常微分方程及其应用PPT讲稿.ppt

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1、常微分方程及其应用第1页，共41页，编辑于2022年，星期六n第一节微分方程的基本概念第一节微分方程的基本概念n第二节可分离变量的微分方程第二节可分离变量的微分方程n第三节齐次方程第三节齐次方程n第四节一阶线性微分方程第四节一阶线性微分方程n第五节可降阶的高阶微分方程第五节可降阶的高阶微分方程n第六节二阶常系数齐次线性微分方程第六节二阶常系数齐次线性微分方程 第2页，共41页，编辑于2022年，星期六例一曲线通过点例一曲线通过点 ，且在该曲线上任意点，且在该曲线上任意点 处处的的切切线线斜斜率率为为横横坐坐标标的的两两倍倍，求求这这曲曲线线的的方程。方程。在许多实际问题中，往往不能找出所需要的

2、函数关在许多实际问题中，往往不能找出所需要的函数关系，但是根据问题所提供的情况，有时可以列出含有要系，但是根据问题所提供的情况，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，这样的关系式就是所谓的找的函数及其导数的关系式，这样的关系式就是所谓的微分方程。微分方程。第3页，共41页，编辑于2022年，星期六一、微分方程一、微分方程凡凡表表示示未未知知函函数数、未未知知函函数数的的导导数数及及自自变变量量之之间间的的关系的方程。（未知函数的导数必须出现。）关系的方程。（未知函数的导数必须出现。）如如果果其其中中的的未未知知函函数数只只与与一一个个自自变变量量有有关关，则则称称为为常常微微分分方方程程

3、；如如果果未未知知函函数数是是两两个个或或两两个个以以上上自自变变量量的的函数，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微分方程函数，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微分方程.判断下列方程是否为微分方程：判断下列方程是否为微分方程：否否是是是是第4页，共41页，编辑于2022年，星期六二、微分方程的阶二、微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。的阶数。一阶一阶三阶三阶三阶三阶第5页，共41页，编辑于2022年，星期六三、微分方程的一般形式三、微分方程的一般形式1、一阶微分方程、一阶微分方程或或2、二阶微分方程、二阶微分方程或或第6页，共41页，编

4、辑于2022年，星期六四、微分方程的解四、微分方程的解 若函数满足，把它及它的导数代入微分方程时，能使方若函数满足，把它及它的导数代入微分方程时，能使方程恒成立，这样的函数称为程恒成立，这样的函数称为微分方程的解微分方程的解。1、微分方程的通解、微分方程的通解 如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通微分方程的通解解。、微分方程的特解、微分方程的特解 微分方程的解如果是完全确定的（即不含微分方程的解如果是完全确定的（即不含 任意任意 常数），常数），就称为就称

5、为微分方程的特解微分方程的特解。第7页，共41页，编辑于2022年，星期六五、初值条件五、初值条件 在通解中含有任意常数，为了得到特解必须根据一些条件在通解中含有任意常数，为了得到特解必须根据一些条件来确定这些常数，这种条件称为来确定这些常数，这种条件称为初值条件初值条件。一阶微分方程一阶微分方程二阶微分方程二阶微分方程第8页，共41页，编辑于2022年，星期六 求一阶微分方程求一阶微分方程 满足初值条满足初值条件件 的特解这样一个问题，称为的特解这样一个问题，称为一阶微一阶微分方程的初值问题分方程的初值问题。六、初值问题六、初值问题记为记为第9页，共41页，编辑于2022年，星期六例例1验证

6、函数验证函数 是微分方程是微分方程 的通解。的通解。例例2求例求例1中中 满足初始条件满足初始条件 ，的特解。的特解。第10页，共41页，编辑于2022年，星期六例例3 已知曲线上点已知曲线上点 处的法线与处的法线与x轴的轴的交点为交点为Q，且线段，且线段PQ被被y轴平分，求曲线方程。轴平分，求曲线方程。第11页，共41页，编辑于2022年，星期六定义定义 如果一个一阶微分方程能化成如果一个一阶微分方程能化成 （）（）的形式，那么原方程称为的形式，那么原方程称为可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程。设设 和和 的原函数分别为的原函数分别为 和和 。对对(1)两边积分，则得两边积分，则得 （

7、2）二元方程（）就称为微分方程（）的二元方程（）就称为微分方程（）的隐式通解隐式通解。第12页，共41页，编辑于2022年，星期六例例3 设降落伞下落后，所受空气阻力与速度成正比设降落伞下落后，所受空气阻力与速度成正比（系数为（系数为k，k0）。设开始速度为）。设开始速度为0，求降落伞下落速，求降落伞下落速度与时间的函数关系。度与时间的函数关系。例例2求微分方程求微分方程 的通解。的通解。例例1 求微分方程求微分方程 满足满足 的通解。的通解。第13页，共41页，编辑于2022年，星期六例例4 质量为质量为1g的质点受外力作用作直线运动，这的质点受外力作用作直线运动，这 外力和时间成正比。在外

8、力和时间成正比。在 时，速度等于时，速度等于 ，外力为，外力为 。问从运动开始经。问从运动开始经 过了过了 后质点的速度是多少？后质点的速度是多少？第14页，共41页，编辑于2022年，星期六 一、定义一、定义 如果一阶微分方程可化成如果一阶微分方程可化成 的形的形 式，则称为式，则称为齐次方程齐次方程。二、分离变量二、分离变量(换元法换元法)设设问：问：是否为齐次方程？是否为齐次方程？则则代入齐次方程代入齐次方程第15页，共41页，编辑于2022年，星期六分离变量分离变量,得得两边积分两边积分,得到得到u和和x的函数的函数,再将再将u换成换成 ,即得即得所给齐次方程的解所给齐次方程的解.例求

9、解方程例求解方程例求解微分方程例求解微分方程例例3 求解微分方程求解微分方程第16页，共41页，编辑于2022年，星期六例例4 探照灯的聚光镜是探照灯的聚光镜是一张旋转曲面，它的形一张旋转曲面，它的形状由状由XOY坐标面上的一坐标面上的一条曲线条曲线L绕绕x轴旋转而成。轴旋转而成。按聚光镜性能的要求，按聚光镜性能的要求，在其旋转轴（在其旋转轴（X轴）上一轴）上一点点O处发出的处发出的一切光线，经它反射后一切光线，经它反射后都与旋转轴（都与旋转轴（X轴）平行。轴）平行。求曲线求曲线L的方程。的方程。P建立微分方程建立微分方程第17页，共41页，编辑于2022年，星期六 （）（）称为称为一阶线性微

10、分方程一阶线性微分方程。所谓线性微分方程是指方程中出现的未知函数及未所谓线性微分方程是指方程中出现的未知函数及未知函数的导数都是一次的。知函数的导数都是一次的。例如例如是一阶线性微分方程。是一阶线性微分方程。其中其中不是一阶线性不是一阶线性微分方程。微分方程。形如形如第18页，共41页，编辑于2022年，星期六当当 时，称时，称 (2)是对应于是对应于(1)的齐次线性微分方程的齐次线性微分方程 现在要求非齐次微分方程（现在要求非齐次微分方程（1）的解，先来研究）的解，先来研究齐次线性方程（齐次线性方程（2）的解。）的解。当当 时，称（时，称（1）是非齐次线性微分方程）是非齐次线性微分方程分离变

11、量分离变量第19页，共41页，编辑于2022年，星期六接下来采用常数变易法接下来采用常数变易法设设 ，则则（3）这就是一阶非齐次线性微分方程的通解。这就是一阶非齐次线性微分方程的通解。代入代入(1)得得第20页，共41页，编辑于2022年，星期六结论结论：一阶非齐次线性方程的通解等于对应的：一阶非齐次线性方程的通解等于对应的 齐次方程的通解与非齐次方程的一个齐次方程的通解与非齐次方程的一个 特解之和。特解之和。把通解拆开把通解拆开齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程非齐次方程C=0时时的特解的特解第21页，共41页，编辑于2022年，星期六例求解微分方程例求解微分方程例例2 求方程求方程 满足条

12、件满足条件 x=2时时y=1 的特解。的特解。第22页，共41页，编辑于2022年，星期六例一容器内盛盐水例一容器内盛盐水100L，含盐，含盐50g。现以浓度为。现以浓度为 gL的盐水注入容器内，其流量为的盐水注入容器内，其流量为 Lmin。设注入之盐水与原有盐水被搅拌而。设注入之盐水与原有盐水被搅拌而迅速成为均匀的混合液，同时，此混合液又以流量为迅速成为均匀的混合液，同时，此混合液又以流量为 Lmin流出。试求容器内的盐量与时间流出。试求容器内的盐量与时间t的函数关系。的函数关系。第23页，共41页，编辑于2022年，星期六定义定义二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方二阶及二阶以上的微分方

13、程称为高阶微分方程。程。下面介绍三种典型的容易降阶的微分方程下面介绍三种典型的容易降阶的微分方程,相应相应求解方法称为求解方法称为降阶法降阶法。一、一、型型二、二、型型三、三、型型第24页，共41页，编辑于2022年，星期六例例1 求求 的通解。的通解。例例2 质量为质量为m的质点受力的质点受力F作用沿作用沿OX轴作直线运动，轴作直线运动，设力设力F仅是时间仅是时间t的函数：的函数：。在。在t=0时，时，随着时间，随着时间t的增大，力的增大，力F均匀地减小，直到均匀地减小，直到t=T 时，时，。若开始时质点位于原点，且初速度为。若开始时质点位于原点，且初速度为0，求这质点的，求这质点的运动规律

14、。运动规律。F0 xtF(t)T第25页，共41页，编辑于2022年，星期六设设 ,则则 方程可化为方程可化为通解为通解为得到微分方程得到微分方程分离变量或者直接积分得到通解分离变量或者直接积分得到通解第26页，共41页，编辑于2022年，星期六例例1 求微分方程的通解求微分方程的通解例例2 设子弹以设子弹以200m/s的速度射入厚为的速度射入厚为0.1m的木的木 板，受到的阻力大小与子弹的速度平方成正板，受到的阻力大小与子弹的速度平方成正 比，如果子弹穿出木板时的速度为比，如果子弹穿出木板时的速度为80m/s，求子弹穿过木板所需的时间。求子弹穿过木板所需的时间。设子弹质量为设子弹质量为m；子

15、弹刚射入木板时为原点子弹刚射入木板时为原点且且t=0，取运动方向为正方向，取运动方向为正方向0.1m0 x第27页，共41页，编辑于2022年，星期六设设 ，则，则原方程化为原方程化为通解为通解为又得微分方程又得微分方程分离变量，得通解分离变量，得通解例例 求方程求方程 满足满足 的特解。的特解。第28页，共41页，编辑于2022年，星期六 形如形如 （1）称为称为二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程。P、q为常数。为常数。定理定理设设 及及 是方程（是方程（1）的两）的两 个解，则对于任意常数个解，则对于任意常数 、，仍然是（）的解。仍然是（）的解。第29页，共41页，编辑于

16、2022年，星期六(i)当当 时，时，是两个不相等的实根。是两个不相等的实根。(ii)当当 时，时，(iii)当当 时，时，是一对共轭复根。是一对共轭复根。称为对应于称为对应于(1)的特征方程的特征方程第30页，共41页，编辑于2022年，星期六(i)特征方程有两个不相等的实根：特征方程有两个不相等的实根：(ii)特征方程有两个相等的实根：特征方程有两个相等的实根：(iii)特征方程有一对共轭复根：特征方程有一对共轭复根：第31页，共41页，编辑于2022年，星期六解下列微分方程解下列微分方程:1、2、3、4、5、6、7、第32页，共41页，编辑于2022年，星期六例例8 设有一弹簧，它的上端

17、固定，下端挂一个质量为设有一弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量为m的物体。当物体处于静止状态时，作用在的物体。当物体处于静止状态时，作用在物体上的重力与弹簧作用于物体的弹性力大小相等、物体上的重力与弹簧作用于物体的弹性力大小相等、方向相反。（这个位置就是物体的平衡位置）。现方向相反。（这个位置就是物体的平衡位置）。现有一外力使物体离开平衡位置，并随即撤去外力，有一外力使物体离开平衡位置，并随即撤去外力，那么物体便在平衡位置附近作上下振动，求物体的那么物体便在平衡位置附近作上下振动，求物体的振动规律。振动规律。第33页，共41页，编辑于2022年，星期六 取取X轴铅直向下，平衡位置轴铅直向下，平

18、衡位置为原点。为原点。设在时刻设在时刻t物体所在的物体所在的位置为位置为x，则，则x=x(t)为所要求的为所要求的振动规律。振动规律。1、当振幅不大时，弹簧使物体、当振幅不大时，弹簧使物体回到平衡位置时的弹性恢复力回到平衡位置时的弹性恢复力f 和物体离开平衡位置的位移和物体离开平衡位置的位移x成正比：成正比：第34页，共41页，编辑于2022年，星期六2、物体在运动中，受到阻尼介质的阻力作用，、物体在运动中，受到阻尼介质的阻力作用，使得振动逐渐停止。当物体的速度不太大时，使得振动逐渐停止。当物体的速度不太大时，阻力与运动速度成正比。阻力与运动速度成正比。物体自由振动的微分方程物体自由振动的微分方程第35页，共41页，编辑于2022年，星期六现在给定初值条件为现在给定初值条件为特征方程为特征方程为第36页，共41页，编辑于2022年，星期六(i)n=0,称为理想的称为理想的无阻尼无阻尼情形。情形。这种振动称为简谐振动。这种振动称为简谐振动。第37页，共41页，编辑于2022年，星期六(ii)0nk，称为，称为大阻尼大阻尼情形。情形。第39页，共41页，编辑于2022年，星期六第40页，共41页，编辑于2022年，星期六第41页，共41页，编辑于2022年，星期六