇点非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析e e2KMee,0KMee,00ee0ee 0ee ec2等倾线是与横轴平行的平行线0, 0KMea相轨迹均渐近于非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析（3）负饱和区域）负饱和区域0ee)3(0)()(00eeKMteteT aTKMeeTKMedeed100没有奇点等倾线是与横轴平行的平行线0, 0KMea相轨迹均渐近于2,)( 1)(RtRtr若设0)0(,0)0(,0)0(,2)0

26、(ccrr0)0(,2)0()0()0(ecre0)(,0)(,eet非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析2、输入作用、输入作用tVtr0)(0)(Vtr0)(tr )1 ()()()(00eeVtKeteteT )2()()(000eeVKMteteT )3()()(000eeVKMteteT 分段线性微分方程)()()(tctrte)0()0()0()0(ccre)()()(tctrte)0()0()0()0(0cVcre参见ch8_2.m和ch8_2_sys.m非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析（1）线性区域）线性区域0ee )1 ()()()(00eeVtKetete

27、T eTVKeedeedVKeedeedeT00求奇点：KVeeeTVKeedeed00,000aTKeVeeTVKeeaadeed100等倾线方程非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析02KsTs该区域特征方程仍为94.15.024112, 1jKTs该区域的奇点是稳定焦点，但是否为实奇点，与输入信号的斜率 有关0V0ee )2()()(000eeVKMteteT aTKMVeeTVKMedeed10000没有奇点（2）正饱和区域）正饱和区域非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析等倾线是与横轴平行的平行线8 . 0, 0000VKMVea相轨迹均渐近于0ee)3(0)()(00e

28、eKMteteT aTKMVeeTVKMedeed10000没有奇点等倾线是与横轴平行的平行线8 . 0, 0000VKMVea相轨迹均渐近于对于不同的对于不同的 ，渐近线的位置和相轨迹都有很大的区别，渐近线的位置和相轨迹都有很大的区别0V（3）负饱和区域）负饱和区域非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析1、8 . 02 . 100KMV0ee （1）3 .042 .1,00KVee 奇点（0.3,0）是稳定焦点，虚奇点奇点相轨迹均渐近于（2）0ee 4 . 08 . 02 . 1, 000KMVea0ee0 . 28 . 02 . 1, 000KMVea（3）相轨迹均渐近于非线性系统的

29、相平面分析非线性系统的相平面分析e e)0 , 3 .0(4 . 0,0ee2,0ee0ee0ee 0eeA2.02.0CBD)()()(tctrte)0()0()0()0(ccre)()()(tctrte)0()0()0()0(0cVcre稳态误差e非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析2、8 . 04 . 000KMV0ee （1）1 .044 .0,00KVee 奇点奇点（0.1,0）是稳定焦点，实奇点相轨迹均渐近于（2）0ee 4 . 08 . 04 . 0, 000KMVea0ee2 . 18 . 04 . 0, 000KMVea（3）相轨迹均渐近于非线性系统的相平面分析非线性

30、系统的相平面分析e e)0 , 1 .0(4 . 0,0ee2 .1,0ee0ee0ee 0eeA2.02.0CBD)()()(tctrte)0()0()0()0(ccre)()()(tctrte) 0() 0() 0() 0(0cVcre稳态误差1 . 0e非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析3、8 . 000 KMV0ee （1）2 .048 .0,00KVee 奇点（0.2,0）是稳定焦点，位于开关线上奇点相轨迹终止于e轴 （2）0ee 08 . 08 . 0, 000KMVeaTeTedeedeTVKMedeed18 . 08 . 000相轨迹均渐近于相轨迹ceTe10ee6

31、. 18 . 08 . 0, 000KMVea（3）相轨迹均渐近于稳态误差e是原点到D的长度非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析)()()(tctrte)0()0()0()0(ccre)()()(tctrte) 0() 0() 0() 0(0cVcree e)0 ,2 .0(6 .1,0ee0ee0ee 0eeA2.02.0CBD非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析 设恒温箱动态结构图如图所示。若要求温度保持在200度，恒温箱由常温20度启动，试做出温度控制的相轨迹，并计算升温时间和保持温度的精度。11005 . 5scTC200110550,205205, 00,205195

32、,605100ccccccccTTTTTTTT解：由图可得系统分段微分方程为：参见：ch8_10.mdl和ch8_10_fun.m描述函数法描述函数法 当满足一定的条件时，非线性环节在正弦信号作用下的输出可以用一次（基波）谐波分量来近似，由此导出非线性环节的等效近似频率特性描述函数。 描述函数法主要用来分析在没有外部作用下的非线性系统的稳定性和自激振荡问题。 应用描述函数法的限制条件应用描述函数法的限制条件 非线性部分可以简化为只有一个非线性环节 非线性环节的输入输出特性是奇对称 线性部分具有较好的低通滤波特性)()(xyxy描述函数法描述函数法 描述函数的定义描述函数的定义tAtxsin)(

33、设非线性环节的输入10)sincos()(nnntnBtnAAty一般非线性环节输出是非周期信号，展开为傅立叶级数由于输入输出特性是奇对称的00A20cos)(1ttdntyAn20sin)(1ttdntyBn由于线性部分具有良好的低通滤波特性)sin(sincos)(1111tYtBtAty描述函数法描述函数法111111)sin(sincos)(YtYtBtAty21211BAY)/(arc111BAtg201cos)(1ttdtyA201sin)(1ttdtyB非线性描述函数的定义：非线性描述函数的定义：111121211)()()(BAjtgjANjeABAAeYeANANAAjABe

34、ABAANBAjtg112121111)(描述函数法描述函数法例8-3 设继电器特性为00)(xMxMty试计算该非线性特性的描述函数。tAxsin20)(tMtMty0dd2d)(2102200wtwtMwttyA0sinsincoscoscos)(12020201uuMttdttdMttdtyAMuuMttyB4coscossin)(120201AMAAjABAN4)(11描述函数法描述函数法在一般情况下： 是与 和 有关的复数NA),(AN记为如非线性环节不包含储能元件，输出与输入信号的频率无关。则有)(),(ANAN如非线性环节是单值奇对称的，输出是奇函数，则有如非线性环节是非单值奇对

35、称的，输出是非奇非偶则有ABANA/)(0110011BAAAjABAN11)(描述函数法描述函数法直流分量：直流分量：若非线性环节的正弦响应为关于时间的奇对称函数若非线性环节的正弦响应为关于时间的奇对称函数)()sin()(tytAfty20200)()(21)(21tdtytdtytdtyAut令0)()(21)()(2100000uduytdtyuduytdtyA描述函数法描述函数法若非线性特性是输入的奇函数若非线性特性是输入的奇函数)()(xfxf)()()(sin)sin()(sin)(tyxfxftAftAftAfty表明：表明： 为为 的奇对称函数的奇对称函数t01cos)(2t

36、tdtyA01sin)(2ttdtyB)(ty00A描述函数法描述函数法)(ty若若 为为 奇函数奇函数)()(tyty00002010cos)()cos()(1cos)(cos)(1cos)(1cos)(1ttdtytdttyttdtyttdtyttdtyttyA典型非线性特性的描述函数典型非线性特性的描述函数（1）死区非线性的描述函数）死区非线性的描述函数y1txyx1Kt2/)sin(00)(11ttAKttyA/sin11输出单值奇对称01A典型非线性特性的描述函数典型非线性特性的描述函数2/0201sin)(4sin)(1ttdtyttdtyB)/(1sin22cos2sin4124

37、4cos42sin4124sin)sin(4211112/2/2/1111AAAKAAKAtKttKAttdtAKB典型非线性特性的描述函数典型非线性特性的描述函数)(A死区特性的描述函数死区特性的描述函数)/(1sin22)(211AAAKABAN当A/很小时KAN)(典型非线性特性的描述函数典型非线性特性的描述函数（2）间隙特性的描述函数）间隙特性的描述函数tbtAKtbAKtbtAKty)()sin()(2/)(2/0)sin()(11bxyx1Kb1y21)21(sin11Ab典型非线性特性的描述函数典型非线性特性的描述函数间隙特性是非单值函数，在正弦信号作用下的输出波形是非奇非偶的。

38、11,BA求由于输出波形的对称性) 1(4cos)sin(cos)(cos)sin(2cos)(1112/02/201AbKbttdbtAKttdbAKttdbtAKttdtyA典型非线性特性的描述函数典型非线性特性的描述函数)() 1(4)()21 (2)21 (sin2)(2111bAAbAKbjAbAbAbAbKAAjABAN间隙特性的描述函数间隙特性的描述函数P413 表8-1 给出了非线性特性及其描述函数)()21 (2)21 (sin2sin)sin(sin)(sin)sin(2212/2/0111AbAbAbAbKAttdbtAKttdbAKttdbtAKB非线性系统的简化非线性

39、系统的简化MK11y21y)(tytAtxsin)(MK)(tytAtxsin)(非线性系统中含有两个以上的非线性环节时，可按照以下方法进行组合非线性特性的计算。（1）非线性特性的并联计算）非线性特性的并联计算非线性系统的简化非线性系统的简化（2）两个非线性特性的串联计算）两个非线性特性的串联计算两个非线性环节的串联的描述函数：（1）求两个非线性环节的等效非线性特性，其串联环节位置的前后次序，等效特性就不同；（2）求等效非线性特性的描述函数。z1N2NyxzNx11KxyM2Kyzz121KKxM非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析:)(ANN)(sG)(tc)(ty)(tx0)(tr

40、谐波线性化后的等效线性环节，可看作实数或复数增益的放大环节。非线性系统可以看作等效线性系统。（1）线性系统的稳定性分析）线性系统的稳定性分析)(1/)()(/)()(jGjGjRjCj具有单位反馈的线性系统的闭环频率特性为非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析闭环系统的特征方程0)(1jG)(jG01)(jjG当 为最小相位系统 由奈奎斯特稳定判据可知：ImjRe)(jG1非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析)()(1/)()()(/)()(jGANjGANjRjCj（2）非线性系统的稳定性分析）非线性系统的稳定性分析等效线性系统的闭环频率特性闭环系统的特征方程式)(1)(,0)

41、()(1ANjGjGAN上式就是非线性系统的自激振荡的条件)(1AN复平面上的 曲线就是临界线临界线是随着A变化的负倒描述函数。非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性)(jG)(1AN10j)(jG)(1AN10j)(1AN)(jG10j1M2MBCED非线性系统稳定非线性系统稳定非线性系统不稳定非线性系统不稳定非线性系统存在周期运动非线性系统存在周期运动非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析周期运动的稳定性分析周期运动的稳定性分析)(1AN)(jG10j2M1MBCED稳定的周期运动：稳定的周期运动：系统受到轻微的扰动作用后偏离原来的运动状态，在扰动消失后，系统

42、的运动仍然能恢复到原来的等幅持续振荡。不稳定的周期运动：不稳定的周期运动：系统的运动不能恢复到原来的等幅振荡，收敛、发散或转移到另一个稳定的周期运动状态。:1M2M对应的稳定的周期运动 是稳定的。tAtx11sin)(对应的不稳定的周期运动 是不稳定的。tAtx22sin)(非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析稳定区域和不稳定区域稳定区域和不稳定区域稳定周期运动的幅值和角频率，可以由稳定交点对应参数 确定。),(11A)(jG10j2M1MBCED)(1AN不稳定区域稳定区域描述函数法分析的近似性：描述函数法分析的近似性：（1）自激振荡是比较复杂的周期波形，描述函数法仅是一个近似的研究

43、方法；（2）用作图法分析，准确度通常与两条曲线的相交的形状有关，垂直相交精度较高，相切的精度就比较低。不稳定的周期运动实际上是不可能出现的。非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析例1：具有饱和非线性的控制系统线性部分传递函数：)12.0)(11.0()(sssKsG饱和非线性的描述函数)/1 (111sin22)/(1sin2)(21211AAAAaAaAaKABAN)(aA )/1 (111sin4)(121AAAAN2xy1N)(sG)(tc)(ty)(te0)(tr非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析随着 的变化为A A15 . 0)(/1,1ANA)(/1,ANA)/1

44、(111sin4)(121AAAAN的曲线位于5 . 0的实轴上)105.00004.0()02.01 (3 .0)(242jKjG线性部分频率特性曲线非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析)(aA )(jG)(1AN10j5 . 0)15(K)5 .7(K求 与实轴的交点的频率)(jGsradjGx/07.750002.01,0)(Im25 .43 .0)105.00004.0(3 .0)(Re5024KKjGxx1)(Re15xjGK由 和 在 相交)(1AN)(jG)0, 1(j若非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析sradx/07.750 1)/1 (111sin4)(1

45、21AAAAN交点对应的振幅5 . 2A而且可以判定：交点对应的周期运动是稳定的。 若要使系统稳定工作，不出现自振荡，应使 不包围 曲线。)(1AN)(jG5 .75 .73 .05 .45 .05 .05 .43 .0maxKKK非线性系统产生周期运动，周期运动的角频率和幅度tte07. 7sin5 . 2)(非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析例2：具有死区继电特性的非线性控制系统的描述函数法分析。N)(sG)(tc)(ty)(te0)(tr)(14)(2hAAhAMAN7 . 07 . 1hMMh解：死区继电特性的描述函数) 10025. 0)(101. 0(460)(jjjjG

46、非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析)(14)(002ANKAhAhhMAN引入相对描述函数的概念43.27 .07 .10hMK尺度系数2014)(AhAhAN相对描述函数1)/(41/4)(12220hAhAAhhAAN非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析hA引入新变量)(110ANhA)(10AN可以预先计算采用相对描述函数后的系统特征方程0)()(100ANjGK)(1)(00ANjGK产生自激振荡条件：非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析0)(10ANdAd可以分析：2hA有一个极值)(10AN57. 1)(10AN21hA2hA57. 1)(10AN(1)(

47、2)1)(0jGK1M2M稳定不稳定57. 1非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析1M2M点对应的周期运动是不稳定的。点对应的周期运动是稳定的)(000)() 10025. 0)(101. 0(460)(jxxxxxejGKjjjKjGKsradtgtgxoo/2001800025. 001. 090)(111)(0jGK1M2M稳定不稳定57. 1非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析)()(100 xjGKAN83. 17 . 062. 2,62. 222AhA76. 07 . 008. 1,08. 111AhA交点1M2M交点tte200sin83. 1)(稳定振荡不稳定自

48、激振荡非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析1)()(jGAN1)2)(1 (4jjjKeAMj)2(3422jAMKej)32arctan(54242141AM322. 031arctan93. 910K解：代入比较模和相角得例3 系统如右，欲产生 的周期信号, 试确定K、t 的值。 41A 非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析例4 非线性系统结构图如右图所示， 已知：(1)自振时,调整K使 。 求此时的K值和自振参数(A,w)以及输出振幅Ac。(2)定性分析K增大后自振参数(A,w)的变化规律。) 1(818)(1, 2222AAjAAANhM135) 1(2)(ssKsG非

49、线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析jAAAN18)(22jAAN18)(12881112)1 (2)(2jjKjjKjG解(1)(2) 依图分析： ,AK2 A6 . 3283927. 081cAK88j非线性控制的逆系统方法非线性控制的逆系统方法 拟系统法 围绕反馈控制设计这一目的，应用数学工具直接研究非线性控制问题，不再依赖于非线性系统运动的求解和稳定性分析，具有一定的普遍性。 要求系统中非线性特性是解析的。非线性控制的逆系统方法非线性控制的逆系统方法 非线性系统的反馈线性化设二阶非线性系统为：取则闭环系统变换为uyyfy),( ),(yyfvuvy 非线性控制的逆系统方法非线性控

50、制的逆系统方法 逆系统方法的基本思想原系统逆系统则有根据工程可实现性要求，考虑 到 的逆映射，取l-阶积分逆系统则有yuT:uyT:yTuyTT)()(tylu)()(tyluTl:yTuTTl非线性控制的逆系统方法非线性控制的逆系统方法设非线性系统的微分方程为：存在连续解：取 ，则n阶积分逆系统结构如P424图8-53所示。),()()1()(mnnuuuyyyfy),()1()()(mnmuuuyyygu)()(tyn非线性控制的逆系统方法非线性控制的逆系统方法 伪线性系统将n阶积分逆系统和原系统相串联构成复合系统，称为伪线性系统。其等效环节为)(1)(sssYn非线性控制的逆系统方法非线