01第7章-应力状态和强度理论01.ppt

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1、第7章 应力状态和强度理论 构构件件内内一一点点处处各各截截面面方方向向上上的的应应力力的的情情况况，称称为为该该点点的的应应力力状状态态。可可由由围围绕绕该该点点的的一一个个单单元元体体面面上上的的应力表示。应力表示。7.1 概 述1、一点处的应力状态目目的的：通通过过应应力力状状态态分分析析求求出出该该点点处处的的 max、max及及其其作用面，从而更好地进行强度分析。作用面，从而更好地进行强度分析。西南交通大学应用力学与工程系材料力学教研室西南交通大学应用力学与工程系材料力学教研室 单单元元体体每每个个面面上上应应力力均均布布；每每对对相相互互平平行行面面上上的的性性质质相相同同的的应应

2、力力大大小小相相等等；可可用用截截面面法法求求任任一一截截面面上上的应力。的应力。单元体如何取？单元体如何取？在在研研究究点点的的周周围围，取取一一个个由由三三对对互互相相垂垂直直的的平平面面构构成成的的六六面面体体，该该六六面面体体的的边边长长分分别别为为无无穷穷小小量量dx、dy和和dz，如下图所示。如下图所示。dydzdxzxy7.2 平面应力状态分析主应力 对对图图a所所示示悬悬臂臂梁梁上上A点点处处单单元元体体上上的的应应力力分分布布（图图b）可可见见：有有一一对对平平面面上上的的应应力力等等于于零零，而而不不等于零的应力分量都处于同一坐标平面内。等于零的应力分量都处于同一坐标平面内

3、。AF(a)adcbAabdc(b)adcbA 该该应应力力状状态态则则称称为为平平面面应应力力状状态态，其其单单元元体体可可简简化化为左图所示情形。为左图所示情形。1、斜截面上的应力已知如下图已知如下图a（或图或图b）所示的一平面应力状态：所示的一平面应力状态：efanxyzabcdxy(a)xyyyxxdabcxyxx(b)xxyyyy 可可由由截截面面法法求求与与前前、后后两两平平面面垂垂直直的的斜斜截截面面上上应应力力。如如图图b所所示示，斜斜截截面面ef的的外外法法线线与与x轴轴间间的的夹夹角角为为，称为，称为 截面。截面。应力的正负和斜截面夹角的正负规定：应力的正负和斜截面夹角的正

4、负规定：1）正应力）正应力 拉为正，压为负；拉为正，压为负；2）切切应应力力 使使单单元元体体产产生生顺顺时时针针旋旋转转趋趋势势为为正正；反反之之为负；为负；3）对对 角角，x轴轴逆逆时时针针旋旋转转这这一一角角度度而而与与斜斜截截面面外外法法线重合时，其值为正；反之为负。线重合时，其值为正；反之为负。取图取图c所示分离体进行分析。图所示分离体进行分析。图c中所示斜截面中所示斜截面上应力和斜截面夹角均为正。上应力和斜截面夹角均为正。efbyx(c)xy 由由图图d所所示示体体元元上上各各面面上上的的力力的的平平衡衡，参参考考法法线线n和切线和切线t方向可得：方向可得：ntydAsin(d)b

5、fydAsindAxdAcosedAxdAcos由此可得，任一斜截面上的应力分量为：由此可得，任一斜截面上的应力分量为：其中其中dA为斜截面为斜截面ef的面积。的面积。解：解：C点应力状态如图点应力状态如图b所示，其拉应力和切应力为：所示，其拉应力和切应力为：例例：图图示示圆圆轴轴中中，已已知知：圆圆轴轴直直径径d=100mm，轴轴向向拉拉 力力F=500kN，外外力力矩矩Me=7kNm。求求C点点 =30截截面面上的应力。上的应力。(b)Cxxxxxyyy(a)xTFTCF 图示斜截面上应力分量为：图示斜截面上应力分量为：Cxxxxxytyy30n-30-302、应力圆由任一斜截面上应力分量

6、的计算公式可得：由任一斜截面上应力分量的计算公式可得：两式两边平方后求和可得：两式两边平方后求和可得：而圆方程为：而圆方程为：可可见见前前式式实实际际上上表表示示了了在在 为为水水平平轴轴、为为垂垂直直轴轴的坐标系下的一个圆，其圆心坐标为：的坐标系下的一个圆，其圆心坐标为：半径为：半径为：如下图。如下图。单单元元体体斜斜截截面面上上应应力力（，）和和应应力力圆圆上上点点的的坐坐标标（，）一一一一对对应应，因因此此可可通通过过确确定定应应力力圆圆上上相应点的坐标来求斜截面上应力（相应点的坐标来求斜截面上应力（，）。）。因因为为圆圆心心一一定定在在 轴轴上上，只只要要知知道道应应力力圆圆上上的的两

7、两点（即单元体两个面上的应力），即可确定应力圆。点（即单元体两个面上的应力），即可确定应力圆。OC1 1）应力图的画法）应力图的画法已知已知 x、y、x、y，如右图如右图，假定假定 x y。在在、坐标系内按比例尺确定两点：坐标系内按比例尺确定两点：dabcefxyxxnaxxyyyy 以以C为圆心，线段为圆心，线段CD1或或CD2为为半径作圆，即为应半径作圆，即为应 力圆。力圆。连接连接D1、D2两两点，线段点，线段D1D2与与 轴交于轴交于C点。点。CC2 2）证明）证明对下图所示应力圆可见对下图所示应力圆可见C点的点的横坐标为：横坐标为：从从D1点点按按斜斜截截面面角角 的的转转向向转转动

8、动2 得得到到E点点，该该点点的的坐坐标标值值即为斜截面上的应力分量值。即为斜截面上的应力分量值。C2sOtCs2FA1B1B2A2D1D2Extysysxs1202由于由于可得：可得：因此，因此，C点坐标为应力圆圆心坐标，并且点坐标为应力圆圆心坐标，并且 该线段长度等于应力圆半径。该线段长度等于应力圆半径。从而证明上述圆从而证明上述圆确为应力圆。确为应力圆。则：则：另外，另外，E点横坐标为：点横坐标为：可见，可见，E点坐标值即为点坐标值即为 斜截面上的应力分量值。斜截面上的应力分量值。即：即：同理可得同理可得E点的纵坐标为：点的纵坐标为：由由于于应应力力圆圆上上点点的的坐坐标标与与单单元元体

9、体面面上上的的应应力力分分量量值值一一一一对对应应，因因此此，按按比比例例作作图图，可可通通过过直直接接用用尺尺子子量量出出坐坐标标值值来来求求任任意意斜斜截截面面上上的的应应力力分分量量，此此即即称称为为图解法。图解法。解：按一定比例画出应力圆。解：按一定比例画出应力圆。例例：用图解法求图示用图解法求图示 =30斜截面上的应力值。斜截面上的应力值。因为图示应力状态有因为图示应力状态有：x30 x=35.7MPax=63.7MPayn 按按一一定定比比例例，作作出出应应力力圆圆，并并找找到到斜斜截截面面对对应应的点，量取其坐标可得：的点，量取其坐标可得：则则x、y截面在应力圆上两点为：截面在应

10、力圆上两点为：EDy(0,35.7)Dx(63.7,-35.7)60-30(-30，)20MPa3、主平面和主应力对图对图a所示应力状态，作出应力圆（图所示应力状态，作出应力圆（图b）。）。主平面：剪应力主平面：剪应力 =0的平面；的平面；主应力：主平面上的正应力。主应力：主平面上的正应力。可证明：可证明：并规定：并规定：可见：可见：22101xy(a)ODyDxCA2A120(b)具体值可在应力圆上量取，即：具体值可在应力圆上量取，即：主主 平平 面面 位位 置置：图图 a中中 1主主 平平 面面 的的 方方 位位 角角 0对对 应应 于于 应应 力力 圆（图圆（图b）上的圆心角上的圆心角2

11、 0。主应力值和主应力平面的计算：主应力值和主应力平面的计算：由由图图b可见，可见，A1、A2两点的横坐标为：两点的横坐标为：，IV象限由此可得两个主应力值为：由此可得两个主应力值为：因因为为 1主主平平面面方方位位角角的的两两倍倍对对应应于于应应力力圆圆上上2 0，而而 IV象限。象限。注注意意：2 0的的值值与与其其所所在在的的象象限限有有关关，而而其其所所在在象象限与计算式中分子、分母的正负有关，即：限与计算式中分子、分母的正负有关，即：I象限；象限；II象限；象限；III象限；象限；所以，所以，1主平面方位角主平面方位角 0为：为：例例 求图求图a所示应力状态的主应力及方向。所示应力状

12、态的主应力及方向。解：解：1、应力圆图解法：、应力圆图解法：因为：因为：所以：所以：按按一定比例作出应力圆（图一定比例作出应力圆（图b）。）。yx30MPa100MPa=40MPax(a)DxDyA3A120(b)由由应应力力圆圆通通过过直直接接量量取取，并并考考虑虑主主应应力力的的大大小关系可得：小关系可得：由此可得：由此可得：主应力单元体以及主平面的方位如图主应力单元体以及主平面的方位如图c所示：所示：101yx(c)2 2、解析法、解析法 ：所以：所以：例例：两两端端简简支支的的焊焊接接工工字字钢钢梁梁及及其其荷荷载载如如图图a和和b所所示示，梁梁的的尺尺寸寸见见图图c。试试通通过过应应

13、力力圆圆求求截截面面C上上a、b两两点点处的主应力。处的主应力。解：首先作出梁的剪力和弯矩图如图解：首先作出梁的剪力和弯矩图如图d和和e所示：所示：(a)B5 m10 mA250 kNC(b)fza(c)b12015270159(d)FS图M图(e)M(kNm)80 x200 kN50 kNFSx由此可得由此可得C截面处的弯矩和截面左侧的剪力为：截面处的弯矩和截面左侧的剪力为：又又因因为为横横截截面面的的惯惯性性矩矩和和计计算算a点点切切应应力力所所需的静矩为：需的静矩为：且：且：由此可得由此可得C截面上截面上a点处正应力和切应力分别为：点处正应力和切应力分别为：该该点点的的应应力力状状态态如

14、如图图f所所示示，选选定定适适当当的的比比例例，即可绘出相应的应力圆，如图即可绘出相应的应力圆，如图g所示。所示。y(f)yyxxxxxx=122.7MPax=64.6MPay=-64.6MPa/MPa/MPaOA1A2CD1(122.7,64.6)D2(0,-64.6)3max20(g)由由应力圆可得应力圆可得a点处的主应力为：点处的主应力为：且：且：则则 1主平面的方位角主平面的方位角 0为：为：显然，显然，3主平面应垂直与主平面应垂直与 1主平面，示意图如下：主平面，示意图如下：y31yyxxxxx对对C截面上的截面上的b点，因点，因yb=0.15m可得：可得：该该点点的的应应力力状状态态如如图图h所所示示，选选定定适适当当的的比比例例，即可绘出相应的应力圆，如图即可绘出相应的应力圆，如图i所示。所示。x=136.5 MPa(h)xyx(i)smaxD2(0,0)/MPa/MPaD1(136.4,0)b点处的主应力为：点处的主应力为：1主平面就是主平面就是x平面，即梁的横截面平面，即梁的横截面C。